最新2019-2020年度人教版八年级数学上册《构造等腰三角形证题》专项练习-精品试题
新人教版八年级数学上册《等腰三角形》专项练习题
初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题则∠ A 的度数为（ ）A 、 30°B 、 40°C 、45 °D 、 60°一、选择题8、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）1 已知一个等腰三角形的底边长为 5, 这个等腰三形的腰A 角B 等边三角形 C线段 D 不等边三角形长为 x, 则 x 的取值范围是 ( )9、正△ ABC 的两条角平分线BD 和 CE 交于点 I ，则∠ BICA .0<x<5B .x≥5C x ＞5D 0<x<10AA D22 2A2. 等腰三角形的底角为15° ,FE腰长为 a, 则此三角形的面积为()DAa2B1 a 2E2BCC1 a 2D 2 a2图 543 将一张长方形的纸片 ABCD 如图 (4) 那样折起 , 使顶点 C 落在 F 处 . 其中 AB=4, 若∠ FED=30° , 则折痕 ED 的长为()A. 4 B 43C 8D 5310. 如图 (5), 在△ ABC 中 ,BC=8 ㎝ ,AB 的垂直平分线交 AB于点 D, 交 AC 于点 E, △ ABC 的周长为 18 ㎝ , 则 AC 的长等于 ( )A 6 ㎝B 8㎝ C 10 ㎝ D 12㎝4 下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）A 有两个内角相等的三角形B 有一个内角是 45°直角三角形C. 有一个内角是 30°的直角三角形D.有两个角分别是 30°和 120°的三角形5、下列图形中，轴对称图形有（）个A.1B.2C. 3D.46、等腰三角形周长是 29，其中一边是 7，则等腰三角形的底边长是（） A 15 B15或 7 C 7 D 117、在△ ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ ABC ，若∠ BDC ＝ 75°，D12BECBC为（ ） A ． 60 B ． 90 C ． 120 D ． 150°10、下列三角形： ①有两个角等于 60°； ②有一个角等于 60°的等腰三角形； ?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（ ） A ①②③ B ①②④ C ①③ D ①②③④11、如图 1， D 、E 、F 分别是等边△ ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF?的形状是（ ）AA ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角D三角形 D ．不等边三角E形12Rt △BCABC 中，CD 是斜边 AB上 的 高 ， ∠ 图 5B=30°，AD=2cm ，则 AB 的长度是（ ）A ． 2cm B． 4cm C ． 8cm D ． 16cm13 如图 2， E 是等边△ ABC 中 AC 边上的点，∠ 1= ∠ 2， BE=CD ，则对△ ADE 的形状判断准确的是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D．不能确定形状图（ 1)图(2)二、填空题1、△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=∠ C ，则∠ B=_______．2、已知 AD 是等边△ ABC 的高， BE 是 AC 边的中线， AD与 BE 交于点 F ，则∠ AFE=______．3、△ ABC中，∠ B=∠ C=15°， AB=2cm，CD⊥ AB交 BA 的延长线于点D，?则 CD?的长度是 _______ ．4、如图（ 3），在ABC中 AB=AC，∠ A=36°， BD平分∠ABC，则∠1=________, 图中有_______ 个等腰三角形。
2020年人教版 八年级数学上册课时作业本 轴对称与等腰三角形-等腰三角形解答题专练(含答案)
人教版2020年八年级数学上册课时作业本轴对称与等腰三角形-等腰三角形解答题专练1.如图,△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，(1）若△BCD的周长为8，求BC的长；(2）若∠ABD：∠DBC=1：1，求∠A的度数．2.如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)若AE=8cm，AB=10cm，GC=2BGcm，求△ABC的周长．3.如图，△ACB和△ADE均为等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接BD，试猜想线段CE、BD之间的数量关系，并说明理由.4.如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．5.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD.（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数.6.如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长.7.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E、F．（1）如图（1），过A的直线与斜边BC不相交时，求证：①△ABE≌△CAF；②EF=BE+CF （2）如图（2），过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，试求EF的长．8.如图：AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD．9.如图,已知ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.求证：CE=CF．10.已知，如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°（1）求证：①AC=BD；②∠APB=50°；（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为，∠APB的大小为11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE.(1)求∠DBE的大小；(2)求证：AD=2BE.12.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．13.在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．14.如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动.①若点P的运动速度与点Q的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由？②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，直接写出经过多长时间点P与点Q第一次相遇.参考答案1.①3，②36°2.（1）证明略；(2)32cm；3.解：CE=BD，理由：∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE，∴∠DAB=∠EAC.在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴CE=BD.4.解：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，∴∠CAD=（180°﹣100°）÷2=40°，∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，∵DC=DB，∴∠B=（180°﹣140°）÷2=20°．5.解：（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠BAD=45°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，∵∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；即∠BAD的度数是60°或30°.6.7.（1）证明：①∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠CFA=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠FAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，在△AEB与△CFA中∴△ABE≌△CAF（AAS），②∵△ABE≌△CAF，∴EA=FC，EB=FA，∴EF=AF+AE=BE+CF；（2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF∴∠AEB=∠CFA=90°∴∠EAB+∠EBA=90°∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠FAC=90°∴∠EBA=∠FAC，在△AEB与△CFA中∴△ABE≌△CAF（AAS），∴EA=FC，EB=FA，∴EF=FA﹣EA=EB﹣FC=10﹣3=7．8.证明：在CD上取一点E使DE=BD，连接AE．∵BD=DE，且∠AED为△AEC的外角，∠B=2∠C，∴∠B=∠AED=∠C+∠EAC=2∠C，9.证明：∵∠ACB＝90°,CD⊥AB∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°∵BF平分∠ABC∴∠CBF＝∠DBE∵∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB∴∠CFB＝∠DEB∵∠FEC＝∠DEB∴∠CFB＝∠FEC∴CE＝CF10.证明：（1）∵∠AOB=∠COD=50°，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=50°．（2）解：AC=BD，∠APB=α，理由是：）∵∠AOB=∠COD=50°，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=α，故答案为：AC=BD，α．11.解：(1)∵∠C=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAC=22.5°，∵AE⊥BE，∴∠BED=90°，∴∠ACD=∠BED=90°，∵∠ADC=∠BDE，∴∠DBE=∠CAD=22.5°.(2)延长AC、BE交于点G.∵AE⊥BG，∴∠AEB=∠AEG=90°，在△AEB和△AEG中，，∴△AEB≌△AEG，∴BE=EG，在△ACD和△BCG中，，∴△ACD≌△BCG，∴AD=BG=2BE，∴AD=2BE.12.解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD 又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．word版初中数学13.解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=15°．（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=20°．（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=0.5∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C又∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠BAD=2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC=0.5∠BAD14.答案为：（1）全等；（2）全等；（3）24秒.11 / 11。
等腰三角形 同步练习题 人教版八年级数学上册
13.3.1等腰三角形同步练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册一、选择题1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( )A．30°B．75°C．150° D．125°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝( )A．40°B．50° C．60°D．80°3．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是( )A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD D．AD⊥BC，BD＝CD4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( )A．50°B．40° C．30°D．20°5．如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于( )A．10 B．5 C．4 D．36．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°7．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于点E.若∠B＝32°，AC＝CE，则∠C的度数是( )A．52°B．55°C．60°D．65°8．如图是钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE，EF，FG，…，添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是( )A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若∠BAC＝70°，则∠BAD＝_____．10．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若在等腰△ABC中，∠A＝70°，则它的特征值k＝_____．11．如图，△ABC的周长为18，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为12，那么AD的长为_____．12．如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A＝__________时，△AOP为等腰三角形．13．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40海里/时的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为_____．14.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中的外角∠ACM的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，,交AB于点D，交AC于点E，则BD，CE，DE之间存在的数量关系是_____三、解答题15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE相交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(将所有成立的情形用序号写出来)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．17．如图，AB＝AC，点E在AB上，DE⊥BC于点D，交CA的延长线于点F.求证：△AEF是等腰三角形．18．已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求证：(1)∠1＝∠2；(2)OA⊥BC.19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.(1)△AEF与△CEB全等吗？请说明理由；(2)说明AF＝2BD的理由．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与B，C两点重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____(填“大”或“小”)；(2)当△ABD≌△DCE时，求CD的长；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA＝110°时，请判断△ADE的形状，并证明．21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，不难发现BD 与CE的关系．(1)将△ADE绕A点旋转到图2的位置时，直接写出BD与CE的关系；(2)当∠BAC＝90°时，将△ADE绕A点旋转到图3的位置．①猜想BD与CE有什么关系？请就图3的情形进行证明；②当点C，D，E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数．参考答案13.3.1等腰三角形同步练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册一、选择题1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于(B)A．30°B．75°C．150° D．125°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝(B)A．40°B．50° C．60°D．80°3．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(C)A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD D．AD⊥BC，BD＝CD4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是(D)A．50°B．40° C．30°D．20°5．如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(B)A．10 B．5 C．4 D．36．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(D) A ．55°，55° B ．70°，40°或70°，55° C ．70°，40°D ．55°，55°或70°，40°7．如图，在△ABC 中，DE 垂直平分AB ，垂足为D ，交BC 于点E.若∠B ＝32°，AC ＝CE ，则∠C 的度数是(A)A ．52°B ．55°C ．60°D ．65°8．如图是钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE ，EF ，FG ，…，添加的这些钢管的长度都与BD 的长度相等．如果∠ABC ＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是(B)A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D.若∠BAC ＝70°，则∠BAD ＝35°．10．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的特征值．若在等腰△ABC 中，∠A ＝70°，则它的特征值k ＝1411或47．11．如图，△ABC 的周长为18，且AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，△ACD 的周长为12，那么AD 的长为3．12．如图，已知点P 是射线ON 上一动点(即P 可在射线ON 上运动)，∠AON ＝45°，当∠A ＝45°或67.5°或90°时，△AOP 为等腰三角形．13．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40海里/时的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为80海里．14.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中的外角∠ACM的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，,交AB于点D，交AC于点E，则BD，CE，DE之间存在的数量关系是BD＝CE＋DE．)三、解答题15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴∠ABD＝∠C，AD⊥BC.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADB＝90°.∴∠C＋∠CBE＝∠ABD＋∠BAD＝90°.∴∠CBE＝∠BAD.16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE相交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(将所有成立的情形用序号写出来)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．解：(1)①②；①③.(2)选①③，证明如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠EBO＝∠DCO，且∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．17．如图，AB＝AC，点E在AB上，DE⊥BC于点D，交CA的延长线于点F.求证：△AEF是等腰三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠BDE＝∠CDF＝90°.∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BED＝90°.∴∠BED＝∠F.又∵∠AEF＝∠BED，∴∠F＝∠AEF.∴AF＝AE.∴△AEF是等腰三角形．18．已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求证：(1)∠1＝∠2；(2)OA⊥BC.证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠ABO ＝∠ACO ，∴∠1＝∠2. (2)∵∠1＝∠2， ∴OB ＝OC.在△ABO 和△ACO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABO ＝∠ACO ，OB ＝OC ，∴△ABO ≌△ACO(SAS)． ∴∠BAO ＝∠CAO. ∴AO 平分∠BAC. ∵△ABC 是等腰三角形， ∴OA ⊥BC.19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，EF ＝BE. (1)△AEF 与△CEB 全等吗？请说明理由； (2)说明AF ＝2BD 的理由．解：(1)全等． 理由：∵AD ⊥BC ， ∴∠B ＋∠EAF ＝90°. ∵CE ⊥AB ，∴∠B ＋∠BCE ＝90°，∠AEF ＝∠CEB ＝90°. ∴∠EAF ＝∠ECB. 又∵EF ＝BE ，∴△AEF≌△CEB(AAS)．(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AF＝2CD.20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与B，C两点重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝25°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；(2)当△ABD≌△DCE时，求CD的长；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA＝110°时，请判断△ADE的形状，并证明．解：(2)∵△ABD≌△DCE，∴CD＝AB＝2.(3)当∠BDA＝110°时，△ADE是等腰三角形．证明：∵∠BDA＝110°，∴∠ADC＝70°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°.∴∠DAC＝70°.在△ADE中，∠ADE＝40°，∠DAE＝70°，∴∠AED＝180°－40°－70°＝70°.∴∠AED＝∠DAE.∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，不难发现BD 与CE的关系．(1)将△ADE绕A点旋转到图2的位置时，直接写出BD与CE的关系；(2)当∠BAC＝90°时，将△ADE绕A点旋转到图3的位置．①猜想BD与CE有什么关系？请就图3的情形进行证明；②当点C，D，E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数．解：(1)BD ＝CE.(2)①BD ＝CE ，BD ⊥CE ，证明：记BD 与AC 的交点为F ，与CE 的交点为M ，∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE(SAS)．∴BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ACE.∵∠BAC ＝90°，∠AFB ＝∠MFC ，∴∠FMC ＝∠BAC ＝90°.∴BD ⊥CE.②∠ADB 的度数为45°或135°15．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，且BD ＝DE ，连接AE.(1)若∠BAE ＝30°，求∠C 的度数；(2)若AC ＝6 cm ，DC ＝5 cm ，求△ABC 的周长．解：(1)∵AD ⊥BC ，BD ＝DE ，∴AB ＝AE.∵EF 垂直平分AC ，∴AE ＝EC.∴∠C ＝∠CAE.∵∠BAE ＝30°，∴∠AED ＝12×(180°－30°)＝75°.∴∠C ＝12∠AED ＝37.5°. (2)由(1)知：AE ＝EC ＝AB ，∵BD ＝DE ，∴AB ＋BD ＝EC ＋DE ＝DC.∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝AB ＋BD ＋DC ＋AC ＝2DC ＋AC ＝2×5＋6＝16(cm)．。
人教版初二数学上试卷等腰三角形练习题
初中数学试卷等腰三角形练习题班级姓名学号一.填空题31. 等腰三角形的腰长是底边的3，底边等于12cm ，则三角形的周长为cm42. _________________________________________________________ 等腰三角形顶角为80 °，则一腰上的高与底边所夹的角的度数为____________ 度3. __________________________________ 等腰三角形的底角是65°,顶角为.4. _________________________________________________________ 等腰三角形的一个内角为100 °,则它的其余各角的度数分别为 ______________ .5. P 为等边△ABC 所在平面上一点,且△PAB,△PBC,△PCA 都是等腰三角形,这样的点P 有个.6. 等腰三角形的顶角等于一个底角的 4 倍时, 则顶角为 _______ 度_ ．7. 已知如图，A、D、C在一条直线上AB＝BD＝CD, ∠C＝40 °,则∠ABD ＝第10 题8. 在等腰△ABC中, AB＝AC, AD ⊥BC于D, 且AB＋AC＋BC＝50cm,而AB ＋ BD ＋AD ＝ 40cm, 则AD ＝ ______ cm.9. 如图 , ∠P ＝25°, 又PA ＝AB ＝BC ＝CD, 则∠DCM ＝ ____ 度.10. 如图已知∠ACB ＝90 °, BD ＝BC, AE ＝AC, 则∠DCE ＝ ________ 度_ .二. 单选题1. 等腰三角形一底角为 30 °,底边上的高为 9cm,则腰长为 ___cm ．[ ]A.3B.18C.9D.9 32. 不满足△ABC 是等腰三角形的条件是 [ ]A.∠A :∠B :∠C=2 :2:1 B.∠A :∠B :∠C=1 :2:5C.∠A:∠B :∠C=1 :1:2 D. ∠A :∠B :∠C=1 :2:23. 等腰三角形的一个角等于 20 °, 则它的另外两个角等于 :[ ]A.20 °、140 °B.20 °、140 °或80 °、80 °C.80 °、80 °D.20 °、80 °4. 下列命题正确的是 [ ]A.等腰三角形只有一条对称轴B.直线不是轴对称图形C.直角三角形都不是轴对称图形D.任何一角都是轴对称图形5. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ]11A.顶角B.顶角的 1C.顶角的 2 倍 D 底角的 1227. 如图 , 在△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则下列判断正确的是[]8. 等腰三角形两边分别为 35厘米和 22厘米, 则它的第三边长为 [ ]A.∠A ＝∠BB.∠A ＝∠ACDC.∠A ＝∠DCBD.∠A ＝2∠BCD第7题A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm9. 等腰三角形中, AB长是BC长2 倍, 三角形的周长是40, 则AB的长为[ ]A.20B.16C.20 或16D.1810. 如图已知: AB＝AC＝BD, 那么∠1 与∠2之间的关系满足[ ]A.∠1 ＝2∠2B.2 ∠1 ＋∠2＝180 °C.∠1＋3∠2＝180 °D.3 ∠1 －∠2 ＝180 °三.证明题1. 如图, 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE2. 如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC ．求证：AD ⊥BC3. 已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．4. 如图,在△ABC中,AB=AC,E为CA延长线上一点,ED⊥BC于D交AB于F.求证:△AEF为等腰三角形.5. 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE 是△ACD 的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.6. 如图：Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=22.5 °,DC=BC, DE⊥AB．求证：AE=BE．7. 已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，等腰三角形练习题答案.填空题1. 302. 403.50 °6. 1207. 208. 15二.单选题1. B2. B3. B7. D 8. C 9. B三.证明题1. 证：作AM ⊥BC于M∵AD=AE,∴DM=EM∵AB=AC,∴BM=CM∴BM －DM=CM －EM∴BD=CE4. 40°40°5. 79. 100 10. 454. D5. B6. A10. D2. 证明：在△ABP和△ACP中∵AB=AC,BP=PC,AP=AP ∴△ABP ≌△ACP (SSS)∴∠BAP= ∠CAP ∴AD ⊥BC（等腰三角形顶角平分线又是底边的垂线）3. 证明：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC, ∠BAC=60 °在△ABD 和△ACE中∵AB=AC, ∠1= ∠2,BD=CE ∴△ABD ≌△ACE (SAS) ∴AD=AE, ∠BAD= ∠CAE=60 ∴在△ADE中∵AD=AE,∠DAE=60 ∴△ADE为等边三角形．4. 证明：连结AC和AD在△ABC和△AED中AB=AE BC=ED ∠B= ∠E ∴△ABC ≌△AED (SAS)∴∠ACB= ∠ADE,AC=AD∴ △ACD 是等腰三角形∴∠ACD= ∠ADC; ∠BCA= ∠CDE∴∠C= ∠D5. 证明：∵BE、CF是△ABC 的高线．∴∠1= ∠2=90 ° ∴△BCF和△CBE都是Rt△．在Rt △BCF和Rt △CBE中∵CF=BE,BC=CB∴Rt△BCF≌Rt△CBE ∴∠3= ∠4 在△HBC 中∵∠3= ∠4∴HB=HC（同一三角形中,等角对等边）6. 证明:∵AE=AD, ∠1= ∠2,∠A公共角∴△AEF≌△ADC (AAS) ∴AB=AC,EB=DC∴∠ABC= ∠ACB ∴∠3= ∠4,BF=CF ∴DF=EF7. 证明:∵AB=AC∴∠B= ∠C∵ED⊥BC∴∠B+ ∠BFD= ∠B+ ∠EFA=90 °∠C+ ∠E=90∴∠E= ∠EFA ∴AE=AF8. 证明:(1) ∵AC=CD,CE 是△ACD的中线∴∠ACE= ∠DCE 又∵CF平分∠ACB ∴∠ACF= ∠BCF ∴∠AFC= ∠AEC=90 ° ∴CE⊥CF(2) ∵AC=CD,CE 是△ACD的中线∴CE⊥AD ∴CF∥AD四.证明题(本题包括4小题,共24 分。
人教版初二数学上试卷构造等腰三角形证题
初中数学试卷构造等腰三角形证题吴复等腰三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
一. 直接连线法例1. 已知，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E。
求证：∠C=∠D。
图1证明：连结AC、AD因为AB=AE，∠B=∠E，BC=ED所以△ABC≌△AED所以∠1=∠2，AC=AD所以∠3=∠4即∠1+∠3=∠2+∠4所以∠C=∠D例2. 已知，DE为△ABC的BC边上的中垂线，交AC于D，垂足为E。
求证：AB<AC。
图2证明：连结BD。
因为BE=CE，DE⊥BC所以DB=DC因为AB<AD+DB所以AB<AD+DC即AB<AC二. 线段延长法例3. 已知△ABC中，∠A=Rt∠，AB=AC，BE平分∠ABC，且BE⊥CE于E。
求证：BD21CE=。
图3证明：分别延长BA、CE交于F。
因为BE⊥CF，∠1=∠2所以BF=BC因为∠3=∠1，AC=BA，∠4=∠5=Rt∠所以Rt△FCA≌Rt△DBA所以FC=DB因为CF21 CE=所以BD21 CE=例4. 已知M、N分别为正六边形ABCDEF的边CD、DE的中点，BN与AM交于点P，则=PNBP___________。
图4解：延长AB、DC交于G，延长ED、AM交于H。
因为ABCDEF为正六边形所以△BCG为正三角形设AB=k ，则BG=CG=k 因为DH//AG所以31GM DM AG DH ==所以k32DH = 所以763k 22k k HN AB PN BP =+==说明：例3延长图形中有关的线段，构成等腰三角形的底边，例4中应用了平行线分线段成比例的性质。
三. 延长和连结相结合法例5. 已知在△ABC 中，∠C=2∠B 。
求证：AC 2AB <。
图5证明：延长BC 到D ，使CD=AC ，连结AD 。
2019人教新版八年级数学上 13.3 等腰三角形 同步练习卷 包含答案
13.3 等腰三角形一．选择题（共8小题）1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④2．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD＝CD ＝CE，∠ADC+∠ACD＝114°，则∠DFC的度数为何？（）A．114 B．123 C．132 D．1473．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A．7个B．8个C．9个D．10个4．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（）A．7.5°B．10°C．15°D．18°6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（）A．αB．αC．αD．α7．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒8．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝70°，则∠A n﹣1A n B n的度数为（）﹣1A．B．C．D．二．填空题（共3小题）9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF ＝2，BF＝3，则CE的长度为．11．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为．三．解答题（共8小题）12．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交底BC于G．求证GD＝GE．13．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．14．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．15．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．（1）若∠B＝60°，求∠C的值；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．16．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．18．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？（3）当t为何值时PQ∥BC？参考答案一．选择题（共8小题）1．解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．所以都正确．故选：D．2．解：∵BD＝CD＝CE，∴∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE，∵∠ADC+∠ACD＝114°，∴∠BDC+∠ECD＝360°﹣114°＝246°，∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE＝360°﹣246°＝114°，∴∠DCB+∠CDE＝57°，∴∠DFC＝180°﹣57°＝123°，故选：B．3．解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C 的位置；以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点．故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．故选：B．4．解：在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠1＝∠CBE，∵∠2＝∠1+∠ABE，∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．故选：D．5．解：∵AC＝AB，∴∠B＝∠C，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+30°＝∠AED+α，∴∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝∠C+α，即∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，∴2α＝30°，∴α＝15°，∠DEC＝α＝15°，故选：C．6．解：根据题意：在△ABC中，AB＝AC∴∠B＝∠C∵AE＝AD∴∠ADE＝∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC＝∠C+∠EDC化简可得：∠α＝2∠EDC∴∠EDC＝α．故选：A．7．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故选：D．8．解：∵在△ABA1中，∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝70°，∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝＝35°；同理可得，∠B2A3A2＝17.5°，∠B3A4A3＝×17.5°＝，∴∠A n﹣1A n B n﹣1＝．故选：C．二．填空题（共3小题）9．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°＝70°．故答案为：110°或70°．10．证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，∴∠E＝∠BFP，又∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE，∴AF＝AE，∴△AEF是等腰三角形．又∵AF＝2，BF＝3，∴CA＝AB＝5，AE＝2，∴CE＝7．11．解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°∴∠BCD＝∠DBC＝30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°∴∠DBA＝∠DCA＝90°延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF＝CN，DB＝DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN∵∠MDN＝60°∴∠BDM+∠CDN＝60°∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN＝MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．三．解答题（共8小题）12．证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F＝∠B，∵∠ACB＝∠FCE，∴∠F＝∠FCE，∴CE＝EF，∵BD＝CE，∴BD＝EF，在△DBG与△GEF中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD＝GE．13．解：（1）∵∠AFD＝155°，∴∠DFC＝25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，在Rt△EDC中，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A＝65°，∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．（2）连接BF∵AB＝BC，且点F是AC的中点，∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，∴∠CFD+∠BFD＝90°，∠CBF+∠BFD＝90°，∴∠CFD＝∠CBF，∴∠CFD＝∠ABC．14．解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．15．（1）解：∵∠B＝60°，∠BDA＝∠BAD，∴AB＝AD，∵CD＝AB，∴CD＝AD，∴∠DAC＝∠C，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，∵∠BAD＝60°，∴∠C＝30°；（2）证明：延长AE到M，使EM＝AE，连接DM，在△ABE和△MDE中，，∴△ABE≌△MDE，∴∠B＝∠MDE，AB＝DM，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠MDE+∠BDA＝∠ADM，在△MAD与△CAD，，∴△MAD≌△CAD，∴∠MAD＝∠CAD，∴AD是∠EAC的平分线．16．解：（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝60°；（2）AC＝BD，∠APB＝α．17．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2）∵∠EDC+∠EDA+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．∵∠B＝∠C，∴△ABD≌△DCE．∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE．（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．18．解：（1）设AP的长是x，则BP＝2a﹣x，∴S△APC+S△PBD＝x•x+（2a﹣x）•（2a﹣x）＝x2﹣ax+a2，当x＝﹣＝﹣＝a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，故答案为：a；（2）α的大小不会随点P的移动而变化，理由：∵△APC是等边三角形，∴PA＝PC，∠APC＝60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD＝∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°，∴∠AQC＝180°﹣120°＝60°；（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．理由：∵△APC是等边三角形，∴PA＝PC，∠APC＝60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD＝∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°，∴∠AQC＝180°﹣120°＝60°．19．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°．又∵AB＝12cm，∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t．（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，解得t＝4，即当t＝4秒时△APQ是等腰三角形．（3）∵当AQ：AC＝AP：AB时，有PQ∥BC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，解得t＝3．即当t＝3秒时，PQ∥BC．。
人教版八年级数学上册等腰三角形练习题
人教版八年级数学上册等腰三角形练习题初中数学试卷八年级数学等腰三角形练题（一）一．选择题1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．BD=CEB．AD=AEC．DA=DED．BE=CD2.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3.已知实数x，y满足x>0，y>0，且x+y=20，则以x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对4.在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个5.下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形6.下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°C．AB=AC=2，BC=4D．AB=3，BC=7，周长为137.下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A.1个B．2个C．3个D．4个8.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）.A.110°B.55°C.35°D.以上都不对9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°二．填空题10．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是120°。
人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形 课时训练(含答案)
人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练一、选择题1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，52. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD 与BD的长度之比为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶13. 如图，在等腰三角形中，若∠1＝110°，则∠2的度数为()A．35°B．70°C．110°D．35°或55°4. 如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知P A＝1，则PB()A．等于1 B．小于1C．大于1 D．最小为15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．86. 具备下列条件的三角形为等腰三角形的是链接听P27例1归纳总结() A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是()A．20°B．35°C．40°D．70°8. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB9. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD ＝20°，则∠ABD＝________°.14. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC ＝4，则PD＝________.15. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为.三、解答题16. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.17. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．18. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)这条船继续向正北方向航行，在什么时间小船与灯塔C的距离最短？19. 已知:如图所示，锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ，且OB=OC.(1)求证:△ABC 是等腰三角形;(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由.20. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB.∴AB＝4BD.∴AD∶BD＝3∶1.3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.6. 【答案】D7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．10. 【答案】D[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴△ACD 是等腰三角形．∵∠ADB ＝∠CAD ＋∠C ＝72°，∴∠ADB ＝∠B.∴AD ＝AB. ∴△ADB 是等腰三角形．二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵∠A ＝30°，AB ＝12，∴在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝12×12＝6. ∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，6 cm ，13 cm ，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，13 cm ，13 cm ，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．13. 【答案】50[解析] ∵AB ＝AC ，E 为BC 的中点，∴∠BAE ＝∠EAD ＝20°.∴∠BAD ＝40°，又∵BD ⊥AC ，∴∠ABD ＝90°－∠BAD ＝90°－40°＝50°.14. 【答案】2[解析] 过点P 作PE ⊥OB 于点E.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PE ＝PD.∵∠BOP ＝∠AOP ＝15°，∴∠AOB ＝30°. ∵PC ∥OA ，∴∠BCP ＝∠AOB ＝30°. ∴在Rt △PCE 中，PE ＝12PC ＝12×4＝2. ∴PD ＝PE ＝2.故答案是2.15. 【答案】28 cm三、解答题16. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.17. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF. ∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．18. 【答案】解：(1)∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝30°.∴AB＝BC.∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30 海里，即从海岛B到灯塔C的距离为30海里．(2)过点C作CP⊥AB于点P，则线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，∴∠PCB＝90°－60°＝30°.∴PB＝12BC＝15海里．∵15÷15＝1(时)，∴这条船继续向正北方向航行，在上午11时小船与灯塔C 的距离最短．19. 【答案】解:(1)证明:∵OB=OC ， ∴∠OBC=∠OCB.∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC=∠CDB=90°.∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°， ∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC ， ∴∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形. (2)点O 在∠BAC 的平分线上.理由:连接AO 并延长交BC 于点F .在△AOB 和△AOC 中，∴△AOB ≌△AOC (SSS)，∴∠BAF=∠CAF ， ∴点O 在∠BAC 的平分线上.20. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.。
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构造等腰三角形证题
吴复
等腰三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
一. 直接连线法
例1. 已知，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E。
求证：∠C=∠D。
图1
证明：连结AC、AD
因为AB=AE，∠B=∠E，BC=ED
所以△ABC≌△AED
所以∠1=∠2，AC=AD
所以∠3=∠4
即∠1+∠3=∠2+∠4
所以∠C=∠D
例2. 已知，DE为△ABC的BC边上的中垂线，交AC于D，垂足为E。
求证：AB<AC。
图2
证明：连结BD。
因为BE=CE，DE⊥BC
所以DB=DC
因为AB<AD+DB
所以AB<AD+DC
即AB<AC
二. 线段延长法
例3. 已知△ABC中，∠A=Rt∠，AB=AC，BE平分∠ABC，且BE⊥CE于E。
求证：
BD
2
1
CE=。
图3
证明：分别延长BA、CE交于F。
因为BE⊥CF，∠1=∠2
所以BF=BC
因为∠3=∠1，AC=BA，∠4=∠5=Rt∠所以Rt△FCA≌Rt△DBA
所以FC=DB
因为
CF
2
1 CE=
所以
BD
2
1 CE=
例4. 已知M、N分别为正六边形ABCDEF的边CD、DE的中点，BN与AM交于点P，
则
=
PN
BP
___________。
图4
解：延长AB 、DC 交于G ，延长ED 、AM 交于H 。
因为ABCDEF 为正六边形 所以△BCG 为正三角形 设AB=k ，则BG=CG=k 因为DH//AG
所以31
GM DM AG DH =
=
所以
k 32DH =
所以7
6
3k 22k k HN AB PN BP =+==
说明：例3延长图形中有关的线段，构成等腰三角形的底边，例4中应用了平行线分线段成比例的性质。
三. 延长和连结相结合法
例5. 已知在△ABC 中，∠C=2∠B 。
求证：AC 2AB <。
图5
证明：延长BC 到D ，使CD=AC ，连结AD 。
因为∠1=2∠B ，又因为∠1=2∠D ，所以∠D=∠B 所以AB=AD<AC+CD=2AC
例6. 已知∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90°BDC
21
∠-。
求证：△ABC 为等腰三角形。
图6
证明：延长CD 到E ，使DE=DB ，连结AE 。
因为∠ADB=90°BDC
21
∠-
所以2∠ADB=180°BDE BDC ∠=∠- 所以∠1=∠2 所以△ABD ≌△AED 所以∠ABD=∠E=60° 所以△ACE 为等腰三角形 所以AC=AE
所以△ABC 为等腰三角形
例7. 已知△ABC 中，AB=AC ，AD 为高，BE 为角平分线，EG ⊥BC 于G ，EF ⊥BE 交BC 于F 。
求证：
BF 41
DG =。
图7
证明：延长FE 交BA 延长线于H ，取BH 的中点M ，连结EM 并交AD 于N 。
因为∠1=∠2，BE=BE ，∠BEH=∠BEF=90° 所以△BHE ≌△BFE 所以BH=BF ，HE=FE 又因为HM=BM 所以EM//CB 所以△AME ∽△ABC 又因为AB=AC ，AD ⊥BC 所以AM=AE ，AN ⊥ME
所以
EM 21MN EN =
=
因为∠BEH=90°，BM=HM
所以
BH 21EM =
即
BH 41EM 21EN ==
因为四边形ENDG 为矩形
所以
BF 41
BH 41EN DG ==
=
说明：例5中要解决如β∠=α∠2问题，构造顶角的外角为α∠的等腰三角形，则可用“等腰三角形顶角的外角等于一个底角的2倍”这一性质。
例6利用两腰相等证之。
例7用的知识点较多，关键在于“三线合一”定理的应用。
四. 作平行线法
例8. 已知△ABC 中，过BC 中点D 作直线交AB 于E ，交CA 延长线于F ，且AE=AF 。
求证：BE=CF 。
证明：过点C 作CG//AB ，交FD 延长线于G 。
图8
因为∠G=∠2，∠3=∠B ，DB=CD 所以△CGD ≌△BED 所以CG=BE 因为AE=AF 所以∠1=∠F 所以∠G=∠1=∠F 所以CG=CF 所以BE=CF
例9. 已知四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BA 、CD 的延长线分别与FE 的延长线交于G 、H 。
求证：∠BGF=∠CHF 。
图9
证明：连结BD ，作EK//AB 交BD 于K ，连结KF 。
在△DAB 中，E 为AD 中点，EK//AB 所以K 为BD 中点，
所以
AB 21EK
同理
DC
2
1 FK//
因为AB=CD
所以∠1=∠2
即∠3=∠4
所以∠BGF=∠CHF
说明：作平行线构成等腰三角形的腰和底。
五. 作垂线法
例10. 已知△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC。
求证：△ABC是直角三角形。
图10
证明：作AB的中垂线DE，交AC于D，交AB于E，连结BD。
因为DE⊥AB，AE=BE
所以AD=BD
所以∠2=∠A
因为∠ABC=2∠A
所以∠1=∠2
因为AB=2BC
所以BE=BC
所以△EDB≌△CDB
所以∠C=∠3=Rt∠
所以△ABC是直角三角形
说明：作三角形一边的中垂线，构造成等腰三角形的两腰。
六. 作截线法
例11. 已知△ABC中，AD⊥BC于D，AB+BD=DC。
求证：∠B=2∠C。
图11
证明：在DC上截取DE=BD，连结AE。
因为AD⊥BE，ED=BD
所以AD为BE的中垂线
所以AB=AE，∠1=∠B
因为AB+BD=DC，EC+ED=DC
所以AB=EC
所以AE=EC
所以∠1=2∠C
即∠B=2∠C
说明：若图形中有垂线，则把垂线看作为等腰三角形底边上的高，用截取的方法构造等腰三角形的腰和底。