数学人教版八年级上册八上专题一
人教版八年级上册第一学期数学期末专题复习卷(一)全等三角形-优选
八年级数学期末专题复习卷(一)全等三角形(考试时间:90分钟满分:100分)一、选择题 (每题3分，共24分)1．不能使两个直角三角形全等的条件是( )A.一条直角边和它的对角对应相等B.斜边和一条直角边对应相等C.斜边和一锐角对应相等D.两个锐角对应相等2． 如图，BE AC ⊥于点D ，且AD CD =，BD ED =，则54ABC ∠=︒，则E ∠等于( )A 25° B. 27° C. 30° D. 45°3. 如图，//,//,AB DE AC DF AC DF =，下列条件中不能判断ABC DEF ∆≅∆的是( ) A. AB DE = B. B E ∠=∠ C. EF BC = D. //EF BC4. 如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点'M 、'N ，则图中的全等三角形共有( ) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对5. 如图，在长方形ABCD 中(AD AB >)，E 是BC 上一点，且DE DA =，AF DE ⊥，垂足为F .在下列结论中，不一定正确的是( )A. AFD DCE ∆≅∆B. 12AF AD =C. AB AF =D. BE AD DF =- 6. 如图，将ABC ∆绕着点C 顺时针旋转50后得到'''A B C ∆.若40A ∠=︒，'110B ∠=︒，则'BCA ∠的度数是( )A. 110°B. 80°C. 40°D. 30°7. 如图，ABC ∆中，B C ∠=∠，BD CF =，BE CD =，EDF α∠=则下列结论正确的是( ) A. 2180A α+∠=︒ B. 90A α+∠=︒ C. 290A α+∠=︒ D. 180A α+∠=︒8. 如图，AB BC ⊥，BE AC ⊥，12∠=∠，AD AB =，则( ) A. 1EFD ∠=∠ B.BE EC = C.BF DF CD -= D.//FD BC二、填空题(每题2分，共20分) 9. 如图，直线l 经过等边三角形ABC 的顶点B ，在l 上取点D 、E ，使120ADB CEB ∠=∠=︒. 若2AD =cm ，5CE =cm ，则DE = cm10. 如图，已知ABC ∆中，ABC ∠、ACB ∠的角平分线交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，OH BC ⊥于点H ，若60BAC ∠=︒，5OH =cm ，则BAD ∠= ，点O 到AB 的距离为 cm. 11. 如图，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在BE 上，125∠=︒，230∠=︒则3∠= . 12. 已知ABC ∆的三边长分别为3、5、7，DEF ∆的三边长分别为3、32x -、21x -，若这两个三角形全等，则x 的值为 . 13. 如图，AC BC =，DC EC =，90ACB ECD ∠=∠=︒，且38EBD ∠=︒，则AEB ∠= .14. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，下列四个结论:①DA 平分EDF ∠;②EB FC =;③AD 上的点与B 、C 两点的距离相等;④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等.其中，正确的结论有 (填序号). 15. 如图，有块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ，四边形AECF 的面积为 . 16. 如图，等边三角形ABC 的边长为1 cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为 cm.17. 如图，在24⨯的方格纸中，ABC ∆的3个顶点都在小正方形的顶点，这叫做格点三角形.作出另一个格点三角形DEF ，使DEF ABC ∆≅∆，这样的三角形共有 个. 18. 如图，ABC ∆中30A ∠=︒，E 是AC 边上的点，先将ABE ∆沿着BE 翻折，翻折后ABE ∆的AB 边交AC 于点D ，又将BCD ∆沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时82CDB ∠=︒，则原三角形的B ∠= .三、解答题(共56分)19. (6分)如图，点B 、F 、C 、E 在直线l 上(点F 、C 之间的距离不能直接测量)，点A 、D 在l 异侧，测得AB DE =、AC DF =、BF EC =. (1)求证: ABC DEF ∆≅∆.(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由.20. (6分)如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在AB 、AC 上，CE BC =，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CF ，连接EF . (1)补充完成图形.(2)若//EF CD ，求证: 90BDC ∠=︒.21. (6分)如图，已知: 90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠.求证: (1) AM 平分DAB ∠. (2) AD AB CD =+.22. (6分)如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ BE ⊥于点Q ，DP AQ ⊥于点P . (1)求证:AP BQ =.(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.23. (8分)如图，已知D 为等腰直角三角形ABC 内一点，15CAD CBD ∠=∠=︒，E 为AD 延长线上的一点，且CE CA =. (1)求证:DE 平分BDC ∠.(2)若点M 在DE 上，且DC DM =，求证:ME BD =.24. 24.(8分)如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形.(1)若固定三根木条AB 、BC 、AD 不动，2AB AD ==cm ，5BC =cm ，如图，量得第四根木条5CD =cm ，判断此时B ∠与D ∠是否相等，并说明理由.(2)若固定一根木条AB 不动，2AB =cm ，量得木条5CD =cm ，如果木条AD 、BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上;当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD 、BC 的长度.25. (8分)(1)如图①，以ABC ∆的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ，试判断ABC ∆与AEG ∆面积之间的关系，并说明理由.(2)园林小路，曲径通幽，如图②所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a m 2，内圈的所有三角形的面积之和是b m 2，这条小路一共占地多少平方米?26. (8分)如图，在四边形ABCD 中，8AD BC ==，AB CD =，12BD =，点E 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿DA 向点A 匀速移动，点F 从点C 出发，以每秒3个单位长度的速度沿C B C →→作匀速移动，点G 从点B 出发沿BD 向点D 移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t ts. (1)试证明://AD BC .(2)在移动过程中，小明发现有DEG ∆与BFG ∆全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次?并分别求出此时的移动时间和G 点的移动距离.参考答案一、1. D 2. B 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. D 二、9.3 10.30︒ 5 11.55︒ 12.313. 128︒14.①②③④15.16 16.3 17.7 18.78︒三、19.略 20. (1)略(2)由旋转的性质得，DC FC =，90DCF ∠=︒ 所以90DCE ECF ∠+∠=︒ 因为90ACB ∠=︒所以90DCE BCD ∠+∠=︒ 所以ECF BCD ∠=∠因为//EF CD所以180EFC DCF ∠+∠=︒ 所以90EFC ∠=︒在BDC ∆和EFC ∆，DC FC BCD ECF BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()BDC EFC SAS ∆≅∆所以90BDC EFC ∠=∠=︒ 21. (1)过M 作MH AD ⊥于点H因为DM 平分ADC ∠，MC DC ⊥，MH AD ⊥ 所以CM HM = 又因为BM CM = 所以MH BM =因为MH AD ⊥，MB AB ⊥ 所以AM 平分DAB ∠AM (2)因为CDM HDM ∠=∠ 所以CMD HMD ∠=∠又因为DC MC ⊥，DH MH ⊥ 所以DC DH = 同理:AB AH =因为AD DH AH =+ 所以AD AB CD =+ 22. (1)因为正方形ABCD所以AD BA =，90BAD ∠=︒ 即90BAQ DAP ∠+∠=︒ 因为DP AQ ⊥所以90ADP DAP ∠+∠=︒ 所以BAQ ADP ∠=∠ 因为AQ BE ⊥，DP AQ ⊥ 所以90AQB DPA ∠=∠=︒ 所以AQB DPA ∆≅∆ 所以AP BQ =(2)①AQ AP PQ -= ②AQ BQ PQ -= ③DP AP PQ -= ④DP BQ PQ -=23. (1)因为ABC ∆是等腰直角三角形所以45BAC ABC ∠=∠=︒因为15CAD CBD ∠=∠=︒所以451530BAD ABD ∠=∠=︒-︒=︒ 所以BD AD =所以点D 在AB 的垂直平分线上 因为AC BC =所以点C 也在AB 的垂直平分线上 即直线CD 是AB 的垂直平分线所以45ACD BCD ∠=∠=︒ 所以451560CDE ∠=︒+︒=︒所以60BDE DBA BAD ∠=∠+∠=︒ 所以CDE BDE ∠=∠ 即DE 平分BDC ∠ ( 2 )连接MC因为DC DM =，且60MDC ∠=︒ 所以MDC ∆是等边三角形所以CM CD =，60DMC MDC ∠=∠=︒因为180ADC MDC ∠+∠=︒，180DMC EMC ∠+∠=︒ 所以EMC ADC ∠=∠ 又因为CE CA =所以DAC CEM ∠=∠在ADC ∆与EMC ∆中ADC EMC DAC MEC AC EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()ADC EMC AAS ∆≅∆ 所以ME AD BD == 24. (1)相等.理由：连接AC在ACD ∆和ACB ∆中，AC AC AD AB CD BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以ACD ACB ∆≅∆ 所以B D ∠=∠(2)设AD x =，BC y =当点C 在点D 右侧时25(2)530x y x y +=+⎧⎨+++=⎩解得1310x y =⎧⎨=⎩当点C 在点D 左侧时 52(2)530y x x y =++⎧⎨+++=⎩ 解得815x y =⎧⎨=⎩此时17,5,5AC CD AD === 5817+<不合题意所以13AD =cm ，10BC =cm. 25. (1)ABC ∆与AEG ∆面积相等理由:过点C 作CM AB ⊥于点M ，过点G 作GN EA ⊥交EA 延长线于点N 则90AMC ANG ∠=∠=︒因为四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形所以90BAE CAG ∠=∠=︒，AB AE =，AC AG = 因为360BAE CAG BAC EAG ∠+∠+∠+∠=︒ 所以180BAC EAG ∠+∠=︒ 因为180EAG GAN ∠+∠=︒ 所以BAC GAN ∠=∠在ACM ∆和AGN ∆中MAC NAG AMC ANG AC AG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以ACM AGN ∆≅∆ 所以CM GN = 因为12ABC S AB CM ∆=g ，12AEG S AE GN ∆=g 所以ABCAEG S S ∆∆=(2)由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和.所以这条小路的面积为(2)a b +m 2.26. (1)在ABD ∆和CDB ∆中，AD BC AB CD BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以ABD CDB ∆≅∆ 所以ADB CBD ∠=∠所以//AD BC(2)设G 点的移动距离为y ，当DEG ∆与BFG ∆全等时有EDG FBG ∠=∠ 所以DE BF =，DG BG =或DE BG =，DG BF = 当点F 由点C 到点B即803t <≤时，则有8312t t y y =-⎧⎨=-⎩解得26t y =⎧⎨=⎩或8312t y t y =⎧⎨-=-⎩ 解得22t y =-⎧⎨=-⎩(舍去)当点F 由点B 到点C即81633t <≤时，有3812t t y y=-⎧⎨=-⎩ 解得46t y =⎧⎨=⎩或3812t y t y=⎧⎨-=-⎩ 解得55t y =⎧⎨=⎩综上可知共会出现3次，移动的时间分别为2s 、4s 、5s ，移动的距离分别为6、6、5。
人教版八年级数学上册小专题(一)与三角形的角平分线有关的角度计算(选做)
(2)题(1)中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为
“∠A＝70°”，求∠BOC的度数；
1 ∠BOC＝90° ＋ ∠A＝125° 2
(3)若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
1 ∠BOC＝90° ＋ n° 2
模型2 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 方法归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于 一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半．
如图，在△ABC 中，BD、CD 分别是△ABC 外角 1 ∠EBC、∠FCB 的平分线，则∠BDC＝90° － ∠A. 2
6．如图，在△ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的角平分 60° ． 线的交点，若∠A＝60°，则∠P＝________
7．一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是 锐角 三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”) ________
(2)若图形发生了变化，已知的两个角度数改为： 15° ； 当∠B＝30°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________ 5° ； 当∠B＝50°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________ 0° ； 当∠B＝60°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________ 5° 当∠B＝70°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________.
小专题(一)
与三角形的角平分线有关的角度计算
模型1
两个内角平分线的夹角
方法归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形 成的夹角的度数等于90°加上第三角度数的一半．
如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线 1 相交于点 O，则∠BOC＝90° ＋ ∠A. 2
1.如图，点O是△ABC的∠ABC与∠ACB两个角的平分线 56 的交点，若∠BOC＝118°，则∠A的角度是________ °
人教版八年级上册数学等腰三角形知识点及对应练习(附参考解析)
等腰三角形一、知识梳理：专题一：等腰三角形概念及性质；等腰三角形的判定.二、考点分类考点一：等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。
【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm 时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．考点二：等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．【类型一】利用“等边对等角”求角度【例2】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A ．65°或50° B．80°或40° C ．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．解析：设∠A ＝x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x .∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝2x .在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠ACB ＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x .① ②【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】 如图②，已知△ABC 为等腰三角形，BD 、CE 为底角的平分线，且∠DBC ＝∠F ，求证：EC ∥DF .解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠ACB ，根据角平分线定义得到∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】 如图①，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG－DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC .方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题【例6】 如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可证得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形；由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也符合题意；(2)BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC .(2)AD 与BE 垂直．证明：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE .(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE ＝DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，BE ＝BE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL)，∴AB ＝BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC＝10.① ②考点三：等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定；(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．【类型一】 确定等腰三角形的个数 【例7】 如图②，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD的角平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】 在坐标系中确定三角形的个数【例8】 已知平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，3)，在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6解析：因为△AOP 为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO ＝AP (有一个)．此时只要以A 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于O 点和另一个点，另一个点就是点P ；(2)AO＝OP (有两个)．此时只要以O 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于两个点，这两个点就是P 的两种选择；(3)AP ＝OP (一个)．作AO 的中垂线与y 轴有一个交点，该交点就是点P 的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B. 方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．【类型三】 判定一个三角形是等腰三角形【例9】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△BDE ≌△CEF (SAS)，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．经典例题考点一：等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为考点二：等腰三角形的性质【例3】已知等腰△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，求∠C 的度数。
人教版八年级数学上册等腰三角形1课题学习最短路径问题(含答案)
13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF 和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP 长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【温馨提示】1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．参考答案:1．①②③解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BE=CF，∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=12(180°－∠A)=12(180°－40°)=70°．∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．（2）AD与BE垂直．证明：∵BE 为∠ABC 的平分线，∴∠ABE=∠DBE. 又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合．∴A 、D 是对称点．∴AD ⊥BE ．（3）∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE=DE ．在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，AE =DE BE =BE ⎧⎨⎩，， ∴Rt △ABE ≌Rt △DBE （HL ）．∴AB=BD ．又△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形．∴DE=DC．即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6 解析：连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA－60°．∴△OPA≌△PDB．∵AO=3，∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．∴△ODE是等边三角形．（2）BD=DE=EC．其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°．∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°．∴∠DBO=∠DOB．∴DB=DO．同理，EC=EO．∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12－2t．解得t=4．∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设△AMN 是等腰三角形，∴AN=AM ．∴∠AMN=∠ANM ．∴∠AMC=∠ANB ．∵AB=BC=AC ，∴△ACB 是等边三角形．∴∠C=∠B ．在△ACM 和△ABN 中，AC AB C B AMC ANB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠，∠∠， ∴△ACM ≌△ABN ．∴CM=BN．设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．y－12=36－2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．8．解：如图，作点B关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C，则这个基地建在C处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.。
人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
人教版初中八年级上册数学方法技巧专题练习：三角形中有关角度的计算
方法技巧专题：三角形中有关角度的计算——全方位求角度，一网搜罗◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C＝________.3．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠A－∠C＝30°，则∠A＝________°，∠C＝________°.4．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．◆类型二综合内、外角的性质求角度5．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为()A．40°B．60°C．80°D．100°6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC的度数．7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．◆类型三在三角板或直尺中求角度8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为()A．60°B．50°C．40°D．30°第8题图第9题图9．(2016－2017·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．75°B．90°C．105°D．120°10．(2016－2017·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________；(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX 的大小．◆类型四与平行线结合求角度12．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于()A．60°B．25°C．35°D．45°第12题图第13题图13．(2016·丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．◆类型五与截取或折叠结合求角度14．如图，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC等于()A．42°B．66°C．69°D．77°第14题图第15题图15．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么∠1＋∠2的度数为()A．120°B．180°C．240°D．300°16．★如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部A′处，已知∠1＋∠2＝80°，则∠A的度数为________．【变式题】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部C′处，若∠1＝20°，求∠2的度数．参考答案与解析1．A 2.67.5° 3.90604．解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，即2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝2x＝72°.在△BDC中，∠DBC＝180°－90°－∠C＝18°.5．C6．解：∵∠1＝∠2，∠B＝40°，∴∠2＝∠1＝(180°－40°)÷2＝70°.又∵∠2是△ADC的外角，∴∠2＝∠3＋∠4.∵∠3＝∠4，∴∠2＝2∠3，∴∠3＝12∠2＝35°，∴∠BAC＝∠1＋∠3＝105°.7．(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD －∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.(2)解：设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°.由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°.在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，即3x°＋2(x＋50)°＝180°，解得x＝16.∴∠E＝48°.8．D9.C10.C11．解：(1)150°90°(2)不变化．因为∠A＝30°，所以∠ABC＋∠ACB＝150°.因为∠X＝90°，所以∠XBC＋∠XCB＝90°，所以∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°.12．C13.70°14.C15．C解析：因为∠1＝180°－∠AMN，∠2＝180°－∠ANM，所以∠1＋∠2＝360°－(∠ANM ＋∠AMN)．又因为∠ANM＋∠AMN＝180°－∠A＝120°，所以∠1＋∠2＝240°.故选C.16．40°解析：由折叠的性质得∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE.因为∠1＋∠A′EA＝180°，∠2＋∠A′DA＝180°，所以∠1＋∠2＋2∠AED＋2∠ADE＝360°，所以∠AED＋∠ADE＝140°，所以∠A＝40°.【变式题】解：如图，因为∠A＝65°，∠B＝75°，所以∠CEF＋∠CFE＝∠A＋∠B＝140°，所以∠CEF ＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE＝280°，所以∠2＝360°－(∠CEF＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE)－∠1＝360°－280°－20°＝60°.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 三角形折叠求角(解析版)
三角形折叠求角类型一 三角形折叠1．如图 在折纸活动中 小明制作了一张三角形纸片(即ABC ∆) 点D 、E 分别在边AB 、AC 上 将ABC ∆沿着DE 折叠压平后点A 与'A 重合 若75A ∠=︒ 则12∠+∠= ( )A ．150︒B ．210︒C ．105︒D ．75︒【答案】A【解析】【分析】 连接A A ' 根据折叠的性质可得∠EA D '=∠EAD=75° 然后根据三角形外角的性质和等量代换即可得出结论．【详解】解：连接A A '由折叠的性质可得∠EA D'=∠EAD=75°∠∠1和∠2分别为∠EA A'和∠DA A'的外角∠∠1=∠EA A'＋∠EAA'∠2=∠DA A'＋∠DAA'∠∠1＋∠2=∠EA A'＋∠EAA'＋∠DA A'＋∠DAA'=（∠EA A'＋∠DA A'）＋（∠EAA'＋∠DAA'）=∠EA D'＋∠EAD=150°故选A．【点睛】此题考查的是三角形中的折叠问题掌握折叠的性质和三角形外角的性质是解决此题的关键．2．如图把△ABC纸片沿DE折叠当A落在四边形BCDE内时则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【解析】【分析】本题问的是关于角的问题当然与折叠中的角是有关系的∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角结合△AED的内角和为180°可求出答案．【详解】∠∠ABC纸片沿DE折叠∠∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°∠∠AED=12(180°−∠1),∠ADE=12(180°−∠2)∠∠AED+∠ADE=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°−12(∠1+∠2)]= 12(∠1+∠2)则2∠A=∠1+∠2 故选择B项.【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质 解题的关键是掌握折叠的性质.3．已知：如图所示 将△ABC 的∠C 沿DE 折叠 点C 落在点C '处 设,C α∠= ∠AEC ′=β ∠BDC '=γ 则下列关系式成立的是（ ）A ．2α=β+γB ．α=β+γC ．α+β+γ=180°D ．α+β=2γ【答案】A【解析】【分析】 通过平角关系用∠CEC ′、∠CDC ′表示出β、γ 通过三角形的内角和用∠CEC ′、∠CDC ′表示出∠C 、∠C ′ 计算可得结论．【详解】解：由折叠的性质知：∠C =∠C ′=α．∠∠AEC ′+∠CEC ′=180° ∠BDC ′+∠CDC ′=180°∠β=180°-∠CEC ′ γ=180°-∠CDC ′．∠β+γ=360°-∠CEC ′-∠CDC ′．∠∠C +∠CEC ′+CDC ′+∠C ′=360°∠2α=360°-∠CEC ′-∠CDC ′．∠β+γ=2α．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和 掌握折叠的性质 用含∠CEC ′、∠CDC ′表示出α、β、γ是解决本题的关键． 4．如图,将∠ABC 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【解析】【分析】 由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠,再利用平角的定义可求出BED BDE ∠+∠的度数 进而利用三角形内角和可求∠B 的度数.【详解】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠∠1'180,2'180BED B ED BDE B DE ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ ∠11(36012)(36080)14022BED BDE ∠+∠=︒-∠-∠=⨯︒-︒=︒ ∠180()18014040B BED BDE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理 掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键. 5．如图 三角形纸片ABC 中 ∠A ＝65° ∠B ＝75° 将∠C 沿DE 对折 使点C 落在∠ABC 外的点C′处 若∠1＝20° 则∠2的度数为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C【解析】【分析】 先根据平角的定义和翻折变换的性质求出∠DEC 再根据三角形内角和定理求出∠CDE 即可得出答案.解：∠A=65° ∠B=75° ∠1＝20°∠∠C=∠C′ =180°-∠A -∠B=40°由翻折变换的性质可得：∠DEC=∠DE C′∠DEC+∠DEB=∠DEC+∠DE C′-∠1=180°∠∠DEC=100°∠∠CDE=∠ED C′=180°-∠C -∠DEC=40°∠∠2=180°-∠CDE -∠ED C′=100°.故选C.【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质与三角形内角和定理 解题关键是准确识图 理清题目中角的关系. 6．如图 将三角形纸片ABC 沿DE 折叠 当点A 落在四边形BCED 的外部时 测量得∠1＝70° ∠2＝132° 则∠A 为（ ）A ．40°B ．22°C ．30°D ．52°【答案】B【解析】【分析】 利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠ 再利用三角形的内角和定理可得结果．【详解】∠1=70∠︒ 2=132∠︒∠3601236070132158B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠180()18015822A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒故选：B ．本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理 关键是运用多边形的内角和定理求出B C ∠+∠的度数．7．如图所示 把ABC 沿直线DE 翻折后得到A DE ' 如果36A EC '∠=︒ 那么AED =∠___度．【答案】72【解析】【分析】根据折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变 只是位置改变 对应边和对应角相等 可以得到AED A ED '∠=∠ 再根据平角的定义即可求解．【详解】 ABC 沿直线DE 翻折后得到A DE '∴AED A ED '∠=∠180AED A ED A EC ''∠+∠+∠=︒ 36A EC '∠=︒∴18036722AED ︒-︒∠==︒． 故答案为：72．【点睛】本题考查了折叠的性质 三角形折叠中的角度问题 它属于轴对称 熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 8．如图 把ABC 纸片沿DE 折叠 使点B 落在图中的B '处 设'B ∠EC ∠= 1 'B ∠DA ∠=2.若B ∠=25︒ 则∠2∠-1=______︒【答案】50【解析】【分析】由折叠性质求得'25B ∠=︒ 由三角形的外角性质 用1∠表示 2∠ 进而求得21∠-∠．【详解】解：25B ∠=︒'25B B ∠∠∴==︒31'125B ∠∠∠∠=+=+︒2312525B ∠∠∠∠=+=+︒+︒2150∠∠∴-=︒故答案为50．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质 折叠的性质 关键是根据三角形的外角的性质表示出1∠与2∠的关系式．类型二多边形折叠9．如图将四边形纸片ABCD沿EF折叠点A落在A1处若∠1+∠2＝90°则∠A的度数是（）A．45°B．40°C．35°D．30°【答案】A【解析】【分析】根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3+∠4 再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∠四边形纸片ABCD沿EF折叠点A落在A1处∠∠3+∠4=12（180°-∠1）+12（180°-∠2）=180°-12（∠1+∠2）∠∠1+∠2=90°∠∠3+∠4=180°-12×90°=180°-45°=135°在∠AEF中∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理翻折变换的性质平角的定义熟记各性质并整体思想的利用是解题的关键．10．如图所示在四边形纸片ABCD中∠A=80° ∠B=70° 将纸片沿着MN折叠使C D分别落在直线AB 上的C'D处则∠AMD'+∠BNC'等于（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】B【解析】【分析】 首先根据四边形内角和定理可得∠D+∠C=210° 再利用折叠性质可得∠'MD B =∠D ∠'NC A =∠C 即∠'MD B +∠'NC A =210° 从而得出∠'MD A +∠'NC B =150° 最后进一步利用三角形内角和定理求解即可.【详解】∠∠A=80° ∠B=70°∠∠D+∠C=360°−∠A −∠B=210°由折叠性质可得：∠'MD B =∠D ∠'NC A =∠C∠∠'MD B +∠'NC A =210°∠∠'MD A +∠'NC B =360°−(∠'MD B +∠'NC A )=150°∠∠'AMD +∠'BNC =360°−(∠'MD A +∠'NC B )−(∠A +∠B )=60°故选：B .【点睛】本题主要考查了三角形与四边形内角和定理以及折叠的性质 熟练掌握相关概念是解题关键.11．如图所示 将三角形纸片ABC 沿DE 折叠 使点B 落在点B ′处 若EB ′恰好与BC 平行 且∠B ＝80° 则∠CDE ＝_____°．【答案】130【解析】【分析】先求出∠B=∠B′=80° ∠BDE=∠B′DE根据平行线的性质得到∠B′DC=80° 进而得到∠BD B′=100° ∠BDE=50° 即可求出∠CDE＝130°．【详解】解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80° ∠BDE=∠B′DE∠EB′∠BC∠∠B′=∠B′DC=80°∠∠BD B′=180°-∠B′DC=100°∠∠BDE=∠B′DE=50°∠∠CDE＝180°-∠BDE=130°．故答案为：130【点睛】本题考查了折叠的定义平行线的性质邻补角的定义等知识熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键．12．如图△ABC中将边BC沿虚线翻折若∠1+∠2=102°,则∠A的度数是______．【答案】51°【解析】【分析】延长折叠后的直线交于A’ 根据折叠的性质及内角和即可求解.【详解】如图延长折叠后的直线交于A’由于折叠∠∠1+2∠3=180° ∠2+2∠4=180°∠∠1+∠2=102° ∠1+2∠3+∠2+2∠4=360°∠2∠3+2∠4=258°∠∠3+∠4=129°∠∠A=∠A’=180°-（∠3+∠4）=51°【点睛】此题主要考查折叠的性质 解题的关键是根据折叠作出辅助线进行求解.13．将一张纸如图所示折叠后压平 点F 在线段BC 上 EF 、GF 为两条折痕 若∠1＝57° ∠2＝20° ∠3的度数_____度【答案】23【解析】【分析】根据折叠的性质可知 1EFB '∠=∠ 3GFC '∠=∠ 然后对123180EFB GFC '∠+∠+∠+∠+∠'=︒计算求解即可．【详解】解：由折叠的性质可知 157EFB '∠=∠=︒ 3GFC '∠=∠∠123180EFB GFC '∠+∠+∠+∠+∠'=︒ ∠1805757203232︒-︒-︒-︒∠==︒ 故答案为：23°．【点睛】本题考查了折叠的性质 角的计算．解题的关键在于找出角度的数量关系．14．利用折纸可以作出角平分线 如图1则OC 为AOB ∠的平分线 如图2、图3 折叠长方形纸片 OC OD 均是折痕 折叠后 点A 落在点'A 点B 落在点'B 连接'OA ．①如图2 若点'B 恰好落在'OA 上 且32AOC ∠=︒ 则BOD ∠=__________；②如图3 当点'B 在'COA ∠的内部时 连接'OB 若44AOC ∠=︒ 61BOD ∠=︒ 求''A OB ∠的度数为__________．【答案】 58︒ 30【解析】【分析】①由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠ 根据180AOC A OC BOD B OD ''∠+∠+∠+∠=︒ 计算求解即可；② 由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠ 根据180AOC A OC A OD BOD ''∠+∠+∠+∠=︒ 求出A OD '∠的值 进而根据A OB B OD A OD ''''∠=∠-∠计算求解即可．【详解】解：①由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠∠180AOC A OC BOD B OD ''∠+∠+∠+∠=︒ 32AOC ∠=︒∠58BOD ∠=︒故答案为：58°．②由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠∠180AOC A OC A OD BOD ''∠+∠+∠+∠=︒ 44AOC ∠=︒ 61BOD ∠=︒∠1802446131A OD '∠=︒-⨯︒-︒=︒∠30A OB B OD A OD ''''∠=∠-∠=︒故答案为：30°．【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于找出角度的数量关系．类型三 多次折叠15．如图所示 把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后 3个顶点不重合 那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（）A．180°B．270°C．360°D．无法确定【答案】C【解析】【详解】由题意知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'∠∠B=∠B' ∠C=∠C' ∠A=∠A'∠∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360° 故选C．16．如图将∠ABC沿DE、HG、EF翻折三个顶点均落在点O处若∠1＝131° 则∠2的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．52°【答案】A【解析】【分析】先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B∠DOE＝∠A∠EOF＝∠C根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．【详解】由折叠得：∠HOG＝∠B∠DOE＝∠A∠EOF＝∠C∠∠A+∠B+∠C＝180°∠∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°∠∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°∠∠1+∠2＝180°∠∠1＝131°∠∠2＝180°﹣131°＝49°故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和解题的关键是掌握折叠的性质、三角形内角和.17．如图a是长方形纸带∠DEF=25° 将纸带沿EF折叠成图b 再沿BF折叠成图c 则图c中的∠CFE的度数是____________°．【答案】105°【解析】【详解】由图a知∠EFC=155°.图b中∠EFC=155° 则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.图c中∠GFC=130° 则∠CFE=130°-25°=105°.故答案为105°.点睛：在长方形的折叠问题中因为有平行线和角平分线所以存在一个基本的图形等腰三角形即图b中的等腰∠CEF其中CE=CF这个等腰三角形是解决本题的关键所在.18．如图1 ∠ABC中沿∠BAC的平分线AB1折叠剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠点B n与点C重合无论折叠多少次只要最后一次恰好重合我们就称∠BAC是∠ABC的好角.（1）如图2 在∠ABC中∠B>∠C 若经过两次折叠∠BAC是∠ABC的好角则∠B与∠C的等量关系是_______；（2）如果一个三角形的最小角是20° 则此三角形的最大角为______时该三角形的三个角均是此三角形的好角．【答案】 B 2C ∠∠= 140°、120°或80°【解析】【分析】（1）根据折叠性质可得∠A 1B 1B 2=∠C ∠AA 1B 1=∠B 由三角形外角性质可得∠AA 1B 1=2∠C 根据等量代换可得∠B=2∠C ；（2）先求出经过三次折叠 ∠BAC 是△ABC 的好角时 ∠B 与∠C 的等量关系为∠B=3∠C 进而可得经过n 次折叠 ∠BAC 是△ABC 的好角时∠B 与∠C 的等量关系为∠B=n∠C 因为最小角是20º 是△ABC 的好角 根据好角定义 设另两角分别为20mº 4mn° 由题意得20m+20mn+20=180° 所以m(n+1)=8 再根据m 、n 都是正整数可得m 与n+1是8的整数因子 从而可以求得结果．【详解】（1）根据折叠性质得∠B=∠AA 1B 1 ∠A 1B 1B 2=∠C∠∠AA 1B 1=∠A 1B 1B 2+∠C∠∠B=2∠C故答案为∠B=2∠C（2）如图：∠根据折叠的性质知 ∠B=∠AA 1B 1 ∠C=∠A 2B 2C ∠A 1B 1C=∠A 1A 2B 2∠根据三角形的外角定理知 ∠A 1A 2B 2=∠C+∠A 2B 2C=2∠C ；∠根据四边形的外角定理知 ∠BAC+∠B+∠AA 1B 1-∠A 1B 1C=∠BAC+2∠B -2∠C=180°根据三角形ABC 的内角和定理知 ∠BAC+∠B+∠C=180°∠∠B=3∠C ；∠当∠B=2∠C 时 ∠BAC 是△ABC 的好角；当∠B=3∠C 时 ∠BAC 是△ABC 的好角；故若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角 则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为∠B=n∠C ； ∠最小角为20°∠设另两个角为20m°和20mn°∠20°+20m°+20mn°=180° 即m(1+n)=8∠m 、n 为整数∠m=1 1+n=8；或m=2 1+n=4；或m=4 1+n=2.解得：m=1 n=7；m=2 n=3 m=4 n=1∠另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°∠此三角形最大角为140°、120°或80°时 三个角均是此三角形的好角.故答案为140°、120°或80°【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键．19．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 点A 在射线OP 上运动 点B 在射线OM 上运动 连接AB ．（1）如图1 已知AC BC 分别是BAP ∠和ABM ∠角的平分线①点A B 在运动的过程中 ACB ∠的大小是否发生变化？若发生变化 请说明理由；若不发生变化 试求出ACB ∠的大小．②如图2 将ABC ∆沿直线AB 折叠 若点C 落在直线PQ 上 记作点C ' 则ABO ∠=_______︒；如图3 将ABC ∆沿直线AB 折叠 若点C 落在直线MN 上 记作点C '' 则ABO ∠=________︒．（2）如图4 延长BA 至G 已知BAO ∠ OAG ∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线交其延长线交于E F 在AEF ∆中 如果有一个角是另一个角的32倍 求ABO ∠的度数． 【答案】（1）∠ACB 的大小不会发生变化 ∠ACB =45°；（2）30 60；（3）60°或72°．【解析】【分析】（1）①由直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 得到∠AOB=90° 根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270° 根据角平分线的定义得到∠BAC=12∠PAB ∠ABC=12∠ABM 于是得到结论；②图2中 由于将∠ABC 沿直线AB 折叠 若点C 落在直线PQ 上 得到∠CAB=∠BAQ 由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB 根据三角形的内角和即可得到结论；图3中根据将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线MN上得到∠ABC=∠ABN 由于BC平分∠ABM 得到∠ABC=∠MBC 于是得到结论；（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO ∠EOQ=12∠BOQ 进而得出∠E的度数由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90° 在∠AEF中由一个角是另一个角的32倍分情况进行分类讨论即可解答．【详解】（1）①∠ACB的大小不变∠直线MN与直线PQ垂直相交于O∠∠AOB=90°∠∠OAB+∠OBA=90°∠∠PAB+∠ABM=270°∠AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线∠∠BAC=12∠PAB ∠ABC=12∠ABM∠∠BAC+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°∠∠ACB=45°；②∠图2中将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线PQ上∠∠CAB=∠BAQ∠AC平分∠PAB∠∠PAC=∠CAB∠∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°∠∠AOB=90°∠∠ABO=30°∠图3中将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线MN上∠∠ABC=∠ABN∠BC平分∠ABM∠∠ABC=∠MBC∠∠MBC=∠ABC=∠ABN∠∠ABO=60°故答案为：30 60；（2）∠∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E∠∠EAO=12∠BAO ∠EOQ=12∠BOQ∠∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO∠AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线∠∠EAF=90°．在∠AEF中∠有一个角是另一个角的32倍故有：①∠EAF=32∠E ∠E=60° ∠ABO=120°（不合题意舍去）；②∠EAF=32∠F ∠E=30° ∠ABO=60°；③∠F=32∠E ∠E=36° ∠ABO=72°；④∠E=32∠F ∠E=54° ∠ABO=108°（不合题意舍去）；．∠∠ABO为60°或72°．【点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问题的时候一定要注意外角与内角之间的联系不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想.。
数学人教版八年级上册中点专题——倍长中线法
《中点专题——倍长中线》教学设计科目数学时间2016年9月8日课题中点专题——倍长中线课型新授课教学内容分析在三角形或有关复合图形中中点的问题经常出现，若能以一个专题的形式向学生展示，学生会掌握得更好。
倍长中线的方法是在人教版八上数学《全等三角形》有关的习题出现，它是以学生已学的全等三角形的性质为载体，在知识储备上是没问题的。
学情分析作辅助线解题对于学生来说是薄弱点，此专题更适合在初三中点专题学习中，在讲完直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线、等腰三角形三线合一等有关图形的辅助线添加后学习，有助于他们对中点出现的情况系统归纳。
由于晒课的时间限制，本节晒课的学生是我校新学年刚升上初三的学生，他们大部分基础较薄弱，抽象思维能力和分析问题的能力也较欠缺。
学习目标知识技能1、理解倍长中线的意义，掌握添加辅助线的方法。
2、能从复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的基础图形特点，灵活运用这种方法转移相等的边或角。
3、经历观察、猜想、推理的过程，进一步发展思维能力。
数学思想初步体会转化、类比的数学思想并养成归纳问题的良好习惯，提高分析和解决问题的能力。
情感态度通过探究复合图形中利用倍长中线法解决问题过程，培养积极探索、勇于创新的精神，体验学习数学的成功感。
教学重难点教学重点：1、理解倍长中线的意义和添加辅助线的方法；2、学会辨别适用倍长中线法的图形特点。
教学难点：在复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的图形部分，正确作图。
学习方法自主探究合作交流启发引导教学资源PPT课堂教学实施设计教学流程教师活动学生活动设计意图中点情况引入一、情况引入：分别提问：若中点出现在直角三角形的斜边上、等腰三角形的底边上、三角形的两边上、三角形的一条边上，你会想到什么？1. 直角三角形斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2. 等腰三角形三线合一定理：等腰三角形底边上的中线= 底边上的高= 顶角平分线3. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半.4. 三角形中线：提出质疑：三角形的中线没有定理，若有这样的条件，应怎样解决，下面我们一起来探究。
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A E F C D
O A
P C B E F 八年级上学期几何专题复习 （一）
专题一: 基础知识
一、精心选一选
1、下列说法正确的个数为 （ ） （1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等图形 （2）所有的三角形都是全等图形 （3）面积相等的两个图形是全等图形 （4）面积相等的两个正方形是全等图形
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图，△ABC≌△BAD，A 和B 、C 和D 分别是对应顶点，如果AB=6cm ，BD=7cm ，AD=4cm ，那么BC 的长为 A ．6cm B ．5cm C ．4cm D ．不能确定
3.如图,AD ∥BC,AD=BC,AC 与BD 交于点O,EF 过点O 并分别交AD 、BC 于E 、F, 则图中的全等三角形共有 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4. 在下列两个三角形中对应相等各条件中，不能判定两个三角形全等的是 （ ）
A 、两边及其夹角
B 、两角和一边
C 、三边
D 、两边和其中一边的对角
5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 垂足为D ，∠A=40°，∠DBC= （ ） A 、40° B 、
30° C 、20°D 、50°
6.如图，P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，下列结论中不正确的是 （ ） A ．PE PF = B ．AE AF = C ．△APE ≌△APF D ．AP PE PF =+
7.如图所示，已知AB=AD ，CB=CD ，则在以下各结论中，正确的结论为①∠B=∠D ；②∠A=∠
C ；③AC 垂直平分B
D ；④BD 垂直平分AC. （ ）
A ①② B.①③ C.③④ D.②④
第2题图 第3题图 第7题图 第6题图
第5题图
A B
N C D P
M
Q 8、若一个三角形的三边长分别为3、5、7，另一个三角形的三边长分别为3、3x －2、2x －1，则当x 为是何值时，这两个三角形全等 （ ）
A 、3
B 、4
C 、3
7
D 、不能确定
9 .如图,正方形纸片ABCD,M,N 分别是AD,BC 的中点,把BC 向上翻折,使点C 恰好落在MN 上的P 点处,BQ 为折痕,则∠PBQ 为 ( )
（A ）15° (B ）20 （C ）30 （D ）45°
10．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（
）
B. C.5 D.4
11．如图，∠BAC 与∠CBE 的平分线相交于点P ，BE=BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，下列结论：①GA=GP ；②::PAC
PAB
S
S
AC AB =；③BP 垂直平分CE ；④
FP=FC ；其中正确的判断有（ ）
A.只有①②
B.只有③④
C.只有①③④
D.①②③④
12、（2009年台湾）图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。
已知
甲的路线为：A →C →B 。
乙的路线为：A →D →E →F →B ，其中E 为AB 的中点。
丙的路线为：A →I →J →K →B ，其中J 在AB 上，且AJ >JB 。
若符号「→」表示「直线前进」，则根据图(三)、图(四)、图(五)的数据，判断三人行进路线
长度的大小关系为何？ (A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲 。
第10题图
第9题图
第11题图
第12题图
A
B C C
A 1
B 1
B D
E
M
A
二、细心填一填
12.（2009年清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且
11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．
13∠
14AB
15. 如图若∠
16．在数学活动课上，小明提出这样 一个问题：∠B =∠C =900
，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC,CED =350
， 如图，则∠EAB 是多少度？大家一起 热烈地讨论交流，小英第一个得出 正确答案，是_____．
17．如图,△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,AE =3cm ,△ABD 的周长为13cm ,则△ABC 的周长
为__________cm ．
18、(2009年云南省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM ． 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 ．（写出一个即可）
第12题图
第13题
第18题
第17题
D C B
A O 1
2 3
4
A
B
C
D
E
F
图7
三 用心做一做 19、（2008苏州市）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠．
求证：（1）ABC ADC △≌△； （2）BO DO =．
20、如图， AB = DC ，AC = BD ， AC 、BD 交于点E ，过E 点作EF//BC 交CD 于F ．
求证：21∠=∠。
21、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE ⊥AB 于点E ，AD=AC AF 平分∠CAB•交CE 于点F ，DF 的延长线交AC 于点G ， 求证：（1）DF ∥BC ；（2）FG=FE.
22、 如图，要在河的两岸A 、B 处建造观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A 、B 两点之间的距离。
请你用学过的全等三角形的知识按照下列要求设计一种测量方案。
（1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。
23、已知：∠ACE=90°，AC=CE ，B 为AE 上的一点，ED ⊥CB 于D ，AF ⊥CB 交CB 的延长线于F 。
求证：AF=CD
2
1
F D E
A
B A
F E
D
C 24、如图所示，已知
D 是等腰三角形ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为D
E 、D
F 。
请你指出当D 点在什么位置时，DF DE =？并加以证明。
26、在等腰直角△ABC 中，∠C=90°,AC=BC,D 是AB 上任一点，AE ⊥CD 于
E ，B
F ⊥CD 交CD 延长线于F ，CH ⊥AB 于H,交AE 于G.求证：（1）BD=C
G (2)DF=GE
27．（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ，
E 是AB 的中点，CE ⊥BD 。
（1） 求证：BE ＝AD ；
（2） 求证：AC 是线段ED 的垂直平分线； （3） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。
28、（2008浙江省台州市）CD 经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =．E F ，分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．
（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E F ，在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90BCA ∠=，90α∠=，
则BE CF ；EF
E A
F -（填“>”，“<”或“=”）；
②如图2，若0180B C A <∠<，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件 ，
使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF BE AF ，，三条
线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
答案
1、B 2 C; 3 C ; 4 D; 5 C; 6 D; 7 D; 8 A ; 9 C ; 10 ;
11 D ; 12 A ；13AD ；13 ∠C 40°;14 5 ; 15 60°10 16 35°；17 19；18 △MBD或△MDE或△EAD
27、证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1＝∠2
∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝AC
∴△BAD≌△CBE
∴AD＝BE
（2）∵E是AB中点，
∴EB＝EA
由（1）AD＝BE得：AE＝AD
∵AD∥BC
∴∠7＝∠ACB＝45°
∵∠6＝45°
∴∠6＝∠7
由等腰三角形的性质，得：EM＝MD，AM⊥DE。
即，AC是线段ED的垂直平分线。
28 （1）=、= 、180°。
其他：省略。