2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练20
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练50含解析
随堂巩固训练(50)1. 抛物线y ＝12x 2的焦点坐标为 ⎝⎛⎭⎫0，12 . 解析：将抛物线y ＝12x 2化为x 2＝2y ，所以p ＝1，p 2＝12，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12. 2. 在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为2. 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则有2b 2a ＝2且a 2c －c ＝1，解得e ＝22.3. 两条对称轴与坐标轴重合，离心率e ＝0.8，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的方程是 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 .解析：因为e ＝0.8，所以c a ＝45.又焦点到相应准线的距离为a 2c －c ＝94，所以⎝⎛⎭⎫54c 2c －c ＝94，解得c ＝4，则a ＝54c ＝5，b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，所以所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.4. 已知双曲线C ：x 216－y 2b 2＝1(b>0)的渐近线方程为3x±4y ＝0，则双曲线C 的准线方程为 x ＝±165.解析：由题意可知b 4＝34，解得b ＝3，则c 2＝a 2＋b 2＝25，c ＝5，故双曲线C 的准线方程为x ＝±165.5. 已知椭圆x 25＋y 24＝1的中心为A ，右准线为l ，则以A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为 y 2＝－20x .解析：椭圆的中心为原点，右准线方程为x ＝5，从而p2＝5，p ＝10.由题意可知，抛物线开口向左，故抛物线的标准方程为y 2＝－20x.6. 已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为43. 解析：设点A(x A ，y A )，由题意得x A ＋p2＝5，所以x A ＝4，所以y A ＝4，即点A(4，4)，所以直线AF 的斜率为4－04－1＝43.7. 若双曲线x 2m －y 2＝1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m ＝ 18.解析：由题意可得e ＝m ＋1m ，由双曲线的第二定义知，e ＝m ＋1m ＝3，解得m ＝18. 8. 若双曲线mx 2－2my 2＝4的一条准线是y ＝1，则实数m ＝ －23.解析：由题意得双曲线的实轴在y 轴上，则m<0，所以－2m－6m ＝1，解得m ＝－23.9. 平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足PA ＋PB ＝6，则PA 的取值范围是 [1，5] .解析：由题意得，动点P 在以A ，B 为焦点，长轴长为6的椭圆上，所以a ＝3，c ＝2，所以PA 的最小值为a －c ＝1，最大值为a ＋c ＝5，所以PA 的取值范围是[1，5].10. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A 在直线l 上，线段AF 与椭圆C 交于点B.若|FA →|＝3|FB →|，求|AF →|的值.解析：由题设知F(1，0)，直线l 的方程为x ＝2，离心率e ＝22. 设点B 到直线l 的距离为d ，则FB ＝22d ，所以AF ＝322d. 由三角形相似得d 1＝23，即d ＝23，所以|AF →|＝ 2.11. 已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上的点，点P 与两焦点F 1，F 2的连线互相垂直，且点P 到两准线的距离分别为d 1＝6，d 2＝12，求椭圆的方程.解析：由圆锥曲线的定义知PF 1＝ed 1，PF 2＝ed 2.因为PF 21＋PF 22＝F 1F 22，所以e 2d 21＋e 2d 22＝(2c)2，所以c 2a2(62＋122)＝4c 2，即a 2＝45.又PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4a 2， 即4c 2＋2e 2d 1d 2＝4a 2，即4c 2＋144c 2a2＝4a 2＝4×45，解得c 2＝45281＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，所以椭圆方程为x 245＋y 220＝1.12. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心离为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F距离的最小值为2.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点A 的直线l 与直线x ＝8交于点N ，当过A ，F ，N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程.解析：(1) 由题意知c a ＝12，a －c ＝2，所以a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12，所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2) 设点N(8，t)，圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为圆过点A(－4，0)，F(2，0)，N(8，t)，所以联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧（－4）2－4D ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，82＋t 2＋8D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－72＋t 2t，F ＝－8，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2x －(t ＋72t )y －8＝0，即(x ＋1)2＋[y －12(t ＋72t )]2＝9＋14⎝⎛⎭⎫t ＋72t 2.因为⎝⎛⎭⎫t ＋72t 2≥(272)2，当且仅当t ＝72t ，即t ＝±62时取等号，圆的半径最小， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x±122y －8＝0.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 10
随堂巩固训练(10)－1 2 1 1 2[ 1 x]，B＝[ 2 －1 ]，向量α＝[y]，若Aα＝Bα，1. 已知矩阵A＝求x＋y的值．1 －23 2[－1 －3 ]，向量α＝[－5 ]，β＝[4 ].求：2. 已知矩阵M＝(1) 向量2α＋3β在T M作用下的象；(2) 向量4Mα－3Mβ.1 0 －13. 已知矩阵 M ＝[ 1 0]，N ＝[ 10 ].在平面直角坐标系中，设直线 2x －y ＋1＝0 在矩阵 MN 的作用下得到曲线 F ，求曲线 F 的方程．cos θ －sin θ4. 在平面直角坐标系 xOy 中，先对曲线 C 作矩阵 A ＝[sin θ cos θ ](0<θ<2π)所对应1的变换，再将所得曲线作矩阵 B ＝[ 0k ](0<k <1)所对应的变换．若连续实施两次变－1换所对应的矩阵为[0]，求 k ，θ 的值．12答案与解析随堂巩固训练(10) 1. 解析：由已知，得－122－2＋2yAα＝[ 1x ][y ]＝[2＋xy ]，112 2＋y Bα＝[ 2－1][y ]＝[4－y ]. －2＋2y2＋y因为 Aα＝Bα，所以[2＋xy]＝[4－y ]，7 所以 x ＋y ＝ .232 122. 解析：(1) 因为 2α＋3β＝2[－5]＋3[4 ]＝[2 ]，1－2 128 所以 M (2α＋3β)＝[－1－3][2 ]＝[－18 ]. 8故向量 2α＋3β 在 T M 作用下的象为[－18].1－2 670(2) 4Mα－3Mβ＝M (4α－3β)＝[－1－3 ][－32 ]＝[90].1 0 －13. 解析：由题意得 M ＝[ 10 ]，N ＝[ 1]，1－1 1所以 MN ＝[ 1][1]＝[ 0－1].1x x对于直线 2x －y ＋1＝0 上的任意一点(x ，y )，有[ 0－1][y ]＝[－y ]，所以在矩阵 MN 对应的变换作用下，平面上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来纵坐标的相反数，故曲线 F 的方程为 2x ＋y ＋1＝0.4. 解析：依题意，－1 1cos θ －sin θBA ＝[ 0k][＝， sin θ cos θ ][10 ]2cos θ＝0， π －sin θ＝－1，θ＝ ， 2从而{k cos θ＝10.)因为 0<θ<2π，所以{.)k sin θ＝ ，1 2k ＝ 2。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练64含解析
随堂巩固训练(64)1. 在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ＋1 .n （n ＋1）2解析：由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.又a 1＝2＝＋1，符合上式，因此a n ＝（n －1）（2＋n ）2n （n ＋1）21×（1＋1）2＋1.n （n ＋1）22. 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝ .n －1n 1n 解析：方法一：因为a n ＝a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝×a n －2，…，a 2＝a 1，累乘n －1n n －2n －112得a n ＝1×××…×＝. 1223n －1n 1n方法二：因为a n ＝×××…×××a 1＝×××…×1＝. a na n －1a n －1a n －2a n －2a n －3a 3a 2a 2a 1n －1n n －2n －1n －1n －21n 3. 在数列{a n }中，若a n ＋1＝2a n ＋3，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ 2n ＋1－3 .解析：由题意得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且＝＝2，b n ＋1b n a n ＋1＋3a n ＋3所以数列{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列，所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.4. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝ 3×2n －1－2 .解析：由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，所以数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1－a n ＝3×2n －1，当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，所以a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足).5. 在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋，则数列{a n }的通项公式a n ＝ 4－ Ｗ.1n （n ＋1）1n解析：原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋－，则a 2＝a 1＋－，a 3＝a 2＋－，a 4＝a 3＋1n 1n ＋111121213－，…，a n －1＝a n －2＋－，a n ＝a n －1＋－，逐项相加得a n ＝a 1＋1－，故a n ＝413141n －21n －11n －11n 1n －. 1n6. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n ≥2)，则S n ＝ .1n解析：依题意得S n －1－S n ＝S n －1·S n (n ≥2)，整理得－＝1.又＝＝1，则数列1S n 1S n －11S 11a 1{1Sn }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝. 1S n 1n 7. 已知函数f(x)由下表定义：x12345f(x)41352若a 1＝5，a n ＋1＝f(a n )(n ＝1，2，…)，则a 2 017＝ 5 .解析：a 2＝f(a 1)＝f(5)＝2，a 3＝f(a 2)＝f(2) ＝1，a 4＝f(a 3)＝f(1)＝4，a 5＝f(a 4)＝f(4)＝5，可知数列{a n }是周期为4的周期数列，所以a 2 017＝a 4×504＋1＝a 1＝5.8. 对于正项数列{a n }，定义H n ＝为{a n }的“蕙兰”值，现知数n a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n列{a n }的“蕙兰”值为H n ＝，则数列{a n }的通项公式为a n ＝ 2－ .1n 1n解析：由题意得＝，即a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2①，所以当n ≥2n a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 1n时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)2②，①－②得na n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1，所以a n ＝2－(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1，也满足此通项公式，所以a n ＝2－. 1n 1n9. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ ＋ .4n －13n （1＋n ）2解析：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1，所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，所以＝4，a n ＋1－（n ＋1）a n －n所以数列{a n －n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n ，所以S n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(40＋41＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n )＝＋＝＋. 1×（1－4n ）1－4n （1＋n ）24n －13n （1＋n ）210. 若数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则a n ＋2＋a n ＝ (－1)n (2n －1)＋2n ＋1 .解析：由a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＝(－1)n a n ＋1＋2n ＋1＝(－1)n ·[(－1)n －1a n ＋2n －1]＋2n ＋1＝－a n ＋(－1)n (2n －1)＋2n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋2n ＋1.11. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *).(1) 求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 求数列{a n }的通项公式.解析：(1) 由a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1).又a n ＋1≠0，所以＝2，即数列{a n ＋1}为等比数列. a n ＋1＋1a n ＋1(2) 由(1)知a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n (n ∈N *).(2n ＋1)(1) 求证：数列是等比数列；{a n n }(2) 设数列{S n }的前n 项和为T n ，求T n .解析：(1) 由a 1＝S 1＝2－3a 1，得a 1＝. 12因为S n ＝2－a n ，(2n ＋1)所以S n －1＝2－a n －1(n ≥2)，(2n －1＋1)于是a n ＝S n －S n －1＝a n －1－(＋1)a n ，(2n －1＋1)2n 整理得＝×(n ≥2). a n n 12a n －1n －1又＝，所以数列是首项及公比均为的等比数列. a 1112{a n n }12(2) 由(1)知＝，所以a n ＝，a n n (12)n n 2n 代入S n ＝2－a n ，得S n ＝2－. (2n ＋1)n ＋22n 设数列的前n 项和为A n ，{n ＋22n }则A n ＝＋＋＋…＋，32422523n ＋22n则A n ＝＋＋…＋＋，两式相减得12322423n ＋12n n ＋22n ＋1A n ＝＋＋＋…＋－＝2－，123212212312n n ＋22n ＋1n ＋42n ＋1故A n ＝4－，n ＋42n所以T n ＝2n －A n ＝＋2n －4.n ＋42n 13. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝，且a 1＝1.（n ＋1）a n 2(1) 求数列{a n }的通项公式a n ；(2) 令b n ＝ln a n ，是否存在k(k ≥2，且k ∈N *)，使得b k ，b k ＋1，b k ＋2成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 的值；若不存在，请说明理由.解析：(1) 方法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－，即＝，所以（n ＋1）a n 2na n －12a n n a n －1n －1{a n n}是首项为＝1的常数数列，所以＝1，即a n ＝n (n ∈N *). a 11a n n方法二：同方法一，得(n －1)a n ＝na n －1(n ≥2).同理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ，所以2na n ＝n (a n －1＋a n ＋1)，即2a n ＝a n －1＋a n ＋1，所以数列{a n }成等差数列.又由a 1＝1，得a 2＝S 2－a 1，即a 2＝2，所以公差d ＝2－1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)＝n (n ∈N *).方法三：同方法一，得＝(n ≥2)，a n a n －1n n －1所以a n ＝×××…×××a 1＝××…×××1＝n ，当n ＝1a n a n －1a n －1a n －2a n －2a n －3a 3a 2a 2a 1n n －1n －1n －23221时，a 1＝1，也满足a n ＝n ，所以a n ＝n (n ∈N *).(2) 假设存在k (k ≥2，k ∈N *)，使得b k ，b k ＋1，b k ＋2成等比数列，则b k b k ＋2＝b .2k ＋1因为b n ＝ln a n ＝ln n ，所以b k b k ＋2＝ln k ·ln(k ＋2)≤＝<＝[ln(k ＋1)]2[ln k ＋ln （k ＋2）2]2 [ln （k 2＋2k ）2]2 [ln （k ＋1）22]2 ＝b ，这与b k b k ＋2＝b 矛盾. 2k ＋12k ＋1故不存在k (k ≥2，k ∈N *)，使得b k ，b k ＋1，b k ＋2成等比数列.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第20课__导数在研究函数中的应用(1) 含解析
____第20课__导数在研究函数中的应用(1)____1. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题．2. 理解数形结合思想，转化思想在导数中的应用．3. 理解函数在某点取得极值的条件.1. 阅读：选修11第86～92页．2. 解悟：①教材第86页中间的关于函数的导数和单调性关系的结论怎么理解？它的逆命题是否成立，试举例说明．你会利用导数说明(或证明)函数在给定区间上的单调性吗？②函数的极值是怎么定义的？一个函数是否一定有极大值和极小值？有极大值或极小值的函数的极值是否唯一？函数的极值和导数具有怎样的关系？教材第88页的两张表格中的内容你理解吗？给你一个具体函数你会求它的极值点吗？③我们知道函数的最大值和最小值是函数定义域内的性质，函数的极值是对函数定义域内某一局部而言的，它们之间的关系为：最大值可能在极值点或函数的端点取到极值不一定是最值，最值也不一定是极值．④会做教材第87页的例2，例3，第89页的例2，第90页的例2，并能总结下列问题类型解题的一般步骤：一是利用导数判断或证明函数在给定区间上的单调性；二是利用导数求函数的单调区间；三是利用导数求函数的极值；四是利用导数求函数的最值．3. 践习：在教材的空白处完成第87页练习第1(2)、3(2)题，第89页练习第1(2)、4题，第91～92页练习第4、5题，习题第2(2)(4)、3(2)(3)、4(3)、8(4)题.基础诊断1. 函数f()＝32－6ln 的单调减区间是__(0，1)__．解析：由题意得，f ′()＝6－6x ，令f ′()<0，则6－6x <0.因为>0，解得0<<1，故函数f()的单调减区间是(0，1)．2. 函数f()＝2x x 2＋3(>0)有极__大__值．解析：由题意得，f ′()＝6－2x 2（x 2＋3）2.令f ′()＝0，即6－2x 2（x 2＋3）2＝0，解得＝3或＝－3(舍去)．当0<<3时，f ′()>0；当>3时，f ′()<0，所以函数f()在区间(0，3)上单调递增；在区间(3，＋∞)上单调递减，所以函数f()在＝3处取得极大值为33.3. 函数f()＝＋2cos ，∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是6．解析：由题意得，f ′()＝1－2sin .令f ′()＝0，即1－2sin ＝0，解得sin ＝12，即＝π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以当∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′()>0，函数f()在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6上单调递增；当∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，f ′()<0，函数f()在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上单调递减，所以函数f()在＝π6处，取得极大值，且是最大值为π6＋ 3.4. 若函数f()＝23－62＋m(m 为常数)，在[]－2，2上有最大值3，则此函数在[]－2，2上的最小值为__－37__．解析：因为f ′()＝62－12＝6(－2)，由f ′()＝0得＝0或＝2.因为f(0)＝m ，f(2)＝－8＋m ，f(－2)＝－40＋m ，显然f(0)>f(2)>f(－2)，故m ＝3，最小值为f(－2)＝－37.范例导航考向❶ 利用导数研究函数的最值问题 例1 已知函数f()＝a 2＋1(a>0)，g()＝3＋b.(1) 若曲线y ＝f()与曲线y ＝g()在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求实数a ，b 的值． (2) 当a ＝3，b ＝－9时，若函数f()＋g()在区间[，2]上的最大值为28，求实数的取值范围． 解析：(1) 由题意得，f ′()＝2a ，g ′()＝32＋b.因为曲线y ＝f()与曲线y ＝g()在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1) 且f ′(1)＝g ′(1)，即a ＋1＝1＋b 且2a ＝3＋b ，解得a ＝3，b ＝3. (2) 记h()＝f()＋g()，当a ＝3，b ＝－9时，h()＝3＋32－9＋1， 所以h ′()＝32＋6－9. 令h ′()＝0得1＝－3，2＝1.h ′()，h()在∈(－∞，2]上的变化情况如下表所示：在区间[，2]上的最大值小于28.因此实数的取值范围是(－∞，－3]．已知y ＝f()是奇函数，当∈(0，2)时，f()＝ln －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a>12，当∈(－2，0)时，f()的最小值为1，则实数a 的值为__1__．解析：因为y ＝f()是奇函数，且当∈(－2，0)时，f()的最小值为1，所以当∈(0，2)时，最大值为－1.令f ′()＝1x －a ＝0，得＝1a .当0<<1a 时，f ′()>0；当>1a 时，f ′()<0，所以f()ma ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln1a －1＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.考向❷ 利用导数研究单调性、极值问题 例2 已知函数f()＝3－a 2＋3.(1) 若f()在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2) 若＝3是f()的极值点，求函数f()在区间[1，a]上的最小值和最大值． 解析：(1) f ′()＝32－2a ＋3.由题设知∈[1，＋∞)时f ′()≥0. 因为≥1，所以a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，所以a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝3(当且仅当＝1时取等号)，而当a ＝3，＝1时，f ′()＝0，所以a ≤3.故实数a 的取值范围为(－∞，3]．(2) 由题设知f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，解得a ＝5，所以f()＝3－52＋3. 令f ′()＝32－10＋3＝0， 解得＝3或＝13(舍去)．当1<<3时，f ′()<0，函数f()单调递减； 当3<<5时，f ′()>0，函数f()单调递增． 所以当＝3时，f()有极小值，f(3)＝－9. 又f(1)＝－1，f(5)＝15，所以函数f()在[1，5] 上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.设＝1与＝2是函数f()＝a ln ＋b 2＋的两个极值点． (1) 试确定常数a 和b 的值；(2) 试判断＝1，＝2是函数f()的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解析：(1) 由题意得，f ′()＝ax＋2b ＋1.因为＝1与＝2是函数f()＝a ln ＋b 2＋的两个极值点， 所以⎩⎨⎧f ′（1）＝0，f ′（2）＝0，即⎩⎨⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝－16，所以a 的值为－23，b 的值为－16.(2) 由(1)得f ′()＝－23x －13＋1＝－（x －1）（x －2）3x ，所以由f ′()>0得1<<2；由f ′()<0，得0<<1或>2，所以函数f()在区间(1，2)上单调递增，在区间(0，1)和(2，＋∞)上单调递减， 所以＝1是函数f()的极小值点，＝2是函数f()的极大值点. 考向❸ 利用导数求解不等式的恒成立问题例3 已知函数f()＝e ＋e －，其中e 是自然对数的底数． (1) 求证：函数f()是R 上的偶函数；(2) 若关于的不等式mf ()≤e －＋m －1在区间(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1) 函数f ()的定义域为R ，关于原点对称；又因为f (－)＝e －＋e ＝f ()， 所以函数f ()是R 上的偶函数．(2) 由mf ()≤e －＋m －1得m (e ＋e －)≤e －＋m －1，即m (e ＋e －－1)≤e －－1， 令t ＝e(t >0)，因为e ＋e －－1＝t ＋1t －1≥2－1＝1，当且仅当t ＝1时，等号成立，故m ≤1t －1t ＋1t－1＝1－t t 2－t ＋1，令h (t )＝1－tt 2－t ＋1.h ′(t )＝t （t －2）（t 2－t ＋1）2.则当t >2时，h ′(t )>0；当0<t <2时，h ′(t )<0，所以当t ＝2时，h (t )min ＝h (2)＝－13，则m ≤－13.综上可知，实数m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≤－13.注：分离参数后，也可利用基本不等式去处理m 的范围． 【变式题】 设函数f ()＝12a 2－ln ，其中a 为大于零的常数．(1) 当a ＝1时，求函数f ()的单调区间和极值；(2) 当∈[1，2]时，不等式f ()>2恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝1时， f ′()＝－1x ＝x 2－1x(>0)，令f ′()>0得>1，令f ′()<0得0<<1.故函数f ()的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)．从而函数f ()在区间(0，＋∞)上的极小值为f (1)＝12，函数f ()无极大值．(2) 由题意得，f ′()＝1a －1x ＝x 2－aax(>0)．不等式f ()>2在[1，2]上恒成立等价于函数f ()在区间[1，2]上的最小值f ()min >2. 因为a >0，所以令f ′()＝0得＝a .当0<a ≤1，即0<a ≤1时，函数f ()在区间[1，2]上递增， 所以f ()min ＝f (1)＝12a >2，解得0<a <14；当a ≥2，即a ≥4时，函数f ()在区间[1，2]上单调递减， 所以f ()min ＝f (2)＝2a－ln2>2，无解；当1<a <2，即1<a <4时，函数f ()在区间[1，a ]上单调递减，在区间[a ，2]上单调递增，所以f ()min ＝f (a )＝12－12ln a >2，无解．综上所述，所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.自测反馈1. 若函数f()＝x 2＋ax ＋1在＝1处取极值，则实数a ＝__3__．解析：f ′()＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，因为函数f()＝x 2＋a x ＋1在＝1处取极值，所以f ′(1)＝0，即1＋2－a（1＋1）2＝0，解得a ＝3.2. 已知a>0，b>0，若函数f()＝43－a 2－2b ＋2在＝1处有极值，则ab 的最大值等于__9__． 解析：f ′()＝122－2a －2b ，因为函数f()在＝1处有极值，f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6.又a>0，b>0，所以a ＋b ≥2ab ，所以2ab ≤6，所以ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值为9.3. 已知f()＝3－3－1，若对于在区间[－3，2]上的任意1，2，都有|f(1)－f(2)|≤t ，则实数t 的最小值是__20__．解析：对于在区间[－3，2]上的任意1，2，都有|f(1)－f(2)|≤t ，等价于对于在区间[－3，2]上的任意，都有f()ma －f()min ≤t.因为f()＝3－3－1，所以f ′()＝32－3＝3(＋1)(－1)，因为∈[－3，2]，所以函数f()在区间[－3，－1)和(1，2]上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以f()ma ＝f(2)＝f(－1)＝1，f()min ＝f(－3)＝－19，所以f()ma －f()min ＝20，所以t ≥20，故实数t 的最小值为20.4. 分别在曲线y ＝e 与直线y ＝e －1上各取一点M ，N ，则MN 的最小值为1＋e ．解析：要想求MN 的最小值，则需过曲线上一点的切线与直线y ＝e －1平行，设切点为(0，y 0)．曲线y ＝e 的导数y ′＝e ，所以在点(0，y 0)的切线的斜率＝e 0，所以e 0＝e ，即0＝1，所以切点为(1，e )，所以切线的方程为y －e ＝e (－1)，即e －y ＝0，所以切线e －y ＝0与直线y ＝e －1的距离＝1e 2＋1＝1＋e 21＋e2，故MN 的最小值为1＋e 21＋e 2.1. 导数的正负可以判断函数的单调性，但反过;未必．2. 极值与导数的关系，极值点附近左右两侧的导数是否异号可以判断函数是否有极值的．3. 求函数在给定区间上的最值时，需要注意区间端点的开闭对答案的影响．4. 你还有哪些体悟，写下;：。
【江苏高考】2020版数学名师大讲坛一轮复习教程学案全集(打包103份,含答案)
_第1课__集合及其基本运算1. 理解元素和集合之间的关系；理解集合相等的含义．2. 会求集合的交集、并集、补集.1. 阅读：阅读必修1第5～10页．2. 解悟：①集合中元素的三个性质；②常见数集的符号；③集合相等的定义；④子集、真子集的定义；⑤空集的定义．3. 践习：在教材空白处，完成第7页练习第2、5题；第10页习题第6、7题.基础诊断1. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝__{0，1}__．2. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪∁U B ＝__{1，2，5}__．解析：由题意得∁U B ＝{1，5}， 所以A ∪∁U B ＝{1，2，5}．3. 已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A ∪B)的子集个数为__2__．解析：由题意得A ∪B ＝{1，3，5，9}， 所以∁U (A ∪B)＝{7}， 所以∁U (A ∪B)的子集个数为2.4. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__．解析：因为A ∪B ＝{0，1，2，3}， A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.范例导航考向❶ 利用数轴求集合的交集、并集、补集例1 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|132≤2－x≤4，B ＝{x|x 2＋2mx －3m 2<0}，m>0.(1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围． 解析：由题意得，集合A ＝{x|－2≤x ≤5}， 因为m>0，所以B ＝{x|－3m<x<m}． (1) 当m ＝2时，B ＝{x|－6<x<2}， 所以A ∩B ＝{x|－2≤x<2}．(2) A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|－3m<x<m}，因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5，所以m ≤23，所以0<m ≤23.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23.全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝2x －1}，B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}，则A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞． 解析：由题意得，集合A ＝{x |y ＝2x －1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12，集合B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}＝{y |y ≥0}，所以∁I B ＝{y |y <0}，所以A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 考向❷ 对空集的分类讨论例2 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.已知集合A ＝{x|x 2－2x －3＝0}，B ＝{x|mx －1＝0}，若B ⊆A ，则m 的值为__0，－1，13__．解析：由题意得，集合A＝{－1，3}．因为B⊆A，所以当B为∅时，m＝0；当B不为∅时，m＝－1或m＝13.综上，m的值为0，－1，13.例3若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，求实数a的值．解析：当a＝0时，不合题意，舍去；当a≠0时，由题意得，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.综上所述，a＝4.若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}只有一个子集，求实数a的取值范围．解析：由题意得，集合A为空集．①若a＝0，符合题意；②若a≠0，则Δ＝a2－4a<0，解得0<a<4.综上，a的取值范围是[0，4)．自测反馈1. 设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，若A∩B＝{3}，则实数a的值为__1__．解析：因为A∩B＝{3}，所以a＋2＝3或a2＋4＝3，解得a＝1，此时B＝{3，5}，符合题意，故实数a的值为1.2. 已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有__2__个．解析：由图可知，阴影部分表示的是M∩N.由M＝{x|－2≤x－1≤2}得M＝{x|－1≤x≤3}．集合N表示的是正奇数集，所以M∩N＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．3. 下面四个命题中，正确命题的序号为__②__．①某班个子较高的同学构成集合A；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程x 2－2x ＋1＝0的解集是{1，1}； ④∅与{∅}表示同一个集合．解析：①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．4. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，集合B ＝{y|y ＝x 2，x ∈A}，则A ∩B ＝__{1}__．解析：由题意得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，4，14，所以A ∩B ＝{1}．1. 集合中元素的性质指确定性、无序性、互异性．2. 要特别注意空集，尤其是在分类讨论中不能遗漏．3. 你还有哪些体悟，写下来：____第2课__集合及其基本运算(2)______1. 熟练掌握集合间的交、并、补集的运算以及求集合的子集．2. 能应用分类讨论的思想解决简单的分类讨论问题.1. 阅读：阅读必修1第11～14页．2. 解悟：①从A∩B＝A能得到什么结论？②从A∪B＝A能得到什么结论？3. 践习：在教材空白处，完成第13页练习第6题，第14页习题第10、13题.基础诊断1. 集合U＝{1，2}的子集个数为__4__．解析：根据子集个数的公式可得，子集的个数为22＝4.2. 已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则集合∁U(A∪B)＝__{3}__．解析：由题意得，A∪B＝{1，2，4}，所以∁U(A∪B)＝{3}．3. (1) 已知集合A＝{y|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(0，＋∞)__；(2) 已知集合A＝{x|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(1，＋∞)__；(3) 已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，集合B＝{(x，y)|y＝x－1}，则A∩B＝__{(1，0)，(2，1)}__．解析：(1) 由题意得，集合A＝R，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(0，＋∞)．(2) 由题意得，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(1，＋∞)．(3) 令log2x＝x－1，解得x＝1或x＝2，所以y＝0或y＝1，所以A∩B＝{(1，0)，(2，1)}．4. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，2}，则集合A∪B中所有元素之和为__5__．解析：因为A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以集合A∪B中所有元素之和为－1＋0＋1＋2＋3＝5.范例导航考向❶对子集的分类讨论例1已知集合A＝{2，5}，B＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}．(1) 若B＝{5}，求p，q的值；(2) 若A∩B＝B，求实数p，q满足的条件．解析：(1) 因为B＝{5}，所以方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实根5，所以5＋5＝－p ，5×5＝q ，所以p ＝－10，q ＝25. (2) 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . 当B ＝∅时，Δ＝p 2－4q <0，即p 2<4q ； 当B ＝{2}时，可求得p ＝－4，q ＝4； 当B ＝{5}时，可求得p ＝－10，q ＝25； 当B ＝{2，5}时，可求得p ＝－7，q ＝10. 综上所述，实数p ，q 满足的条件为p 2<4q 或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－10，q ＝25或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝10.已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1) 当m ＝3时，求A ∩∁R B ；(2) 若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解析：(1) 当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 又因为A ＝(－1，5]， 所以A ∩∁R B ＝[3，5]．(2) 因为A ＝(－1，5]，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根， 所以－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8. 此时集合B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 因此实数m 的值为8.考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．(1) 当a ＝4时，求A ∩B ；(2) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 由题意得，A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)， 所以A ∩B ＝[－8，－7)．(2) 方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3. ①当a ＝－a －3，即a ＝－32时，B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－32，＋∞)，满足A ⊆B ； ②当a<－a －3，即a<－32时，B ＝(－∞，a)∪(－a －3，＋∞)，则a>－4或－a －3<－8，解得－4<a<－32；③当a>－a －3，即a>－32时，B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)， 则a<－8或－a －3>－4，解得－32<a<1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4，1)．已知集合A ＝{x|x 2＋2x －8>0}，B ＝{y|y ＝x 2－2x ＋2，x ∈R}，C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}.(1) 求A ∩B ；(2) 若∁R A ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析：(1) 因为x 2＋2x －8>0，解得x >2或x <－4， 所以A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1， 所以B ＝[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(2，＋∞)． 综上所述，A ∩B ＝(2，＋∞)． (2) 因为A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)， 所以∁R A ＝[－4，2]．因为∁R A ⊆C ，且C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}，所以a ≥2，所以a 的取值范围为[2，＋∞).考向❸ 对自变量系数的分类讨论例3 已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x ≤2.(1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由． 解析：对于不等式0<ax ＋1≤5，当a ＝0时，0<1<5恒成立，即x ∈R ，集合A ＝R ； 当a >0时，－1a <x ≤4a ，即集合A ＝{x |－1a <x ≤4a }；当a <0时，4a ≤x <－1a ，即集合A ＝{x |4a ≤x <－1a }．(1) 若A 是B 的子集，则当a ＝0时，不满足题意； 当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a≤2，解得a ≥2；当a <0时，需要满足⎩⎨⎧4a >－12，－1a ≤2，解得a <－8. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)．(2) 若B 是A 的子集，则当a ＝0时，满足题意； 当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a≥2，解得0<a ≤2；当a <0时，需要满足⎩⎨⎧－1a >2，4a ≤－12，解得－12<a <0.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，2. (3) 当A ＝B 时，需满足A ⊆B 且B ⊆A ，即同时满足(1)和(2)，所以a ＝2.自测反馈1. 设U 为全集，集合A 为U 的子集，则A ∩A ＝__A__；A ∪A ＝__A__；A ∩∅＝__∅__；A ∪∅＝__A__；A ∪∁U A ＝__U__；A ∩∁U A ＝__∅__．2. 满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A的个数是__4__．解析：因为{1，3}∪A＝{1，3，5}，所以A＝{5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}，共有4个．3. 对于集合A，B，我们将集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.(1) 若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝__{1，2，3}__；B－A ＝__{6，7，8}__；(2) 如果A－B＝∅，那么集合A与B之间的关系是__A⊆B__．4. 已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，则与G＝{x|x≥1}为同一集合的是__Q__．解析：集合P中y＝x2＋1就是这个集合中的一个元素；集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，与集合G为同一集合；集合E＝{x|y＝x2＋1}＝R；集合F是一个点集，所以与集合G为同一集合的是Q.1. 区分点集和数集在书写上的不同．2. 解题时，注意分类讨论、数形结合等思想方法的运用．3. 你还有哪些体悟，写下来：____第3课__逻辑联结词与量词____1. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．2. 能正确判断用“或”“且”“非”联结的命题的真假.1. 阅读：阅读选修21第10～18页．2. 解悟：①含有一个量词的命题的否定分别是什么？②由简单逻辑联结词构成的命题的真假怎么判断？3. 践习：在教材空白处，完成第15页练习第2题；第18页习题第4题.基础诊断2. 命题“∃x ∈R ，2x >0”的否定是__∀x ∈R ，2x ≤0__．3. 下列四个命题：①3≤π；②1≥1；③π≤e ；④2<3或3<2.其中假命题有__1__个． 解析：①②④正确，③错误．4. 已知命题“∃x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__[－8，＋∞)__．解析：原命题的否定为∀x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a<0.因为y ＝x 2＋2x 在区间[1，2]上单调递增，所以x 2＋2x ≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值范围是a<－8的补集，即a ≥－8，故a 的取值范围是[－8，＋∞)．范例导航考向❶ 以函数的单调性和值域为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围 例1 设命题p ：函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫a －32x是R 上的减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <52；若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32<a <52，a <2或a >4，所以32<a <2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤4，a ≤32或a ≥52，所以52≤a ≤4.综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，2∪⎣⎡⎦⎤52，4.已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：因为函数y ＝a x 在R 上单调递增， 所以命题p ：a >1.因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， 所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以命题q ：0<a <4.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真， 所以p ，q 中必是一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥4，解得a ≥4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <4，解得0<a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).考向❷ 以函数的能成立和恒成立为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围 例2 已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解析：命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；由命题q 得，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4，所以命题q ：0≤a <4.因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ≥4或a <0，解得a <0；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a <4，解得1≤a <4.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m的取值范围．解析：若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3， 所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3， 所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，所以当p 为真时，12≤m ≤32；若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立， 所以∃x ∈[1，2]，m <x 2－1x 成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x，易知g (x )在区间[1，2]上是增函数， 所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32，所以当q 为真时，m <32.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 所以p 与q 必是一真一假，当p 真q 假时，⎩⎨⎧12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m <12或m >32，m <32，所以m <12.综上所述，m 的取值范围是{m |m <12或m ＝32}.考向❸ 以圆锥曲线为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围例3 已知k 为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2k －3＝1表示双曲线.(1) 若命题p 为真命题，求k 的取值范围；(2) 若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求k 的取值范围． 解析：(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k －1，解得k>1，即k 的取值范围是(1，＋∞)． (2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 所以p ，q 必是一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k>1，k ≥3， 解得k ≥3；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k<3，解得k ≤1.综上所述，k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．自测反馈1. 命题“∀x>0，x ＋1>x ”的否定是．2. 若命题“p 且q ”是假命题，“非q ”是假命题，则p 是__假__命题．(填“真”或“假”)解析：因为“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 中必是一真一假．又因为“非q ”是假命题，所以q 为真命题，所以p 为假命题．3. 若命题“∃x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ≤0”是真命题，则实数m 的取值范围是__(－∞，0)∪[1，＋∞)__．解析：由题意得Δ＝4m 2－4m ≥0，解得m ≤0或m ≥1，故实数m 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．____第4课__充分条件和必要条件____1. 会分析四种命题之间的相互关系及判断命题的真假．2. 会判断充分条件、必要条件、充要条件.1. 阅读：阅读选修21第5～9页．2. 解悟：①命题的真假性一定是确定的；②四种命题之间有什么关系？③如何判断充分条件、必要条件？3. 践习：在教材空白处，完成第8～9页习题第2、4题.基础诊断1. 若a∈R，则“a＝0”是“a(a－1)＝0”的__充分不必要__条件．解析：因为a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝1，所以“a＝0”是“a(a－1)＝0”的充分不必要条件．2. 若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的__必要不充分__条件．解析：函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0一定成立；若f(0)＝0，则函数f(x)不一定是奇函数，可能为偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数．故“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件．3. 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是__若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3__．4. 在命题“若ac2>bc2，则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有__2__个．解析：原命题：因为ac2>bc2，c2>0，所以a>b，所以原命题为真命题，所以原命题的逆否命题也为真命题；原命题的逆命题为“若a>b，则ac2>bc2”，当c2＝0时，a＝b，所以逆命题为假命题，所以原命题的否命题也为假命题．故真命题共有2个．范例导航考向❶对充分条件、必要条件中集合包含关系的理解例1设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}．(1) 若a＝3，求A∪B；(2) 设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解析：(1) 解不等式x2＋2x－3<0，得－3<x<1，即A＝(－3，1)．当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即集合B＝(－4，－2)，所以A∪B＝(－4，1)．(2) 因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．又集合A＝(－3，1)，B＝(－a－1，－a＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[0，2]．设函数y ＝lg (－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m)的值域为B.(1) 当m ＝2时，求A ∩B ；(2) 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1) 由－x 2＋4x －3>0，解得1<x<3， 所以A ＝(1，3)． 因为函数y ＝2x ＋1在区间(0，m)上单调递减， 所以y ∈⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2，所以当m ＝2时，B ＝⎝⎛⎭⎫23，2， 所以A ∩B ＝(1，2)． (2) 由题意得m>0.因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， 所以B A ，即⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2(1，3)，所以2m ＋1≥1，解得0<m ≤1，故实数m 的取值范围为(0，1]. 考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知非空集合A ＝{x|x －2x －（3a ＋1）<0}，B ＝{x|x －a 2－2x －a<0}．(1) 当a ＝12时，求∁R B ∩A ；(2) 命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B .若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∁R B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，所以∁R B ∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2) 由q 是p 的必要条件可得A ⊆B . 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.已知命题“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1) 求实数m 的取值集合M ；(2) 设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在区间(－1，1)上有解，即m 的取值范围即为函数y ＝x 2－x 在区间(－1，1)上的值域，易得－14≤m <2，所以M ＝⎣⎡⎭⎫－14，2. (2) 因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >2－a ，即a >1时，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <2－a ，即a <1时，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－14)∪(94，＋∞).考向❸ 对逆否命题的综合运用自测反馈1. “三个数a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的__充分不必要__条件．解析：若a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2＝ac；若a＝0，b＝0，c＝2，则b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，所以“三个数a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的充分不必要条件．2. “a<b”是“ln a<ln b”的__必要不充分__条件．解析：若a＝－2，b＝－1，则a<b，但ln a<ln b不成立；因为函数y＝ln x在定义域上单调递增，所以当ln a<ln b时，a<b，所以“a<b”是“ln a<ln b”的必要不充分条件．3. 给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2，x∈R为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为__③__．解析：①因为函数y＝3x是R上的增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①是假命题；②若α＝3π2，β＝π2，则α>β，但cos α＝cos β，充分性不得证，若α＝3π2，β＝2π，cos α<cos β，但α<β，必要性不得证，所以“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②是假命题；③若a ＝0，则f (x )＝x 3，x ∈R ，f (－x )＝－f (x )，且定义域关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数，若f (x )＝x 3＋ax (x ∈R)是奇函数，则f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 恒成立，即(－x )3＋a (－x )2＝－(x 3＋ax 2)，即ax 2＝－ax 2，即a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax ，x ∈R 为奇函数”的充要条件，故③是真命题，故填③.4. 记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为__(－∞，－3]__．解析：由x 2＋x －6<0得－3<x<2，即A ＝(－3，2)，由x －a>0，得x>a ，即B ＝(a ，＋∞)．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，所以a ≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]．1. 否命题既要否定条件，又要否定结论；命题的否定只否定结论．2. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．3. 你还有哪些体悟，写下来：第二章 函 数____第5课__函数的概念____1. 体会函数是描述两个变量之间依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域．3. 了解映射的概念，进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射.1. 阅读：必修1第23～27页及第46页．2. 解悟：①读懂函数定义，并思考初中的函数定义与高中课本函数的定义是否相同？《函数》这一章节为何置于《集合》章节之后？②圈画函数定义中的关键词，准确理解函数的概念，并思考式子y 2＝x 中变量y 是变量x 的函数吗？为什么？③阅读第46页，思考映射和函数有什么区别和联系？ 怎样的映射不是函数，你能举例吗？④函数的三要素有哪些？怎样才能算相同的函数？至少需要满足几个条件？3. 践习：在教材空白处，完成第26～27页练习第4、6、7题.基础诊断1. 下列对应法则f 中，不是从A 到B 的函数的序号是__③__．①A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝⎛⎭⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝⎛⎭⎫32＝1； ②A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④A ＝B ＝{x|x ≥1}，f(x)＝2x ＋1；⑤A ＝Z ，B ＝{－1，1}，当n 为奇数时，f (n )＝－1；当n 为偶数时，f (n )＝1.解析：根据函数的定义，①②④⑤中，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应；在③中f (3)＝5，集合B 中没有元素与集合A 中的3对应，故不是从A 到B 的函数．2. 判断下面说法是否正确．(在括号中画“√”或“”) (1) f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x<0表示同一函数．()解析：因为函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，函数g(x)的定义域为R ，定义域不同，所以表示的不是同一函数，故是错误的．(2) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相同. ()解析：若两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，则这两个函数相同，故是错误的．(3) 若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．()解析：若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，所以1≤2x －1<3，解得1≤x <2，所以函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <2}，故是错误的．(4) 函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个．( √ )解析：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变量x ，存在唯一的函数值y 与之对应，所以函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有一个．(5) 函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是[1，＋∞)．()解析：因为x 2≥0，所以x 2＋4≥4，所以x 2＋4≥2，所以f (x )＝x 2＋4＋1≥3，所以函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是[1，＋∞)是错误的．(6) f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．( √ )解析：因为函数f (x )与函数g (x )的定义域、对应法则和值域都相同，故函数f (x )与函数g (x )是同一函数．3. 设一函数的解析式为f(x)＝2x ＋3，它的值域为{－1，2，5，8}，则函数f(x)的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52__．解析：当f(x)＝－1时，2x ＋3＝－1，解得x ＝－2； 当f(x)＝2时，2x ＋3＝2，解得x ＝－12；当f(x)＝5时，2x ＋3＝5，解得x ＝1； 当f(x)＝8时，2x ＋3＝8，解得x ＝52，所以函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52.4. 函数y ＝f(x ＋1)的值域为[3，5]，则函数y ＝2f(x)的值域为__[6，10]__．解析：因为函数y ＝f(x ＋1)的值域为[3，5]，函数f(x)是将函数f(x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得到的，所以f(x)的值域也为[3，5]，所以2f(x)的值域为[6，10]．5. 若函数y ＝ax 2＋ax ＋2的定义域为R ，则a 的取值范围是__[0，8]__．解析：由题意得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ×2≤0，解得0≤a ≤8，所以a ∈[0，8]．范例导航考向❶ 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域：(1) y ＝12－|x|＋x 2－1； (2) y ＝xlog 12（2－x ）.解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，x 2－1≥0，解得x ≠±2或x ≥1或x ≤－1，故函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，＋∞)．(2) 由题意0<2－x<1，解得1<x<2，故函数的定义域为(1，2)．已知函数f(x)＝2x －11－x，若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．记y ＝g(x)的定义域为A ，不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0的解集为B.若A 是B 的真子集，求实数a 的取值范围．解析：由题意得g(x)＝－－2x －11＋x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，－2x －11＋x ≥0，解得－1<x ≤－12，所以A ＝⎝⎛⎦⎤－1，－12. 解不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0， 解得a －1≤x ≤a ， 即B ＝[a －1，a]． 因为A 是B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤－1，a ≥－12，解得－12≤a ≤0， 故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，0.考向❷ 求函数的值域 例2 求下列函数的值域：(1) y ＝x 2＋2x(x ∈[0，3])； (2) y ＝2x －3x ＋1(x ≤－2)； (3) y ＝x －1－2x ； (4) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解析：(1) 因为y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 所以该函数在[0，3]上单调递增，所以该函数在[0，3]上的最大值为15，最小值为0， 所以函数的值域为[0，15]． (2) 由题意得y ＝2x －3x ＋1＝2－5x ＋1. 因为x ≤－2，所以－1≤1x ＋1<0， 所以0<－5x ＋1≤5，所以2<2－5x ＋1≤7，故该函数的值域为(2，7]．(3) 令1－2x ＝t ，t ≥0，所以x ＝1－t 22，所以原函数可转化为y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，因为t ≥0，所以函数在[0，＋∞)上单调递减， 所以y ≤12，所以原函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. (4) y ＝log 3x ＋log x 3－1＝log 3x ＋1log 3x－1，所以若log 3x>0，则log 3x ＋1log 3x －1≥1，当且仅当log 3x ＝1log 3x ，即log 3x ＝1时取等号，此时y ≥1；若log 3x<0，则－⎝⎛⎭⎫－log 3x ＋1－log 3x －1≤－2－1＝－3，当且仅当log 3x ＝－1时等号成立，此时y ≤－3，所以原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．求下列函数的值域： (1) y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(2) y ＝4x 2＋8x ＋136（x ＋1）(x>－1)．解析：(1) 由题意得y ＝x 2－x x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1＝1－1⎝⎛⎭⎫x －122＋34. 因为⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， 所以0<1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43，所以－13≤y<1， 故函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2) 由题意得y ＝4x 2＋8x ＋136（x ＋1）＝4（x ＋1）2＋96（x ＋1）＝23(x ＋1)＋32（x ＋1）.因为x>－1，所以x ＋1>0，所以23(x ＋1)＋32（x ＋1）≥2，当且仅当23(x ＋1)＝32（x ＋1），即x ＝12时取等号，故函数的值域为[2，＋∞). 考向❸ 函数定义域和值域的综合 例3 已知函数f(x)＝1＋x ＋1－x.(1) 求函数f(x)的定义域和值域；(2) 设f(x)＝a2{[f(x)]2－2}＋f(x)(a 为实数)，当a<0时，求f(x)的最大值g(a)．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1，1]．又[f(x)]2＝2＋21－x 2∈[2，4]，f(x)≥0， 所以f(x)∈[2，2]．(2) f(x)＝a2{[f(x)]2－2}＋f(x)＝a 1－x 2＋1＋x ＋1－x ，令t ＝f(x)＝1＋x ＋1－x ，则1－x 2＝12t 2－1，所以f(x)＝m(t)＝a ⎝⎛⎭⎫12t 2－1＋t ＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]．由题意知g(a)即为函数m(t)＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]的最大值，t ＝－1a 是抛物线m(t)＝12at 2＋t －a 的对称轴．因为a<0时，函数y ＝m(t)，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段， ①若t ＝－1a ∈(0，2]，即a ≤－22，则g(a)＝m(2)＝2；②若t ＝－1a ∈(2，2]，即－22<a ≤－12，则g(a)＝m ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a －12a ； ③若t ＝－1a ∈(2，＋∞)，即－12<a<0，则g(a)＝m(2)＝a ＋2.综上所述，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2， －12<a<0，－a －12a ， －22<a ≤－12，2， a ≤－22.自测反馈1. 函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为(－1，1)．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，－4<x<1，所以－1<x<1，故定义域为(－1，1)． 2. 若函数f(x)＝3x －5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫0，34__． 解析：由题意得kx 2＋4kx ＋3＝0无解，所以k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝16k 2－12k <0， 解得0≤k <34，故实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. 3. 若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域为__(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2__． 解析：因为函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，且在区间(－∞，1)和[2，5)上单调递减，当x ∈(－∞，1)时，y<0；当x ∈[2，5)时，12<y ≤2，即函数的值域为(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2. 4. 若函数y ＝ax ＋31－2x的值域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，则实数a 的值为__4__． 解析：由题意得ax ＋31－2x ≠－2，化简得(a －4)x ≠－5，要使x 取任意值时，(a －4)x ≠－5恒成立，所以a ＝4.故实数a 的值为4.1. 初中函数是看成刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，高中将函数定义为建立在两个非空数集上的单值对应，同时高中函数的种类有所增加，如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等．2. 准确理解函数定义中的关键词(非空数集，对应法则，每一个，唯一，定义域)3. 你还有哪些体悟，写下来：____第6课__函数的表示方法____1. 了解构成函数的三要素，进一步理解函数的概念．2. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3. 掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法．4. 了解简单的分段函数，并能简单地应用.1. 阅读：阅读必修1第33～34页．2. 解悟：①函数的表示方法有哪些？回顾例1并比较三种表示方法的优劣；②你能在书本中找到分段函数的定义吗？分段函数是一个函数还是多个函数？③如何求分段函数的值域或最值？④函数的解析式是函数的一种表示方法，那么求函数解析式，你知道哪些方法？3. 践习：在教材空白处，完成第35页练习第3题和习题第2、4题.基础诊断1. 已知函数f(x)＝11＋x ，g(x)＝x 2＋2，则f(2)＝__13__；g(2)＝__6__；f(g(2))＝__17__；f(g(x))＝__1x ＋3__．解析：f(2)＝11＋2＝13；g(2)＝22＋2＝6； f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17；f(g(x))＝11＋x 2＋2＝1x 2＋3. 2. 已知函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x>0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝__14__． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f(－2)＝2－2＝14. 3. 若f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，则f(x)＝x 2＋2x －2．解析：因为f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f(t)＝(t －1)2＋4(t －1)＋1＝t 2＋2t －2，故f(x)＝x 2＋2x －2.4. 若等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则y ＝__20－2x ，x ∈(5，10)__．解析：因为△ABC 是等腰三角形且周长为20，△ABC 的周长＝2×腰长＋底边长，所以20＝2x ＋y ，即y ＝20－2x.又y<2x<20，解得5<x<10，故y ＝20－20x ，x ∈(5，10)．5. 设二次函数f(x)的最大值是13，f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)的解析式为__f(x)＝－2x 2＋4x ＋11__．解析：由题意可设f(x)＝a(x －1)2＋13，因为f(3)＝f(－1)＝5，所以a ×(－1－1)2＋13＝5，解得a ＝－2，所以f(x)＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11.范例导航考向❶ 求函数的解析式例1 (1) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求函数f(x)的解析式． 解析：(1) 设f(x)＝kx ＋b ，则由题意得3[k(x ＋1)＋b]－2[k(x －1)＋b]＝2x ＋17，即kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，5k ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝7，所以f(x)＝2x ＋7.(2) 因为2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，① 用1x 代替x ，则2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝3x ，② 由①×2－②得，4f(x)－f(x)＝6x －3x ，即3f(x)＝6x －3x ，所以f(x)＝2x －1x.(1) 已知f(x) 为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，求函数f(x)的解析式； (2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，求函数f(x)和g(x)的解析式．解析：(1) 由题意可设f(x)＝ax 2＋bx. 因为f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，所以a(x ＋1)2＋b(x ＋1)－(ax 2＋bx)＝x ＋1， 整理得2ax ＋a ＋b ＝x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12，所以f(x)＝12x 2＋12x.(2) 由题意可知f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)． 因为f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，① 所以f(－x)＋g(－x)＝x 2－x ＋2， 即f(x)－g(x)＝x 2－x ＋2.②由①＋②得，2f(x)＝2x 2＋4，即f(x)＝x 2＋2， 由①－②得，2g(x)＝2x ，即g(x)＝x ， 所以f(x)＝x 2＋2，g(x)＝x. 考向❷ 分段函数的解析式例2 如图是函数f(x)的图象，OC 段是射线，曲线OBA 是抛物线的一部分，试写出f(x)的函数表达式．解析：当x ≤0时，由图象过点(－2，－2)，(0，0)可知，直线OC 的斜率为1，所以射线OC 的函数表达式为y ＝x(x ≤0)；当x>0时，f(x)是二次函数， 所以设f(x)＝a(x －1)2＋b.由图可知，则⎩⎪⎨⎪⎧a ×（1－1）2＋b ＝－1，a ×（2－1）2＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以f(x)＝(x －1)2－1＝x 2－2x.故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x<0，x 2－2x ， x ≥0.设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|.(1) 将f(x)写成分段函数，并作出y ＝f(x)的图象； (2) 解不等式f(x)>5，并求出f(x)的最小值． 解析：(1) 当x ＋1<0，即x<－1时，x －2<0， 所以f(x)＝－x －1－x ＋2＝－2x ＋1； 当x ＋1≥0且x －2≤0，即－1≤x ≤2时， f(x)＝x ＋1－x ＋2＝3； 当x －2>0，即x>2时， f(x)＝x ＋1＋x －2＝2x －1， 所以y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x<－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x>2.函数图象为(2) 由题意可知，当x<－1时，1－2x>5，解得x<－2；当x>2时，2x －1>5，解得x>3， 所以f(x)>5的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． 由图可知，f(x)的最小值为3. 考向❸ 由不等式恒成立求函数解析式例3 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－2，0)且不等式2x ≤f(x)≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立．(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 若对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，求实数t 的取值范围． 解析：(1) 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－2，0)， 所以4a －2b ＋c ＝0.①因为不等式2x ≤f (x )≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立，所以当x ＝2时也成立，即4≤4a ＋2b ＋c ≤4， 即4a ＋2b ＋c ＝4.②由①②求得b ＝1，4a ＋c ＝2， 所以f (x )＝ax 2＋x ＋2－4a ， 所以2x ≤ax 2＋x ＋2－4a ≤12x 2＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x ＋2－4a ≥0，⎝⎛⎭⎫a －12x 2＋x －4a ≤0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a （2－4a ）≤0，a －12<0，Δ＝1－4⎝⎛⎭⎫a －12·（－4a ）≤0，解得a ＝14，故c ＝1，即函数f (x )的解析式为f (x )＝14x 2＋x ＋1.(2) 因为对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，即14(x ＋t ＋2)2<136(x ＋6)2恒成立，亦可化得⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22－x ＋66⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22＋x ＋66<0， 解得－4x ＋123<t <－2x 3.又因为x ∈[－1，1]，所以－83<t <－23，故实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－83，－23. 自测反馈1. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f(x)＝33． 解析：因为f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1①，用1x 代替x 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f(x)·1x－1②，将②代入①得f(x)＝2⎝⎛⎭⎫2f （x ）·1x －1·x －1，化简得f(x)＝4f(x)－2x －1，即f(x)＝23x ＋13. 2. 若正比例函数f(x)满足f(f(x))＝4x ，则f(x)＝__±2x__．解析：根据题意可设f(x)＝kx ，因为f(f(x))＝4x ，所以k(kx)＝4x ，即k 2x ＝4x ，所以k 2＝4，解得k ＝±2，所以f(x)＝±2x.3. 已知f(x 2－1)＝x 4＋x 2－2，则f(x)＝__x 2＋3x(x ≥－1)__．解析：令x 2－1＝t(t ≥－1)，则x 2＝t ＋1，所以f(t)＝(t ＋1)2＋t ＋1－2＝t 2＋3t ，所以f(x)＝x 2＋3x(x ≥－1)．4. 已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x<1，－x －2a ， x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a 的值为__－34__．解析：因为a ≠0，f(1－a)＝f(1＋a)． 当a>0时，1－a<1<1＋a ， 则f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a ， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a ， 所以2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32(舍去)；当a<0时，1＋a<1<1－a ，则f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－a －1，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝3a ＋2，所以－a －1＝3a ＋2，解得a ＝－34.综上所述，a 的值为－34.5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x<0，－x ＋1，0<x ≤1，则f(x)－f(－x)>－1的解集为__⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]__．解析：当－1≤x<0时，0<－x ≤1，所以f(x)－f(－x)＝－x －1－(x ＋1)>－1，即－2x －2>－1，解得x<－12.又因为－1≤x<0，所以－1≤x<－12；当0<x ≤1时，－1≤－x<0，所以f(x)－f(－x)＝－x ＋1－(x －1)>－1， 即－2x ＋2>－1，解得x<32.又因为0<x ≤1，所以0<x ≤1.综上所述，原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]．1. 要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的x 的取值范围，同时也要注意变量的实际意义．2. 准确理解分段函数的定义、特点及应用．分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数．3. 你还有哪些体悟，写下来：___第7课__函数的性质(1)____1. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性．2. 掌握判断一些简单函数单调性的常用方法．3. 会运用函数图象理解和研究函数的单调性.1. 阅读：必修1第37～39页．2. 解悟：①圈出第37页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词；②如何求函数的单调区间？有哪些方法？③用定义法判断函数单调性的一般步骤和注意点；④对于基本初等函数，我们一般用什么方法求函数的最值？3. 践习：在教材空白处，完成第40页练习第1、2、5、7、8题.基础诊断1. 函数y ＝xx －1的单调减区间是__(－∞，1)，(1，＋∞)__．解析：因为y ＝x x －1＝1＋1x －1，所以该函数的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 2. 已知函数y ＝f(x)在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，则实数m 的取值范围为__(－∞，－1)∪(0，＋∞)__．解析：因为y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，所以m 2>－m ，即m 2＋m >0，解得m >0或m <－1，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．3. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为__(0，1]__．解析：由题意可知x>0，y′＝x －1x ，令y′≤0，则x －1x ≤0，即x 2－1x ≤0，解得－1≤x ≤1且x ≠0.又因为x>0，所以0<x ≤1，故该函数的单调减区间为(0，1]．4. 已知函数y ＝f(x)在R 上是减函数，点A (0，－2)，B (－3，2)在其图象上，则不等式－2<f (x )<2的解集为__(－3，0)__．解析：由题意得－2＝f (0)，2＝f (－3)，所以－2<f (x )<2，即f (0)<f (x )<f (－3)．又因为函数f (x )在R 上是减函数，所以－3<x <0，故该不等式的解集为(－3，0)．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练49含解析
随堂巩固训练(49)1. 若抛物线x 2＝ay 过点A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为 .(1，14)54解析：由题意可知，点A 在抛物线x 2＝ay 上，所以1＝a ，解得a ＝4，得x 2＝4y.由抛14物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线的焦点的距离为y A ＋1＝＋1＝14542. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是 y 2＝8x .解析：设抛物线的方程为y 2＝2px(p>0).因为－＝－2，所以2p ＝8，所以抛物线的方程p2为y 2＝8x.3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－＝1的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线y 23的标准方程是 y 2＝2x .解析：根据双曲线方程可知a ＝1，b ＝，所以c ＝＝2，所以左准线l 的方程为x ＝－31＋3，则可设抛物线的方程为y 2＝2px.因为－＝－，所以p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝2x.12p 2124. 抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是 4 .解析：由题意得焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，所以焦点到准线的距离为4. 5. 已知P 为抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到准线的距离为d 1，P 到点A(1，4)的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为 4 .解析：由y 2＝4x ，可知焦点坐标为F(1，0)，根据抛物线定义可知，P 到准线的距离d 1＝PF ，所以d 1＋d 2＝PF ＋PA.当A ，P ，F 三点共线时，d 1＋d 2取得最小值，为AF ＝4.6. 若抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点P 到y 轴的距离是 2 .解析：设F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，所以F ，准线方程为x ＝－.设点A(x 1，y 1)，B(x 2，(12，0)12y 2)，所以AF ＋BF ＝x 1＋＋x 2＋＝5，即x 1＋x 2＝4，所以线段AB 的中点P 的横坐标为1212x 1＋x 22＝2，故点P 到y 轴的距离为2.7. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交曲线C 于A ，B 两点，则AB 的长度为 12 .解析：由题意得抛物线的焦点F ，直线AB ：y ＝.由(34，0)33(x －34){y 2＝3x ，y ＝33(x －34))可得x 2－x ＋＝0，x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB ＝2129162129161＋(33)2×|x 1－x 2|＝×＝×＝12.23（x 1＋x 2）2－4x 1x 2232124－4×916 8. 以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 x 2＋(y －4)2＝64 .解析：因为抛物线x 2＝16y 的焦点F 为(0，4)，焦点到准线的距离为8，所以以点F 为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.9. 设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若·＝－4，OA → AF →则点A 的坐标为 (1，2)或(1，－2) .解析：依题意得点F(1，0)，设点A ，则＝，＝(1－，－y 0).因为·(y 4，y 0)OA → (y 4，y 0)AF → y 4OA →＝－4，所以－y ＝－4，解得y 0＝±2.则点A 的坐标为(1，2)或(1，－2).AF → y 4(1－y 4)2010. 已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为 x －y －1＝0 .解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，可得y ＝2x 1，y ＝2x 2，两式相减可得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2(x 1212－x 2).由P(2，1)为AB 的中点，可得y 1＋y 2＝2，即y 1－y 2＝x 1－x 2，则k AB ＝＝1，则y 1－y 2x 1－x 2直线AB 的方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.11. 已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，线段AB 的中点为M(2，2)，求△ABF 的面积.解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y ＝4x 1，①21y ＝4x 2，②2①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2).因为M(2，2)为AB 的中点，所以y 1＋y 2＝4，则k AB ＝＝＝＝1，y 1－y 2x 1－x 24y 1＋y 244故直线AB 方程为y ＝x.可设B 为坐标原点，则点A 的坐标为(4，4)，所以S △ABF ＝BF·|y A |＝×1×4＝2.121212. 如图，O 为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x于M(x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点.(1) 求x 1x 2与y 1y 2的值；(2) 求证：OM ⊥ON.解析：(1) 由题意得，直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)，①代入y 2＝2x ，可得k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0，②所以x 1x 2＝＝4.4k 2k2由y ＝2x 1，y ＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16.因为y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.212(2) 设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝，k 2＝，y 1x 1y 2x 2所以k 1k 2＝＝＝－1，y 1y 2x 1x 2－44所以OM ⊥ON.13. 已知F 为抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且AF ＝3.(1) 求抛物线E 的方程；(2) 已知点G(－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.解析：(1) 由题意得AF ＝2＋＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2p2＝4x.(2) 方法一：因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2，2由抛物线的对称性，不妨设点A(2，2).2由点A(2，2)，F(1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2(x －1). 22由得2x 2－5x ＋2＝0，{y ＝22（x －1），y 2＝4x )解得x ＝2或x ＝，所以点B .12(12，－2)又G(－1，0)，所以k GA ＝＝，k GB ＝－，22－02－（－1）223223所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，所以点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.方法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2.2由抛物线的对称性，不妨设点A(2，2).2由点A(2，2)，F(1，0)可得直线 AF 的方程为y ＝2(x －1).22由得2x 2－5x ＋2＝0.{y ＝22（x －1），y 2＝4x )解得x ＝2或x ＝，所以点B .12(12，－2)又G(－1，0)，故直线GA 的方程为2x －3y ＋2＝0，22从而r ＝＝.|22＋22|8＋94217又直线GB 的方程为2x ＋3y ＋2＝0，22所以点F 到直线GB 的距离d ＝＝＝r ，|22＋22|8＋94217所以以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练84含解析
随堂巩固训练(84)1. 因为正弦函数是奇函数，f(x)＝sin (x 2－1)是正弦函数，所以f(x)＝sin (x 2－1)是奇函数，以上推理 ③ .(填序号)①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确.解析：f(x)＝sin (x 2－1)不是正弦函数，是复合函数.f(－x)＝sin [(－x)2－1]＝sin (x 2－1)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故小前提错误，结论错误.2. 下列表述：①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. 其中正确的是 ①③⑤ .(填序号)解析：由归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，可知①③⑤正确.3. “因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”以上推理的大前提是 矩形的对角线相等 .4. 把“函数y ＝x 2的图象是一条抛物线”恢复成完整的三段论是 二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y ＝x 2是二次函数(小前提)，所以函数y ＝x 2的图象是一条抛物线(结论) Ｗ.5. “三角函数是周期函数，y ＝sin x ，x ∈是三角函数，所以y ＝sin x ，x ∈[－π2，π2][－π2，π2]是周期函数”. 在以上演绎推理中，下列说法正确的是 ③ .(填序号)①推理完全正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④推理形式不正确.解析：y ＝sin x ，x ∈是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，小前提[－π2，π2]不正确，导致整个推理结论错误.6. 定义[x]为不大于x 的最大整数，则[－2.1]＝ －3 .7. 已知在等差数列{a n }中，有＝，则在等比数列{b n }中，a 11＋a 12＋…＋a 2010a 1＋a 2＋…＋a 3030会有类似的结论： ＝ .10b 11b 12·…·b 2030b 1b 2·…·b 30解析：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，故此可得出结论＝.10b 11b 12·…·b 2030b 1b 2·…·b 30 8. 对于任意的两个实数对(a ，b)和(c ，d)，规定：(a ，b)＝(c ，d)，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：(a ，b)⊗(c ，d)＝(ac －bd ，bc ＋ad)；运算“⊕”为：(a ，b)⊕(c ，d)＝(a ＋c ，b ＋d). 设p ，q ∈R ，若(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)，则(1，2)⊕(p ，q )＝ (2，0) .解析：由(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)得解得所以(1，2)⊕(p ，q )＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，{p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，){p ＝1，q ＝－2，)0). 9. 关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ；③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ；④若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n.其中真命题的序号是 ②③ .解析：若m ∥α，n ∥β，则m ，n 可能平行也可能异面，也可以相交，①错误；若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ，n 一定垂直，②正确；若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ，n 一定垂直，③正确；若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ，n 可能相交、平行，也可能异面，④错误.10. 在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，求证：＝＋，那么在1AD 21AB 21AC 2四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.解析：如图1，由射影定理，得AD 2＝BD·DC ，AB 2＝BD·BC ，AC 2＝BC·DC ，所以＝＝＝. 1AD 21BD·DC BC 2BD·BC·DC·BC BC 2AB 2·AC 2又BC 2＝AB 2＋AC 2，所以＝＝＋.1AD 2AB 2＋AC 2AB 2·AC 21AB 21AC 2猜想：在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则＝＋1AE 21AB 2＋.1AC 21AD 2如图2，连结BE 并延长交CD 于点F ，连结AF.因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD.因为AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF.在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，所以＝＋.1AE 21AB 21AF 2因为AB ⊥AF ，AB ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，AD ，AF ⊂平面ADF ，所以AB ⊥平面AFD ，所以AB ⊥CD.因为CD ⊥AE ，AE ∩AB ＝A ，AB ，AE ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF ，所以CD ⊥AF.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，所以＝＋，1AF 21AC 21AD 2所以＝＋＋.1AE 21AB 21AC 21AD 2图1 图211. (1) 已知等差数列{a n }，b n ＝(n ∈N *)，求证：数列{b n }为等差数列；a 1＋a 2＋…＋a n n(2) 已知等比数列{c n }，c n >0(n ∈N *)，类比上述性质，写出一个真命题并加以证明.解析：(1) 设数列{a n }的公差为d ，因为b n ＝＝，n （a 1＋a n ）2n a 1＋a n 2则b n ＋1－b n ＝＝，a n ＋1－a n 2d 2所以数列{b n }为等差数列.(2) 类比命题：若数列{c n }为等比数列，c n >0(n ∈N *)，d n ＝，则数列{d n }为等n c 1c 2·…·c n 比数列.设数列{c n }的公比为q (a ≠0)，因为d n ＝＝，n （c 1c n ）n2 c 1c n 所以＝＝，d n ＋1dn c n ＋1c n q 所以数列{d n }为等比数列.12. 在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C>cos A ＋cos B ＋cos C.解析：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B>，所以A>－B.π2π2因为y ＝sin x 在上是增函数，(0，π2)所以sin A>sin ＝cos B ，(π2－B )同理可得sin B>cos C ，sin C>cos A ，所以sin A ＋sin B ＋sin C>cos A ＋cos B ＋cos C.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练32含解析
随堂巩固训练(32)1. 已知sin2α＝，则cos 2＝____．23(α＋π4)16解析：因为sin2α＝，所以cos 2＝＝＝.23(α＋π4)1＋cos (2α＋π2)21－sin2α2162. 在△ABC 中，·＝tanA ，当A ＝时，△ABC 的面积为____．AB → AC → π616解析：由题意得·＝，则||||＝，所以△ABC 的面积S ＝||||·sinA ＝AB → AC → 33AB → AC → 2312AB → AC →××＝.122312163. 将函数y ＝sin2x －1的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所π4得图象的函数解析式为__y ＝cos2x__．解析：将函数y ＝sin2x －1的图象向左平移个单位长度得到函数y ＝cos2x －1的图象，π4再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝cos2x. 4. 已知0<α<<β<π，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝__－__．π2134562＋415解析：因为cosα＝，且0<α<<β<π，所以sinα＝＝，cosβ<0.因为cos(α＋β)＝13π21－cos 2α223－，<α＋β<，所以sin(α＋β)＝±＝±，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α45π23π21－cos 2（α＋β）35＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－或(舍)，所以cosβ＝－.4＋621562－41562＋4155. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且＋≥1，sinA sinB ＋sinC sinC sinA ＋sinB则B 的取值范围是____．(0，π3]解析：因为＋≥1，所以由正弦定理得＋≥1，即a 2＋c 2－sinA sinB ＋sinC sinC sinA ＋sinB a b ＋c c a ＋bb 2≥ac ，所以由余弦定理得cosB ＝≥＝.因为B 为三角形的内角，所以B ∈.a 2＋c 2－b 22ac ac 2ac 12(0，π3]6. 若△ABC 的内角A ，B 满足＝2cos(A ＋B)，则tanB 的最大值为____．sinB sinA 33解析：因为sinA>0，sinB>0，所以＝2cos(A ＋B)＝－2cosC>0，所以cosC<0，所以C sinB sinA为钝角，所以sinB ＝－2sinAcosC.又sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ，所以sinAcosC ＋cosAsinC ＝－2sinAcosC ，即cosAsinC ＝－3sinAcosC ，所以tanC ＝－3tanA ，所以tanB ＝－tan(A＋C)＝－＝＝≤＝，当且仅当＝3tanA 时等号tanA ＋tanC 1－tanAtanC 2tanA 1＋3tan 2A 21tanA＋3tanA 223331tanA 成立，即tanB 的最大值为.337. 设向量a ＝(sinx ，cosx)，b ＝(sinx ，sinx)，x ∈R ，函数f(x)＝a ·(a ＋2b )，则满足3不等式f′(x)≥2的x 的取值范围为__{x|kπ－≤x ≤kπ＋，k ∈Z }__．π12π4解析：f(x)＝a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2(sin 2x ＋sinxcosx)＝1＋1－cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x －)＋2，则f′(x)＝4cos .由f′(x)≥2，得cos ≥，所以2kπ－3π6(2x －π6)(2x －π6)12π3≤2x －≤2kπ＋(k ∈Z )，即kπ－≤x ≤kπ＋(k ∈Z )．π6π3π12π4 8. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a 2＋b 2＋c 2＝2absinC ，3则△ABC 的形状是__等边三角形__．解析：在△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝2absinC ①，又由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ②，3①＋②得2(a 2＋b 2)＝2ab(sinC ＋cosC)＝4absin ，所以sin ＝≥＝1(当3(C ＋π6)(C ＋π6)a 2＋b 22ab 2ab 2ab且仅当a ＝b 时取等号)．又sin ≤1，所以sin ＝1.因为C 是三角形的内角，所以C ＝(C ＋π6)(C ＋π6).又a ＝b ，所以△ABC 为等边三角形. π3 9. 设函数f(x)＝2sin ，若对于任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|(π2x ＋π5)的最小值为__2__．解析：易知周期T ＝＝4.因为对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使得f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)恒成立，2ππ2所以f(x 1)是最小值，f(x 2)是最大值，所以|x 1－x 2|的最小值为半个最小正周期，所以最小值为T ＝2.1210. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，则cosC 的最小值为____．12解析：由cos2A ＋cos2B ＝2cos2C 得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2(1－2sin 2C)，所以sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C.由正弦定理得a 2＋b 2＝2c 2.由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ，得a 2＋b 2＝c 2＋2abcosC ＝2c 2，所以cosC ＝＝≥＝，当且仅当a ＝b 时取等号，所以cosC 的最c 22ab a 2＋b 24ab 2ab 4ab 12小值为. 1211. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且△ABC 的面积为S ，·＝AB → AC →S.32(1) 求cosA 的值；(2) 若a ，b ，c 成等差数列，求sinC 的值．解析：(1) 由·＝S 得bccosA ＝×bcsinA ，即sinA ＝cosA ，AB → AC → 32321243代入sin 2A ＋cos 2A ＝1，整理得cos 2A ＝.925由sinA ＝cosA 知cosA>0，所以cosA ＝. 4335(2) 由a ，b ，c 成等差数列，可得2b ＝a ＋c.由正弦定理可得2sinB ＝sinA ＋sinC ，即2sin(A ＋C)＝sin A ＋sin C ，将cosA ＝，sinA ＝cosA ＝代入上式并整理得 cosC ＝，3543454－sinC 8代入sin 2C ＋cos 2C ＝1整理得65sin 2C －8sinC －48＝0，解得sinC ＝或sinC ＝－.121345因为C ∈(0，π)，所以sinC ＝. 121312. 已知向量m ＝，n ＝，函数f(x)＝m ·n .(3sin x 4，1)(cos x 4，cos 2x 4)(1) 若f(x)＝1，求cos 的值；(2π3－x )(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足acosC ＋c ＝b ，求f(B)12的取值范围．解析：(1) 由题意知f(x)＝sin cos ＋cos 2＝sin ＋cos ＋3x 4x 4x 432x 212x 212＝sin ＋＝1，所以sin ＝，(x 2＋π6)12(x 2＋π6)12所以cos ＝2cos 2－1＝2sin 2－1＝－. (2π3－x )(π3－x 2)(x 2＋π6)12(2) 因为acosC ＋c ＝b ，12所以由余弦定理得a·＋c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，a 2＋b 2－c 22ab 12所以cosA ＝＝.b 2＋c 2－a 22bc 12因为0<A<π，所以A ＝，所以B ＋C ＝，π32π3所以0<B<，所以0<<，所以<＋<，2π3B 2π3π6B 2π6π2所以1<sin ＋<，所以f(B)的取值范围是. (B 2＋π6)1232(1，32)13. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且cosB ＝.34(1) 若·＝，求a ＋c 的值；BA → BC → 32(2) 求＋的值．cosA sinA cosC sinC解析：(1) 由·＝得accosB ＝.因为cosB ＝，所以b 2＝ac ＝2.BA → BC → 323234由余弦定理 b 2＝a 2＋c 2－2accosB 得a 2＋c 2＝b 2＋2accosB ＝5，所以(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝9，即a ＋c ＝3.(2) 由cosB ＝得sinB ＝.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sinAsinC ，3474于是＋＝＝＝＝＝＝. cosA sinA cosC sinC sinCcosA ＋cosCsinA sinAsinC sin （A ＋C ）sinAsinC sinB sinAsinC sinB sin 2B 1sinB 477。
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随堂巩固训练(20)
1. 函数f(x)＝x 2
＋cosx ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的单调减区间是__⎝⎛⎭⎫π6，π2__． 解析：f′(x)＝12－sinx ，令f′(x)<0得sinx>12.因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π6<x<π2
，所以函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的单调减区间为⎝⎛⎭
⎫π6，π2. 2. 若直线y ＝kx 是曲线y ＝lnx 的切线，则k 的值为__1e
__． 解析：设切点为(x 0，y 0)．因为y′＝1x ，所以1x 0＝k ，即x 0＝1k ，y 0＝kx 0＝1，所以1＝ln 1k
，解得k ＝1e
. 3. 若a>2，则关于x 的方程13
x 3－ax 2＋1＝0在区间(0，2)上恰好有__1__个根． 解析：设f(x)＝13
x 3－ax 2＋1，则f ′(x)＝x 2－2ax ＝x(x －2a)．当x ∈(0，2)时，因为a>2，所以x －2a<0，即f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，2)上为减函数．又f(0)·f(2)＝1×⎝⎛⎭⎫83－4a ＋1＝
113
－4a<0，所以f(x)＝0在区间(0，2)上恰好有1个根． 4. 已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．
解析：f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．因为f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0，即a 2－a －2>0，解得a>2或a<－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
5. 设x ＝－2与x ＝4是f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则a ＝__－3__，b ＝__－24__． 解析：因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为x ＝－2和x ＝4，所以
⎩
⎨⎧－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b 3
，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24. 6. 设f(x)是定义在R 上的函数，f(x ＋6)＝f(x)，且当x ∈(0，3)时，f′(x)<0，y ＝f(x)的图象关于直线x ＝3对称，则f(1.5)，f(3.5)，f(6.5)的大小关系是__f(6.5)>f(1.5)>f(3.5)__．
解析：f(6.5)＝f(0.5＋6)＝f(0.5)，f(3.5)＝f(3＋0.5)＝f(3－0.5)＝f(2.5)．又函数f(x)在区间(0，3)上单调递减，所以f(2.5)<f(1.5)<f(0.5)，即f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)．
7. 设函数f(x)＝12
x 2－9lnx 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是__(1，2]__．
解析：因为f(x)＝12x 2－9ln x ，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x －9x
.因为x>0，所以f′(x)＝x －9x
<0，解得0<x<3.因为函数f(x)在[a －1，a ＋1]上单调递减，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.
8. 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数且f(1)＝0，当x>0时，xf′（x ）－f （x ）x 2
>0，则不等式xf(x)>0的解集是__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．
解析：令g(x)＝f （x ）x (x ≠0)，则g′(x)＝xf′（x ）－f （x ）x 2.因为当x>0时，
xf′（x ）－f （x ）x 2
>0，即g′(x)>0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．又f(1)＝0，所以g(1)＝f(1)＝0，所以在区间(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)．因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以在区间(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1)．由xf(x)>0得g(x)>0(x ≠0)，所以不等式xf(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
9. 已知曲线y ＝x ＋lnx 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则实数a 的值为__8__．
解析：因为y′＝1＋1x
，所以曲线y ＝x ＋ln x 在x ＝1处的切线斜率k ＝2，故切线方程为y ＝2x －1.由于切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，得ax 2
＋ax ＋2＝0.又因为a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.
10. 已知函数y ＝f(x)在定义域⎝⎛⎭
⎫－32，3上可导，其图象如图所示，
记函数y ＝f(x)的导函数为y ＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为
__⎣⎡⎦
⎤－13，1∪[2，3)__． 解析：由图象可知，函数f(x)在区间[－13
，1]与[2，3)上单调递减，所以f′(x)≤0的解集为⎣⎡⎦
⎤－13，1∪[2，3)． 11. 已知函数f(x)＝x 2＋bsinx －2(b ∈R )，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x ，恒有F(x)－F(－x)＝0.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋2(x ＋1)＋alnx 在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的取值范围． 解析：(1) F(x)＝f(x)＋2＝x 2＋bsinx －2＋2＝x 2＋bsinx.
依题意，对任意实数x ，恒有F(x)－F(－x)＝0.
所以x 2＋bsinx －(－x)2－bsin(－x)＝0，即2bsinx ＝0，
所以b ＝0，所以f(x)＝x 2－2.
(2) 由(1)知g(x)＝x 2＋2x ＋alnx ，则g′(x)＝2x ＋2＋a x
. 因为函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，
所以g′(x)＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x
≤0在区间(0，1)上恒成立， 所以a ≤－(2x 2＋2x)在区间(0，1)上恒成立．
因为y ＝－(2x 2＋2x)在区间(0，1)上单调递减，所以a ≤－4，
所以实数a 的取值范围是(－∞，4]．
12. 设函数f(x)＝e x －ax 2－ex －2，其中e 为自然对数的底数．
(1) 当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 若函数h(x)是函数f(x)的导函数，求函数h(x)在区间[0，1]上的最小值．
解析：(1) 当a ＝1时，f(x)＝e x －x 2－ex －2，f′(x)＝e x －2x －e ，
所以f(1)＝e 1－12－e ×1－2＝－3，f′(1)＝－2，
所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即2x ＋y ＋1＝0.
(2) 由题意得h(x)＝f′(x)＝e x －2ax －e ，所以h′(x)＝e x －2a.
当a<12
时，因为x ∈[0，1]，1≤e x ≤e ， 所以2a<e x 恒成立，即h′(x)＝e x －2a>0，
所以h(x)在区间[0，1]上单调递增，所以h(x)≥h(0)＝1－e ；
当a>e 2
时，因为x ∈[0，1]，1≤e x ≤e ， 所以2a>e x 恒成立，即h′(x)＝e x －2a<0，
所以h(x)在区间[0，1]上单调递减，所以h(x)≥h(1)＝－2a ；
当12≤a ≤e 2
时，由h′(x)＝e x －2a ＝0，得x ＝ln2a ， 所以h(x)在区间[0，ln2a]上单调递减，在区间[ln2a ，1]上单调递增， 所以h(x)≥h(ln2a)＝2a －2aln2a －e.
综上所述，h(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－e ， a<12
，2a －2aln 2a －e ， 12≤a ≤e 2，－2a ， a>12
.
13. 已知函数f(x)＝x 2＋alnx.
(1) 当a ＝－2时，求函数f(x)的单调减区间；
(2) 若g(x)＝f(x)＋2x
在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a ＝－2时，f(x)＝x 2－2lnx ，所以f′(x)＝2x －2x ＝2（x 2－1）x
， 由f′(x)<0，得－1<x<1.
又x>0，所以当a ＝－2时，函数f(x)的单调减区间为(0，1)．
(2) 由题意知g(x)＝x 2＋alnx ＋2x ，所以g′(x)＝2x ＋a x －2x 2. 因为函数g(x)在区间[1，＋∞)上为单调增函数，所以g′(x)＝2x ＋a x －2x 2≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x
－2x 2在区间[1，＋∞)上恒成立． 令h(x)＝2x －2x 2，则h′(x)＝－2x 2－4x<0， 所以函数h(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，所以h(x)max ＝h(1)＝0，所以a ≥0， 所以实数a 的取值范围为[0，＋∞)．。