初二暑.第7讲.相似三角形综合(一).课后作业

习题1． 如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=
∠=°．过C 点做对角线BD 的垂线，分别交BD ，AD 于点E ，F ，连接AC ，求证：DCF DAC △∽△
． F
E
D
C
B
A
【解析】在Rt BCD △中，CE BD ⊥，故由射影定理可以得到2
CD DE DB =⋅，
又观察到反“A ”模型，90A FED ∠=°=∠，FDE BDA ∠=
∠， ∴FDE
BDA △∽△，DE DB DF DA ⋅=⋅∴，故2
CD DF DA =⋅．
∵FDC CDA ∠=
∠，CD FD
AD CD
=，∴DCF DAC △∽△．
习题2． 如图，已知AD 、CF 是ABC △的两条高，EF AC ⊥与E ，交CB 延长线于G ，交AD 于H ，
求证：2
EF EH EG =⋅．
G H
F
E
D C
B A
7
相似三角形 综合（一）
【解析】∵CF AB ⊥，EF AC ⊥，∴2
EF AE CE =⋅，
又由AD BC ⊥可知，90AEH CEG ∠=∠=°，AHE GCE ∠=∠， ∴AEH GEC △∽△
，∴
EH AE CE EG
=，∴EH EG AE CE ⋅=⋅，∴2
EF EH EG =⋅．
习题3． 在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，
求证：33AB BF
AC CE
=． E
F D
A
C
B
【解析】法一：∵ABC FBD FDA
EDC △∽△∽△∽△，∴AB FB FD ED
AC FD FA EC
===，
∴
33AB FB FD ED BF DE AC FD FA EC CE AF ⋅=⋅⋅=⋅，又∵AF DE =，∴33AB BF
AC CE
= 法二：由ABD CAD △∽△
，可知AB DF AC DE =，又∵44AB FB FD
AC EC ED
⋅=⋅， ∴
3434AB AB AC FB FD DE BF
AC AC AB EC ED DF CE ⋅=⋅=⋅=⋅．
习题4． 如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于D ，作EAC B ∠=
∠，AE 与BC 延长线交于E ，若3AD =，4DE =，求:DC CE 的值．
E
C
D
B
A
【解析】∵3AD =，4DE =，∴5AE =，∵90BAC ∠=°，AD BC ⊥于D ，∴B DAC ∠=
∠，EAC B ∠=∠∵，∴DAC EAC ∠=∠，∴3
5
DC AD CE AE ==．
习题5． 在ABC △中，A ∠与A ∠相邻的外角平分线交BC 和它的延长线于D 、E 两点，设DE 的中点
为O ，求证：⑴
BD BE DC EC
=，⑵ 2
OA OB OC =⋅，⑶ 22::OB OC AB AC =．
【解析】⑴ 由内角平分线性质得
BD AB DC AC =，由外角平分线性质得BE AB EC AC =．故有BD BE
DC EC
= ⑵ OD OE =∵，BD BO OD DC DO OC −=−∴
，BE BO OD EC DO OC +=+，即BO OD BO OD DO OC DO OC −+=−+， 运用等比定理得到BO OD OD OC
=，2
OD BO OC =⋅∴ ()1902
DAE BAC CAF ∠=
∠+∠=°∵，22AO OD BO OC ==⋅∴． ⑶ 由上题知BO OD BO OD AB
DO OC DO OC AC
−+==
−+， 平方得到22222
222222222BO OD BO OD BO OD BO DO AB DO OC DO OC DO OC DO OC AC +−⋅++⋅=
=+−⋅++⋅， 由等比定理得到22
44AB BO OD BO AC DO OC OC
⋅==⋅，即22::OB OC AB AC =．
习题6． 已知如图，CD 是Rt ABC △斜边AB 上的高，BAC ∠的平分线AE 交CD 于H ，交BCD ∠的平
分线CF 于G ．求证：HF BC ∥．
B
G E H
F
D A
C
【解析】∵ABC △是直角三角形．CD 是斜边上的高，容易证明有如下三角形相似．
ABC ACD
CBD △∽△∽△．有如下比例关系：AB AC CB
AC AD CD
==．
∵AH 是ACD △的角平分线，∴有AC CH
AD HD
=， ∵CF 是CBD △的角平分线，∴有CB BF
CD FD
= ∴有CH BF
HD FD
=，∴HF BC ∥．
习题7． 在ABC △中，2AC AB =，A ∠的平分线交BC 于D ，过D 分别作AB 、AC 的平行线，交AC 、
AB 于F 、E ，FE 和CB 的延长线交于点G ．求证：EF EG =．
G
E
F
D
C
B
A
【解析】如图，由DE AC ∥，DF AB ∥，及AD 平分BAC ∠，知1
2
GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====，
故2GF GE =，∴EF EG =．
习题8． 已知，等腰ABC △中，AB AC =，D 是BC 中点，CF BC ⊥，E 是AB 上任一点，延长ED 与
CF 交于点F ，M 、N 分别是ED 、DF 中点．求证：AD 平分MAN ∠．
N
M
F E D
C
B
A
【解析】连结CN 、CE ，CE 与AD 交于点K ，
∵AB AC =，D 是BC 中点，
∴AD 平分BAC ∠，AD BC ⊥，
∴AE EK
AC CK
=，∵CF BC ⊥，∴AD CF ∥， ∴
EK ED
KC DF
=， 又∵12EM DE =
，12CN DF =，∴DE EM DF CN =，AE EM
AC CN
=∴， ∵AEM B BDE ACB CDF ACB DCN ACN ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴AEM ACN △∽△
，∴EAM CAN ∠=∠，DAM DAN ∠=∠，∴AD 平分MAN ∠．
K
A
B
C
D
E
F M
N
习题9． 设D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，BDC ∠及ADC ∠的角平分线分别交BC 及AC 于点M 、N ．求证：
112EF DC MN +=． 【解析】 由角平分线性质，有BM DB
MC DC
=，AN AD NC DC =． 而AD DB =，故BM AN
MC NC
=， 从而MN AB ∥，即有AB AC BC
MN CN CM
==
． 又由
BM DB MC DC
=，有DB DC BM MC BC AB DC MC MC MN ++===． 又由
12EF AB DB ==，得2EF AB DB DC EF DC MN MN DC DC ++===，故112EF DC MN
+=．
N M F
E D C B A。