机械能守恒

解析 : 设小物块的质量为m, 经A处时的速度为v,由A到D经 1 2 1 2 历的时间为t, 有 mv0 mv 2mgR 2 2 1 2 2 R gt , s vt 2 由三式联立解得s 1 m.
例4.(2011年福建省模拟)如图是为了检验某种防护罩承受冲击 力的装置．M是半径为R＝1.0 m的固定于竖直平面内的1/4光 滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，N为待检验的固定曲面，该 曲面在竖直面内的截面为半径r＝（0.69）1/2 m的1/4圆弧，圆 弧下端切线水平且圆心恰好位于M轨道的上端点，M的下端相 切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢珠．假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过M的上端 点，水平飞出后落到曲面N的某一点上，取g＝10 m/s2.求： (1)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep多大？(2)钢珠从M圆弧 轨道最高点飞出至落到圆弧N上所用的时间是多少？(结果保 留两位有效数字)
答案：(1)0.15 J (2)0.24 s
考点二：多物体组成系统机械能守恒
例5．如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑
定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于
地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳 刚好拉紧．从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度 为( B ) B．1.5h
θ=30°的位置由静止释放,求小球运动到最低点时绳
子受到的拉力是多大.
解析:对球的运动分析及受力分析如图所示:
答案:3.5mg
设悬线长为l, 小球被释放后, 先做自由落体运动, 直到下落高 度为h 2lsin l, 处于松弛状态的细绳被拉直为止.这时, 小 球的速度竖直向下, 大小为v 2 gl .当绳被拉直时, 在绳的冲 力作用下, 速度v的法向分量v n 减为零(相应的动能转化为绳 的内能); 小球以切向分量v t vcos30开始做变速圆周运动到 1 最低点根据后一过程中机械能守恒, 有 m(vcos30) 2 mgl . 2 1 (1 cos60) mv A 2 , 在最低点A根据牛顿第二定律, 有F 2 2 2 vA vA mg m , 所以, 绳的拉力为F mg m 3.5mg . l l
体以上组成的系统，只有重力或系统内弹力做功，
其他力不做功或做功代数和为零，该系统机械能 守恒。 （2）用能量转化来判定 若系统中只有动能和势能 的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，该 系统机械能守恒。
例2.下面列举的各个实例中(除a外都不计空气阻力), 哪些情况机械能是守恒的( )
a.跳伞员带着张开的降落伞在空气中匀速下落
时,水电站将水的重力势能转化为电能,转化的效率为15%,
每天两次涨潮,问该电站一天最多能发多少电?
解析 : 涨潮末关上闸门, 退潮时关上水坝闸门, 坝内水面比 坝外高出2 m, 发电时高出的水通过发动机流向坝外, 最终 水位由20 m降至18 m, 水减少的重力势能一部分转变成电 h 1 能.重力势能的减少量 : Ep mg Sh 2 g 2 2 1 一天最多发的电能为 : E 2 Ep 15% 2 1.0 103 2 1.0 107 22 10 0.15 J 6 1010 J .
练习
1.将甲､乙两物体自地面同时上抛,甲的质量为m,初速
度为v,乙的质量为2m,初速度为 v/2
力,以地面为零势能面则( A.甲比乙先到最高点 B.甲和乙在最高点的重力势能相等 )
.若不计空气阻
C.落回地面时,甲的动量的大小比乙的大
D.落回地面时,甲的动能比乙的大
答案:D
2.如图所示,固定在竖直平面内的光滑3/4圆弧轨道ABCD,其A点与圆心等高,D点为轨道最高点,AC为圆弧的一 条水平直径,AE为水平面.现使小球自A点正上方O点处
三､机械能守恒定律
知识讲解
1.内容:在只有重力或弹力做功的物体系 统内,动能与势能可以互相转化,而总的
机械能保持不变.这叫做机械能守恒定
律.
2.机械能是否守恒的判定方法：
（1）用做功判定 对于单一物体，即物体与地球组
成的系统，只有重力做功，其他力不做功或做功
代数和为零
例6.如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和 b之间，用一根长为L的轻杆连接(杆的质量可不 计)，而小球可绕穿过轻杆中心O的水平轴无摩擦 转动，现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释 放，重球b向下，轻球a向上，产生转动，在杆转 至竖直的过程中( ) A．b球的重力势能减小，动能增加，b球机械能守 恒 B．a球的重力势能增加，动能减小，a球机械能守 恒 C．a球和b球的总机械能守恒 D．a球和b球的总机械能不守恒
2M－ 2mgR . 2M＋m
考点三､绳子在某一瞬间突然绷紧的问题
一般绳子在拉直､绷紧的瞬间,与之相关的物体将损
失机械能,损失的机械能转化为绳子的内能(类似碰
撞).所以对于有绳子参与,且绳子有拉直等情况出 现的系统,系统的机械能是不守恒的,一定会有一部 分机械能转变为内能.
例8.如图所示,摆球的质量为m,从偏离水平方向
b.抛出的手榴弹或标枪在空中运动
c.拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升(见图1)
d.在光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧,把弹簧压缩后,
又被弹回来(见图2)
e.用细线拴着一个小球,使小球在光滑水平面上做匀速圆周
运动
f.用细线拴着一个小球,使小球在竖直面内做圆周运动
答案:bdef 解析:判断机械能是否守恒,根据是它的守恒条件.上面的习题 b\,f中,物体只受重力作用,因而机械能守恒.a中受到空气阻 力;c中受到斜向上的拉力,且这些力对物体做功,所以机械能
答案:6×1010 J
二､弹性势能
知识讲解
1.定义:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹
力的相互作用而具有的势能叫弹性势能.
说明:①弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点
因相对位置改变而具有的能量,因而也是对系统而
言的. ②弹性势能也是相对的,其大小在选定了零势能点后 才有意义.对弹簧,零势能点一般选弹簧自由长度时 为零. ③用力拉或压弹簧,弹簧克服弹力做功,弹性势能增加.
思路点拨：钢珠运动过程中只有弹簧弹力和重力做功，机械能守恒，可根据圆周运动、 平抛运动的基本知识求解．
解析：(1)设钢珠在轨道 M 最高点的速度为 v，在 M 的最低端速度为 v0，则在最高点， v2 由题意得 mg＝m ① R 从最低点到最高点，由机械能守恒定律得： 1 2 1 mv0＝mgR＋ mv2② 2 2 由①②得：v0＝ 3gR③ 设弹簧的弹性势能为 Ep，由机械能守恒定律得： 1 3 Ep＝ mv2＝ mgR＝0.15 J．④ 0 2 2 (2)钢珠从最高点飞出后，做平抛运动 x＝vt⑤ 1 y＝ gt 2⑥ 2 由几何关系 x2＋y2＝r2⑦ 联立⑤⑥⑦得 t＝0.24 s.
2.弹簧弹性势能的表达式
如果弹簧的自由长度为零势能点,弹性势能的表达式
为Ep=kx2/2.
( 式中的x为相对于自由长度的形变量. ) 3.弹力做功与弹性势能的关系 W弹=-ΔEp. 当弹簧的弹力做正功时,弹簧的弹性势能减小,弹性 势能变成其他形式的能;当弹簧的弹力做负功时,弹 簧的弹性势能增大,其他形式的能转化为弹簧的弹 性势能.
• 思路点拨：可根据能量转化的角度来判断． • 解析：因a、b两小球用轻杆相连，当b球下降时， a球在杆的带动下上升，故b球减少的重力势能除 增加b球动能外，还增加a球的动能和势能，故b 球机械能不守恒，而a球势能增加，动能也增加， 故a球机械能也不守恒．由a、b两球组成的系统 在运动中除动能和势能外没有其他形式的能转化， 所以系统机械能守恒．选项C正确． • 答案：C.
正、负,当物体在参考平面之上时,重力势能Ep为正
值;当物体在参考平面之下时,重力势能Ep为负值. 注意物体重力势能的正、负的物理意义是表示比 零势能大,还是比零势能小,这与功的正、负的物理 意义是不同的.如10 J的重力势能大于-100 J的重力 势能.
④重力势能的变化是绝对的.物体从一个位置
到另一个位置的过程中,重力势能的变化与
变式训练：上例题中，a、b球由水平转至竖 直的过程中，杆分别对a、b两球做正功还 是负功？两球的机械能分别改变了多少？
答案：杆对 a 球做正功，杆对 b 球做负功． 2 a 球机械能增加 mgL. 3 2 b 球机械能减少 mgL. 3
例7(能力题)内壁及边缘光滑的半球形容器， 半径为R，质量为M和m的两个小球用不可 伸长的细线相连，现将M由静止从容器边缘 内侧释放，如图所示，试计算M滑到容器底 时，两者的速率各为多大？
参考平面的选取无关,它的变化是绝对性的.
我们关注的是重力势能的变化,这意味着能
的转化问题.
3.重力做功与重力势能的关系 ①重力做功的特点 重力做功与路径无关，只与初末位置的 高度差 有关，大小：WG＝mgh1-mgh2 ② 其 定 量 关 系 式 为 :WG=-ΔEp=-(Ep2-Ep1)=Ep1Ep2(即重力对物体所做的功等于物体重力势能的 增量的负值); 重力对物体做正功时,物体的重力势能减少,减少的重 力势能等于重力所做的功; 重力对物体做负功(或者说物体克服重力做功)时,物 体的重力势能增加,增加的重力势能等于物体克服 重力所做的功;
机械能守恒定律及其应用
第一关:基础关 展望高考 基础知识 一､重力势能 知识讲解 1.定义:物体由于被举高而具有的能. 2.公式:Ep=mgh 此公式表明:物体的重力势能等于它所受的重力与所 处高度的乘积.
说明:①系统性：重力势能是物体和地球所组成的系
统共同具有的能量,而不是地球上物体独有的,通常
不守恒.e中小球虽然受到细绳的拉力,但该力不做功,故机械能
守恒.d中,小球和弹簧除受到弹力作用外,还受地面对小球的 支持力和墙壁对弹簧的作用力,但这两个力不做功,故该系统