四川省自贡市2015年中考数学真题试题(含解析)

四川省自贡市2015年初中毕业生学业考试 数学试题一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1、12-的倒数是（ ）A ．2-B ．2C ．12 D ．12- 考点：倒数分析：倒数容易与相反数混淆，倒数是1除以一个不等于0的商；注意倒数符号不会发生改变.略解：⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭1122，故选A .2、将.320510-⨯用小数表示为 （ ） A..0000205 B..00205 C..000205 D..000205- 考点：科学记数法 分析：在数学上科学记数法是把一个数A 记成⨯n a 10的形式，其中a 要写成整数为一位的数；要注意的是当<A 1时，指数n 是一个负整数，这里的.-=3100001，实际上通过指数可以确定第一个有效数字前面0的个数为3个.略解：....-⨯=⨯=3205102050001000205，故选C .3、 方程-=+2x 10x 1的解是（ ） A.1或-1 B.-1 C.0 D.1 考点：解分式方程、分式方程的解. 分析：解分式方程关键是去分母化为整式方程来解，但整式方程的解不一定是分式方程的解，要注意代入最简公分母验根（代入最简公分母后所得到值不能为0）.略解：去分母：-=2x 10，解得：,==-12x 1x 1；把,==-12x 1x 1代入+=x 10后知=-x 1不是原分式方程的解，原分式方程的解=x 1.故选D .4. 如图是一种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是 （ ）考点：立体图形的三视图、俯视图.分析：立体图形的俯视图是从上面看立体图形所得到的平面图形. 略解：从上面看圆顶螺杆得到俯视图是两个圆.故选B .5、如图，随机闭合开关123S S S 、、中的两个，则灯泡发光的概 率为 （ ） A.34 B.23 C.13 D.12 考点：概率分析：通过列举法列举出所有等可能的结果数，找出关注的结果数，即可进一步求出泡发光的概率.略解：随机闭合开关123S S S 、、中的的两个，有闭合开关12S S 、，闭合开关23S S 、，闭合开A B CD 1S 3S 2S关13S S 、三种情况；其中闭合开关23S S 、，闭合开关13S S 、时灯泡发光，所以灯泡发光的概率为23.故选B .6、若点()()(),,,,,112233x y x y x y 都是反比例函数1y x=-图象上的点，并且123y 0y y <<< ，则下列各式正确的是（ ） A.123x x x << B.132x x x << C.213x x x <<考点：反比例函数的图象及其性质 分析：反比例函数1y x=-的y 与x 的变化关系，要注意反比例 函数的图象是双曲线的特点；由于k 10=-<时，在每一个象限．．．．． 内．y 随着x 的增大而增大；本题从理论上分析似乎有点抽象，也容易判断出错；若用“赋值”或“图解”且不容易出错.略解：用“图解”的办法.如图123y 0y y <<<，过123y y y 、、处作垂线得与双曲线的交点，再过交点作x 轴的垂线得对应的,,123x x x 图中可知231x x x <<.故选D .7、为庆祝抗战70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价a 元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的售价为 （ ） A.%a 10- B.%a 10⋅ C ．()%a 110- D ．()%a 110+ 考点：百分比问题、商品利润问题、方程思想.分析：本题抓住售价是在原价的基础降价10%产生的，实际上售价占原价的（1-10%）. 略解：()%a 110-。

故选C .8、小刚以400米/分的速度匀速骑车5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分的速度骑回出发地下列函数图象能表达这一过程的是 （ ）考点：函数的图象.分析：本题抓住函数的图象是表达的是距离原点的距离S (千米)与时间t （分）之间关系；主要根据在时间变化的情况下，与原地的距离远近来分析图象的变化趋势.略解：前面骑车5分钟S (千米)是随时间t （分）增大而增大至距离原地40052000m ⨯=处（即2千米），这一段图象由左至右呈上升趋势一条线段,线段末端点的坐标为（5,2）；原地休息的6分钟内都是距离原地2千米（即纵坐标为2不变），这一段图象表现出来是平行x 轴的一条线段.6分钟之后S (千米)是随时间t （分）增大而减小至距离原地为0千米（回到原地），即线段末端点的坐标为（15,0），这一段图象由左至右呈下降趋势一条线段. 故选C .9、如图，AB 是⊙O 的直径，弦,CD AB CDB 30CD ⊥∠==o ，,则阴影部分的面积为 （ ）A.2πB.πC.3πD.23π考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等.分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对A B C D A称图形和垂径定理，利用题中条件可知E是弦CD的中点,B是弧CD的中点；此时解法有三：解法一，在弓形CBD中，被EB分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形COB来求；解法二，连接OD,易证△ODE≌△OCE，所以阴影部分的面积之和转化到扇形BOD来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形COD的面积的一半.略解：∵AB是⊙O的直径，AB CD⊥∴E是弦CD的中点,B是弧CD的中点（垂径定理）∴在弓形CBD中，被EB分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质∴阴影部分的面积之和等于扇形COB的面积.∵E是弦CD的中点，CD=∴11CE CD22==⨯=∵AB CD⊥∴OEC90∠=o ∴COE60∠=o ,1OE OC2= . 在Rt△OEC中，根据勾股定理可知：222OC OE CE=+即2221OC OC2⎛⎫=+⎪⎝⎭.解得:OC2=;S扇形COB =2260OC60223360360πππ⨯⨯⨯⨯==o oo o.即阴影部分的面积之和为23π.故选D.10、如图，在矩形ABCD中，AB4AD6==，,E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△'EB F,连接'B D‘,则'B D‘的最小值是（）A. 2 B.6 C.2 D.4考点：矩形的性质、翻折（轴对称）、勾股定理、最值.分析：连接EA后抓住△DEB中两边一定，要使'DB的长度最小即要使'DEB∠最小(也就是使其角度为0°)，此时点'B落在DE上, 此时''DB DE EB=-.略解：∵E是AB边的中点，AB4=∴1AE EB AB22===∵四边形ABCD矩形∴A90∠=o∴在Rt△DAE根据勾股定理可知：222DE AE AD=+又∵AD6=∴ED==根据翻折对称的性质可知'EB EB2==∵△DEB中两边一定，要使'DB的长度最小即要使'DEB∠最小(也就是使其角度为0°)，此时点'B落在DE上（如图所示）.∴''DB DE EB2=-=-∴'DB的长度最小值为2-. 故选A二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）112-= .考点：绝对值、无理数、二次根式分析：2-值得正负，再根据绝对值的意义化简.EBAEB略解：2<20-<22-=12、若两个连续整数x y、满足x1y<+<，则x y+ .考点：无理数、二次根式、求代数式的值.分析：1值是在哪两个连续整数之间.略解：∵23<<∴314<+<∴,x3y4==∴x y347+=+=；故应填 7 .13、已知，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC3BC=,CD与⊙O相切于D点，若CD=则劣弧AD的长为 .考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等.分析：本题劣弧AD的长关键是求出圆的半径和劣弧AD所对的圆心角的度数.在连接OD后，根据切线的性质易知ODC90∠=o,圆的半径和圆心角的度数可以通过Rt△OPC获得解决.略解：连接半径OD.又∵CD与⊙O相切于D点∴OD CD⊥∴ODC90∠=o∵AC3BC=AB2OB=∴OB BC=∴1OB OC2=又OB OD=∴1OD OC2=∴在Rt△OPC cosOD1DOCOC2∠==∴DOC60∠=o ∴AOD120∠=o∴在Rt△OPC根据勾股定理可知：222OD DC OC+=∵CD=∴()222OD2OD+=解得：OD1=则劣弧AD的长为120OD120123180180πππ⨯⨯⨯⨯==o oo o. 故应填23π14、一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为 .考点：直角三角形的性质、等腰三角形、相似三角形的性质和判定等.分析：本题抓住一副三角板叠放的特点可知△AOB与△DOC是相似三角形，而相似三角形的面积之比是其相似比的平方.抓住在直角三角板△BCD容易求出BCDC的值，而直角三角板△ABC的AB BC= ,所以△AOB与△DOC 的相似比可以通过ABDC求得.略解：根据如图所示三角板叠放可知AB DCP∴△AOB∽△DOC∴2S AOB ABS DOC DC⎛⎫= ⎪⎝⎭VV 在直角三角板△BCD中BCD90B30∠=∠=o o，∵tan30=o∴tanBCBDC∠==又在直角三角板△ABC的AB BC=∴ABDC=∴2S AOB1S DOC3==VV.故应填 1:3 .15、如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP=并保留作图痕迹.14题A13题13题考点：矩形、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定.分析：本题根据勾股定理可求出在网格中的AB==，由于网格线中的对边平行，所以找点较容易，只需连接一对角线与AB的交点P就满足AP=（见图）；根据的是平行线所截得相似三角形的对应边成比例AP2PB=, 所以AP2AB3=，则2AP AB3==.略解：见图作法.三、解答题（共2个题，每题8分，共16分）16．解不等式：4x1x13-->，并把解集表示在数轴上.考点：解不等式、不等式的解集表示在数轴上.分析：求出每不等式的解集，把其解集表示在数轴上要注意标记解集的方向和起始位置应是空心圆圈还是实心点.略解：4x13x3-->在数轴上表示出来：x4>17．在□ABCD中，BCD∠的平分线与BA的延长线相交于点E ,BH BC⊥于点H.求证:CH EH=考点：平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义等.分析：平行线和角平分线结合往往会构建出等腰三角形.本题由平行四边形可得BE CDP，结合BCD∠的平分线与BA的延长线相交于点E可证得BE BC=；在△EBC中求证的CH EH=又与BH BC⊥证明：∵在ABCDY中BE CDP∴E2∠=∠∵CE平分BCD∠∴12∠=∠∴1E∠=∠∴BE BC=又∵BH BC⊥∴CH EH=(三线合一)四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）18．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在A处观测对岸C点，测得CAD45∠=o,小英同学在A处50米远的B处测得CBD30∠=o,请你根据这些数据算出河宽.（精确到0.01..14141732≈≈）考点：直角三角形的性质、三角函数、方程思想、分母有理化等.分析：本题所求得如图所示的河宽CE，若直接放在一个三角形求缺少条件，但表示河宽的CE同时是△AEC和△ABC的公共边，利用△AEC和△ABC的特殊角关系可以转移到边AE BE、来求，通过BE AE AB50-==米建立方程可获得解决.D15题略解：过点C 作CEAB ⊥于E ,设CE x =米.在Rt △AEC 中：,CAE 45AE CE x ∠===o 在Rt △ABC 中：,CABE 30BE ∠===o x 50=+ 解得：.x 256730=+≈ 答：河宽为67.30米.19．如图，在△ABC ，D E 、分别为AB AC 、边的中点.求证：考点：相似三角形的性质与判定、平行线的判定、三角形的中位线定理等.分析：本题证法不只一种，利用三角形的中位线定理很简单.若从相似形切入，根据题中条件易证△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的对应边成比例、对应角相等可以进一步证得.证明：∵D 是AB 的中点，E 是AC 的中点 ∴,AD 1AE 1AB 2AC 2== ∴AD AE AB AC= 又∵A A ∠=∠ ∴△ADE ∽△ABC ∴,AD DE 1ADE B AB BC 2==∠=∠ ∴=BC 2DE,BC DE P 即五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）20、利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m 长的篱笆围成一个面积为2200m 的矩形场地.求矩形的长和宽.考点：列方程解应用题、矩形的面积、解一元二次方程.分析：本题要注意58m 长的篱笆是三边靠墙围成一个面积为2200m 的矩形场地. 要求矩形的长和宽可以根据矩形的面积建立方程来获得解决.略解：如图，设垂直于墙的一边为x 米，得：()x 582x 200-=解得：,12x 25x 4==∴另一边长为8米或50米.答：当矩形的长为25米宽时8米，当矩形边长为50米时宽为4米.21、在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习.B 统计与概率⑴.图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度； ⑵.图2、3中的a = ，b = ；⑶.在60课时的总复习中，唐老师应该安排多少课时复习“图形与几何”的内容？考点：扇形图、条形图、统计表、百分比计算等.分析：⑴.图1中根据扇形图已知的百分比可以求出“统计与概率”的百分比，进一步求出其在扇形的圆心角度数；⑵.图2中的a 可以根据课时总数380课时求出“数与代数”的课时数，而图3的b 可以根据图2中的a 为依据求出；⑶. 唐老师应该安排多少课时复习“图形与几何”的内容，关键是抓住总复习课时和“图形与几何”所占的百分比计算.略解：⑴.图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 36 度； ⑵.图2、3中的a = 60 ，b = 14 ； ⑶.略解：依题意，得40%×60=24（课时.答：唐老师应安排24课时复习“图形与几何“内容.六、解答题（本题满分12分）22、观察下表:我们把某格中字母和．．．所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x y +.回答下列问题：⑴. 第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n 格的“特征多项式”为 ；⑵.若第1格的“特征多项式”的值为 -10，第2格的“特征多项式”的值为 -16. ①.求,x y 的值；②.在此条件下，第n 的特征是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n 值.若没有，请说明理由.考点：找规律列多项式、解二元一次方程组、二次函数的性质、配方求值等.分析：⑴. 本问主要是抓住x y 、的排列规律；x 在第n 格是按()n 1+排，每排是()n 1+个x 来排列的；y 在第n 格是按n 排，每排是n 个y 来排列的；根据这个规律第⑴问可获得解决.y x xx xy y y y x x x x x x x x xy y y y y y x x x xx x x x y y y x x x xx x x xL图形序号123L⑵.①.按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出,x y 的值.②.求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第n 格的“特征多项式”和求出了x y 、的值，所以可以建立最小值关于n 的二次函数，根据二次函数的性质最小值便可求得.略解：⑴. 第3格的“特征多项式”为 16x 9y + ，第4格的“特征多项式”为25x 16y +，第n 格的“特征多项式”为()22n 1x n y ++（n 为正整数）；⑵.①.依题意：4x y 109x 4y 16+=-⎧⎨+=-⎩ 解之得: 24x 726y 7⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩②.设最小值为W ,依题意得:()()()2222222426248242312W n 1x n y n 1n n n n 127777777=++=-++=--=--答：有最小值为-3127，相应的n 的值为12.七、解答题（本题满分12分）23、如图，已知抛物线()2y ax bx c a 0=++≠ 的对称轴为x 1=-，且抛物线经过()(),,,A 10C 03两点，与x 轴交于点B .⑴.若直线y mx n =+经过B C 、两点，求直线BC 所在直线的解析式；⑵. 抛物线的对称轴x 1=-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出此点M 的坐标；⑶.设点P 为抛物线的对称轴x 1=-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标.考点：二次函数的性质、待定系数法求解析式、轴对称的性质、三角形三边之间关系、勾股定理及其逆定理、分类讨论的思想、解方程等.分析：⑴.B C 、两点是抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与坐标轴的交 点，根据题中提供的对称轴和()(),,,A 10C 03可以确定抛物线的解析式，再通过抛物线的解析式可求出B C 、两点的坐标，进一步可求出直线BC 所在直线的解析式⑵.要求点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，关键是 作出A 或C 关于直线x 1=-为对称轴的对称点，根据二次函 数图象及其性质，A 关于直线x 1=-的对称点恰好是B ；根据 轴对称的性质和三角形三边之间的关系可知，此时M 到点A 的距离与到点C 的距离之和即CM AM +的值最小；M 是直线x 1=-和直线BC 的交点，所以把x 1=-代入⑴问中求出的BC 所在直线的解析式便可求出M 的坐标.⑶. 要使△BPC 为直角三角形有三种情况，即以点B 为直角顶点、以点C 为直角顶点、以点P 为直角顶点的直角三角形；由于P 为抛物线的对称轴x 1=-上的一个动点，所以P 的横坐标为1-，我们可以设P 的纵坐标为一个未知数，利用勾股定理（或者是平面直角坐标系中的两点间的距离公式）分别表示出△BPC 的三边，再以勾股定理的逆定理为依据，按上面所说的三种情况进行讨论，建立方程解方程后P 的纵坐标便可求出.略解：⑴.根据题意：b12a a b c 0c 3⎧-=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得：a 1b 2c 3=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=--+∵本抛物线的对称轴为x 1=-，且抛物线过点(),A 10∴把()(),.B 30C 03-、分别代入y mx n =+ 得:3m n 0n 3-+=⎧⎨=⎩ 解得：m 1n 3=⎧⎨=⎩∴直线y mx n =+的解析式为y x 3=+⑵.设直线BC 与对称轴x 1=-的交点为M ,则此时MA MC +的值最小.把x 1=-代入y x 3=+得：y 2=.∴(),M 12-，即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为(),12-.⑶.设(),p t 1-，又()(),,,B 30C 03-∴()()(),,22222222BC 18PB 13t PC 1t 3t 6t 10==-++=-+-=-+①.若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=,即22184t t 6t 10++=-+ 解得：t 2=-； ②.若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=,即2218t 6t 104t +-+=+ 解得：t 4=； ③.若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=,即224t t 6t 1018++-+=解得：t =2t = 综上所述P 点的坐标为(),12--或(),14-或1⎛- ⎝或1⎛- ⎝八、解答题（本题满分14分）24、在△ABC 中，,cos 3AB AC 5ABC 5==∠=,将△ABC 绕点C 顺时针旋转，得到△11A B C .⑴.如图①，当点1B 在线段BA 延长线上时. ①.求证：11BB CA P ；②.求△1AB C 的面积；⑵. 如图②，点E 是BC 上的中点，点F 为线段AB 上的动点，在△ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是1F ，求线段1EF 长度的最大值与最小值的差.考点：旋转的特征、平行线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、三角形的面积、1B ①1B ②勾股定理、圆的基本性质等.分析：⑴.①.见图①要使11BB CA P 根据本题的条件可以通过这两线所截得内错角12∠=∠来证得.如图根据AB AC =可以得出B ACB ∠=∠，根据旋转的特征可以得出1B C BC =，所以1B ∠=∠ ，而2ACB ∠=∠(旋转角相等) ，所以 12∠=∠.②. 求△1AB C 的面积可以把1AB 作为底边，其高在1B A 的延长线上，恰好落在等腰三角形ABC 的AB 上；在等腰ABC和1BB C,根据等腰三角形的性质、三角函数以及勾股定理可以求出1AB BB CE 、、，而11AB BB AB =-，△1AB C 的面积可以通过11AB CE2⨯求出.⑵. 见图②.点C 到AB 的垂线段最短，过点C 作CF AB ⊥于F ；点F 点F 的对应点是1F ，若以点C 为圆心CF 为半径画圆交BC 于1F ,1EF 有最小值； 根据⑴的CA AB 5==和求出的BC 6=，当点F 为线段AB 上的移到端点A 时CA 最长，此时其对应点'F 移动到1A 时1CA 也就最长； 如图②，以点C 为圆心BC 为半径画圆交BC 于的延长线'1F ,1EF 有最大值. 1EF 有最小值和最大值都可以利用同圆的半径相等在圆的同一条直径上来获得解决（见图②）.24..略解： ⑴.①.证明：∵,1AB AC B C BC == ∴,B ACB 1B ∠=∠∠=∠∵2ACB ∠=∠(旋转角相等)∴12∠=∠ ∴11BB CA P②.过A 作AF BC ⊥于F ,过C 作CE AB ⊥于E ∵,AB AC AF BC =⊥ ∴BF CF =（三线合一）∵在Rt AFB中，cos BF 3ABC AB 5∠== ,又AB= ∴BF 3= ∴BC 6=∴1B C BC 6==∴作CE AB ⊥后 1BE B E =（三线合一）∴1B B 2BE = ∵ 在Rt AFB中，cos BE 3BEC BC 5∠==∴18BE 5=∴136BB 5=∴24CE 5=（注：也可以用三角函数求出）∴13611AB 555=-= 1B ①C∴△1AB C 的面积为：1112413225525⨯⨯= ⑵.如图过点C 作CF AB ⊥于F ,以点C 为圆心CF 为半径画圆交BC 于1F ,1EF 有最小值.此时在Rt △BFC 中，24CF 5=. ∴1C F 245= ∴1EF 的最小值为249CF CE 355-=-=； 如图，以点C 为圆心BC 为半径画圆交BC 于的延长线 '1F ,1EF 有最大值.此时''11F F E EC C 369=+=+=∴线段1EF 的最大值与最小值的差936955-=.'。