统计学专业教授讲座(续)(doc 24页)

授课目录第1章导论第2章统计资料的整理与描述第3章机率导论第4章常用的机率分布与统计分布第5章描样方法与描样分布第6章统计估计第7章统计检定第8章变异数分析第9章相关分析与回归模式第10章无母数统计检定第11章类别数据分析---列联表与卡方检定从被研究的母体中，随机抽取具有代表性的样本来进行分析，即是抽样调查。

从人力、财力或时间的观点来看，抽样调查是比普查有效率。

5.1 抽样方法抽样调查的方法很多，若考虑人力、财力、时间或母体性质等因素，可分为：(1) 简单随机抽样、(2) 分层抽样、(3) 群落抽样、(4) 系统抽样。

(1)简单随机抽样(Simple Random Sampling)系指母体中的任一元素被选中的机率均相同的抽样方法。

常以抽签方式或随机数表进行。

由简单随机抽样法所得的样本称之简单随机样本，简称随机样本。

此法可分为抽出放回(每次为1/N)或抽出不放回[1/N，1/(N-1)，…，1/(N-n-1)]的抽样方式。

(2) 分层抽样(Stratified Sampling)(3) 群落抽样(Clustered Sampling)(4)系统抽样(Systematic Sampling)系将母体的元素排列序后，每隔一定时间选取一样本，直到选满为止。

间隔可以时间或空间为单位。

5.2 抽样分布5.2.1 样本比例pˆ的抽样分布母体的比例p未知，须以抽样方法来估计。

通常从母体抽取n个样本，观察其中具有某种属性的个数为x，并以pˆ= x/n表示样本比例。

pˆ为p的估计值，即估计母体中具有某种属性的比例p。

根据二项分布，执行n次试验中，若每次成功发生的机率为p，则随机变量X的期望值与变异数分别为E[x] = n p，Var[x] = n p(1-p)。

因此可得样本比例pˆ的期望值与变异数：E[pˆ] =E[x/n] =E[x]/n= (n p)/n = p(5.1)Var[pˆ] =V[x/n] =V[x]/ n2 = n p(1-p)/ n2= p(1-p)/n (5.2)依中央极限定理，当n很大时，pˆ之抽样分布近似常态分布，即pˆ~N(p, p(1-p)/n) (5.3)当样本数n愈大，pˆ的变异数愈趋近于零，表示样本比例pˆ会因样本愈大而愈接近母体比例p。

将pˆ转为标准常态分布，即Z = (pˆ-p)/[p(1-p)/n]1/2 ~ N(0, 1)范例、致远管理学院学生有10%的比例有体重过重的现象，兹随机抽取400位该校学生，试问体重过重的比例之期望值与变异数? 又体重过重比例大于12%之机率? SOL：(a) E[pˆ] = p = 0.1Var[pˆ] = p(1-p)/n = 0.1*0.9/400 = 0.000225(b) P(pˆ> 0.12) =P((pˆ-0.1)/(0.000225)1/2 > (0.12-0.1) /(0.000225)1/2)= P(Z >1.33) = 0.0918公式、查表、Excel范例、致远管理学院学生之统计学检定，正常下PASS之机率80%，兹200位该校学生进行该课程检定，试问PASS 的比例(a) 介于0.75~0.85之机率? (b) 大于0.9之机率? SOL：(a) E[pˆ] = p = 0.8Var[pˆ] = p(1-p)/n = 0.8*0.2/200 = 0.0008P(0.75 < pˆ< 0.85) = P(-1.77 <Z<1.77)=0.9232(b) P(pˆ>0.9) ≈ P(Z >3.5) ≈ 0公式、查表、Excel5.2.2 样本平均值x的抽样分布利用样本平均值x来推论母体的的平均值μ，藉此了解母体集中趋势。

依中央极限定理，从任何以期望值μ，变异数σ2的母体中，随机抽出n个样本{x1, x2,…,x n}(当n很大)，则样本平均值x将趋近母体的期望值为μ、变异数为σ2/n，即为标准常态分布(x-μ)/[σ2/n]1/2= Z n→N(0, 1) (5.4)即样本平均值x ~N(μ, σ2/n)。

5.2.3 两样本平均值21x x -的抽样分布通常是应用在『不同母体间某性质差异之比较』，如工管系两班学生统计学成绩的差异。

由两样本平均值21x x -的抽样分布，去衡量推论母体平均值差μ1 - μ2的状况。

两母体分别为(μ1, σ21)、(μ2, σ22)，且两者的分布并不一定是常态。

倘各自从中取出两组样本，因此两组样本互为独立，且1x →N(μ1 , σ21/n 1)，2x →N(μ2 , σ22/n 2)，故1x -2x →N(μ1 - μ2, (σ21/n 1)+( σ22/n 2))(5.5)范例、某工厂有2条独立的生产线，平均每天产500匹布，即μ1 = μ2= 500, σ1= 9, σ2= 12，假设第1条生产线生产81天，第2条生产线生产36天，求每天平均生产量1x ，2x 之差小于1匹的机率? SOL ：(σ21/n 1)= 81/81=1，1x →N(500, 1) ( σ22/n 2)=144/36 = 4，2x →N(500, 4)1x -2x →N(μ1 - μ2, (σ21/n 1)+( σ22/n 2)) = N(0, 5)P(|21x x -|<1) = P(-1<21x x -<1)= P(51-<5x x 21-<51) = 0.345/ =normsdist(0.447)-normsdist(-0.447)/范例、A 公司债券x 1每日殖利率之平均值为0.2，标准差为0.3，B 公司债券x 2每日殖利率之平均值为0.1，标准差为0.2。

倘A 与B 公司债券彼此独立，兹取49天殖利率为样本，则求 (a) 样本平均值差之期望值 (b) 样本平均值差之变异数 (c) 样本平均值差小于0.2的机率? SOL ：1x →N(0.2, 0.32/49)，2x →N(0.1, 0.22/49)1x -2x →N(μ1-μ2, (σ21/n 1)+( σ22/n 2))=N(0.1, 0.32/49+0.22/49)(a) E[1x -2x ]= E[1x ]-E[2x ] = 0.1 (b) Var[1x -2x ]= Var[1x ]+Var[2x ]= 0.32/49+ 0.22/49= 0.00265(c) P(1x -2x <0.2)=P(00265.01.0)x x (21--<00265.01.02.0-)=P(Z<1.94) = 0.9738/ = normsdist(1.94)/5.3 t 分布的应用(σ未知时使用)在介绍样本平均值x 的抽样分布时，得知随机样本来自期望值μ，变异数σ2的母体时，则样本平均值x ~N(μ , σ2/n)。

倘母体的变异数σ2为未知，则σ2/n 之值无法求得。

此时，若母体是来自常态分布时，可用t 分布。

t 分布考虑母体是常态分布，但母体变异数σ2未知时，以样本变异数S 2取代之。

t = n/S x 2μ- = t n-1(5.6)范例、某宝石公司卖出蓝宝石之平均价为8.5万元/克拉，变异数未知之常态母体，上周卖出25克拉蓝宝石中，其价格标准差为1.9万元/克拉。

求上周卖出25克拉蓝宝石中之平均价大于9万元/克拉的机率?SOL ： t =n/S x 2μ- = t n-1， 5/9.15.8x -= t 24 P(x >9) = P(5/9.15.8x - >5/9.15.89-)= P(t 24 >1.3) = 0.1/ = tdist(1.3, 24, 1)/5.4 样本变异数S 2的抽样分布利用样本变异数S 2来推论母体的的变异数σ2，藉此了解母体离散程度。

产品质量变异数愈小愈好，以减少不合格率，降低成品，增加利润。

5.4 .1 卡方分布的应用：样本变异数S 2的抽样分布假设{x 1, x 2,…,x n }是一个来自N(μ, σ2)分配的随机样本。

则其平方和除以σ2后就依循卡方分配。

SS/σ2= [∑n i =1 (x i -x )2]/σ2= χ2n-1另S 2=[∑n i =1 (x i -x )2]/(n-1) = SS/(n-1) χ2n-1 = (n-1) S 2 /σ2 = [∑n i =1 (x i -x )2]/σ2(5.7)S 2的分布为[σ2/(n-1)]χ2n-1。

故样本变异数的抽样分布为一个常数乘以卡方分布。

另卡方分布的性质：E[x ~ χ2n-1] = n-1⇒ E[x ~ χ2n-1]= E[(n-1) S 2/σ2] = (n-1) /σ2E[S 2] = n-1⇒E[S2] = σ2(5.8)Var[x ~ χ2n-1]= 2(n-1)⇒ Var[x ~ χ2n-1] = Var[(n-1) S2/σ2]= (n-1)2/σ4 Var[S2]=2(n-1)⇒Var[S2] = 2σ4/(n-1) (5.9)范例、某公司生产机车引擎，品管部门以引擎轴长的变异数来判断生产过程是否一致性。

假设每个引擎轴长的变异数为0.8，整批产品的变异数超过1.3，表示此批产品不佳，须重新调整生产过程。

兹抽样10个引擎，试问须重新调整生产过程的机率?SOL：P(S2 >1.3) =P((n-1)S2/σ2 >9(1.3)/0.8)= P(χ29>14.6) =0.1/=chidist(14.6,9)/5.4.2 F分布的应用：两样本变异数比S12/S22的抽样分布比较两母体的的变异数是否相等时，可利用样本变异数比S12/S22来判定。

如比较两超商连锁店营业额之变异、比较两基金操作获利之变异等，以观察两者间之稳定情形。

S 12/S 22→1，显示两母体的的变异数σ12, σ22相当接近。

假设分别来自二个不同母体的随机样本，各取样本n 1, n 2其各别样本变异数为S 12与S 22则(S 12/σ12)/S 22/σ22)=1n ,1n 21F -- (5.10)利用F 的抽样分配，可求得样本变异数比S 12/S 22的抽样分配。

其中样本变异数比S 12/S 22会因样本愈大而愈接近母体变异数比σ12 /σ22。

投资风险的大小，一般由短期投资的可能结果而定。

最常用以衡量短期投资之方法即计算可能结果的变异数。

范例、假设有A 、B 两种投资组合，其平均报酬率为20%，但A 投资组合10年来获利的变异数为8.4， B 投资组合8年来获利的变异数为3.1，倘两种投资组合的母体变异数均相等，即σ12 /σ22，试问A 、B 两种投资组合变异数比大于2.7的机率?SOL ：P(S 12/S 22>2.7) =P{(S 12/σ12)/S 22/σ22>2.7)=P(1n ,1n 21F -- >2.7)= P(F 9, 7 >2.7) = 0.1/= fdist(2.7, 9, 7) /习 题1. 从一个常态母体N(30,400)中抽出100样本，令100x 为样本平均值，则(a) 100x 会服从何者分布--- N(30, 22=400/100) ，期望值与变异数为何? (b) P(100x < 32) =0.8413。