2019-2020学年高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质(二)导学案 理新人教A版选修2-1.doc
椭圆的简单几何性质(二)导学案
2017级人教版数学选修2-1 编号：14 编制时间： 2018/10/11 编制人:2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质 .2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1，2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系.思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系？梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离. (2)根与系数的关系及弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长.请推导一下弦长公式:(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2，1)，而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交.类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1已知点P (k ，1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点在椭圆外，则实数k 的取值范围为________.跟踪训练1 已知点(3，2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则( )A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3，2)在椭圆上D.以上都不正确命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 (1) 判断直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系(2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围.跟踪训练2(1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63B.－63C.±63D.±33类型二 弦长及中点问题例3、已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2，1)，求直线AB 的方程.引申探究在本例中求弦AB 的长.跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，求|PM →|的最小值.1.直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k 2x 1－x 22＝1＋k 2· x 1＋x 22－4x 1x 2＝＋1k2y 1－y 22＝1＋1k2· y 1＋y 22－4y 1y 2(k 为直线斜率).(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况. 2.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x ，2y 0－y )，则⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 0－x 2a 2＋y 0－y 2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程.特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.。
高中数学《椭圆的简单几何性质》导学案
2．2.2椭圆的简单几何性质课标要求,学法指导1. 掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质．2. 能用椭圆的简单性质求椭圆方程．3. 能用椭圆的简单性质分析解决有关问题．,在研究椭圆的简单性质时，首先要从“形”的方面观察椭圆具有哪些几何性质；再从“数”的方面(即利用椭圆方程)推导椭圆具有哪些几何性质；然后要充分利用图形的形象直观准确把握并熟记这些性质；最后，在解决具体问题时，要根据具体情境，灵活地运用这些性质解题．,,课前自主学习KEQIANZIZHUXUEXI,对应学生用书P351. 椭圆的简单几何性质焦点的位置,焦点在x轴上,焦点在y轴上图形,,标准方程,eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0),eq \f(y2,a2＋eq \f(x2,b2＝1(a>b>0)范围,－a≤x≤a且－b≤y≤b,－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点,A(±a,0)，B(0，±b),A(0，±a)，B(±b,0)轴长,短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点,(±c,0),(0，±c)焦距,|F1F2|＝2c对称性,对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)离心率,e＝eq \f(c,a(0<e<1)2. 椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质．(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的两个焦点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．(3)如图所示椭圆中的△OF2B2找出a，b，c，e对应的线段或量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝eq \f(c,a＝eq \f(|OF2|,|F2B2|＝cos∠OF2B2.(4)若椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)，则椭圆与x 轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.3. 椭圆的离心率对椭圆形状的影响椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作e＝eq \f(2c,2a＝eq \f(c,a.∵a>c>0，∴0<e<1.e越接近于1，则c就越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2.1. 椭圆16x2＋9y2＝144的长轴长是________；短轴长是________；离心率是________．提示：由eq \f(x2,9＋eq \f(y2,16＝1知，2a＝8,2b＝6，e＝eq \f(7,4.2. 椭圆的长轴长为10，一个焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．提示：a＝5，c＝4，则b＝3，∴椭圆方程为eq \f(x2,25＋eq \f(y2,9＝1.,,课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU对应学生用书P36SIWEIJUJIAO 思维聚焦, 1.椭圆的离心率与其扁圆程度的关系(1)离心率公式：e＝eq \f(c,a＝1－(eq \f(b,a)2.(2)离心率范围：0<e<1.(3)离心率e是刻画椭圆的扁圆程度的比率：当e越接近于0时，c越接近于0，a与b越接近于相等，椭圆越接近于圆；当e越接近于1时，b越接近于0，a与c越接近于相等，椭圆越接近于线段A1A2.所以离心率越大，椭圆越扁．注意：椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)与椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝λ和椭圆eq \f(y2,a2＋eq \f(x2,b2＝λ(a>b>0，λ>0)的离心率相同．2．直线与椭圆的位置关系要解决直线与椭圆的位置关系问题，可把直线方程与椭圆方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC.若Δ<0，则直线与椭圆没有公共点；若Δ＝0，则直线与椭圆有且只有一个公共点；若Δ>0，则直线与椭圆有两个公共点．3．求椭圆中的弦长若直线与椭圆相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程为y＝kx＋m，椭圆方程为：eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)，联立消去y后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与椭圆相交，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2), 则直线被椭圆截得的弦长；|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋eq \f(1,k2|y1－y2|＝1＋eq \f(1,k2(y1＋y2)2－4y1y2.椭圆的简单几何性质例1已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq \f(3,2，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[思路分析]解决本题的关键是确定m的值，应先将椭圆方程化为标准形式，用m表示a、b、c，再由e＝eq \f(3,2求出m的值．[完美作答]椭圆方程可化为eq \f(x2,m＋eq \f(y2,eq \f(m,m＋3＝1，∵m－eq \f(m,m＋3＝eq \f(m(m＋2),m＋3>0，∴m>eq \f(m,m＋3.∴椭圆焦点在x轴上．即a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3，c＝a2－b2＝eq \f(m(m＋2),m＋3.由e＝eq \f(3,2得，eq \f(m＋2,m＋3＝eq \f(3,2，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,eq \f(1,4＝1.∴a＝1，b＝eq \f(1,2，c＝eq \f(3,2.∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(－eq \f(3,2,0)、F2(eq \f(3,2,0)；四个顶点分别为A1(－1,0)、A2(1,0)、B1(0，－eq \f(1,2)、B2(0，eq \f(1,2)．解决有关椭圆的问题一般首先应弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置．(1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率．(2)熟练掌握椭圆定义、标准方程、几何性质，这些基本概念是解决计算问题、证明问题、求轨迹问题及其他有关问题的基础和关键．[针对训练1]已知椭圆方程为9x2＋y2＝81，求它的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[解]将9x2＋y2＝81化为标准方程eq \f(x2,9＋eq \f(y2,81＝1，∴椭圆焦点在y轴上，其中a＝9，b＝3，c＝62，∴长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为F1(0，－62)、F2(0，62)，顶点坐标为B1(－3,0)、B2(3,0)、A1(0，－9)、A2(0,9)．椭圆的离心率问题例2已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．[思路分析]求椭圆的离心率就是利用e＝eq \f(c,a，可以直接求，也可以找a与c的关系，注意结合a、b、c、e之间的关系．[完美作答]解法一：由已知可设椭圆的方程为eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)，c2＝a2－b2，F1(－c,0)，因为PF1⊥F1A，所以P(－c，b1－eq \f(c2,a2)，即P(－c，eq \f(b2,a)，∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－eq \f(b,a＝－eq \f(b2,ac，∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝eq \f(c,a＝eq \f(2,2.解法二：由解法一知P(－c，eq \f(b2,a)，又△PF1O∽△BOA，∴eq \f(PF1,BO＝eq \f(F1O,AO，∴eq \f(eq \f(b2,a,b＝eq \f(c,a，即b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝eq \f(c,a＝eq \f(2,2.由离心率的定义可知，求e的值，就是求a和c的值或a与c的关系，很多题目由于受到已知条件的限制不能同时解出a和c的值，只能将条件整理成a与c的关系式，进而求出eq \f(c,a.[针对训练2]已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是()A. [eq \f(3,3,1)B. [eq \f(1,3，eq \f(1,2]C. [eq \f(3,3，eq \f(2,2]D. (0，eq \f(2,2][解析]设P(m，n)，eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→))＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，∴m2＋n2＝2c2，2c2－m2＝n2①，把P(m，n)代入椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1得b2m2＋a2n2＝a2b2②，把①代入②得m2＝eq \f(a2b2－2a2c2,b2－a2≥0，∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝eq \f(c,a≥eq \f(3,3.又m2＝eq \f(a2b2－2a2c2,b2－a2≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝eq \f(c,a≤eq \f(2,2.综上知此椭圆离心率的取值范围是[eq \f(3,3，eq \f(2,2]，故选C.[答案]C直线与椭圆的位置关系例3已知椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)经过点(0，3)，离心率为eq \f(1,2，左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－eq \f(1,2x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足eq \f(|AB|,|CD|＝eq \f(53,4，求直线l的方程．[思路分析](1)依据题设和椭圆的几何量之间的关系构建方程组求解；(2)联立方程，利用根与系数之间的关系，借助弦长公式和题设条件构建方程确定直线方程．[完美作答](1)由题设知eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(b＝3，, eq \f(c,a＝eq \f(1,2，,b2＝a2－c2，))解得a＝2，b＝3，c＝1，∴椭圆的方程为eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝eq \f(2|m|,5，由d<1得|m|<eq \f(5,2.(*)∴|CD|＝21－d2＝21－eq \f(4,5m2＝eq \f(2,55－4m2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(y＝－eq \f(1,2x＋m，,eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1))得x2－mx＋m2－3＝0，由求根公式可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝[1＋(－eq \f(1,2)2][m2－4(m2－3)]＝eq \f(15,24－m2.由eq \f(|AB|,|CD|＝eq \f(53,4得eq \f(4－m2,5－4m2＝1，解得m＝±eq \f(3,3，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－eq \f(1,2x＋eq \f(3,3或y＝－eq \f(1,2x－eq \f(3,3.有关直线与椭圆的问题，要注意应用韦达定理和弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|，以及公式|x1－x2|＝eq \f(Δ,|a|.[针对训练3]椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线x＋y＝1相交于A，B两点，若|AB|＝22，且AB的中点C与原点O的连线的斜率为eq \f(2,2，求椭圆的方程．[解]设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝1－x代入ax2＋by2＝1，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0①，则x1，x2是方程①的两根，所以x1＋x2＝eq \f(2b,a＋b，x1x2＝eq \f(b －1,a＋b.又y1＝1－x1，y2＝1－x2，所以y1＋y2＝2－(x1＋x2)＝eq \f(2a,a＋b.所以点C的坐标为(eq \f(b,a＋b，eq \f(a,a＋b)，所以kOC＝eq \f(a,b ＝eq \f(2,2，即b＝2a，把它代入方程①得(2＋1)ax2－22ax＋2a－1＝0.所以|AB|＝1＋(－1)2|x1－x2|＝2·eq \f(8a2－4a(2＋1)(2a－1),(2＋1)a＝22，即(2＋1)a－2a2＝(3＋22)a2，解得a＝eq \f(1,3(或a＝0，舍去)．所以b＝eq \f(2,3.故所求椭圆的方程为eq \f(x2,3＋eq \f(2y2,3＝1.椭圆的中点弦问题例4已知椭圆eq \f(x2,16＋eq \f(y2,4＝1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．[思路分析]由于弦所在直线过定点P(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点为P，得出k的值．也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．[完美作答]解法一：如图，易知直线斜率存在，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝eq \f(8(2k2－k),4k2＋1.∵P为弦AB的中点，∴2＝eq \f(x1＋x2,2＝eq \f(4(2k2－k),4k2＋1.解得k＝－eq \f(1,2，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.解法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又∵A、B在椭圆上，∴x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16.两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴eq \f(y1－y2,x1－x2＝eq \f(－(x1＋x2),4(y1＋y2)＝－eq \f(1,2，即kAB＝－eq \f(1,2.∴所求直线方程为y－1＝－eq \f(1,2(x－2)．即x＋2y－4＝0.解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，另一交点为B(4－x,2－y)，∵A、B在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，①(4－x)2＋4(2－y)2＝16.②①－②得x＋2y－4＝0，则A、B在直线x＋2y－4＝0上，而过A、B的直线只有一条，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系．[针对训练4]已知椭圆E：eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A. eq \f(x2,45＋eq \f(y2,36＝1B. eq \f(x2,36＋eq \f(y2,27＝1C. eq \f(x2,27＋eq \f(y2,18＝1D. eq \f(x2,18＋eq \f(y2,9＝1[分析]本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系得到a，b之间的关系，并由a，b，c 之间的关系确定椭圆方程．[解析]因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝eq \f(1,2(x－3)，代入椭圆方程eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1消去y，得(eq \f(a2,4＋b2)x2－eq \f(3,2a2x＋eq \f(9,4a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为eq \f(eq \f(3,2a2,2(eq \f(a2,4＋b2)＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选择D.[答案]D,题型技法函数思想解决椭圆中的最值问题[典例]若点O和点F 分别为椭圆eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则O eq \o(P,\s\up6(→))·F eq \o(P,\s\up6(→))的最大值为________．[分析]设P(x，y)，将O eq \o(P,\s\up6(→))·F eq\o(P,\s\up6(→))表示为关于x的二次函数，结合定义域－2≤x≤2确定最大值．[解析]由椭圆eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1可得F(－1,0)，O(0,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则O eq \o(P,\s\up6(→))·F eq \o(P,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－eq \f(1,4x2)＝eq \f(1,4x2＋x＋3＝eq \f(1,4(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，O eq \o(P,\s\up6(→))·F eq \o(P,\s\up6(→))取得最大值6.[答案]6解决与椭圆有关的最值问题，一般是用坐标法，即设出椭圆上任一点的坐标(x，y)，依据椭圆方程将距离(或距离的平方)转化为关于x或y的二次函数，由于椭圆的范围限制了x，y的取值范围．因此问题转化为定区间上二次函数的最值问题，从而可解．[跟踪训练]已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq \o(PF1,\s\up6(→))＋eq \o(PF2,\s\up6(→))|的最小值是()A. 0B. 1C. 2D. 22解析：设P(x0，y0)，则eq \o(PF1,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq \o(PF2,\s\up6(→))＝(1－x0，－y0)，∴eq \o(PF1,\s\up6(→))＋eq \o(PF2,\s\up6(→))＝(－2x0，－2y0)，∴|eq \o(PF1,\s\up6(→))＋eq \o(PF2,\s\up6(→))|＝4x20＋4y20＝22－2y20＋y20＝2－y20＋2.∵点P在椭圆上，∴0≤y20≤1，∴当y20＝1时，|eq \o(PF1,\s\up6(→))＋eq \o(PF2,\s\up6(→))|取最小值为2.故选C.答案：C,,课堂效果落实KETANGXIAOGUOLUOSHI,对应学生用书P381．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13) D．(0，±69)解析：由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上．所以c＝a2－b2＝132－102＝69.故焦点坐标为(0，±69)．答案：D2. 过椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A. eq \f(5,2B. eq \f(3,3C. eq \f(1,2D. eq \f(1,3解析：∵PF1⊥F1F2，F1F2＝2c，∠F1PF2＝60°，∴|PF1|＝eq \f(2,33c，|PF2|＝eq \f(4,33c，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，∴eq \f(23,3c＋eq \f(43,3c＝2a，得e＝eq \f(c,a＝eq \f(3,3.答案：B3．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是() A．[4－23,4＋23]B．[4－3,4＋3]C．[4－22,4＋22]D．[4－2,4＋2]解析：把(m，n)代入方程得8m2＋3n2＝24，∴24－8m2＝3n2≥0解得－3≤m≤3∴4－23≤2m＋4≤23＋4.答案：A4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(2,2. 过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析：由△ABF2的周长＝4a＝16，得a＝4，又知离心率为eq \f(2,2，即eq \f(c,a＝eq \f(2,2，得c＝22，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，∴C的方程为eq \f(x2,16＋eq \f(y2,8＝1.答案：eq \f(x2,16＋eq \f(y2,8＝1,,课后课时精练KEHOUKESHIJINGLIAN,对应学生用书P102时间：30分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆C1：eq \f(x2,12＋eq \f(y2,4＝1，C2：eq \f(x2,16＋eq \f(y2,8＝1，则()A. C1与C2顶点相同B. C1与C2长轴长相同C. C1与C2短轴长相同D. C1与C2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42.故选D.答案：D2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是()A．eq \f(x2,81＋eq \f(y2,72＝1B．eq \f(x2,81＋eq \f(y2,9＝1 C．eq \f(x2,81＋eq \f(y2,45＝1 D．eq \f(x2,81＋eq \f(y2,36＝1解析：∵2a＝18,2c＝eq \f(1,3×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.答案：A3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足eq \o(MF1,\s\up6(→))·eq \o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1) B．(0，eq \f(1,2]C．(0，eq \f(2,2) D．[eq \f(2,2,1)解析：由eq \o(MF1,\s\up6(→))·eq \o(MF2,\s\up6(→))＝0知MF1⊥MF2，∴椭圆上的点均满足∠F1MF2<90°，∴只需F1，F2与短轴端点形成的角为锐角，所以c<b⇒c2<b2＝a2－c2，即2c2<a2，解得e∈(0，eq \f(2,2)．答案：C4．若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5＋eq \f(y2,m＝1总有公共点，则m 的取值范围是()A．m>1 B．m≥1或0<m<1C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5解析：解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<eq \f(1,m≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.解法二：由eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.依题意Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.答案：D5. 椭圆C：eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线P A2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A1斜率的取值范围是()A. [eq \f(1,2，eq \f(3,4]B. [eq \f(3,8，eq \f(3,4]C. [eq \f(1,2,1]D. [eq \f(3,4,1]解析：本题考查椭圆的定义和不等式的性质．由题意知点P在第一象限，设P点横坐标为x，代入椭圆方程则纵坐标为y＝eq \f(3,2×4－x2，由P A2的斜率得：1≤eq \f(3,2·eq \f(2＋x,2－x≤2，即eq \f(2,3≤eq \f(2＋x,2－x≤eq \f(4,3，P A1的斜率为eq \f(3,2 eq \f(2－x,2＋x，所以P A1的斜率取值范围为[eq \f(3,8，eq \f(3,4]．答案：B6．已知椭圆C：eq \f(x2,2＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若eq \o(F A,\s\up6(→))＝3eq \o(FB,\s\up6(→))，则|eq \o(AF,\s\up6(→))|＝()A. 2B. 2C. 3D. 3解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：eq \f(x2,2＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．∴由eq \o(F A,\s\up6(→))＝3eq \o(FB,\s\up6(→))得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝eq \f(4,3，y0＝eq \f(1,3n.将x0，y0代入eq \f(x2,2＋y2＝1，得eq \f(1,2×(eq \f(4,3)2＋(eq \f(1,3n)2＝1.解得n2＝1，∴|eq \o(AF,\s\up6(→))|＝(2－1)2＋n2＝1＋1＝2.所以选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知点P(m，n)在椭圆eq \f(x2,8＋eq \f(y2,4＝1上，则2m－1的取值范围是________．解析：∵点P(m，n)在椭圆eq \f(x2,8＋eq \f(y2,4＝1上，∴－22 ≤m≤22，∴－42－1≤2m－1≤42－1.答案：[－42－1,42－1]8．F1、F2是椭圆C：eq \f(x2,8＋eq \f(y2,4＝1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．解析：设P(x，y)，则eq \o(F1P,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，eq \o(F2P,\s\up6(→))＝(x－2，y)．∵PF1⊥PF2，∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0，即x2－4＋4(1－eq \f(x2,8)＝0⇒x＝0.这时P点坐标为短轴的两顶点(0,2)，(0，－2)．答案：2个9．椭圆Г：eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：本题考查椭圆的离心率的计算．因为tan∠MF1F2＝3，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，F1M⊥F2M，且|MF1|＝c，|MF2|＝3c，3c＋c＝2a，eq \f(c,a＝e＝3－1.答案：3－1三、解答题(每小题10分，共30分)10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(1,3，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程．解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)，∵e＝eq \f(c,a＝eq \f(1,3，∴a＝3c.∵b2＝a2－c2，∴b2＝9c2－c2＝8c2.又∵M(c,4)在椭圆上，∴eq \f(c2,9c2＋eq \f(16,8c2＝1，解之得c2＝eq \f(9,4, ∴a2＝eq \f(81,4，b2＝18，∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,eq \f(81,4＋eq \f(y2,18＝1.11．设A，B分别为椭圆eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，(1，eq \f(3,2)为椭圆上一点，椭圆长半轴长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．解：(1)依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，设椭圆方程为eq \f(x2,4c2＋eq \f(y2,3c2＝1，将(1，eq \f(3,2)代入，得c2＝1，故椭圆方程为eq \f(x2,4＋eq \f(y2,3＝1.(2)证明：由(1)，知A(－2,0)，B(2,0)，设M(x0，y0)，则－2<x0<2，y20＝eq \f(3,4(4－x20)，由P，A，M三点共线，得x＝eq \f(6y0,x0＋2，eq \o(BM,\s\up6(→))＝(x0－2，y0)，eq \o(BP,\s\up6(→))＝(2，eq \f(6y0,x0＋2)，eq \o(BM,\s\up6(→))·eq \o(BP,\s\up6(→))＝2x0－4＋eq \f(6y20,x0＋2＝eq \f(5,2(2－x0)>0，即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．12. 设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2＋eq \f(y2,b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq \f(3,4，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)根据c＝a2－b2及题设知M(c，eq \f(b2,a)，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq \f(c,a＝eq \f(1,2，eq \f(c,a＝－2(舍去)．故C的离心率为eq \f(1,2.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故eq \f(b2,a＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(2(－c－x1)＝c，,－2y1＝2，))即eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(x1＝－eq \f(3,2c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq \f(9c2,4a2＋eq \f(1,b2＝1.②将①及c＝a2－b2代入②得eq \f(9(a2－4a),4a2＋eq \f(1,4a＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝27.。
高中数学_椭圆的简单几何性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.2椭圆的简单几何性质（2）学情分析首先，本人所任教这个班级，学生基础较好，成绩较好，主动性较强。
其次，以前面学习的直线与圆的方程为铺垫，类比直线与圆的研究，学生对用代数方法研究几何问题的方法和思路有了一定的了解。
并且，前几节课学习椭圆的概念以及范围、对称性、顶点、离心率时强调了重难点，夯实了基础，通过做限时训练来看，学生掌握的还是不错的。
因此，进一步学习椭圆简单的几何性质对于这个班的学生来说难度不是很大，可以考虑把更多的主动权交到学生手里。
这个班的学生也存在一定的不足之处：计算能力有待加强，尤其遇到计算量大的题目，容易产生浮躁心理，这是一个必须要改正的缺点。
效果分析本节课实现了学习目标，重难点得到突破，完成了教学任务。
学生参与度高，课堂氛围比较活跃。
学生能够通过自主思考以及合作学习将通径长度、椭圆第二定义、准线方程、点以及直线与椭圆的位置关系、弦长公式独立推导出来，达到了深度思考、自我突破的目的。
在整堂课中都是采用问题引领的方式，启发学生一步一步思考，以及如何用所学知识解决相关问题。
尤其在练习题方面，采用了教师点出需要注意的地方，学生独立想思路，自主完成解题步骤，最后学生自己上黑板将整道题完成清晰地讲出来，其他学生在听的过程中提出需要改进或者需要纠正的的地方，达到全部学生能够动脑思考，全部参与。
从整体上来说，学生能够在轻松活跃的氛围里达到学会新知识并且可以运用知识解决相关问题的目的。
教材分析本节课选自人教A版新教材高中数学选择性必修一课本第三章第一节的第二课时，在学了椭圆的概念以及范围、对称性、顶点、离心率四方面的简单几何性质后的进一步探究。
在课本中，只是给出了三个例题：例5、例6、例7，例5是一道应用题，反映了椭圆在实际生活中的应用。
由于实际生活的背景与数据往往较为复杂，因此培养学生提取数学模型和计算的能力。
在此题中，从生活背景中抽取出数学模型--已知椭圆通径一半的长度，再结合2c求出a，进而求出椭圆标准方程的过程。
高中数学《椭圆的简单几何性质》导学案
2.1.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程□01x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)□02y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围□03－a≤x≤a且－b≤y≤b□04－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点□05A(±a,0)，B(0，±b)□06A(0，±a)，B(±b,0)轴长短轴长＝□072b，长轴长＝□082a焦点□09(±c,0)□10(0，±c)焦距|F1F2|＝□112c对称性对称轴□12x轴、y轴，对称中心□13(0,0)离心率e＝□14c a(0<e<1)1．椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质．(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的两个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．(3)如图所示椭圆中的△OF2B2中，a，b，c，e对应的线段或量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ca＝|OF2||F2B2|＝cos∠OF2B2.(4)若椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.2．椭圆的离心率对椭圆形状的影响椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作e＝2c2a＝ca.∵a>c>0，∴0<e<1.e越接近于1，则c就越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2.3．利用方程研究曲线对称性的方法若把曲线方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，则曲线关于原点对称；若把曲线方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称；若把曲线方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称．4．点P(x0，y0)和椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的关系(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________．(2)椭圆x24＋y29＝1的离心率e＝________.(3)设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．答案(1)(0,2)，(0，－2)(2)53(3)[－5,5]探究1 椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3.∴椭圆焦点在x 轴上．∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.拓展提升1.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．2．根据椭圆的几何性质求标准方程此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．【跟踪训练1】 (1)求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；解 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)． (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程． ①长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)； ②离心率e ＝35，焦距为12.解 ①若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.②由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 探究2 椭圆的离心率问题例2 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c,0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝－12舍去.故选B.[答案] B[解法探究] 例2有没有其他解法呢？ 解 如图，由题意得在椭圆中，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b ，BF ＝a .在Rt △OFB 中，|OF |·|OB |＝|BF |·|OD |，即c ·b ＝a ·12b ，解得c a ＝12，所以椭圆的离心率e ＝12.拓展提升求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．【跟踪训练2】 (1)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22答案 C解析 设P (m ，n )，PF 1→·PF 2→＝c 2＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m 2－c 2＋n 2，∴m 2＋n 2＝2c 2,2c 2－m 2＝n 2①，把P (m ，n )代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1得b 2m 2＋a 2n 2＝a 2b 2②，把①代入②得m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，∴b 2≤2c 2，∴a 2≤3c 2，∴e ＝c a ≥33.又m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≤a 2，∴a 2≥2c 2，∴e ＝c a ≤22.综上知此椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故选C.(2)已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．解 解法一：由已知可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，c 2＝a 2－b 2，F 1(－c,0)，∵PF 1⊥F 1A ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 1－c 2a 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∵AB ∥PO ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，∴b ＝c ，∴a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.解法二：由解法一知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a ，即b ＝c ，∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.探究3 直线与椭圆的位置关系例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.[解] (1)由已知，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0， ① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)， 由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 的方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22或C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22，D ⎝⎛⎭⎪⎫－2，22，所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)，又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2)，所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.拓展提升1.利用设而不求的方法解决直线与椭圆位置关系问题的解题步骤 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (2)联立直线与椭圆的方程．(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程． (4)利用根与系数的关系设而不求．(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解． 2．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．【跟踪训练3】 (1)在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.(2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(ⅰ)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (ⅱ)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (ⅰ)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52.(ⅱ)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(ⅰ)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .探究4 椭圆的中点弦问题例4 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．[解] 解法一：如图，易知直线斜率存在，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，(*) 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是(*)方程的两个根， ∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2.解得k ＝－12，且满足Δ>0. ∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.解法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)， 即x ＋2y －4＝0.解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A (x ，y )，另一交点为B (4－x,2－y )，∵A ，B 在椭圆上，∴x 2＋4y 2＝16，① (4－x )2＋4(2－y )2＝16.②①－②得x ＋2y －4＝0，则A ，B 在直线x ＋2y －4＝0上，而过A ，B 的直线只有一条，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 拓展提升解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )，则另一交点为B (2x 0－x ，2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关．与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等．这类问题的解决，从不同的角度体现了判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用，解法多、方法活．【跟踪训练4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证法一：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)8＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)8(y 1＋y 2)＝－12·x My M .又k OM ＝y M x M，∴k AB ·k OM ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．1.求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法；(2)方程法.2.判断直线与椭圆的位置关系的方法3.求弦长的两种方法(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式 l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解. 4.两个特殊结论(1)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a ，称为通径. (2)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . 5.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法. (2)点差法. (3)共线法.1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357 B ．14,4，357 C ．7,2，57 D ．14,4，－57答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式：x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝35，则2a ＝14,2b ＝4，e ＝c a ＝357.故选B.2．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2 D ．－1<a <1 答案 A解析 由已知可得a 24＋12<1，∴a 2<2，即－2<a < 2.3．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.13 答案 B解析 ∵PF 1⊥F 1F 2，F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c ，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴233c ＋433c ＝2a ，得e ＝c a ＝33.4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13解析 把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13，所以中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.5．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( ) A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同 D ．C 1与C 2焦距相等答案 D解析 由两个椭圆的标准方程可知，C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.2．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1B.x 22＋y 2＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.y 24＋x 22＝1答案 C解析 设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，则由题意得|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2，|F 1F 2|＝22，c ＝b ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1.3．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33 答案 C解析 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( )A.32B. 3C.72 D ．4 答案 C解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 C解析 由MF 1→·MF 2→＝0知MF 1⊥MF 2，∴椭圆上的点均满足∠F 1MF 2<90°，∴只需F 1，F 2与短轴端点形成的角为锐角，所以c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，解得e ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能 答案 A解析 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2.二、填空题7．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．答案 x 24＋y 23＝1解析 由题意可知a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，又焦点在x 轴上，∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，O (0,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 和B ，右焦点为F .若|AF |，|AB |,3|BF |成等比数列，则该椭圆的离心率为________．答案3－52解析 ∵|AF |＝a －c ，|AB |＝a 2＋b 2，3|BF |＝3a ，∴由|AF |·3|BF |＝|AB |2得，a 2＋b 2＝3a (a －c )， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2－3ac ＋a 2＝0，则e 2－3e ＋1＝0，解得e ＝3－52或e ＝3＋52(舍去)．三、解答题10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝13，又知椭圆上一点M ，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程．解 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝c a ＝13，∴a ＝3c .∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9c 2－c 2＝8c 2. 又∵M (c,4)在椭圆上，∴c 29c 2＋168c 2＝1， 解之得c 2＝94， ∴a 2＝814，b 2＝18， ∴所求椭圆的方程为x 2814＋y 218＝1.B 级：能力提升练1．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程．解 解法一：设椭圆的方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎨⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.设弦两端点横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2. ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， 即a 2＝3b 2.②由①②得a 2＝75，b 2＝25，此时Δ>0. ∴椭圆的方程为x 225＋y 275＝1.解法二：设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线y ＝3x －2与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1， ①y 22a 2＋x 22b 2＝1.②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)a 2＝－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)b 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝a 2(x 1＋x 2)－b 2(y 1＋y 2)＝－a 2(x 1＋x 2)b 2(y 1＋y 2). ∵k AB ＝3，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝12，y 0＝－12， ∴3＝－a 2b 22×122×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝a 2b 2，即a 2＝3b 2.又a 2－b 2＝(52)2＝50， ∴a 2＝75，b 2＝25， ∴椭圆方程为y 275＋x 225＝1.数学•选修1－12．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝a 2－c 2＝32a ＝5 3.。
(新课程)高中数学《2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)》导学案 新人教a版选修2-1
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2．椭圆与直线的关系．4648，文P 40~ P 41找出疑惑之处）复习1： 椭圆2211612x y +=的 焦点坐标是（ ）（ ） ；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？二、新课导学※ 学习探究问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？※ 典型例题例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；②注意焦点所在坐标轴．（理）例2 已知椭圆221259x y+=，直线l：45400x y-+=。
椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？变式：最大距离是多少？※动手试试练1已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km=⨯，离心率0.0192e=的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．练2．经过椭圆2212xy+=的左焦点1F作倾斜角为60 的直线l，直线l与椭圆相交于,A B两点，求AB的长．三、总结提升※学习小结1 ．椭圆在生活中的运用；2 ．椭圆与直线的位置关系：相交、相切、相离（用∆判定）．※知识拓展直线与椭圆相交，得到弦，弦长12l x -=其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．设P 是椭圆 2211612x y +=，P 到两焦点的距离之差为，则12PF F ∆是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形2．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．C. 21 3．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）．A. 95B. 3C. 94 4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．5．椭圆2214520x y +=的焦点分别是1F 和2F ，过原点O 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若2ABF ∆的面积是20，则直线AB 的方程式是 ．1． 求下列直线310250x y +-=与椭圆221254x y +=的交点坐标．2．若椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32 ⑴这组直线何时与椭圆相交？⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？。
椭圆的简单几何性质(二)导学案
椭圆的简单几何性质(二)导学案【学习要求】1．理解直线与椭圆的位置关系.2．能解决简单的与椭圆有关的综合问题.【学法指导】用直线和椭圆的方程研究直线和椭圆的位置关系，将图形之间的关系问题转化为方程组解的问题是典型的数形结合思想.【知识要点】1．点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔ ； 点P 在椭圆内部⇔ ； 点P 在椭圆外部⇔ .2．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2a 2＋y2b 2＝1，消去y 得到一个一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，则有3．弦长公式设直线方程y ＝kx ＋m ，椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0).直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.【问题探究】探究点一 直线与椭圆的位置关系问题1 已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？问题2 直线与椭圆的位置关系能否用中心到直线的距离来判断？例1 已知椭圆x 225＋y 29＝1，直线l ：4x －5y ＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？问题3 如何求最大距离？跟踪训练1 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离.探究点二 直线与椭圆的相交弦问题问题 直线与椭圆相交，怎样求相交弦的弦长？例2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.（1）当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；（2）当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.跟踪训练2 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程，并求弦AB 的长.探究点三 椭圆中的最值(或范围)问题问题 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.跟踪训练3 在本例中，设直线与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.【当堂检测】1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交2．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是 ( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠53．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y22＝1所截得的线段的中点坐标是 ( )A ．⎝⎛⎭⎫23，53B ．⎝⎛⎭⎫43，73C ．⎝⎛⎭⎫－23，13 D ．⎝⎛⎭⎫－132，－172 4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________【课堂小结】解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为 （1）设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； （2）联立直线与椭圆的方程；（3）消元得到关于x 或y 的一元二次方程； （4）利用根与系数的关系设而不求； （5）把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.【拓展提高】1．若),(y x P 在椭圆116922=+y x 上，则y x +的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．椭圆2214x y +=两焦点为21F F 、，点P 在椭圆上，则21PF PF ⋅的最大值为_____，最小值为_____ 3．椭圆2212516x y +=两焦点为21F F 、，)1,3(A 点P 在椭圆上，则PA PF +1的最大值为____ _， 最小值为_____ 4．设A (－2, 3)，椭圆3x 2＋4y 2=48的右焦点是F ，点P 在椭圆上移动，当|AP |＋2|PF |取最小值时P 点的坐标是( )A ．(0, 23)B ．(0, －23)C ．(23, 3)D ．(－23, 3)5．过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
教学设计2：2.2.2椭圆的几何性质
2.2.2椭圆的几何性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; (3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图 教学难点:椭圆离心率的概念的理解. 教学方法：讲授法 课型：新授课 教学工具：多媒体设备 一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课：通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力. 在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.已知椭圆的标准方程为：1.范围由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x ,y )都适合不等式≤1, ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2 所以 |x |≤a ， |y |≤b 即 －a ≤x ≤a , －b ≤y ≤b)0(12222>>=+b a by a x 22a x 22by这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里.2.对称性复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；3.顶点研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.问题3 怎样求曲线与x轴、y轴的交点?在椭圆的标准方程里，令x=0,得y=±b.这说明了B1(0,－b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.令y=0,得x=±a.这说明了A1(－a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.如图线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长|A 1A 2|=2a ,|B 1B 2|=2b (a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即 |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|= a4.离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝，叫做椭圆的离心率. 因为a >c >0,所以0<e <1.问题4 观察图形,说明当离心率e 变化时,椭圆形状是怎样随之变化的?调用几何画板，演示离心率变化(分越接近1和越接近0两种情况讨论)对椭圆形状的影响 得出结论：(1)e 越接近1时，则c 越接近a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；(2)e 越接近0时，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆. 当且仅当a ＝b 时，c ＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆. 当e ＝1时，图形变成了一条线段.三、例题解析例1 求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形．解 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2，故半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；离心率e ＝c a ＝53，两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为acy ＝±239－x 2(－3≤x ≤3)．由y ＝239－x 2(0≤x ≤3)，可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x ，y )，列表如下：称性画出整个椭圆，如图所示．例2 我国自行研制的“中星20号”通信卫星，于2003你那11月15日升空精确地进入确定轨道.这可卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点与地球表面距离为212km ，远地点与地球表面的距离为41981km.已知地球半径约为6371km ，求这可卫星运行轨道的近似方程（长、短半轴长精确到0.1km ）.解：以卫星运行的椭圆形轨道的中心O 为原点，如图建立平面直角坐标系，使地球中心F 在x 轴上.点F (c ,0)是椭圆的一个焦点，椭圆与x 轴的交点AB 分别是近地点和远地点. 设所求的卫星运行轨道的方程为由已知，得a -c=|F A |=6371+212=6583， a +c=|FB |==6371+41891=48352. 解得a =27467.5，因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为 22221(0)x y a b a b +=>>17841.0b ===≈22221.27467.517841.0x y +=四、小结(1)理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率;(2)了解离心率变化对椭圆形状的影响;(3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.五、布置作业。
2、2、2椭圆的简单几何性质
§2、2、2 椭圆的简单几何性质导学案学习目标：1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法重点：椭圆的几何性质难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质一、椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形标准方程 范围顶点(-a,0)1A 、(a,0)2A___________________________(0,-a)1A 、a)(0,2A__________________________轴长 焦点焦距对称性对称轴: 对称中心：离心率1、椭圆6622=+y x 的长轴端点坐标为 （ ）A 、（-1,0），（1,0）B 、（-6,0），（6，0）C 、()06-，，()06， D 、()6,0，，()6-0，2、椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是 （ ）A 、191622=+y x 或116922=+y xB 、192522=+y x 或125922=+y x C 、1162522=+y x 或1251622=+y x D 、椭圆的方程无法确定 3、若椭圆11622=+y x 的两个焦点，短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 A 、21B 、23C 、43D 、464、椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，则椭圆的离心率是______________5、已知椭圆短轴的一个端点为B ，21F F 、是椭圆的两个焦点，且21F BF ∆是周长为18的正三角形，则椭圆的标准方程为_______________例题1、求椭圆14416922=+y x 的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标。
例题2、求适合下列条件的椭圆的标准方程。
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2019-2020学年高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质（二）导学案理新人
教A版选修2-1
一．学习目标：
1.知道椭圆离心率的定义及其几何意义；
2.会解决与离心率相关的椭圆问题.
二．重点：
离心率的定义及其几何意义
难点：
解与离心率相关的椭圆问题
三.复习回顾：
四.导思探究：
导读：阅读课本
46
~
45
P
导思：
1.离心率是如何影响椭圆的扁平程度的？
2.请写出e与a，c的关系，e与a，b的关系，并通过关系式，解释离心率对椭圆的扁平
程度的影响？
五、导练展示：
1. 椭圆过点（3,0），离心率e=
3
6
，求椭圆的标准方程。
2.已知椭圆
5
10
e
5
52
2=
=
+的离心率
m
y
mx，求m的值.
3. 已知()0
1
x
,
2
2
2
2
2
1
>
>
=
+b
a
b
y
a
F
F是椭圆的焦点，M为椭圆上一点，
60
2
1
1
=
∠
⊥MF
F
x
MF轴，且,则椭圆的离心率为（）
A、
3
3
B、
2
3
C、
2
1
D、
2
2
4. ()0
1
x
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
椭圆的左焦点为
1
F(-c,0) ,且 A(-a,0) , B(0，b)是椭圆的两
个顶点，如果点
1
F到直线AB的距离为
7
b
，则椭圆的离心率e= .
六、达标检测：
课本
48
P 3，4，5
七、反思小结：。