03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换
哈工大画法几何与机械制图答案
2-19 判别AB与BC是否垂直。
′
b
′
′
′ ′
′ ′
′ ′
b
′′ ′
′
′′
b
b
′′
′
垂直
′ ′
′
不垂直
′′ ′
b
不垂直
垂直
第十九页，共154页。
第二章 点、直线和平面
2-20 过点A作直线AB，是其与直线CD垂直相交。
2-21 已知AB与CD垂直相交，完成CD的投影。
′
′
′b
b
′
c
b
b
′
a
′
d
′ ′
′
（2）
第三十九页，共154页。
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
3-19 求平行两直线AB、CD间的距离。
3-20 完成下题。
（1）
′ ′
′ ′
′ ′
已知点S，直线AB、CD的投影，试过S作一条直线SK1K2 分别与直线 AB、CD相交于K1、K2 点。
′
k2′
′
k1′
′
′ ′
′
′
k2
k1
′
′
′
′
′
PH
第三十四页，共154页。
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
3-9 求直线与平面的交点，并判别可见性。
3-10 求两平面的交线，并判别可见性。
(1)
′
′
′
(2)
′
m n
第三十五页，共154页。
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
3-11 求两平面的交线，并判别可见性。
3-12 求两平面的交线。
画法几何及机械制图 05投影变换
返回
自我检测
练习3 已知AB∥MN，在MN上找一点C，
使∠ABC为60°，求点C的两面投影。
求解此题
返回
自我检测
求解此题
返回
自我检测
求解此题
返回
自我检测
求解此题
返回
自我检测
求解此题
返回
自我检测
本题高于考核难度
求解此题
返回
本章学习结束
要熟悉：辅助投影面选择原则 点的投影变换规律及标记规范
a’
a1’
X
V H
a
返回
点在V/H1体系中的投影
a1 H1
a1
返回
3.点的两次变换
a1
a1 X1
返回
三、点的投影变换规
4、规定：
（1）新投影轴标记
▲进行第一次投影变换时：
新设立的投影面与原投影面的交线 记作“X1”
▲进行第二次投影变换时：
第二个新投影面与第一个新投影面的交线记作“X2”
（2）新投影面标记
要掌握：投影变换的基本规则及其应用
返回
▲在H面上设立的新投影面（⊥H） 记作：V1 在V面上设立的新投影面（⊥V） 记作：H1
▲在H1面上设立的新投影面（⊥H1） 亦记作：V1 在V1面上设立的新投影面（⊥V1） 亦记作：H1
（3）点的影像的标记
▲点A（或B）在H1面上的影像， 记作：a1 （b1） ▲点A（或B）在V1面上的影像， 记作：a1′（b1′）
a1’
返回
把一般位置直线变为H1投影面平行线
a’
b’ XV
H
a
b
a1
b1
返回
四、线的投影变换
画法几何与工程制图教学大纲
《画法几何与工程制图》课程教学大纲课程名称：画法几何与工程制图课程代码：课程类型:专业必修课学分：3 总学时：64 理论学时：32 实验学时：32 先修课程：无适用专业:工程管理一、课程性质、目的和任务画法几何与工程制图是工程管理专业的必修课程。
学习画法几何与工程制图课程的目的是培养学生绘制和阅读建筑工程图的基本能力，是通过画法几何及制图理论的学习和建筑工程制图实训的实践，培养正确使用绘图仪器和徒手作图能力，熟悉建筑制图国家标准的规定，掌握并应用各种图示方法来表达和阅读建筑工程图，本课程的主要任务是：通过让学生掌握制图及投影的基本知识，掌握建筑图样的画法，培养专业识图的基本能力，培养空间想象能力和空间表达能力，培养学生认真负责的工作态度和严谨细致的工作作风，为学习计算机绘图及后续专业课程打下良好的基础。
二、教学基本要求1、知识、能力、素质的基本要求：（1）明确本课程的地位、性质、任务和学习方法。
（2）培养用仪器绘图、徒手绘图的基本技能。
（3）学习用正投影法表达空间几何形体的基本原理和方法。
（4）培养绘制与阅读投影图的能力。
（5）培养适度与绘制建筑施工图、结构施工图、钢筋混凝土构件图等施工图的基本能力。
2、教学模式基本要求本课程采用理论教学和实验教学交叉进行的教学方式，授课方式为多媒体教学，精心设计课堂教学环节，如讲授、练习、制图、讨论等多种实践活动。
实践课以学生动手画图、识图为主，在掌握基本理论基础上增加制图、识图的能力，注意教与学之间的信息沟通与反馈。
三、教学内容及要求1 绪论教学内容：1.1 画法几何及土木工程制图课程概述1.2 投影的基本知识1.3 画法几何及土木工程制图的发展史和发展方向教学要求：（1）了解画法几何与土木工程制图的课程性质及画法几何及土木工程制图的发展史和发展方向；（2）掌握投影的基本知识。
2 画法几何教学内容：2.1 点2.1.1 点在三面体系第一角中的投影与该点的直角坐标关系2.1.2 点在两面体系第一角中的投影2.1.3 两点的相对位置2.2 直线2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置2.2.2 直线上的点的投影特性2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角2.2.4 两直线的相对位置2.2.5 两直线垂直2.3 平面2.3.1 平面的表示法2.3.2 平面对投影面的各种相对位置2.3.3 平面上的点、直线和图形2.4 直线与平面以及两平面的相对位置2.4.1 直线与平面以及两平面平行2.4.2 直线与平面以及两平面相交2.4.3 直线与平面以及两平面垂直2.4.4 点、直线、平面的综合作图题示例2.5 投影变换2.5.1 投影变换的目的和方法2.5.2 换面法以及用换面法解定位及度量问题示例2.5.3 以投影面垂直线为轴的旋转法简介2.6 曲线、曲面和立体2.6.1 平面立体及其表面上的线和点2.6.2 平面曲线和空间曲线2.6.3 曲面、曲面立体及其表面上的线和点2.6.4 圆柱螺旋线和平螺旋面2.7 平面、直线与立体相交2.7.1 平面与平面立体相交2.7.2 直线与平面立体相交2.7.3 平面与曲面立体相交2.7.4 直线与曲面立体相交2.8 两立体相交2.8.1 两平面立体相交2.8.2 平面立体与曲面立体相交2.8.3 两曲面立体相交2.9 轴测投影2.9.1 轴测投影的基本知识2.9.2 正等测的画法2.9.3 斜等测和斜二测的画法2.9.4 轴测投影的选择2.10 标高投影2.10.1 点和直线2.10.2 平面2.10.3 曲线、曲面和地面2.10.4 应用示例教学要求：（1）掌握点、直线、平面、曲面、立体等的投影的基本原理及其作图方法。
《画法几何及土木工程制图》(第三版)习题参考答案
利用解析几何公式：如直线方程、圆 锥曲线方程等
利用图形面积和体积的计算：如三角 形、四边形、圆柱体等
利用向量方法：如向量积、向量和等
利用极限思想：如求极限、求导等
解析几何的应用实例
建筑设计：利用 解析几何进行空 间布局和造型设 计
土木工程：利用 解析几何进行桥 梁、道路、隧道 等工程的设计和 施工
03
土木工程制图习题答案
制图基础
制图工具：尺子、铅笔、橡皮、 绘图纸等
制图方法：平面图、立面图、剖 面图、透视图等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
制图规范：比例、尺寸、线条、 字体等
制图技巧：线条的粗细、虚实、 疏密等
建筑图纸的绘制
建筑图纸的基 本要素：比例、 尺寸、标高、
方向等
建筑图纸的绘 制步骤：定位、 放线、画图、
投影：将三维物体投影到 二维平面上，表示物体的
形状和位置
解析几何的定义：研究平 面上的点、线、面之间的
关系
向量：表示点与点之间的 相对位置和方向
圆锥曲线：包括椭圆、双 曲线、抛物线等，表示曲
线的形状和位置
空间直线和平面：表示空 间中的直线和平面的位置
和方向
解析几何的解题技巧
利用图形性质：如对称性、周期性等
结构图纸的审 核：确保图纸 的准确性和完
整性
给排水图纸的绘制
给排水系统的组成和原理
给排水图纸的基本要求和规范
给排水图纸的绘制方法和步骤
给排水图参考答案解析
解析几何的基本概念
坐标轴：x轴和y轴，表示 点的位置
直线方程：表示直线的位 置和方向
平面方程：表示平面的位 置和方向
画法几何及工程制图教案
画法⼏何及⼯程制图教案《画法⼏何及⼯程制图》讲稿与教案数理与软件⼯程学院绪论课程名称：画法⼏何及⼯程制图。
课程性质：是⼯科专业的⼀门技术基础课。
画法⼏何是研究在平⾯上⽤图形表⽰形体和解决空间⼏何问题的理论和⽅法的学科。
画法⼏何是机械制图的投影理论基础，它应⽤投影的⽅法研究多⾯正投影图、轴测图、透视图和标⾼投影图的绘制原理，其中多⾯正投影图是主要研究内容。
画法⼏何的内容还包含投影变换、截交线、相贯线和展开图等。
1103年，在中国宋代李诫所著的《营造法式》⼀书中的建筑图基本上符合⼏何规则，但在当时尚未形成画法的理论。
1799年，法国数学家蒙⽇发表了《画法⼏何》⼀书，提出⽤多⾯正投影图表达空间形体。
这为画法⼏何奠定了理论基础。
以后的各国学者⼜在投影变换、轴测图，以及其他⽅⾯不断提出新的理论和⽅法，使这门学科⽇趋完善。
我们知道，任何建筑物及其构件的形状、⼤⼩和做法，都不是⽤普通语⾔或⽂字能表达清楚的。
必须按照⼀个统⼀的规定画出它们的图样，作为施⼯、交流的依据，作为表达设计师构思的⼿段。
因此，⼯程图样被喻为⼯程界的语⾔，是⼯程技术部门的⼀项重要的技术⽂件。
本门课程和⼯程测量被认为是⼯程技术⼈员的两⼤技能。
主要任务：1.学习投影法的基本理论和应⽤；2.培养学⽣空间⼏何问题的图解能⼒；3.培养学⽣的空间想象能⼒和空间思维能⼒；4.认识国标，应⽤国标；5.培养学⽣阅读、绘制⼯程图样的技能；6.培养学⽣的⼯程意识，养成认真负责的⼯作态度和⼀丝不苟的⼯作作风。
学习⽅法：⾸先要多看、多想、多⽐划，尽快建⽴空间概念；其次要知道本门课程就是从点、到线、到⾯、再到体，⼀环扣⼀环，逐步深⼊。
因此，每⼀节课、每⼀章节内容都应该很好地掌握，否则后续章节就⽆法学习。
再者，就是要勤做练习、快做练习。
课后如果不及时完成作业，将会⼤⼤降低学习效率。
另外，要⽤好⽹络课程。
需要说明的是，学好任何⼀门课程，都没有捷径可⾛，都要付出艰⾟的努⼒。
画法几何 第3章 习题答案
5
2016年2月18日星 期四10时15分4秒
3-4 已知点A距离投影面W、V、H分别为20、15、25；点B在A之左10， A之前5，A之下15；点C在A之右5,A之后10,A之上5(单位：mm)。
6
2016年2月18日星 期四10时15分4秒
3-5 判别下列各对重影点的相对位置并填空。
1.点A在点B的 2.点D在点C的 3.点F在点E的
38
2016年2月18日星 期四10时15分4秒
3-33 求作直线与平面的交点，并判别直线的可见性。
（2）
本题是一般位 置直线与正垂面相 交。根据交点的共 有性，交点的正面 投影就是正垂面和 一般位置直线正面 投影的交点。可利 用点线从属性求交 点的水平面投影。 注意投影重叠 部分的可见性的判 别。
(2)
20
2016年2月18日星 期四10时15分4秒
3-16 求平面的第三投影，并判别其相对投影面的位置，在投影图上 反映倾角实形处用 α 、β 、γ 表示之。
(3)
21
2016年2月18日星 期四10时15分4秒
3-17 在投影图上用字符标出平面A、B、C、D的三面投影,并判别其相对投 影面的位置。
40
2016年2月18日星 期四10时15分4秒
3-34 求作平面与平面的交线，并判别平面的可见性。 （1）
本题是铅垂面 与一般位置平面相 交。根据交线的共 有性和铅垂面投影 特点，铅垂面的水 平投影mn就是交 线的水平投影。利 用点线从属性可直 接求m′、n′， 其连线即为交线的 正面投影。 注意投影重叠 部分的可见性的判 别。
方 方 方
mm。 mm。 mm。该两点均在
投影面上。
7
2016年2月18日星 期四10时15分4秒
03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换
a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
画法几何与工程制图第三章(投影变换)
ax1
X1 H V1
a1'
6
06
第三章 投影变换
点的换面投影作 图(换H面）： 换 面
1、选适位置作新投 、 影轴X 影轴 1。 2、作a1a’⊥X1 。 、 3、截取a1 aX1 = 、
2、点的换面投影作图（换H面） 、点的换面投影作图（ 面
H1 H1 X1 V X1 V
a1
ax1 a' V X H ax
第三章 投影变换
第三章 投影变换 1
当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们在该投影 当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时， 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、平面对投影面的倾角等特 而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时， 性。而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时，它们在该投影面上的投影 就不具有这些特性。 就不具有这些特性。 投影变换---把一般位置的几何要素变换成特殊位置 解决其定位和度量问题。 把一般位置的几何要素变换成特殊位置， 投影变换 把一般位置的几何要素变换成特殊位置，解决其定位和度量问题。 线段实长 平面的实形
aaX得a1 。
注意： 注意： 在作点的换面投 影时， 影时，新投影面 的位置可以任取。 的位置可以任取。
O
a
7
07
第三章 投影变换
3、点的两次换面投影 、
根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。 如图所示） 根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。（如图所示） 在一次换面V 投影体系中再设一个新投影面 投影体系中再设一个新投影面H 求得点A在 在一次换面 1/H投影体系中再设一个新投影面 2，求得点 在H2面上的新投 称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作X 影a2 ，称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作 2 。
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6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
c2
b1
e1 b c1
旋转轴2
实形
X
V H
a2
e c
a
2020/10/24
c2
a2
c1 a
c e
b1
b
旋转轴1
36
§3.3旋转法-六个基本问题-例子
[例]已知等腰三角形ABC的两面投影，其中BC为底边， 补全水平投影。
a
a1 c
用换面法怎么求解？
X
V H
旋转轴
工程制图
Engineering Drawing
国家十五重点教材
2020/10/24
1
第3章 投影变换
§3.1 投影变换的方法 §3.2 变换投影面法（换面法） §3.2 旋转法
2020/10/24
2
§3.1 投影面变换的方法-概述
当直线或平面相对于投影面平行或垂直时，其投影具有
重影性，可以较容易求解空间点线面的定位问题（交点和交
32
§3.3旋转法-六个基本问题-倾斜线变换为垂直线
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
旋转轴2
a
b
ab11 (a1 )
X
V H
旋转轴1 a
b
a1 b1
两次旋转变换时，必须交替 选用垂直H和V面的旋转轴，如 同换面法中的两次变换时，必须 交替变换HV面一样。
2020/10/24
33
§3.3旋转法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
线）和度量问题（实长、实形和倾角）。
实形
c
实长
a c
k
l
b
e a
a X
a
c
b k
ad
bX d
bc b
X ab k
m
d
d c
X bc
d
aθ
ed
l
c
c
实角
k
m
实长
将点线面与投影a 面的相b 对位置变换成有利于解题位置 （特殊位置的直线或平面），这种方法称为投影变换。
2020/10/24
3
§3.1 投影面变换的方法
➢不变投影和新投影的连线必垂直于新投影轴。垂直不变
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
2020/10/24
8
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
谢谢大家！
•
严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020 年10月 上午12 时57分2 0.10.24 00:57O ctober 24, 2020
•
作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2 020年1 0月24 日星期 六12时5 7分1秒 00:57:0 124 October 2020
•
好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。上 午12时5 7分1秒 上午12 时57分 00:57:0 120.10. 24
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
b1
b2
e2
b
a1e1
a
X
V H
a
e
c1
c2
c
c e
a2
实形
b
2020/10/24
21
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例1]求侧平线MN与△ABC的交点K。
m1
b1
k1 c1e1
b m e k
a1
c a
n1
X
V H
n
nb
k e
c
a
m
2020/10/24
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。0 0:57:01 00:57:0 100:57 10/24/2 020 12:57:01 AM
•
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2400 :57:010 0:57Oc t-2024- Oct-20
•
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。00:57:0100 :57:010 0:57Saturday , October 24, 2020
•
安全在于心细，事故出在麻痹。20.10. 2420.1 0.2400:57:0100 :57:01 October 24, 2020
•
踏实肯干，努力奋斗。2020年10月24 日上午1 2时57 分20.10. 2420.1 0.24
•
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 0月24 日星期 六上午1 2时57 分1秒00 :57:012 0.10.24
置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有 利于求解的特殊位置。
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
2020/10/24
b
bZ
b1
W
Z
VW
b
bZ1
bZ
b1
bZ1
b
Z1
2020/10/24
11
§3.1变换投影面法-基本规律-点的二次变换 •点的二次变换
H2 a2
V a
A
X2 aX2 V1
a1
a
X
V H
aX
aX
aX1
X
a
X1
a aX1
a1
2020/10/24
a2 aX2
12
§3.2变换投影面法-六个基本问题
目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位
置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有 利于求解的特殊位置。
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
2020/10/24
22
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例2]求C点到AB直线的距离。
a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
c
2020/10/24
kb
Why？
23
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
2020/10/24
5
§3.1 投影面变换的方法-旋转法
V X
V X
H
即投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴旋转到相对投 影面处于有利于解题的位置。
2020/10/24
6
第3章 投影变换
§3.1 投影变换的方法 §3.2 变换投影面法（换面法） §3.3 旋转法
2020/10/24
7
§3.2 变换投影面法-基本规律-点的一次变换
30
§3.3 旋转法-六个基本问题-将倾斜线变换为平行线
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
实长
旋转轴
a
a1
b
X
V H
a1
a
2020/10/24
b
31
§3.3旋转法-六个基本问题-平行线变换为垂直线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
旋转轴
a
ba1(b )
X
V H
b a
a1
2020/10/24
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
旋转轴
b
b1
d a
X
V H
d a
c a1
a1 b
d1 b1
c
2020/10/24
34
§3.3旋转法-六个基本问题-垂直面变换为平行面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
旋转轴
c
c2
b
a
X
V H
c
a1
c1
a1
a
b
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§3.3旋转法-六个基本问题-倾斜面变换为平行面
25
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
a e
d
X
V b f H
f
e
b
a
c
e1
d1
c f1
d
c1 a1 b1
f 2 f 2
b2 a2
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第3章 投影变换
§3.1 投影变换的方法 §3.2 变换投影面法（换面法） §3.3 旋转法
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§3.3 旋转法-基本规律-点的旋转变换
b1 a1e1
b
β1
e
c
b e
c1
V面倾角
c
变换H面（求β1）
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§3.2变换投影面法-六个基本问题-垂直面变换为平行面