工程制图第三章 投影变换
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第3章 投影变换
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4.2.1 更换投影面的原则
1. 新投影体系的建立
画 法 几 何 及 工 程 制 图 c1 V1 C b1 A a b X a1 X1 V/H 体系变换为V1/H 体系
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V c c1 b1 X
c
a
a1
b
bc
X1
a
B bc H
a
a b m P
例2 ABC与ABD夹角为60°，求a‘d’，b‘d’。
a'
画 法 V 几 X H 何 及 工 X1 H V1 程 c1' 制 图 a1'
投影分析 空间分析
c' d' b' d b
c
a
b1'
d1'
将AB 当两平面的交 投影面平行线 线 AB垂直于新 新投影轴 X1//ab 投影面时它们 c1 在该投影面上 将AB 的投影反映其 投影面垂直线 60° 夹角实大 d1 新投影轴X2a1'b1' a1(b1) 将AB 投影面垂直线 V1 H1 X2
画 法 几 何 及 工 程 制 图
点的投影变换规律
V
a
V1
a1
A X
X1
a H
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画 法 几 何 及 工 程 制 图
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（1）变换V面时点的投影作图
画 法 几 何 及 工 程 制 图 V V1 a1 a a
A
X
a1
XV H
a H
a
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03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换
a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
画法几何与工程制图第三章(投影变换)
ax1
X1 H V1
a1'
6
06
第三章 投影变换
点的换面投影作 图(换H面）： 换 面
1、选适位置作新投 、 影轴X 影轴 1。 2、作a1a’⊥X1 。 、 3、截取a1 aX1 = 、
2、点的换面投影作图（换H面） 、点的换面投影作图（ 面
H1 H1 X1 V X1 V
a1
ax1 a' V X H ax
第三章 投影变换
第三章 投影变换 1
当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们在该投影 当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时， 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、平面对投影面的倾角等特 而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时， 性。而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时，它们在该投影面上的投影 就不具有这些特性。 就不具有这些特性。 投影变换---把一般位置的几何要素变换成特殊位置 解决其定位和度量问题。 把一般位置的几何要素变换成特殊位置， 投影变换 把一般位置的几何要素变换成特殊位置，解决其定位和度量问题。 线段实长 平面的实形
aaX得a1 。
注意： 注意： 在作点的换面投 影时， 影时，新投影面 的位置可以任取。 的位置可以任取。
O
a
7
07
第三章 投影变换
3、点的两次换面投影 、
根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。 如图所示） 根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。（如图所示） 在一次换面V 投影体系中再设一个新投影面 投影体系中再设一个新投影面H 求得点A在 在一次换面 1/H投影体系中再设一个新投影面 2，求得点 在H2面上的新投 称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作X 影a2 ，称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作 2 。
工程制图第三章 投影基础
[例3-8] 分析图所示立体各平面的位置。
主视图投射方向
(a)立体图
(1) △ABC是水平面。 (2) △DEF是侧垂面。
(b)三视图
(3) 侧面ACDE是一般位置平面。
三、平面上的点和直线的投影
1. 平面上的点 点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。
2．平面上的直线
直线在平面内的条件是：通过平面内的两点或通过平 面内一点并平行于平面内的 另一直线。
用虚线绘制，当虚线与实线重合时只画实线。
特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位
关系。
作图举例：画出立体的三视图。
3 2
不能有线
宽相等
1
虚线 要画
小
(1) (2)
结
(3) 三视图投影规律: 主俯视图长对正 主左视图高平齐 俯左视图宽相等
投影方法分类：
中心投影 平行投影 工程制图采用 平行正投影方法 和第一角投影。
轴①平面在与其平行的投影面上的投影反映平面图形的实形。 测 ②平面在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投影轴 投 影 的直线。 图 平 面 投 影 图
应 用 举 例
3．一般位置平面 ：与三个投影面都倾斜的平面 。
主视图投射方向
投影特性： ①它的三个投影均为类似形，而且面积比原平面图形小； ②投影图上不直接反映平面对投影面的倾角。
(a) 通过平面内的两点
(b) 过平面内一点且平行 于平面内的一直线
[例3-9] 如图3-39a所示，已知平面△ABC上点M的正面
投影m ，求点M的水平投影m。 （引入反求） 分析：利用点、线从属关系求出M的水平投影m。 作图：
结论：判断点是否在平面内，不能只看点的投影是否在 平面的投影轮廓线内，一定要用几何条件和投影 特性来判断。
工程制图 第三章 投影法及点线面投影
即： AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是 其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投 影后保持不变。
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
工程图学基础/机械设计制图
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为 几类？
H
工程图学基础/机械设计制图
一般位置平面的投影
投影特性： 三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
工程图学基础/机械设计制图
V W V W
H
V
e f
a(b)
c
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
工程图学基础/机械设计制图
3） 一般位置直线
V
b B
a
β
b b
W X
Z
b a
a
O
γ
A
a H
a b a
Y
b
Y
投影特性
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
解法二： （应用定比定理）
a
●
k b
●
●
b
b k● a
k● a
第3章 投影变换---换面法
广东技术师范学院天河学院教案2012 年月日第周单元教案首页第三章投影变换——换面法第一节换面法的基本概念一、换面法的基本概念空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对新的投影面的相对位置变成有利于解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
这种方法称为换面法。
用换面解题时应遵循下列两原则:⒈选择新投影面时,应使几何元素处于有利于解题的位置；⒉新投影面必须垂直于原投影面体系中不被变换的投影面，并与它组成新投影面体系，必要时可连续变换。
(a) (b)图3.1 将一般位置直线变换成投影面平行线如图3.1,新投影面必须垂直于不变换的投影面，即V1⊥H，X1为新投影轴。
这时，不变换投影面上的投影a、b与V1面上的新投影a1＇、b1＇的投影连线a a1＇⊥X1、b b1＇⊥X1。
并且a1＇、b1＇到X1的距离等于被代替的投影a＇、b＇到被代替的投影轴的距离，即a1＇a X1＝a＇a X＝A a＝Z A, b1＇b X1＝b＇b X＝B b＝Z B。
第二节点的换面二、点的投影变换规律（一）点的一次变换点是一切几何形体的基本元素。
因此，必须首先掌握点的投影变换规律。
现在来研究更换正立投影面时，点的投影变换规律。
图3表示点A在V/H 体系中，正面投影为a′，水平投影为a。
现在令H面不变，取一铅垂面V1（V1⊥H）来代替正立投影面V，形成新投影面体系V1/H。
将点A向V1投影面投射，得到新投影面上的投影a′1。
这样，点A在新、旧两体系中的投影（a，a′1）和(a，a′)都为已知。
其中a′1为新投影，a′为旧投影，而a为新、旧体系中共有的不变投影。
它们之间有下列关系：1. 由于这两个体系具有公共的水平面H，因此点A到H面的距离（即z坐标），在新旧体系中都是相同的，即a′ax=Aa=a′1ax1。
2. 当V1面绕X1轴重合到H面时，根据点的投影规律可知aa′1必定垂直于X1轴。
这和aa′⊥X轴的性质是一样的。
第3章 投影变换
a) 直观图
图3-3 点的一次投影变换（变换H面）
X1 H1 XV H ax1 a1
X
ax
a
b) 投影图
用正垂面H1来代替H面，H1面和V面组成新投影体系V/H1，投影体系由V/H 变换为V/H1。新旧两体系具有同一个V面，因此a1ax1=Aa′ =aax。
无名湖畔论坛
b'
XH b k
V
O a
c
b1' a1'
k1'
作图过程如图4-21所示。
c1'
无名湖畔论坛 图3-21 过点A作直线与BC垂直相交
【例3-2】已知AB、CD是两条交叉直线，求两直线最短距 c' 离及其投影。
B
分析： 连接两交叉直线的线段中，只有它们 的公垂线最短。
M A C N
a
c
无名湖畔论坛 图3-10 一般位置平面变换为正垂面直观图
作图: 将一般位置平面变为正垂面的投影图。
b' a' k' 平面有积聚性的投影
步骤： ①找平面内的水平线;
c'
V XH
b1' a1' (k1')
②建新轴V1/H垂直于 ak，AK变成正垂线; ③平面变成垂直面， 有积聚性，反映平面 与H面的夹角。
无名湖畔论坛
一般位置平面变换为投影面的平行面，必须经过二次换面。
b'
a' k'
平 行
c'
X
V H
b1' a1' (k1') b2 a2 c1 '
b k a c
图3-13 一般位置平面变换为水平面
图3-3 点的一次投影变换（变换H面）
X1 H1 XV H ax1 a1
X
ax
a
b) 投影图
用正垂面H1来代替H面，H1面和V面组成新投影体系V/H1，投影体系由V/H 变换为V/H1。新旧两体系具有同一个V面，因此a1ax1=Aa′ =aax。
无名湖畔论坛
b'
XH b k
V
O a
c
b1' a1'
k1'
作图过程如图4-21所示。
c1'
无名湖畔论坛 图3-21 过点A作直线与BC垂直相交
【例3-2】已知AB、CD是两条交叉直线，求两直线最短距 c' 离及其投影。
B
分析： 连接两交叉直线的线段中，只有它们 的公垂线最短。
M A C N
a
c
无名湖畔论坛 图3-10 一般位置平面变换为正垂面直观图
作图: 将一般位置平面变为正垂面的投影图。
b' a' k' 平面有积聚性的投影
步骤： ①找平面内的水平线;
c'
V XH
b1' a1' (k1')
②建新轴V1/H垂直于 ak，AK变成正垂线; ③平面变成垂直面， 有积聚性，反映平面 与H面的夹角。
无名湖畔论坛
一般位置平面变换为投影面的平行面，必须经过二次换面。
b'
a' k'
平 行
c'
X
V H
b1' a1' (k1') b2 a2 c1 '
b k a c
图3-13 一般位置平面变换为水平面
工程制图 点、直线及平面的投影
工程制图
B b b
A a
a
a
b
Z
b
a
a
X a
b
O
YW
b
YH
27
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于V 投影面的铅垂线
工程制图
Z
a
a
b
b
X
O
YW
a(b)
YH
28
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于OX轴的直线
工程制图
Z
X a
b O
YW
(b)
a
b a(b)
YH
29
工学院 机械系 张文斌
红河学院
二、一般位置直线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
20
工学院 机械系 张文斌
红河学院 (1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线 工程制图
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
24
工学院 机械系 张文斌
红河学院 （2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线 工程制图
(a)b
(a)b
z a
b
A
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V2 H1 H1
求平行两直线AB、 CD间距离。
c1
a1
V
b’ c’
d’
V
a’ a
c b
H
d
30
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
c’ a’
V H
P20 3—2（1）
e’
b’ e b
d’
d b1’ e1’
a c
H V1
d1’
a1’
2014-8-29
m1’ c1’
重庆交通大学 画法几何及工程制图 31
14
3.2.2.1
把倾斜线变为投影面平行线
求对H面倾角，换V面； 求对V面倾角，换H面；
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
15
把倾斜线变为投影面平行线动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
16
3.2.2.2
将投影面平行线变为投影面垂直线
.
.
垂直
2014-8-29
第三章 投影变换
3.1 投影变换的方法
3.1.1 为什么要进行投影变换
投影变换是研究如何通过改变空间几何元素与投
影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的。
利用平行性的投影特性： 利用积聚性投影特性 获得实长
获得实形、实角
获得两几何元素的交集
3.1.2 投影变换的种类
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图 1
23
将投影面垂直面换成投影面平行面动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
24
3.2.2.6
将投影面倾斜面变为投影面平行面
返回
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
25
a1 a’ c’
V H
c1 k1’
b1
H1 V 1
例1 求C点到 c2’ AB直线的距 离
a2’b2’
重庆交通大学 画法几何及工程制图
17
将投影面平行线变为投影面垂直线动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
18
3.2.2.3
将投影面倾斜结变为投影面垂直线
.
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
19
将投影面倾斜线变为投影面垂直线动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
3.2.3
变换投影面法应用实例
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
8
3.2.1.1 点的一次变换
变换V面
旧投影面
旧投影
不变投影面
不变投影 .
新投影 新投影面
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图 9
变换V面动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
10
变换H面
20
3.2.2.4
将投影面倾斜面变为投影面垂直面
正平线 垂直
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
21
将投影面倾斜面变为投影面垂直面动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
22
3.2.2.5
将投影面垂直面换成投影面平行面
ABC实形
.
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
不变投影
新投影
旧投影
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
11
变换H面动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
12
3.2.1.2
点的二次变换
.
.
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
13
点的两次变换动画
返回
2014-
k’ b’
H1 V
a k c b
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
26
k1 例2 求直线MN与
Δ ABC的交点K。 a’ n’ n k m m’
b’
k’
c’ b c
a
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
27
d’
V H
k’ a’
m’
b’
例3 求交叉两直线AB c’
和CD的距离。
3.3.2
旋转法中的六个基本问题
3.3.2.1 将投影面倾斜线旋转成投影面平行线
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
38
3.3.2.2
将投影面倾斜线旋转成投影面垂直线
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
39
3.3.2.3
将投影面倾斜面旋转成投影面垂直面
2014-8-29
d’ P22 3—4（1）
V H
c’
V1 H
a
c
n m
b b1’
d
c2 n2 a2b2m2
V1 H2
a 1’
c1’ n 1’ m1’ d 1’
d2
34
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
P22 3—4（2）
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
35
V2
Q2'
W1
P22 3—4（2） θ
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
7
3.2 变换投影面法（换面法）
3.2.1 变换投影面法的基本规律
1）不论在新的或原来的（即被代替的）投影面体系中， 点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
2）点的新投影到新投影轴的距离等于原来的投影到原来 投影轴的距离。
3.2.2
变换投影面法中的六个基本问题
3.3.1.2 当一直线绕垂直于投影面的轴旋转时，它对轴所垂直平 面的倾角不变，它在轴所垂直的投影面上的投影长度不变。态
动画
3.3.1.3 当一平面绕垂直于投影面的轴旋转时，它对轴所垂直平 面的倾角不变，它在轴所垂直的投影面上的投影形状不变。 动画
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图 37
重庆交通大学 画法几何及工程制图
43
利用平行性获得实长
实长
一般位置
特殊位置
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
2
利用平行性获得实形
实角
实形
一般位置
特殊位置
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
3
利用积聚性投影特性获得两几何元素的交集
返 回
一般位置
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图
特殊位置
4
3.1.2.1
换面法
平行
实形
选择新投影面的原则：
X1轴//abc
1.新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置 2.新投影面必须垂直于一个不变的投影面
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图 5
投影图：
ABC实形
.
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
6
旋转法
实 形
H1 V
a1 c1 d1 d’
P20 3—2（3）
a’
c’
b’ b
b1
V H
c
d a
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
32
c’
H
V1
d’ P20 3—2（4）
a’
b’ b
V H
a
a1’ b1’
c c1’d1’
2014-8-29
d
重庆交通大学 画法几何及工程制图
33
a’ m’ n’ b’
k c m
a
H V1
d
b
c1’ k1’
c2
k2 d2
a 1’
m1’ b1’ a2b2m2 d 1’
V1 H2
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
28
例4 求变形接头两侧面ABCD和ABFE之间的夹角。
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
29
P19 3—1（4） b1
d1
Q1'' P1''
P2'
W1 V Q'
P'
P''
Q''
V
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图
W
36
3.3 旋转法
3.3.1 旋转法的基本规律
3.3.1.1 当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在轴 所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行的投影面上 的投影为一平行于投影轴的直线。 动画1 动画2
重庆交通大学 画法几何及工程制图
40
3.3.2.4
将投影面倾斜面旋转成投影面平行面
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
41
例1 求△ABC 和△ABD 两平面之间的夹角
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
42
例2 试将点D 绕所设OO 轴旋转到已知平面ABC 上
2014-8-29