画法几何及工程制图第3章投影变换
画法几何投影变换ppt课件
m1′
b′
n′
n1′
为求实长，进行第二次 a′
旋转，将AB和M一起绕正垂
线旋转，把AB旋转成铅垂线。
m
a1′ b m1
n
a1
n1
a
a2′
b1′ n2 m2′ b2′ m2
b1 a2b2n2
四、六个基本问题
1、把一般位置直线变为投影面平行线 例题1
2、把投影面平行线变为投影面垂直线 3、把一般位置直线变为投影面垂直线
5
V1 a1
X1
一、换面法的基本概念
新投影面V1⊥H
V
c1
c
C a
旧投影面
c1 b1
b1
新轴
B
A
b
c
aH
b
X
a1
旧轴 X1
保留的不变投影面
V/H 体系变为V1/H 体系
c a
b X
(b)c
a
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使其对新投影面的相对 位置变成有利于解题的位置，作出在新投影面上的投影并解决有关问题。
a
b
;.
a1 （ b1）
15
3 把一般位置直线变为投影面垂直线（投影作图） b
a
V X
H b
a
a2 （b2）
b1 a1
思考题1 如何求点C到直线AB的距离？
b
a c
V X
H
b c
a
a V X H
a
b 提示
把一般位置直线变为投 影面垂直线
b
a2 b2
b1 a1
思考题2 如何求两直线AB与CD间的距离？
a
第3章 投影变换
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4.2.1 更换投影面的原则
1. 新投影体系的建立
画 法 几 何 及 工 程 制 图 c1 V1 C b1 A a b X a1 X1 V/H 体系变换为V1/H 体系
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V c c1 b1 X
c
a
a1
b
bc
X1
a
B bc H
a
a b m P
例2 ABC与ABD夹角为60°，求a‘d’，b‘d’。
a'
画 法 V 几 X H 何 及 工 X1 H V1 程 c1' 制 图 a1'
投影分析 空间分析
c' d' b' d b
c
a
b1'
d1'
将AB 当两平面的交 投影面平行线 线 AB垂直于新 新投影轴 X1//ab 投影面时它们 c1 在该投影面上 将AB 的投影反映其 投影面垂直线 60° 夹角实大 d1 新投影轴X2a1'b1' a1(b1) 将AB 投影面垂直线 V1 H1 X2
画 法 几 何 及 工 程 制 图
点的投影变换规律
V
a
V1
a1
A X
X1
a H
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画 法 几 何 及 工 程 制 图
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（1）变换V面时点的投影作图
画 法 几 何 及 工 程 制 图 V V1 a1 a a
A
X
a1
XV H
a H
a
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《画法几何-投影变换》课件
H1
b
V
a1(b1)
B
a
b
X
A
b
H
a
a
X
换H面
正平线
“铅垂线”
a
b
换V面
水平线
“正垂线”
a1(b1)
将一般位置面变为投影面垂直面
a
X
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
a
取正平线
一般位置面
“铅垂面”（β）
换H面
b d c
b d c
b1 a1(d1)
c1
X1
将投影面垂直面变为投影面平行面
c
a
X
换H面
换V面
一般位置线
“水平线”（实长，β）
“铅垂线” “正垂线”
把一般位置面变为投影面平行面
b
a
b1
c
a1
X
b c1
X1
X2
a
c
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
换H面
b2
a2
c2
实形
“水平面”（实形）
把一般位置面变为投影面平行面
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
换H面
“水平面”（实形）
例 已知平行二直线AB、CD之间的距离为15，完成CD的水平投影。
a1
b1 c1
a
c
d1
b d
c a
d
b
a 2(b 2) c 2(d 2)
例：等腰三角形ABC，底边AB，平面的α角为30°，高 的实长为L，补全其投影 。有几解？
c
a
画法几何及工程制图教案之投影作图
画法几何及工程制图教案第二章投影作图§2—1投影的概念一、投影在灯光或太阳光照射物体时，在地面或墙上酒会产生与原物体相同或相似的影子，人们根据这个自然现象，总结出将空间物体表达为平面图形的方法，即投影法在投影法中：投影线——在投影法中，向物体投射的光线，称为投影线；投影面——在投影法中，出现影像的平面，称为投影面；投影———在投影法中，所得影像的集合轮廓则称为投影或投影图。
二、投影法的分类投影法依投影线性质的不同而分为两类：1．中心投影法投影线由由投影中心的一点射出，通过物体与投影面相交所得的图形，称为中心投影。
投影线的出发点称为投影中心。
这种投影方法，称为中心投影法；螦得的单面投影图，称为中心投影图。
如图2—1所示。
由于投影线互不平行，所得图形不能反映提的真实大小，因此，中心投影不能作为绘制工程图样的基本方法图2—1中心投影法图2—2平行投影法（a）图2—3平行投影法（b）2．平行投影法如果将投影中心移至无穷远处，则投影可看成互相平行的通过物体与投影面相交，所得的图形称为平行投影；用平行投影线进行投影的方法称为平行投影法。
在平行投影法中，根据投射方向是否垂直投影面。
平行投影法又可分为两种，（1）斜投影法：投影方向（投影线）倾斜于投影面，称为斜角投影法；（2）直角投影法：投影方向（投影线）垂直于投影面，称为直角投影法，简称正投影法。
如上图所示。
正投影法是工程制图中广泛应用的方法。
3．轴测投影轴测投影是用平行投影法在单一投影面上取得物体立体投影的一种方法。
用这种方法获得的轴测图直观性强，可在图形上度量物体的尺寸，虽然度量性较差，绘图也较困难，仍然是工程中一种较好的辅助手段。
以后将有一章专门讲解有关部门轴测图的基本知识。
三、正投影的基本特性图2—4正投影特性以对直线、平面进行正投影来说明其特性，如图2—4所示。
1．真实性当直线或平面图形平行于投面时，投影反映线段的实长和平面图形的真实形状；2．积聚性当直线或平面图形垂直于投面时，直线段的投影积聚成一点，平面图形的投影积聚成一条线；3．类似性当直线或平面图形倾斜于投面时，直线段的投影仍然是直线段，比实长短；平面图形的投影仍然是平面图形，但不反映平面实形，而是原平面图形的类似形。
画法几何与工程制图平面的投影课件
04
投影变换
换面法
换面法是一种通过改变投影面来获取新视图的方法。
换面法是通过选择一个新的投影面来替代原有的投影面，从而改变投影方向和投 影方式，以获得更直观、更清晰的视图。在工程制图中，换面法常用于解决复杂 的三维空间问题，帮助工程师更好地理解和分析物体的结构和形状。
旋转法
旋转法是通过旋转物体或投影面来获取新视图的方法。
05
曲线和曲面
曲线
平面曲线
在二维平面上生成的曲 线，如圆、椭圆、抛物
线等。
立体曲线
在三维空间中生成的曲 线，如圆柱螺旋线、圆
锥螺旋线等。
参数曲线
通过参数方程定义的曲 线，如正弦曲线、余弦
曲线等。
பைடு நூலகம்
极坐标曲线
通过极坐标系定义的曲 线，如极坐标方程下的
圆、椭圆等。
曲面
01
02
03
04
二维曲面
由二维图形生成的表面，如球 面、椭球面等。
平面与拉伸曲面相交
拉伸曲面是由一个二维图形沿某一方向拉伸形成的，当平面与拉伸曲面 的法线方向垂直时，可以得到直线或点；当平面与拉伸曲面的法线方向 平行时，可以得到抛物线或双曲线。
06
立体的投影
平面立体的投影
棱柱体的投影
棱柱体由两个平行的多边形底面和若干个直棱柱组成，其投影为两个多边形的 投影及若干个直线的投影。
维和创新能力。
课程内容涵盖了画法几何、投影 理论、制图标准、工程实例等多
个方面。
投影法分类
正投影法
中心投影法
将物体放在投影面上，通过光源将物 体的轮廓投影到投影面上，具有真实 反映物体的形状和大小的特点。
将物体放置在投影中心，通过光源将 物体的轮廓投影到投影面上，具有表 现物体立体感的特点。
画法几何与工程制图第三章(投影变换)
ax1
X1 H V1
a1'
6
06
第三章 投影变换
点的换面投影作 图(换H面）： 换 面
1、选适位置作新投 、 影轴X 影轴 1。 2、作a1a’⊥X1 。 、 3、截取a1 aX1 = 、
2、点的换面投影作图（换H面） 、点的换面投影作图（ 面
H1 H1 X1 V X1 V
a1
ax1 a' V X H ax
第三章 投影变换
第三章 投影变换 1
当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们在该投影 当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时， 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、平面对投影面的倾角等特 而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时， 性。而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时，它们在该投影面上的投影 就不具有这些特性。 就不具有这些特性。 投影变换---把一般位置的几何要素变换成特殊位置 解决其定位和度量问题。 把一般位置的几何要素变换成特殊位置， 投影变换 把一般位置的几何要素变换成特殊位置，解决其定位和度量问题。 线段实长 平面的实形
aaX得a1 。
注意： 注意： 在作点的换面投 影时， 影时，新投影面 的位置可以任取。 的位置可以任取。
O
a
7
07
第三章 投影变换
3、点的两次换面投影 、
根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。 如图所示） 根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。（如图所示） 在一次换面V 投影体系中再设一个新投影面 投影体系中再设一个新投影面H 求得点A在 在一次换面 1/H投影体系中再设一个新投影面 2，求得点 在H2面上的新投 称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作X 影a2 ，称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作 2 。
工程制图投影变换基础PPT课件
如B何返回k原 投a影b面l 体P 系
X1//ab k1
k1l1//X2
V1 H2
X2a1b1 X2
A
如何K将AB变
k2
L 换成投影面
aBb//垂l 直Pk线？13
结束 返回
例1 例2 例3
换面法
将一般位置平面变换成投影面垂直面
3.2.1
选择新
投影面 的原则 3.2.2 点的投 影变换 规律
3.2.3 四个基 本作图 问题
a' XHV
空间分析
b'
当 平如的A行B何位线一为时确置次新，定换投其X影面1投轴面影的
b O 直接实反长映实长b1
更换a1哪个投影面？
X1
P1 H
V
a H a1 X1 V1
b因1 为a要求（b与H面
实长
倾角）X，1/则/ab必须保
留H面而使AB平行
10
P1。
例1 例2 例3
换面法
3.2.1 选择新 投影面 的原则 3.2.2 点的投 影变换 规律 3.2.3 四个基 本作图 问题
选择新 投影面 的原则 3.2.2 点的投 影变换 规律 3.2.3 四个基 本作图 问题
旋转法
k'
b'
l'
在求如A求什线B其垂么段何实直情的确长相况投定交下影并所直
a'
XVH
kl b
新接投反影映轴其实的长位? 置
AB P
A将AKBL// /P/线
K
a
L将AB 线
H X1 V1 a1
l1
b1
A2(b2) (l2)
求三角形ABC的实形。 先将平面变换
第3章 投影变换---换面法
广东技术师范学院天河学院教案2012 年月日第周单元教案首页第三章投影变换——换面法第一节换面法的基本概念一、换面法的基本概念空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对新的投影面的相对位置变成有利于解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
这种方法称为换面法。
用换面解题时应遵循下列两原则:⒈选择新投影面时,应使几何元素处于有利于解题的位置；⒉新投影面必须垂直于原投影面体系中不被变换的投影面，并与它组成新投影面体系，必要时可连续变换。
(a) (b)图3.1 将一般位置直线变换成投影面平行线如图3.1,新投影面必须垂直于不变换的投影面，即V1⊥H，X1为新投影轴。
这时，不变换投影面上的投影a、b与V1面上的新投影a1＇、b1＇的投影连线a a1＇⊥X1、b b1＇⊥X1。
并且a1＇、b1＇到X1的距离等于被代替的投影a＇、b＇到被代替的投影轴的距离，即a1＇a X1＝a＇a X＝A a＝Z A, b1＇b X1＝b＇b X＝B b＝Z B。
第二节点的换面二、点的投影变换规律（一）点的一次变换点是一切几何形体的基本元素。
因此，必须首先掌握点的投影变换规律。
现在来研究更换正立投影面时，点的投影变换规律。
图3表示点A在V/H 体系中，正面投影为a′，水平投影为a。
现在令H面不变，取一铅垂面V1（V1⊥H）来代替正立投影面V，形成新投影面体系V1/H。
将点A向V1投影面投射，得到新投影面上的投影a′1。
这样，点A在新、旧两体系中的投影（a，a′1）和(a，a′)都为已知。
其中a′1为新投影，a′为旧投影，而a为新、旧体系中共有的不变投影。
它们之间有下列关系：1. 由于这两个体系具有公共的水平面H，因此点A到H面的距离（即z坐标），在新旧体系中都是相同的，即a′ax=Aa=a′1ax1。
2. 当V1面绕X1轴重合到H面时，根据点的投影规律可知aa′1必定垂直于X1轴。
这和aa′⊥X轴的性质是一样的。
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a
X
V H
a
b1 a1e1
b
β1
e
c
b e
c1
V面倾角
c
变换H面（求β1）
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-垂直面变换为平行面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
a
X
V H
a
a1
b c
Why X1轴这么选？
b
c
c1
实形
b1
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为平行面
目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位
置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有 利于求解的特殊位置。
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
m1
m2 a2 b2
d2
Why？
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例4]求变形接头两侧面ABCD和ABFE之间的夹角。
分析
当两平面的交线垂直于投影面时，两平面 在该投影面上的投影为两相交直线，它们的夹 角即反映两平面间的夹角。
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
线）和度量问题（实长、实形和倾角）。
实形
a c
c
实长
k
l
b
e a
a X
a
c
b k
ad
bX d
bc b
X ab k
m
d
d c
X bc
d
aθ
ed
l
c
c
实角
k
m
实长
将点线面与投影a 面的相b 对位置变换成有利于解题位置（ 特殊位置的直线或平面），这种方法称为投影变换。
械20§工20程/310学./12院4 投影面变换的方法
a
实长
b1 β
V面倾角
b
b
变换H面
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-平行线变换为垂直线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
a
b
a1
X
V H
b1
b a
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-倾斜线变换为垂直线
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
b1
b2
e2
b
a1e1
a
X
V H
a
e
c1
c2
c
c e
a2
实形
b
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例1]求侧平线MN与△ABC的交点K。
m1
b1
k1 c1e1
b m e k
a1
c a
n1
X
V H
n
nb
k e
c
a m
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
➢不变投影和新投影的连线必垂直于新投影轴。垂直不变
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
械20§工20程/310学./12院4变换投影面法-基本规律-点的一次变换
03画法几何及工程制图第3 章投影变换
械20工20程/10学/2院4
第3章 投影变换
§3.1 投影变换的方法 §3.2 变换投影面法（换面法） §3.2 旋转法
械20§工20程/310学./12院4 投影面变换的方法-概述
当直线或平面相对于投影面平行或垂直时，其投影具有
重影性，可以较容易求解空间点线面的定位问题（交点和交
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-将倾斜线变换为平行线
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
a
X
V H
aX
a
b
bX
aX1
a1 实长
α
b1 H面倾角
bX1
b
变换V面
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-将倾斜线变换为平行线
a1
a
X
V H
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
H1
X
V H
bX
X
b
b
械20§工20程/310学./12院4பைடு நூலகம்换投影面法-基本规律-点的一次变换 •点的一次变换（变换W面）－Y坐标值不变
W
b
bZ
b1
bZ1
Z
VW
b1
bZ1
b
b
bZ
Z1
械20§工20程/310学./12院4变换投影面法-基本规律-点的一次变换
械20§工20程/310学./12院4 投影面变换的方法-旋转法
V X
V X
H
即投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴旋转到相对投 影面处于有利于解题的位置。
械20工20程/10学/2院4
第3章 投影变换
§3.1 投影变换的方法 §3.2 变换投影面法（换面法） §3.3 旋转法
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换V面））－X坐标值不变
b
bZ
b1
W
Z
VW
b
bZ1
bZ
b1
bZ1
b
Z1
械20§工20程/310学./12院4变换投影面法-基本规律-点的二次变换 •点的二次变换
H2 a2
V a
A
X2 aX2 V1
a1
a
X
V H
aX
aX
aX1
X
a
X1
a aX1
a1
a2 aX2
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
[例2]求C点到AB直线的距离。
a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
c1
k1 b1
1.变换投影面法（换面法）
几何元素保持不动，改变投影面的位置，
使新的投影面与几何元素处于有利解题的位置。
2.旋转法
投影面保持不动，将几何元素绕某一轴旋
转到相对于投影面处于有利解题的位置。
械20§工20程/310学./12院4 投影面变换的方法-变换投影面法（换面法）
V1
V
V
X
X1
X
H
X1
新投影面的选择必须符合以下两个条件： 1．新投影面必须和几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。