线性代数课件1.2
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线性代数1.2行列式的性质
如 1 6 7
1 9 7
137
5 7 3 5 1 3 5 6 3
2 3 9 2 4 9 2 1 9
性质5 将行列式的某一行(列)所有元素的 k倍加到另一行
(列)的对应元素上,行列式的值不变,即:
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 ain k
ai1
ai 2
ain
aj 1 aj 2 ajn
例1计算 阶行列式
3
4 1 2
D
15 2
12 0
9 12 1 1
1 20 3 3
解：注意到行列式第2列元素都有因数4，可将其提出来。
3 1 1 2
3 1 1 2
D
4 15 2
3 0
9 1
12 1
4
3 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 5 3 3
将行列式化成上三角型行列式过程中我们希望第1行、第1列
ipj
jpi
npn
p1pi pj pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
p1pj pi pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
D
p1pj pi pn
证毕。
推论1 若行列式的两行(列)的对应元素相同,则行列式为零.
第二节 行列式的性质
一 行列式的性质
在计算行列式的时候,一般都不会直接使用定义,通常会 将行列式进行一些变换,化成容易看出结果的形态,此节就是 讨论行列式的变换遵循什么法则.
线性代数第一章第二节
四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ，a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2
(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
线性代数全套教学课件
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列） 的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列） 的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数1.2矩阵的运算(崔丽鸿)
为A的k次多项式.
【例1.7】 设A为n阶方阵， f x x3 2x2 x 2,
则
f A A3 2A2 A 2En
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
特别地，设 n 3,
0 a b
B
0 0
0 0
a 0
4 13 15
A1
A2
5
15
14
4 17 15
6
14
17
仍是一个矩阵，其 中的数就是A1和A2 中对应的数相加
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
定义1.2（矩阵的加法） 设两个同型矩阵
A = aij mn 与 B = bij mn
Chapter 1 Matrix
【例1.5】
AB
1 1
1 1
1
1
1
1
2 2
2
2
22
BA
1 1
1 1
1
1
1 1
0
0
0
0
22
从以上几个例题看出：
（1）矩阵乘法不满足交换律，即 AB BA ；
A B E
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
定义1.7（矩阵的转置） 设矩阵
a11 a12 L
A
《线性代数电子教案》课件
《线性代数电子教案》PPT课件第一章：线性代数简介1.1 线性代数的意义和应用解释线性代数的概念和重要性探讨线性代数在工程、物理、计算机科学等领域的应用1.2 向量和空间定义向量及其几何表示介绍向量的运算，如加法、减法、数乘和点积1.3 矩阵和矩阵运算介绍矩阵的定义和基本性质探讨矩阵的运算，如加法、减法、数乘和乘法第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义和性质解释线性方程组的含义和基本性质探讨线性方程组的解的存在性和唯一性2.2 高斯消元法介绍高斯消元法的原理和步骤演示高斯消元法的具体操作过程2.3 矩阵的逆定义矩阵的逆及其性质探讨矩阵的逆的求法和应用第三章：矩阵的特征值和特征向量3.1 特征值和特征向量的定义解释特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和关系3.2 矩阵的特征值和特征向量的求法介绍求解矩阵的特征值和特征向量的方法演示求解矩阵的特征值和特征向量的具体过程3.3 矩阵的对角化定义矩阵的对角化及其条件探讨矩阵对角化的方法和应用第四章：向量空间和线性变换4.1 向量空间的概念和性质解释向量空间的概念和基本性质探讨向量空间的基、维数和维度4.2 线性变换的定义和性质定义线性变换及其性质探讨线性变换的矩阵表示和特征值4.3 线性变换的图像和应用介绍线性变换的图像和性质探讨线性变换在图像处理等领域的应用第五章：行列式和矩阵的秩5.1 行列式的定义和性质解释行列式的概念和基本性质探讨行列式的计算方法和性质5.2 矩阵的秩的定义和性质定义矩阵的秩及其性质探讨矩阵的秩的求法和应用5.3 矩阵的逆和行列式的关系探讨矩阵的逆和行列式之间的关系演示利用行列式和矩阵的秩解决实际问题的方法第六章：二次型和正定矩阵6.1 二次型的定义和性质解释二次型的概念和基本性质探讨二次型的标准形和判定方法6.2 矩阵的正定性和二次型的应用定义正定矩阵及其性质探讨正定矩阵的判定方法和应用6.3 二次型的最小二乘法介绍最小二乘法的原理和步骤演示最小二乘法在实际问题中的应用第七章：特征值和特征向量的应用7.1 特征值和特征向量在控制理论中的应用探讨特征值和特征向量在控制理论中的重要作用演示利用特征值和特征向量分析线性系统的稳定性7.2 特征值和特征向量在信号处理中的应用解释特征值和特征向量在信号处理中的重要性探讨利用特征值和特征向量进行信号降噪等处理的方法7.3 特征值和特征向量在图像处理中的应用介绍特征值和特征向量在图像处理中的作用演示利用特征值和特征向量进行图像降维和特征提取的方法第八章：向量空间的同构和商空间8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构及其性质探讨同构的判定方法和性质8.2 向量空间的商空间解释向量空间的商空间的概念和性质探讨商空间的构造和运算规则8.3 向量空间的同构和商空间的应用探讨向量空间的同构和商空间在数学和物理学中的应用演示利用同构和商空间解决实际问题的方法第九章：线性代数在优化问题中的应用9.1 线性代数在线性规划中的应用解释线性规划问题的概念和基本性质探讨利用线性代数方法解决线性规划问题的方法9.2 线性代数在非线性优化中的应用介绍非线性优化问题的概念和基本性质探讨利用线性代数方法解决非线性优化问题的方法9.3 线性代数在机器学习中的应用解释机器学习中的线性代数方法探讨利用线性代数方法进行数据降维、特征提取和模型构建的方法第十章：总结和拓展10.1 线性代数的核心概念和定理总结线性代数的核心概念和定理强调其在数学和科学研究中的重要性10.2 线性代数的拓展学习和研究方向介绍线性代数的拓展学习和研究方向鼓励学生积极探索线性代数的应用和创新10.3 线性代数的练习和参考资源提供线性代数的练习题和解答推荐相关的参考书籍和在线资源，供学生进一步学习和参考重点和难点解析重点一：向量和空间的概念及运算向量是线性代数的基本元素，其运算包括加法、减法、数乘和点积。
线性代数 课件
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
解： 1) (13 pq ) a11a23a3 p a4 q , pq为24的全排列 ( 所以： 1) (1324) a11a23a32 a44 a11a23a32 a44 ( ( 1) (1342) a11a23a34 a42 a11a23a34 a42 例6 若 a13a2i a32 a4 k , a11a22 a3i a4 k , ai 2 a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
n(n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1... p1 ) C 2 n(n 1) ( pn pn1... p1 ) k 2
2 n
例4 求排列(2k ) k 1)2(2k 2)...( k 1) k 1(2 的逆序数, 并讨论奇偶性。 解：2k 的逆序数为 2k 1 ； 的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ； 的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ； 的逆序数为0 3 ............ (k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
1 2 ... ( n 2) ( n 1)
n
0 0 12 ...n ...
n (n 1) 2
1
0 (1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式 1) 下三角行列式 a11 a21 ... an1 2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如 果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个，就说
线性代数 第一章 行列式 1.2
称为n 阶行列式它表示代数和
( 1) N ( j1 j 2 j n ) a1 j a 2 j a nj 1 2 n
其中和式中的排列 j1j2 jn要取遍所有n级排列
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2
二、n 阶行列式的定义
观察二阶行列式和三阶行列式
a11 a12 a11 a 22 a12 a 21 a 21 a 22
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
故有j3 且有i1时k5 或i5时k1
当i1 j3 k5时 (1)N(14325)N(52314)(1)9 1 所以 该项前应冠以负号 a15a42a33 a21ak4为|aij|的一项 当i5 j3 k1时 (1)N(54321)N(52314)(1)16 1 所以
1 1 2
j2
a i
n
jn
其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列
这是因为 乘积项中的任意两个元素进行对换后 乘积项 的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化 所以对换前后行 标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变 因此
若 ai j ai
1 1 2
j2
a i
举例 对排列21354施以对换(1 4)后得到排列24351 提问 排列21354与排列24351的奇偶性如何?
对换 在一个排列i1isitin中 将数码is与it对调 就得到另一 个排列i1itisin 这样的变换称为一个对换 记为对换(it is) 定理11 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变 证 (1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变 (2)设排列ik1k2ks j 经过对换(i j)变为jk1k2ksi 这个变换可以按如下方法完成 j与前面s1个数码逐个对 换 然后i与后面s个数码逐个对换 按上述方法 总共进行了2s1次相邻数码的对换 因为相 邻数码的对换的次数为奇数 所以最后得到的排列与原排列 的奇偶性不同
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1 0 3 5 例如 是一个 ×4实矩阵 是一个2× 实矩阵 实矩阵. 9 6 4 3
13 6 2i 是一个3× 复矩阵 复矩阵. 2 2 2 是一个 ×3复矩阵 2 2 2
(4) 是一个 ×1实矩阵 是一个1× 实矩阵 实矩阵.
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我们将原方程组(1.1)中未知变量的系数和常数项构成 中未知变量的系数和常数项构成 我们将原方程组 的数表记为
1 1 2 1 1 2 3 0 1 1 3 2 因该矩阵有3行 横为 横为行 这样的矩形数表称为矩阵 因该矩阵有 行(横为行) 矩阵. 这样的矩形数表称为矩阵.
x1 x2 xn
为常数. 其中 aij 为常数.
a 11 a 12 L a 1n a 21 a 22 L a 2 n A= 系数矩阵 L L L L a m1 a m 2 L a m n a11 a12 L a1n b1 a21 a22 L a 2n b2 B = L L L L L 增广矩阵 a m1 a m 2 L amn bm
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5) 零矩阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵,m 元素全为零的矩阵称为零矩阵, × n 零矩阵记作 零矩阵 Om×n 或 O.
O1×3 =
(0
0 0)
O2×3
0 0 0 = 0 0 0
6) 三角形矩阵
定义1.4 定义
a11 0 形如 M 0
0 0 ≠ 0 0 . ( ) 0 0
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例如
a 1 A= 0 b , 2 3
1 1 B=0 2 , c 3
已知A 已知 = B, 求a, b, c. 解 a = 1, b = 2, c = 2.
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第 1 章 矩阵
1.1 矩阵及其运算
1.1.1 矩阵的概念 1.1.2 矩阵的加法与数量乘法 1.1.3 矩阵与矩阵的乘法 1.1.4 矩阵的转置 1.1.5 共轭矩阵
1.1.1 矩阵的概念
在生活中存在很多数表: 在生活中存在很多数表: 某城市有4个县城 个县城, 例1.1 某城市有 个县城 市政府决定修建公路网. 市政府决定修建公路网. 1.1 图 所示为公路网中各段公路的 里程数(单位: 里程数(单位: km); 其中五个 单位 圆分别表示城市O与四个县 圆分别表示城市 与四个县 城E1 , E2 ,E3 , E4 , 图中两圆连 线的数字表示两地公路的总里程. 线的数字表示两地公路的总里程.
采用回代法求解阶梯形方程组. 采用回代法求解阶梯形方程组. 由式(1.2)中的③知 z =1, 将其回代②,得y = 2, 中的③ 由式 中的 , 将其回代② , 再回代① 再回代①,得x = 1.即原方程组 .即原方程组(1.1)的解为 的解为
x =1 y=2 . z =1
由例1.2的求解过程可以看出: 由例 的求解过程可以看出: 的求解过程可以看出 线性方程组由未知 变量的系数和常数项惟一确定 与未知变量的记号无关. 惟一确定, 变量的系数和常数项惟一确定 与未知变量的记号无关 系数 要研究方程组的求解问题, 要研究方程组的求解问题 只需研究未知变量的系数 和常数项构成的数表即可. 和常数项构成的数表即可.
a12 a22 M 0
L a1n a11 1n L a2n a21 与 M L M a L ann n1
0 a22 M a n2
L 0 L 0 L M L ann
称为上三角形矩阵与 称为上三角形矩阵与下三角形矩阵 . 上三角形矩阵
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例1.3 线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn = b2 , LLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm .
0 0 0 方阵, 的方阵, λn
称为对角矩阵 对角矩阵( 对角阵). 称为对角矩阵(或对角阵). 记作 L = diag ( λ1, λ2 , L , λn ) .
diagonal
如果 λ1 = λ 2 L = λ n = λ ≠ 0, 称为数量矩阵. 称为数量矩阵. 数量矩阵 λ 0 L 0 0 λ L 0 数量矩阵. 数量矩阵. L L L L 0 0 L λ
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下面介绍几种特殊矩阵 1) 方阵 行数与列数都等于n的矩阵 称为n阶方阵 的矩阵A, 阶方阵, 行数与列数都等于 的矩阵 ,称为 阶方阵, 13 6 2 记作 An . 例如 A = 2 2 2 是一个3 阶方阵. 是一个 阶方阵 2 2 2 2) 行矩阵,列矩阵 行矩阵, 只有一行的矩阵 A = (a1 , a2 ,, an ), 称为行矩阵 行矩阵( 行向量). 称为行矩阵(或行向量). a1 a2 称为列矩阵(或列向量). 列矩阵 只有一列的矩阵 B = , 称为列矩阵( 列向量). a n
类似地, 中的数表可用一个5× 矩阵表示为 类似地,例1.1中的数表可用一个 ×5矩阵表示为 中的数表可用一个
4列(竖为列), 故称之为3行4列矩阵, 列 竖为 竖为列 故称之为3行4列矩阵 简称3×4矩阵. 列矩阵, 简称3×4矩阵 矩阵.
61 101 63 54 0 61 0 63.5 64 84 101 63.5 0 55.3 102 . 57 63 64 55.3 0 0 54 84 102 57
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3) 单位矩阵 定义1.2 主对角线上元素全为 而其余元素全为 的 主对角线上元素全为1, 而其余元素全为0的 定义 方阵, 称为单位矩阵 简称单位阵 单位矩阵, 单位阵. 方阵 称为单位矩阵 简称单位阵
1 E = En = 0 0 0 1 00 0 0 0 1
引例 甲
某公司为两个单位供三种货物如下: 某公司为两个单位供三种货物如下: 货 B 3 6 货 C 8 4 货 A 数量(千 数量 千) 2 金额(万 金额 万) 16 乙 货 B 2 4 货 C 4 2
货 A 数量(千 数量 千) 1 金额(万 金额 万) 8
总数量总金额是多少? 问:总数量总金额是多少? 3 24 5 10 12 6
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定义1.6 设有两个 m × n 矩阵 A = ( aij ) , B = ( bij ) , 定义
a11 + b11 a12 + b12 L a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 L a2n + b2n C = A+ B = L L L L am1 + bm1 am 2 + bm 2 L amn + bmn 则称矩阵C为矩阵 为矩阵A与 的和 的和, 则称矩阵 为矩阵 与B的和 记作 A+B .
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定义1.1 定义1.1 由 m × n 个数 a ij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n ) 排成的m行 列的 列的数表 排成的 行n列的数表
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n M M M am1 am 2 L amn
a11 a A = 21 am 1
(
)
m× n
,
称为矩阵A的负矩阵. 称为矩阵 的负矩阵. 的负矩阵 (4) 存在负矩阵-A,满足 A + ( A ) = O; 存在负矩阵- , (5) 矩阵减法 A B = A + ( B ) .
说明: 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算. 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算. 同型矩阵
令
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12 3 5 1 8 9 例1.4 求 1 9 0 + 6 5 4 . 3 6 8 3 2 1 解 12 + 1 3 + 8 5 + 9 13 11 4 原式 = 1 + 6 9 + 5 0 + 4 = 7 4 4 . 8 9 8+1 6 3 + 3 6 + 2
单位矩阵 全为1 全为1
1 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 A = 0 1 0 0 0 0 1 0
不为单位阵
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4) 对角矩阵
λ1 0 0 λ2 定义1.3 形如 定义 0 0 0
1.1.2 矩阵的加法与数量乘法
同型矩阵. 两个矩阵的行数相等,列数相等时 两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵 行数相等
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵 为同型矩阵. 3 7 3 9
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定义1.5 两个矩阵 A = ( aij ) 与B = ( bij ) 为同型矩阵 并且 定义 同型矩阵, 对应元素相等, 对应元素相等 即 aij = bij (i = 1,2,, m; j = 1,2,, n ), 则称矩阵 与 相等 记作A 相等, 则称矩阵A与B相等 记作 = B. 矩阵 任意两个零矩阵都相等吗? 任意两个零矩阵都相等吗? 不一定. 答: 不一定.
矩阵. 称为m行n列矩阵, 简称 ×n矩阵. 称为 行 列矩阵, 简称m× 矩阵 列矩阵