高等代数和线性代数
线性代数高等代数知识点总结
一、知识结构框图
概念
性质
行列式 展开 计算
证|A|=0
应用
精品PPT
概念 不同行不同列的元素的乘积的代数和。
性质
经转置行列式的值不变； 互换两行行列式变号； 某行有公因子可提到行列式符号外；
拆成行列式的和； 消法变换。
精品PPT
展开
n
D, 当i j,
aki Akj
k 1
D ij
精品PPT
运算
行 列 式
矩阵
初等变换 和标准形
特殊 矩阵
精品PPT
转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
精品PPT
证|A|=0
AX=0有非零解； 反证法；
R(A)<n; A可逆； |A|= - |A|； A的列向量组线性相关； 0是A的特征值；
精品PPT
应用
AX=0有非零解； 伴随矩阵求逆法；
克拉姆法则; A可逆的证明； 线性相关(无关)的判定； 特征值计算。
精品PPT
二、特殊行列式的值
1.三角行列式
精品PPT
本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
与行列式定义、性质有关的问题
需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况
2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
线性代数高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
24
3. 秩A=秩B
4. A，B的标准型相同
18
多角度看可逆阵
n阶方阵A可逆 AB BA E A 0 (非退化阵) Ax 0 只有零解 Ax b 有唯一解
A的行最简形为E. A为初等阵的乘积
r A n (满秩) A的行(列)向量组的秩都是n.
原向量组一个极大无关组
第一等价链
r( A) n（满秩） A 0 A可逆（非奇异、非退化 ） A的n个行（列）向量线性无 关
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
AX o只有零解 AX b有唯一解
第二等价链
r( A) n（不满秩） A 0 A不可逆（奇异、退化） A的n个行（列）向量线性相 关
本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
与行列式定义、性质有关的问题
需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况
2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
1. n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵 的秩数相等. 具体地，
① 当秩A＜秩(A b)时，方程组无解 ② 当秩A＝秩(A b)＝n时，方程组有唯一解 ③ 当秩A＝秩(A b)＜n时，方程组有无穷解
高等代数1
高等代数高等代数是现代数学中的一门重要学科，它研究的是代数结构的基础和性质。
代数结构是指由一组元素及其相关运算组成的数学系统，如群、环、域等。
高等代数是对线性代数和抽象代数等基础知识的延伸和深化，对于理解现代数学中许多分支都至关重要。
一、线性代数高等代数中最基础的部分是线性代数。
线性代数是代数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵以及线性方程组的性质和运算。
线性代数是微积分和微分方程等数学领域必不可少的基础知识，它的应用范围也很广泛，包括了图像处理、信号处理、机器学习等领域。
1. 向量空间向量空间是线性代数中最重要的概念之一，它是由一组向量以及其对应的加法和数乘运算组成的数学结构。
向量可以是实数向量或复数向量，它们具有加法、数乘、向量求和、向量求差等运算。
2. 线性变换线性变换是一种从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它具有线性性质。
线性变换的本质是将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，它可以用矩阵表示，从而得到更方便的运算方式。
3. 矩阵及其运算矩阵是线性代数中常见的数学工具，它具有加法、数乘、矩阵乘法等运算，可以用于解决线性方程组、对称矩阵的特征值和特征向量等问题。
二、抽象代数抽象代数是研究代数结构的基本性质和理论结构的一门学科，它通过对代数结构的抽象和推广，研究了许多重要的代数性质。
抽象代数包括了群论、环论、域论等领域。
1. 群论群是一种有限或无限的、具有代数结构的量，它由一组元素以及合成运算组成。
群具有封闭、结合、单位元和逆元等运算性质，在数学研究中被广泛应用。
群论的应用领域包括了几何学、物理学、密码学等领域。
2. 环论环是一种数学结构，它由一个集合以及两个二元运算（加法和乘法）组成。
环论是研究环以及环上的运算和性质的数学分支，它的应用包括了计算机科学、代数几何学等领域。
3. 域论域是一种具有加法、乘法、加法逆元和乘法逆元等运算的数学结构，它是一个基本的代数结构。
域论是研究域以及域上的运算和性质的数学分支，它在现代数学和理论物理学中都有广泛的应用。
高等数学 高等代数
高等数学高等代数
高等数学高等代数是大学数学中的重要课程，包括了线性代数、矩阵论、向量空间、线性变换等内容。
它是现代数学、物理、工程学等领域的基础课程，具有重要的理论和应用价值。
在学习高等数学高等代数的过程中，学生需要掌握如何解线性方程组、求矩阵的秩、特征值和特征向量、理解向量空间的概念和性质等知识点。
此外，应该注重学习数学的抽象思维和逻辑推理能力，这对于日后在各个领域中解决实际问题具有很大的帮助。
- 1 -。
大学 高等代数 线性代数
复根（重根按重数计算）．
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 0 , 证：设 ai R
若 为根，则
f ( ) a n n a n 1 n 1 a 0 0
k 1 , , k s , l1 , , l s Z ,
p 2 4q 0, i 1, 2 r ，即 x 2 pi x qi 为 且
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
若 不为实数，则 也是 f ( x ) 的复根，于是
f ( x ) ( x )( x ) f 2 ( x ) ( x 2 ( ) x ) f 2 ( x )
设 a bi ，则
a bi ,
2a R , a 2 b 2 R
此时， f ( x ) 有重根， x 1 为 f ( x )的三重根．
ii) 若 r1 ( x ) 0, t
15 4
0,
即 t 15 , 4
1 2
则
f ( x ), f ( x )
x
此时， f ( x ) 有重根， x 1 为 f ( x )的二重根． 2
例3
举例说明下面命题是不对的．
" 是 f ' ( x )的 n重根 是 f ( x )的 n 1重根 "
1 3 解：令 f ( x ) x x 2 x 5, 则 3
大学 高等代数 线性代数
第二步：对每个指数组 ( k1 , k2 ,L , kn )，写出它对应 第二步： 的初等对称多项式的方幂的乘积： 的初等对称多项式的方幂的乘积：
σ1
k1 − k2
σ2
k 2 − k3
Lσ n
kn
第三步： 第三步：设出 f 由所有初等对称多项式的方幂乘积 的线性表达式， 的首项系数， 的线性表达式，其首项系数即为 f 的首项系数， 其余各项系数分别用A、 、 、 代替． 其余各项系数分别用 、B、C、… 代替．
§1.11 对称多项式
1 0 ϕ 2 = −3σ 12−1σ 2 −0σ 3 = −3σ 1σ 2 令
= −3( x1 + x2 + x3 )( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )
2 2 2 2 2 2 = −3( x1 x2 + x2 x1 + x1 x3 + x3 x1 + x2 x3 + x3 x2 ) − 9 x1 x2 x3
§1.11 对称多项式
证明： 证明：设对称多项式 f ( x1 ,L , xn ) 按字典排列法的
首项为 ax1l1 x2 l2 L xn ln , 则必有
l1 ≥ l2 ≥ L ≥ ln ≥ 0
作对称多项式 则ϕ1 的首项为
ϕ1 = aσ 1
l1 − l2
σ2
l2 − l 3
Lσ n
ln
ax1l1 − l2 ( x1 x2 )l2 − l3 L( x1 x2 L xn )ln = ax1l1 x2 l2 L xn ln
§1.11 对称多项式
例2
3 3 3 f = x1 + x2 + x3 表成初等 用待定系数法把
高等代数II
高等代数II高等代数II是一门高等数学课程，主要研究线性代数、群论和域论等高级代数学的理论和应用。
本文主要介绍高等代数II 中的一些重要概念、定理和应用。
一、线性代数线性代数是高等数学的重要分支，主要研究向量空间、线性变换、特征值与特征向量、正交变换等概念与理论。
这些概念和理论在数学、物理、工程等领域中应用广泛。
下面重点介绍线性代数中的一些重要概念和定理。
1. 向量空间向量空间是一个包含向量加法和标量乘法的集合，满足一些基本的性质，例如加法结合律、交换律、存在零向量，标量乘法分配律、结合律等。
常见的向量空间有欧几里得空间、函数空间、矩阵空间等。
向量空间的基本性质使其能被用来描述几何对象和物理现象。
2. 线性变换线性变换是一种保持向量空间中加法和标量乘法的映射，即对任意向量 $v_1,v_2$ 和标量 $a$，满足$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ 和 $T(av)=aT(v)$。
线性变换可以用矩阵来表示，并且矩阵的乘法也是一种线性变换。
线性变换的研究在于寻找其特征值和特征向量，从而可以得到一些重要的性质和应用。
3. 特征值和特征向量在线性代数中，线性变换 $T$ 的特征向量 $v$ 是指在 $T$ 作用下仍保持方向不变的非零向量，即 $T(v)=\lambda v$，其中$\lambda$ 是系数，称为特征值。
一些基本性质表明，每个线性变换都有至少一个特征值和对应的特征向量。
4. 正交变换正交变换是一种保持向量点乘和长度不变的线性变换，即$T(v_1)\cdot T(v_2)=v_1\cdot v_2$ 和 $||T(v)||=||v||$。
常见的正交变换有旋转和镜像变换。
正交变换的特殊性质使其在几何学中应用广泛，例如可以用来计算内积、夹角、曲率等。
二、群论群论是一种研究代数系统的分支学科，主要研究群的结构、子群、同态、同构和群作用等概念和理论。
群是一个集合和映射的组合，满足一些基本的性质，例如结合律、单位元、逆元等。
线性代数高等代数知识点总结
线性代数高等代数知识点总结线性代数和高等代数是数学中重要的两个分支，它们是数学中的基础课程，也是其他学科例如物理学、计算机科学等的基础。
本文将对线性代数和高等代数的主要知识点进行总结。
一、线性代数（Linear Algebra）：线性代数研究向量空间以及向量空间中的线性变换。
它包含以下重要的知识点：1. 向量空间（Vector Space）：向量空间是由向量组成的集合，满足一定的运算规则和性质。
向量空间的定义、性质和例子是线性代数的基础。
2. 线性变换（Linear Transformation）：线性变换是一种保持向量空间线性运算性质的映射。
线性变换的定义、矩阵表示和性质是线性代数的重要内容。
3. 矩阵（Matrix）：矩阵是线性代数中的基本工具，用于表示线性变换和解线性方程组。
矩阵的定义、运算和性质十分重要。
4. 线性方程组（Linear Equation System）：线性方程组是由一组线性方程构成的方程系统。
线性方程组的求解方法、解空间和矩阵表示是线性代数的关键概念。
5. 特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）：特征值和特征向量是线性变换中十分重要的概念，用于描述变换的性质。
特征值和特征向量的定义、计算和应用是线性代数的重点。
6. 内积空间（Inner Product Space）：内积空间是定义了内积操作的向量空间。
内积空间的性质、正交性和投影定理是线性代数的重要内容。
7. 正交性和正交矩阵（Orthogonality and Orthogonal Matrix）：正交性是内积空间中的重要概念，用于描述向量之间的垂直关系。
正交矩阵的性质和应用是线性代数的核心内容。
8. 行列式（Determinant）：行列式是矩阵的一种特殊标量，用于衡量矩阵对线性变换的影响。
行列式的计算、性质和应用是线性代数的重点内容。
9. 线性相关性和线性无关性（Linear Dependence and Linear Independence）：线性相关性和线性无关性用于描述向量或向量组之间的关系。
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《高等代数》
课程教学大纲
（课程代码：）
本课程教学大纲由数学与统计学院高等数学教学部讨论制订，数学与统计学院教学工作委员会审定，教务处审核批准。
一、课程基本信息
课程名称：高等代数课程代码：
课程类别：专业核心课程
适用专业：小学教育（数学）
课程修读性质：必修先修课程：中数学
学分：6学分学时：90学时
2
线性方程组和向量
1.消元法
课程目标2
重点：
1.线性相关性
2.矩阵的秩
3.线性方程组的解的判定
4.线性方程组解的结构
难点：
5.线性相关性
讲授法
24
2.向量空间
课程目标2
3.线性相关性
课程目标2
4.矩阵的秩
课程目标2
5.线性方程组的解的判定
课程目标2
6.线性方程组解的结构
课程目标2
3
矩阵
1.矩阵的运算
学时
1
行列式
1.排列
课程目标1
重点：
1.行列式的基本概念和性质
2.行列式的计算
3.行列式按一行（列）展开
难点：
5.行列式的计算
6.行列式按一行（列）展开
讲授法
18
2.低阶行列式
课程目标1
3.行列式的基本概念和性质
课程目标1
4.行列式的计算
课程目标1
5.行列式按一行（列）展开
课程目标1
6.克拉默法则
课程目标1
课程目标5
教学方法
本课程主要采用讲授法，结合多媒体课件提高讲课效率。
四、课程考核
（一）考核内容与考核方式
课程目标
考核内容
所属
学习模块/项目
考核占比
考核方式
课程
目标1
1.排列
2.低阶行列式
3.行列式的基本概念和性质
4.行列式的计算
5.行列式按一行（列）展开
6.克拉默法则
1
25
课程目标2
1.消元法
2.向量空间
（3）阶段性测验（10分）：学生在平时测试、测验中掌握课程的情况；
2.期末成绩评定
期末闭卷考试，主要考查学生对微积分的基本概念、思想方法和技巧的掌握程度。
3.总成绩评定
总成绩（100%）=平时成绩（40%）+期末成绩（60%）
五
（一）教材选用
高等代数（第五版），高等教育出版社，北京大学数学力学系，2019
3.2具有良好的人文和自然科学理论修养、健康的审美观、体育与健康知识
课程目标3
核心素养
3.1具备小学生发展知识、教育教学知识，了解中国教育的基本情况。
3.2具有良好的人文和自然科学理论修养、健康的审美观、体育与健康知识
课程目标4
核心素养
3.1具备小学生发展知识、教育教学知识，了解中国教育的基本情况。
课程目标3
重点：
1.矩阵的运算
2.矩阵的可逆性
难点：
3.矩阵的分块
讲授法
24
2.矩阵的运算与行列式和秩的关系
课程目标3
3.矩阵的可逆性
课程目标3
4.矩阵的分块
课程目标3
5.初等矩阵
课程目标3
4
二次型
1.二次型的基本概念和矩阵
课程目标4
重点：
1.标准型
2.二次型的正定性
难点：
3.二次型的正定性
讲授法
12
2.矩阵的特征值和特征向量
3.矩阵的对角化
4.实对称矩阵的对角化
5
15%
（二）
1.平时成绩评定
（1）课堂表现（10分）：通过学生在课堂上的表现情况、发言与提问情况，来评价学生相关的能力。
（2）作业完成情况（20分）：围绕课程的学习目标进行作业的设计。如让学生简述对知识的认识，考核学生对于概念的理解情况，帮助学生将定义转化为自己的理解。
二、课程目标
本课程支撑专业毕业要求3，具体目标如下：
目标1：理解数域、排列、逆序数等基本概念。熟练掌握二阶、三阶行列式的计算；理解行列式的概念和性质；掌握行列式的基本计算方法和技巧；理解行列式按一行（列）展开的理论。理解克拉默法则。【毕业要求3，核心素养】
目标2：掌握消元法研究方程组解以及解方程组的方法；掌握向量的线性运算和线性结构；理解线性组合、线性表示和向量组等价的概念和性质；掌握向量的线性相关性的概念和性质；掌握向量的极大线性无关组和秩，理解矩阵的秩的概念和判别法，理解矩阵等价的概念和性质；掌握线性方程组的解的判定方法；掌握线性方程组解的结构。【毕业要求3，核心素养】
目标5：掌握向量的内积、正交、长度、夹角等基本概念；理解矩阵的特征值和特征向量的基本概念和基本性质；掌握求解矩阵的特征值和特征向量的方法；理解矩阵相似的概念和相关性质；理解矩阵相似对角化的原理和方法；掌握通过特征向量将矩阵相似对角化的方法；理解实对称矩阵的特征向量的特点以及通过正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法。【毕业要求3，核心素养】
2.标准型
课程目标4
3.唯一性
课程目标4
4.二次型的正定性
课程目标5
5
矩阵的特征值与特征向量
1.向量的内积、正交等
课程目标5
重点：
1.矩阵的特征值和特征向量
2.矩阵的对角化
3.实对称矩阵的对角化
难点：
4.实对称矩阵的对角化
讲授法
12
2.矩阵的特征值和特征向量
课程目标5
3.矩阵的对角化
课程目标5
4.实对称矩阵的对角化
线性代数（第六版）；高等教育出版社；同济大学应用数学系；2014年。.
（二）主要参考书
[1]高等代数学,姚慕生，吴泉水，谢启鸿,复旦大学出版社,上海，2014.
[2]线性代数及其应用,Lay,机械工业出版社，北京，2005.
课程目标与专业毕业要求的关系
课程目标
支撑的毕业要求
支撑的毕业要求指标点
课程目标1
核心素养
3.1具备小学生发展知识、教育教学知识，了解中国教育的基本情况。
3.2具有良好的人文和自然科学理论修养、健康的审美观、体育与健康知识
课程目标2
核心素养
3.1具备小学生发展知识、教育教学知识，了解中国教育的基本情况。
目标3：掌握矩阵的运算和运算律；理解矩阵的运算与行列式和秩的关系；掌握矩阵的可逆性的判断和性质；掌握矩阵的逆的计算和伴随矩阵；掌握初等矩阵的基本概念以及初等矩阵与矩阵的初等变换的关系；了解分块矩阵的概念和运算。【毕业要求3，核心素养】
目标4：理解二次型的概念和二次型的矩阵以及秩的概念；掌握二次型的非退化线性替换的概念以及通过它化简二次型的方法；理解二次型的标准型和规范型的概念；掌握把二次型化为标准型和规范型的方法；掌握矩阵合同的概念和判别方法；掌握二次型和矩阵的正定的概念和判别法；了解二次型半正定、负定和半负定的概念和判别。【毕业要求3，核心素养】
3.2具有良好的人文和自然科学理论修养、健康的审美观、体育与健康知识
课程目标5
核心素养
3.1具备小学生发展知识、教育教学知识，了解中国教育的基本情况。
3.2具有良好的人文和自然科学理论修养、健康的审美观、体育与健康知识
三、课程学习内容
（一）理论学习内容及要求
序号
课程模块
学习内容
课程目标
学习重点难点
教学方法
3.线性相关性
4.矩阵的秩
5.线性方程组的解的判定
6.线性方程组解的结构
2
25%
课程目标3
1.矩阵的运算
2.矩阵的运算与行列式和秩的关系
3.矩阵的可逆性
4.矩阵的分块
5.初等矩阵
3
20%
课程
目标4
1.二次型的基本概念和矩阵
2.标准型
3.唯一性
4.二次型的正定性
4
15%
课程目标5
1.向量的内积、正交等