大学物理4——刚体的转动

d 角加速度 dt

第四章 刚体的转动
7
物理学
第五版
4-1 刚体的定轴转动
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
均相同，但 (2) 任一质点运动 , , v, a 不同；
(3) 运动描述仅需一个坐标．
第四章 刚体的转动
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物理学
第五版
4-1 刚体的定轴转动
二 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的 =常量时，刚体 做匀变速转动．
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
x x0 v0t at 0 0t t 2 2 v v0 2a( x x0 ) 2 02 2 ( 0 )
j
2 m j r j
r dm
2
dm：质量元
第四章 刚体的转动
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物理学
第五版
4-2 力矩
转动定律 转动惯量
J
j
2 m j r j
r dm
2
dm：质量元
对质量线分布的刚体：

dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
dm dS
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N (300 ) 3 10 2π 2π 450
第四章 刚体的转动 16

物理学
第五版
一
力矩
4-2 力矩
转动定律 转动惯量
用来描述力对刚体 的转动作用． F 对转轴 z 的力矩
z
M
F
M Fd Fr sin M r F d : 力臂
O
r
*
d
P

力矩方向: 右手螺旋法则
F F Fi 0, M i 0 i i
F Fi 0, M i 0 i i
17
F
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-2 力矩
转动定律 转动惯量
讨论
（1）若力 F 不在转动平面内，把力分
z
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
M M1 M 2 M 3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
Fji
ij
O
M ji
d
iF ri
Mij M ji
第四章 刚体的转动
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物理学
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m , 水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0. 解 （1） 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动

0
t
0 5π π 1 rad s rad s 2 30 6
第四章 刚体的转动 11
物理学
第五版
4-1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动 12
物理学 4 – 1 刚体的定轴转动 第五版
4-1 第四章 刚体的转动 刚体的定轴转动
t （3）
6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小
2 2
v r 0.2 4π m s 2.5 m s
该点的切向加速度和法向加速度
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6
d 解 令 ct，即 ct ，积分 dt 1 2 t d c tdt 得 ct 0 0 2
第四章 刚体的转动 14
物理学
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4-1 刚体的定轴转动
1 2 ct 2
当 t =300 s 时
18 000 r min 600π rad s
2
2 a ret rω en
第四章 刚体的转动 10
物理学 4 – 1 刚体的定轴转动 第五版
4-1 第四章 刚体的转动 刚体的定轴转动
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· -1， 因 min 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
转动定律 转动惯量
（2）刚体 质量元(质点)受外 力 Fej，内力 Fij
2 j j
z
O
Mej Mij m r
内力矩
ej
r j m j
Fej
外力矩 刚体:
Fij
2 j j
M
j
M ij m r
j
M ij M ji
M ij 0
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
dF [ p0 g (h y)]Ldy dF 对通过点Q的轴的力矩 dM ydF
M y[ p0 g (h y)]Ldy
0
h
y
h
dF
1 1 2 3 p0 Lh gLh 2 6
dy
代入数据，得：
y O Q
M 2.1410 N m
4-1 刚体的定轴转动
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
第四章 刚体的转动
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4-1 刚体的定轴转动
一
约定
刚体转动的角速度和角加速度 z 角坐标 (t )
O
ω
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0 角位移 (t t) (t)
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4-1 刚体的定轴转动
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同． 特点：各点运动 状态一样，如： 、 a v 等都相同． 刚体平动 质点运动
第四章 刚体的转动 3
物理学
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4-1 刚体的定轴转动
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
第四章 刚体的转动
4
物理学
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dF PdA [ p0 g (h y)]Ldy
h 0
令大气压为 p0 ，则 p p0 g (h y)
F [ p0 g (h y)]Ldy
1 2 p0 Lh gLh 2
代入数据，得
y
dA
dy
F 5.9110 N
10
h y
O
L
x
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第四章 刚体的转动
力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
其中 Fz 对转轴的
F Fz F
k
O
F
M z k r F M z rF sin
r
Fz

F
第四章 刚体的转动
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和
1 2 2
1 2 2
第四章 刚体的转动 9
v v0 at
0 t
物理学
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4-1 刚体的定轴转动
三 角量与线量的关系 d ω dt 2 dω d 2 dt dt v rωet

an

a r
et v a
t
at r an rω
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 r ，宽为 dr 的圆环 圆环质量
dm 2 π r dr
物理学
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第 四 章
刚 体 的 转 动
第四章 刚体的转动
物理学
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4-1 刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．) ⑴ 说明： 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
第四章 刚体的转动
2
1
1
2 2 600 π π 3 c 2 rad s 2 t 300 75 1 2 π 2 ct t 2 150
第四章 刚体的转动 15
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4-1 刚体的定轴转动
d π 2 t 由 dt 150 π t 2 得 d 0 t dt 0 150 π 3 t rad 450
y
y
x
h
x O Q O
L
20 第四章 刚体的转动
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
y
y
x
h y O Q
dA
dy
x
O
L
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第四章 刚体的转动
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4-2 力矩
转动定律 转动惯量
an r
2
×(4 π) 2 m/ s 2 0.2
31.6 m/ s
2
第四章 刚体的转动
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4-1 刚体的定轴转动
例2 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直 其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的 角速度 ω0 0 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 r· -1 ．转子的角加速度与时间成正 min 比．问在这段时间内，转子转过多少转？