2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学九年级(上)期末数学试卷-教师用卷

2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列实数：−2020，−|−2020|，|−2020|，1，其中最大的实数是()2020A. −2020B. −|−2020|C. |−2020|D. 12020【答案】C【解析】解：−|−2020|=−2020，|−2020|=2020，，其中最大的实数是|−2020|，在−2020，−|−2020|，|−2020|，12020故选：C．根据绝对值和实数大小的比较方法解答即可．考查了绝对值和实数大小的比较．解题的关键是掌握绝对值的定义和实数大小的比较方法．2.据路透社报道，中国华为技术有限公司推出新的服务器芯片组，此举正值中国努力提高芯片制造能力，并减少对进口芯片的严重依赖．华为技术部门还表示，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2.其中0.00000065用科学记数法表示为()A. 6.5×10−8B. 6.5×10−7C. 6.5×10−6D. 6.5×107【答案】B【解析】解：0.00000065=6.5×10−7．故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.下列运算正确的是()A. (−a3)2=−a6 B. 2a2+3a2=5a2 C. 2a2⋅a3=2a6 D. 3√2−2√2=1【答案】B【解析】解：A、(−a3)2=a6，故此选项错误；B、2a2+3a2=5a2，正确；C、2a2⋅a3=2a5，故此选项错误；D、3√2−2√2=√2，故此选项错误；故选：B．直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式和合并同类项法则分别化简得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.下列说法正确的是()A. 对角线相等的四边形一定是矩形B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C. 如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】解：A、对角线相等的平行四边形一定是矩形，故本选项错误；B、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故本选项错误；C、如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是4，故本选项错误；D、“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件，正确；故选：D．直接利用矩形的判定、中位数以及随机事件的定义分别进行分析即可得出答案．此题考查了矩形的判定、随机事件和中位数，正确把握相关定义是解题关键．5.某个几何体的三视图如图所示，该几何体是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．故选：D．根据几何体的三视图判断即可．考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．6.若△ABC∽△ADE，若AB=9，AC=6，AD=3，则EC的长是()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】解：设EC=x，∵AC=6，∴AE=6−x，∵△ABC∽△ADE，∴ADAB =AEAC，∴39=6−x6，解得：x=4，故选：C．利用相似三角形的对应边成比例列式计算即可．考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应边成比例，难度不大．7.如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠AOB=100°，则∠C=()A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°【答案】B【解析】解：∵AB⏜=AB⏜，∴∠C=12∠AOB，∵∠AOB=100°，∴∠C=50°．故选：B．根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可直接算出答案．本题考查了圆周角定理，需牢固掌握弧，圆周角，圆心角等的概念．8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是()A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】解：在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC−∠DAB=30°，故选：B．根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．本题主要考查作图−基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．9.如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为(−1,2)，则点B1的坐标为()A. (2,−4)B. (1,−4)C. (−1,4)D. (−4,2)【答案】A【解析】解：如图，过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，∵点B的坐标为(−1,2)，∴BC=1，OC=2，∵△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，∴BOB1O =12，∵∠BCO=∠B1DO=90°，∠BOC=∠B1OD，∴△BOC∽△B1OD，∴OD=2OC=4，B1D=2BC=2，∴点B1的坐标为(2,−4)，故选：A．过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，依据△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，即可得到BOB1O =12，再根据△BOC∽△B1OD，可得OD=2OC=4，B1D=2BC=2，进而得出点B1的坐标为(2,−4)．本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．10.如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24.则sin A的值为()A. 725B. 2425C. 724D. 247【答案】A【解析】解：∵AB=25，BC=7，CA=24，∴AB2=252=625，BC2+CA2=72+242=625，∴AB2=BC2+CA2，∴∠C=90°，∴sinA=BCAB =725，故选：A．先根据勾股定理的逆定理得此三角形是直角三角形，再根据三角函数定义解答．本题考查了勾股定理的逆定理和三角函数定义，熟练掌握三角函数定义是本题的关键．11.程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．对书中某一问题改编如一百馒头一百僧，大僧三个更无争；小僧三人分一个，大僧共得几馒头．意思是：有个和尚分个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个正好分完，大和尚共分得()个馒头A. 25B. 72C. 75D. 90【答案】C【解析】解：设有x个大和尚，则有(100−x)个小和尚，依题意，得：3x+13(100−x)=100，解得：x=25，∴3x=75．故选：C．设有x个大和尚，则有(100−x)个小和尚，根据馒头数=3×大和尚人数+13×小和尚人数结合共分100个馒头，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．12.设抛物线y=ax2+bx+c(ab≠0)的顶点为M，与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1.()A. y=−3(x−1)2+1B. y=2(x−0.5)(x+1.5)C. y=13x2−43x+1D. y=(a2+1)x2−4x+2(a为任意常数)【答案】D【解析】解：对于y=−3(x−1)2+1，M(1,1)，N(0,−2)，直线MN的解析式为y=3x−2，直线MN与x轴的交点坐标为(23,0)，此时S=12×2×23=23；对于y=2(x−0.5)(x+1.5)，则y=2(x+12)2−2，M(−12,−2)，N(0,−32)，直线MN的解析式为y=x−32，直线MN与x轴的交点坐标为(32,0)，此时S=12×(−32)×32=98；对于y=13x2−43x+1，则y=13(x−2)2−13，M(2,−13)，N(0,1)，直线MN的解析式为y=−23x+1，直线MN与x轴的交点坐标为(32,0)，此时S=12×1×32=34；故选：D．利用二次函数的性质求出A选项、B选项和C选项中对应的M点和N点坐标，再利用待定系数法求出直线MN的解析式，接着求出直线MN与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式计算S的值，从而可判断只要D选项满足S=1．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.分解因式：2x3−18x=______ ．【答案】2x(x+3)(x−3)【解析】解：原式=2x(x2−9)=2x(x+3)(x−3)，故答案为：2x(x+3)(x−3)．先提取公因式2x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14.如图所示，A为反比例函数y=kx图象上一点，AB垂直x轴，垂足为B点，若S△AOB=3，则k的值为______．【答案】6【解析】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则S△AOB=12|k|=3；又由于函数图象位于一、三象限，则k=6．故答案为6．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|．本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．15. 不等式组{6−2x ≥02x <x +4的解集是______．【答案】x ≤3【解析】解：{6−2x ≥0 ①2x <x +4 ②由①得，x ≤3， 由②得，x <4，故原不等式组的解集为：x ≤3． 故答案为x ≤3．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．16. 已知圆锥的底面圆半径为2，其母线长为6，则圆锥的侧面积等于______． 【答案】12π【解析】解：∵圆锥的底面圆半径为2，∴圆锥的底面圆周长为2π×2=4π，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为4π， ∴扇形的面积=12×4π×6=12π，∴圆锥的侧面积=12π， 故答案为：12π．根先求出圆锥的底面圆周长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式计算． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．17. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A作AH ⊥BC 于点H ，连接OH ，若OB =4，S 菱形ABCD =24，则OH 的长为______．【答案】3【解析】解：∵ABCD 是菱形， ∴BO =DO =4，AO =CO ，S 菱形ABCD =AC×BD 2=24，∴AC =6，∵AH ⊥BC ，AO =CO =3， ∴OH =12AC =3．根据菱形面积=对角线积的一半可求AC ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．18. 如图，已知点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(0,3)，在第一象限内找一点P(a,b)，使△PAB 为等边三角形，则2(a −b)=______． 【答案】1−√3【解析】解：过点P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，∵点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(0,3)， ∴OA =4，OB =3， ∴AB =√32+42=5， ∵点P(a,b)在第一象限，∴OM =PN =a ，ON =PM =b ， ∴AM =a −4，BN =b −3， ∵△PAB 是等边三角形， ∴AB =BP =PA =5，由PN 2+BN 2=BP 2=PA 2=PM 2+AM 2得， b 2+(a −4)2=a 2+(b −3)2=25，由b 2+(a −4)2=a 2+(b −3)2，整理得，8a +9=6b +16，即，b =8a−76①，将b =8a−76代入a 2+(b −3)2=25，整理得，4a 2−16a −11=0，解得a =4+3√32，或a =4−3√32<0(舍去)，把a =4+3√32代入①得，b =4√3+32， ∴2(a −b)=4+3√3−4√3−3=1−√3， 故答案为：1−√3．由点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(0,3)，可求出AB ，△PAB 为等边三角形，因此有PA =PB =AB =5，过点P 向x 轴、y 轴作垂线，利用勾股定理可得出a 与b 之间的关系，再利用勾股定理可求出a 、b 的值，代入计算即可得出答案．考查等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，把坐标转化为线段的长，利用勾股定理列方程是解决问题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19. 计算：|−12|+(−12)−2+3sin30°+(√3−√2)0×2014． 【答案】解：原式=12+4+3×12+1×2014=12+4+32+2014 =2020．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.先化简，再求值：a2+aa2−2a+1÷(2aa−1−1)，其中a=2．【答案】解：原式=a(a+1)(a−1)2÷2a−a+1a−1=a(a+1)(a−1)2⋅a−1a+1=aa−1，当a=2时，原式=22−1=2．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.为深化课程改革，提高学生的综合素质，某校开设了形式多样的校本课程．为了解校本课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的课程(被调查者限选一项)，并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查的总人数为____人，扇形统计图中A部分的圆心角是____度；(2)请补全条形统计图；(3)根据本次调查，该校400名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？(4)为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是多少？(请用画树状图或列表的方法求)【答案】解：(1)60；36；(2)B课程的人数为60−(6+18+24)=12(人)，补全图形如下：(3)估计最喜欢“科学探究”的学生人数为400×1260=80(人)；(4)画树状图如图所示，共有12种等可能的结果数，其中抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的结果数为2，∴他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是212=16．【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．(1)根据：该项所占的百分比=该项人数总人数，圆心角=该项的百分比×360°.两图给出了D的数据，代入即可算出调查的总人数，然后再算出A的圆心角；(2)根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“科学探究”的人数，再补全条形图；(3)根据：喜欢某项人数=总人数×该项所占的百分比，计算即得；(4)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：(1)本次调查的总人数为24÷40%=60(人)，扇形统计图中A部分的圆心角是360°×660=36°，故答案为60；36；(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．22.天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A−B−C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB=500米，BC=800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°.求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？(结果精确到1米，参考数据：√3≈1.732)【答案】解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB=500，∠BAH=30°，∴BH=12AB=12×500=250(米)，∴A1B1=BH=250(米)，在Rt△BB1C中，BC=800，∠CBB1=60°，∴B1CBC =sin∠CBB1=sin60°=√32，∴B1C=√32BC=√32×800=400√3，∴检修人员上升的垂直高度CA1=CB1+A1B1=400√3+250≈943(米)答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．【解析】测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．23.2018年非洲猪瘟疫情暴发后，今年猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：今年7月20日猪肉价格比今年年初上涨了60%，某市民今年7月20日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱．(1)问：今年年初猪肉的价格为每千克多少元？(2)某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按7月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪内每天有1560元的利润，并且可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？【答案】解：(1)设今年年初猪肉的价格为每千克x元，依题意，得：(1+60%)x=80，解得：x=50．答：今年年初猪肉的价格为每千克50元．(2)设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出(100+10y)千克，依题意，得：(80−65−y)(100+10y)=1560，整理，得：y2−5y+6=0，解得：y1=2，y2=3．∵让顾客得到实惠，∴y=3．答：猪肉的售价应该下降3元．【解析】(1)设今年年初猪肉的价格为每千克x元，根据今年7月20日猪肉的价格=今年年初猪肉的价格×(1+上涨率)，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出(100+10y)千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．24.如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD=∠B(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若∠B=30°，AC=√3，求劣弧BD与弦BD所围图形的面积．(3)若AC=4，BD=6，求AE的长．【答案】(1)证明：连接OD，如图1所示：∵OB=OD，∴∠3=∠B，∵∠B=∠1，∴∠1=∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，∴∠4=180°−(∠2+∠3)=90°，∴OD⊥AD，则AD为⊙O的切线；(2)解：连接OD，作OF⊥BD于F，如图2所示：∵OB=OD，∠B=30°，∴∠ODB=∠B=30°，∴∠DOB=120°，∵∠C=90°，∠CAD=∠B=30°，∴CD=√3AC=1，BC=√3AC=3，3∴BD=BC−CD=2，∵OF⊥BD，∴DF=BF=12BD=1，OF=√33BF=√33，∴OB=2OF=2√33，∴劣弧BD与弦BD所围图形的面积=扇形ODB的面积−△ODB的面积=120π×(2√33)2360−1 2×2×√33=49π−√33；(3)解：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∴ACBC =CDAC=ADAB，∴AC2=CD×BC=CD(CD+BD)，即42=CD(CD+6)，解得：CD=2，或CD=−8(舍去)，∴CD=2，∴AD=√AC2+CD2=2√5，∵CDAC =ADAB，∴24=2√5AB，∴AB=4√5，∵AD是⊙O的切线，连接DE，OD，∵∠ADE+∠ODE=∠B+∠ODE=90°，∴∠B=∠ADE,∠A=∠A，∴△ADE∽△ABD，∴AD2=AE×AB，∴AE=AD2AB =√5)24√5=√5．【解析】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式、切割线定理、三角形面积公式等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题(3)的关键．(1)连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可证AD是⊙O的切线；(2)连接OD，作OF⊥BD于F，由直角三角形的性质得出CD，BC，得出BD，由直角三角形的性质得出DF，OF，OB，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果；(3)证明△ACD∽△BCA，得出ACBC =CDAC=ADAB，求出CD，由勾股定理得出AD，求出AB，再由切割线定理即可得出AE的长．25.有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．(1)如图1，BD平分∠ABC，AD//BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；(2)如图2，直线y=−34x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；(3)如图3，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D.当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD=OC.抛物线还满足：①a<0，ab≠0，c=2；②顶点D在以AB为直径的圆上．点P(x0,y0)是抛物线y=ax2+bx+c上任意一点，且t=y0−√3x0.若t≤m+1136505恒成立，求m的最小值．【答案】(1)证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴四边形ABCD为“和睦四边形”；(2)解：在直线y=−34x+6中，当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，∴B(0,6)，A(8,0)，∴OB=6，OA=8，∴AB=√OB2+OA2=10，由题意得：AQ=5t，AP=4t，BQ=10−5t，OP=8−4t，连接PQ，∵AQAP =5t4t=54，ABAO=108=54，∴AQ AP =ABAO ，又∵∠BAO =∠QAP ， ∴△AQP∽△ABO ，∴∠APQ =∠AOB =90°， ∴QP =√AQ 2−AP 2=3t ，∵四边形BOPQ 为“和睦四边形”， ∴①当OB =OP 时，6=8−4t ， ∴t =12；②当OB =BQ 时，6=10−5t ， ∴t =45；③当OP =PQ 时，8−4t =3t ， ∴t =87；④当BQ =PQ 时，10−5t =3t ， ∴t =54，综上所述，t 的值为12或45或87或54；(3)解：在抛物线y =ax 2+bx +2中，顶点D 的坐标为(−b2a,8a−b 24a )，C(0,2)，∵CD =OC ， ∴CD 2=OC 2， ∴(8a−b 24a−2)2+(−b2a )2=22①，∵D 在以AB 为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，∴△ADB 为等腰直角三角形， ∴y D =12AB ，∴8a−b 24a=12⋅√b 2−8a −a②，联立①②，且ab <0，得a =−13，b =2√33， ∴抛物线为y =−13x 2+2√33x +2，∵点P(x 0,y 0)是抛物线y =ax 2+bx +c 上任意一点，∴y 0=−13x 02+2√33x 0+2，∴t =y 0−√3x 0=−13x 02−√33x 0+2，∴当x 0=−√32时，t 有最大值94，∵t ≤m +1136505恒成立，∴t 最大值≤m +1136505，∴94≤m +1136505，∴m ≥12020，∴m 的最小值为12020．【解析】(1)BD 平分∠ABC 及AD//BC ，推出AB =AD ，即可得出结论；(2)求出B ，A 的坐标，OB ，OA ，AB 的长度，用含t 的代数式表示出AQ ，AP ，BQ ，OP ，连接PQ ，证△AQP∽△ABO ，推出∠APQ =∠AOB =90°，求出QP =3t ，根据“和睦四边形”的定义分情况讨论可求出t 的值；(3)用含字母的代数式表示顶点D 的坐标，由CD =OC ，列出关于字母a ，b 的代式，由△ADB 为等腰直角三角形，得出y D =12AB ，列出另一个关于字母a ，b 的等式，联立可求出抛物线解析式，将点P(x 0,y 0)代入抛物线，求出t =y 0−√3x 0=−13x 02−√33x 0+2，由二次函数的图象及性质可知当x 0=−√32时，t 有最大值94，列出不等式94≤m +1136505，解不等式即可．本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理及二次函数的图象及性质，函数的思想求极值等，解题关键是牢固掌握并能够熟练运用二次函数的图象及性质等．26. 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，函数y =mx (m 为常数，m >1，x >0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m)，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点． (1)求∠OCD 的度数；(2)如图2，连接OQ 、OP ，当∠DOQ =∠OCD −∠POC 时，求此时m 的值；(3)如图3，点A ，点B 分别在x 轴和y 轴正半轴上的动点．再以OA 、OB 为邻边作矩形OAMB.若点M 恰好在函数y =m x(m 为常数，m >1，x >0)的图象上，且四边形BAPQ 为平行四边形，求此时OA 、OB 的长度．【答案】解：(1)设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，则有{km +b =1k +b =m ，解得{k =−1b =m +1，∴y=−x+m+1，令x=0，得到y=m+1，∴D(0,m+1)，令y=0，得到x=m+1，∴C(m+1,0)，∴OC=OD，∵∠COD=90°，∴∠OCD=45°．(2)如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，∵P(m,1)和Q(1,m)，∴MQ=PN=1，OM=ON=m，∵∠OMQ=∠ONP=90°，∴△OMQ≌△ONP(SAS)，∴OQ=OP，∠DOQ=∠POC，∵∠DOQ=∠OCD−∠POC，∠OCD=45°，∴∠DOQ=∠POC=∠QOH=∠POH=22.5°，∴MQ=QH=PH=PN=1，∵∠OCD=∠ODC=45°，∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，∴DQ=PC=√2，∵OC=OD=m+1，∴CD=√2OC=√2(m+1)，∵CD=DQ+PQ+PC，∴√2(m+1)=2√2+2，∴m=√2+1；(3)如图3，∵四边形BAPQ为平行四边形，∴AB//PQ，AB=PQ，∴∠OAB=45°，∵∠AOB=90°，∴OA=OB，∴矩形OAMB是正方形，∵点M恰好在函数y=mx(m为常数，m>1，x>0)的图象上，∴M(√m,√m)，即OA=OB=√m，∵AB=PQ，∴√2m=√(m−1)2+(1−m)2，解得：m=3+√52或3−√52(舍)，∴OA=OB=√m=√3+√52=√6+2√52=√5+12．【解析】(1)想办法证明OC=OD即可解决问题；(2)作辅助线，证明△OMQ≌△ONP(SAS)，得OQ=OP，∠DOQ=∠POC，根据已知可得∠DOQ=∠POC=∠QOH=∠POH，根据角平分线的性质得：MQ=QH=PH=PN= 1，根据CD=DQ+PQ+PC，列方程可得结论；(3)先根据四边形BAPQ为平行四边形，可知∠OAB=45°，可得△AOB是等腰直角三角形，所以OA=OB，从而得M(√m,√m)，即OA=OB=√m，由AB=PQ列方程解出即可．本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．。