湖南省长沙市雅礼中学2021届高三月考数学试卷(三)

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2021届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第五次月考数学试题 PDF版

21．（本小题满分 12 分）
如图，点 A 为椭圆 C1 : x2 2 y2 1 的左顶点，过 A 的直线 l1 交抛物线 C2 : y2 2 px( p 0) 于 B ，C 两点，点 C 是 AB 的中点．
（1）若点 A 在抛物线 C2 的准线上，求抛物线 C2 的标准方程；
（2）若直线 l2 过点 C ，且倾斜角和直线 l1 的倾斜角互补，交椭圆 C1 于 M ， N 两点．
（ lg 2 0.3010 ，1g 3 0.4771 ）（）
A．12
B．14
C．16
D．18
7．在直角三角形 ABC 中， A 90 ， AB 2 ， AC 4 ， P 在 VABC 斜边 BC 的中线 AD 上，则 uuur uuur uuur AP (PB PC) 的最大值为（）
A． 25 8
B． 5 2
C． 25 4
D． 25 2
8 ．已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数，且对任意 x R 都有 f ( x 2 ) f ( 2 x ) 4f ( 2，)若函数
y f (x 1) 的图象关于点 (1,0) 对称，且 f (1) 3 ，则 f (2021) （）
17．（本小题满分 10 分）
在① sin B 3 cos B 2 ，② cos2 B 3cos 2B 0 ，③ b2 a2 c2 ac3 这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：已知 VABC 的三边 a ，b ，c 所对的角分别为 A ，B ，C ，若 a 4 ，c 3b ，________，求VABC
5．B【解析】设事件 A 为只用现金支付，事件 B 为只用非现金支付，则 P( A B) P( A) P(B) P( AB) ．因

2021届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期高考二模考试数学试卷及解析

2021届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期高考二模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合M，N，P均为R的非空真子集，且M∪N＝R，M∩N＝P，则M∩（∁R P）＝（）A．M B．N C．∁R M D．∁R N解：集合M，N，P均为R的非空真子集，且M∪N＝R，M∩N＝P，如图所示：所以M∩（∁R P）＝∁R N．故选：D．2．已知||＝2，||＝1，且与的夹角为，则（）＝（）A．B．1 C．2 D．3解：||＝2，||＝1，且与的夹角为，则（）＝+•＝1+2×＝2．故选：C．3．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为（）A．B．C．D．解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于4，如图：∴圆锥的高AO＝×4＝2，圆锥的底面半径r＝×4＝2，因此，该圆锥的体积V＝πr2•AO＝π×22×2＝．故选：C．4．若双曲线＝1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝﹣x，则其离心率为（）A．B．2 C．D．解：双曲线＝1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝﹣x，所以a＝2，b＝1，则c＝，则离心率e＝＝．故选：C．5．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，B B，C C，D D，E A，E疏散乘客时间（s）120 220 160 140 200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．A B．B C．D D．E解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故选：C．6．老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（）A．B．C．D．解：老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，基本事件总数n＝＝20，该同学能及格包含的基本事件个数m＝＝16，∴该同学能及格的概率P＝＝＝．故选：D．7．如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点E（不与端点重合），BD1∥平面B1CE，则（）A．BD1∥CE B．AC1⊥BD1C．D1E＝2EC1D．D1E＝EC1解：如图，设B1C∩BC1＝O，可得面D1BC1∩面B1CE＝EO，∵BD1∥平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1B∥EO，∵O为B1C的中点，∴E为C1D1中点，∴D1E＝EC1．故选：D．8．若2a+＝3b+＝5c+，则（）A．cln5＞aln2＞bln3 B．aln2＞cln5＞bln3C．bln3＞cln5＞aln2 D．aln2＞bln3＞cln5解：由函数，，可知，x∈（0，e），f'（x）＞0，x∈（e，+∞），f'（x）＜0，又，，所以．故选：A．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，2π））的图象如图，则（）A．ω＝2 B．φ＝C．A＝2 D．x＝时，f（x）取最小值解：由题意知：＝﹣（﹣）＝，则T＝π，故ω＝＝2，故A正确；函数图像由y＝A sinωx的图像向左平移而得，故f（x）＝A sin[2（x+）]＝A sin（2x+），故φ＝，故B正确；f（0）＝A sin＝1，解得：A＝，故C错误；x＝时，2x+＝2π，f（x）不取最小值，故D错误；故选：AB．10．关于函数f（x）＝|ln|2﹣x||，下列描述正确的有（）A．函数f（x）在区间（1，2）上单调递增B．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称C．若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝4D．函数f（x）有且仅有两个零点解：函数f（x）＝|ln|2﹣x||的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，A正确；函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，B正确；根据图象，由x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2不一定等于4，C错误；函数f（x）有且仅有两个零点，D正确．故选：ABD．11．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若|z1﹣z2|＝0，则＝B．若z1＝，则＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2•D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22解：对（A），若|z1﹣z2|＝0，则z1﹣z2＝0，z1＝z2，所以为真；对（B）若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，若|z1|＝|z2|，则，，所以为真；对（D）若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而，所以为假．故选：ABC．12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影，下列命题正确的是（）A．若AB⊥BF，则|AP|＝|PC|B．若P，B，F三点共线，则|AF|＝4C．若|AB|＝|BC|，则|AF|＝2|BF|D．对于任意直线m，都有|AF|+|BF|＞2|CF|解：如图示：由题意E的焦点为F（1，0），准线l：x＝1，C（﹣1，0），不妨设l AB：my＝x+1，联立，则y2＝4（my﹣1），即y2﹣4my+4＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝4，设A（，y1），B（，y2），F（1，0），对于A：•＝0，则（1﹣，﹣y2）•（，y1﹣y2）＝0，整理得：（4﹣）（y1+y2）＝16y2，则m（4﹣）＝4y2，假设|AP|＝|PC|，则直线的斜率为1，即m＝1时，解方程（4﹣）＝4y2，得y1＝2+2，y2＝2﹣2，故y1+y2＝4≠4，故A错误；对于B：点P为A在l上的射影，则P（﹣1，y1），P，B，F三点共线时，有＝＝，解得：y2＝，y1＝2，故A（3，2），故|AF|＝4，故B正确；对于C：作BH⊥l于H，由|AB|＝|BC|，得2|BH|＝|AP|，故|AF|＝2|BF|，故C正确；对于D：由|AF|+|BF|＝|BH|+|AP|＝2++＝2+[﹣2y1y2]＝4m2，而|CF|＝2，由m（4﹣）＝4y2，得△＝16m2﹣16＞0，解得：m2＞1，故4m2＞4＝2|CF|，故D正确；故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝2x•lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝2x﹣2 ．解：由题意，，∴所求切线方程的斜率k＝2ln1+2＝2，∴所求切线方程为y﹣0＝2（x﹣1），即y＝2x﹣2．故答案为：y＝2x﹣2．14．已知（x﹣1）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5+a6（x+1）6（a6≠0），则n＝ 6 ，a3＝﹣160 ．解：等式左边x的最高次幂为x n，等式右边x的最高次幂为x6，故n＝6．∵（x﹣1）6＝[（x+1）﹣2]6，其通项，令6﹣r＝3，解得r＝3，故，故答案为：6，﹣160．15．若函数f（x）＝sin（x+φ）+cos x为偶函数，则常数φ的一个取值为（答案不唯一）．解：根据题意，函数f（x）＝sin（x+φ）+cos x为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即sin（﹣x+φ）+cos（﹣x）＝sin（x+φ）+cos x，变形可得：sin（x+φ）+sin（x﹣φ）＝0，则有2sin x cosφ＝0，必有cosφ＝0，则φ＝kπ+，故答案为：（答案不唯一）．16．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系是，其中e为自然对数的底，当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为．解：设P运动到第一个三等分点的时间为t1，此时Q运动的距离为x1，P运动到中点的时间为t2，此时Q运动的距离为x2，∵两点P，Q以相同的初速度运动，设点Q的运动速度为v＝107，∴，，∴，，∴＝．故答案为：．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}中，a1＝1，且a n+1＝a n+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和T n．解：（1）∵a n+1＝a n+n，∴a n+1﹣a n＝n．∴a1＝1，a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝2，⋯，a n﹣a n﹣1＝n﹣1，∴，∴；（2）由（1）知，，因此，．18．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，∠BAD＝，2AB＝BD＝4．（1）求cos∠ADB；（2）若BC＝，求CD．解：（1）△ABD中，由余弦定理得，cos∠DAB＝，cos∠ADB＝，因为∠BAD＝，AB＝2，BD＝4，故AD＝，cos∠ADB＝，（2）由（1）得sin∠ADB＝＝，因为AD⊥CD，即∠ADC＝90°，所以cos∠ADC＝cos（∠ADB+∠BDC）＝0，解得，cos∠BDC＝，根据余弦定理得，cos∠BDC＝，所以＝，故CD＝3或CD＝﹣（舍），故CD＝3．19．已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次．（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列和数学期望．解：（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，射中固定靶为事件A，射中移动靶分别为事件B，C，则D＝AB+A C，其中AB+A C互斥，A，B，C，，相互独立，P（A）＝，P（B）＝P （C）＝，∴P（D）＝P（AB）+P（A C）＝+＝．即该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为．（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5．P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝2＝，P（X＝3）＝2＝，P（X＝4）＝（1﹣）×＝，P（X＝5）＝＝，该射手的总得分X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5P∴E（X）＝0×+1×+2×＝．20．在空间直角坐标系O﹣xyz中，以坐标原点O为圆心．r为半径的球体上任意一点P（x，y，z），它到坐标原点O的距离d＝≤r，可知以坐标原点为球心，r为半径的球体可用不等式x2+y2+z2≤r2表示．还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示．记P1满足的不等式组表示的几何体为W1．（Ⅰ）当z＝h表示的图形截W1所得的截面面积为12π时，求实数h的值；（Ⅱ）请运用祖暅原理求证：记P2满足的不等式组所表示的几何体W2，当z＝h时，W与W1的体积相等，并求出体积的大小．（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意2思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等）解：（Ⅰ）当z＝h时，x2+y2≤16﹣h2，截面为圆面，依题意，16﹣h2＝12，解得h＝±2，又h≥0，故h＝2；（Ⅱ）证明：在W1中，平面z＝h所截的截面为圆，其面积为（16﹣h2）π，在W2中，平面z＝h所截的截面为圆环，其面积为（16﹣h2）π，即z＝h截W1，W2所得面积均相等，从而由祖暅原理知，W1，W2的体积相等，由W1为半球可知，．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l：x＝1与C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形．（1）求C的方程；（2）圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q，点S，T满足，，求O到直线ST和直线PQ的距离之和的最大值．解：（1）直线l与椭圆C在第一象限的交点为（1，y0），则S菱形＝ay0＝，又因为（0，0）与（a，0）关于（1，0）对称，所以a＝2，y0＝，将（1，）代入椭圆方程有+＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为+＝1．（2）设k为（1，0），由O，M，B，N共圆，可得|OK|•|KB|＝|MK|•|NK|，设M（0，m），N（0，﹣n），则mn＝1，所以k AP•k AQ＝•＝﹣，设直线PQ的方程为b＝k（x+2）﹣y，联立椭圆的方程为（x+2）2+2y2﹣4（x+2）•＝0，所以1+2（）2﹣4•＝0，所以2（）2﹣•+1﹣＝0，令t＝x+2，则2t2﹣t+1﹣＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则k AP＝，k BP＝，不妨设t1＝k AP＝，t2＝k BP＝，所以t1，t2为方程2t2﹣t+1﹣＝0的两个根，所以t1t2＝k AP•k BP＝＝﹣，解得b＝k，所以直线PQ的方程为k＝k（x+2）﹣y，即直线PQ：y＝k（x﹣）恒过点（，0），所以|AG|＝，因为＝，＝，所以ST∥PQ，设ST与x轴交于点H，则AH＝HG，即ST恒过定点H，则O到ST和PQ的距离之和最大值为|HG|＝，|AG|＝．22．已知函数f（x）＝sin x+e﹣x．（Ⅰ）求函数f（x）在[]的最大值；（Ⅱ）证明：函数g（x）＝x+2e﹣x﹣f（x）在（0，2π）有两个极值点x1，x2，并判断x1+x2与2π的大小关系．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）＝sin x+e﹣x，所以f'（x）＝cos x﹣e﹣x，则f''（x）＝﹣sin x+e﹣x，所以当x∈[]时，﹣sin x＞0，故f''（x）＞0，所以函数f'（x）在[]上单调递增，又f'（）＜0，f'（2π）＝1﹣e﹣2π＞0，所以f'（x）在[]上有唯一的零点t，当x∈（）时，f'（x）＜0，当x∈（t，2π）时，f'（x）＞0，故f（x）在（）上单调递减，在（t，2π）上单调递增，又，f（2π）＝e﹣2π＞0，所以f（x）在[]上的最大值为e﹣2π；（Ⅱ）证明：g'（x）＝，①当时，g'（x）单调递增，又，，所以g'（x）在有唯一的零点，此时当x∈（0，t1）时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，当时，g'（x）＞0，则g（x）单调递减，故x＝t1是极小值点，不妨设x1＝；②当时，cos x＜0，所以，故g（x）在上单调递增，故g（x）没有极值点；③当，g''（x）＝sin x+e﹣x＝f（x），由（Ⅰ）知，f（x）在（）上单调递减，在（t，2π）上单调递增，且，f（2π）＝e﹣2π＞0，故g''（x）由唯一的零点，则当时，g''（x）＜0，则g'（x）单调递减，当x∈（t0，2π）时，g''（x）＞0，则g'（x）单调递增，又，，所以g'（x）在由唯一的零点，此时时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，当x∈（t2，2π）时，g'（x）＜0，所以x＝t2是极大值点，即，且，由于，所以cos x1＜cos x2＝cos（2π﹣x2），因为，所以x1＞2π﹣x2，即x1+x2＞2π．。

湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。

2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

2023届炎德英才大联考雅礼中学高三月考试卷(三)参考答案

炎德·英才大联考雅礼中学2023届高三月考试卷(三)数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.14 14.1.5 15.π16.2四、解答题17.【解析】(1)27sin 2cos 22cos 1249ππβββ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵02παβπ<<<<， ∴3444πππβ<-<，322ππαβ<+<.∴sin 04πβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()cos 0αβ+<，∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ+=，∴sin 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()3cos 5αβ+=-.∴()3143cos cos 44535315ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+--=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.18.【解析】(1)以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建系，则()0,0,0A ，()B ，()C ，()0,2,0D ，()0,0,3P ，∴()0,0,3AP =，()23,6,0AC =，()BD =-，∴0BD AP ⋅=，0BD AC ⋅=，∴BD AP ⊥，BD AC ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面ABD 的法向量为()0,0,1=m ，平面PBD 的法向量为(),,1x y =n ，由0BP ⋅=n ，0BD ⋅=n ，∴30,320,2x y y ⎧⎧=⎪⎪-+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩∴3,12⎫=⎪⎪⎝⎭n ， ∴1cos ,2=m n ， ∴二面角P BD A --的大小为60︒19.【解析】(1)设前三个小组的频率分别为1p ，2p ，3p ，由条件得()21311233,22,10.0050.02010,p p p p p p p ⎧=⎪⎪⎨=⎪++=-+⨯⎪⎩ 解得：116p =，214p =，313p =，由2115604p n n ==⇒=. (2)由(1)知一个高中生身高超过160厘米的概率为()370.0050.0201012p p =++⨯=，由于高中生人数很多，所以X 服从二项分布，7~3,12X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3375C 1212k k k P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =，773124EX =⨯=. (3)将表中的数据代入公式()()()()()22p ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得到()2250181589 5.059>5.024********χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，查表知()2 5.0240.025P χ≥=，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.20.【解析】(1)1(0)2f =，1211224a -==+，()()()11020010n n f f f f +⎡⎤==⎣⎦+， ∴()()()()()()()()1112101101001120242020221012n n n n n n n n n n f f f f a a f f f f +++--+-====-⋅=-+++-++， ∴112n n a a +=-， ∴数列{}n a 是首项为14，公比为12-的等比数列，11142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)21232232n n T a a a na +=+++，212321111123222222n n T a a a na ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得：221211142311124212n n n T n -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯- ⎪⎝⎭+， 22131192n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 21.【解析】(1)设双曲线E 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则(),0B c -，(),0D a ，(),0C c .由3BD DC =，得()3c a c a +=-，即2c a =.∴22216,124,2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩解得1a =，∴2c =，b .∴双曲线E 的方程为2213y x -=. (2)设在x 轴上存在定点(),0G t ，使()BC GM GN λ⊥-.设直线的方程为x m ky -=，()11,M x y ，()22,N x y .由MP PN λ=，得120y y λ+=，即12y y λ=-.① ∵()4,0BC =，()1212,GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴()()12BC GM GN x t x t λλ⊥-⇔-=-.即()12ky m t ky m t λ+-=+-.②把①代入②，得 ()()121220ky y m t y y +-+=.③把x m ky -=代入2213y x -=，并整理得()()222316310k y kmy m -++-=. 其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠，且2231k m +>. 122631km y y k -+=-，()21223131m y y k -=-. 代入③，得()()22261603131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =，当1t m =时，上式恒成立. 因此，在x 轴上存在定点1,0G m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使()BC GM GN λ⊥-. 22.【解析】(1)()121f x x x a'=--+， ∵0x =时，()f x 取得极值，∴()00f '=，故120100a-⨯-=+，解得1a =.经检验1a =符合题意.(2)由1a =知()()2ln 1f x x x x =+--，由()52f x x b =-+，得()23ln 102x x x b +-+-=，令()()23ln 12x x x x b ϕ=+-+-，则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=，在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根.或()()()()4511321221x x x x x x ϕ-+-'=-+=++，当[]0,1x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在[]0,1上单调递增；当(]1,2x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.依题意有()()()()()00,31ln 1110,22ln 12430,b b b ϕϕϕ⎧=-≤⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩ 解得，1ln 31ln 22b -≤<+. (3)()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-，由(1)知()()231x x f x x -+'=+.令()0f x '=得，0x =或32x =-(舍去)， ∴当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴()0f 为()f x 在()1,-+∞上的最大值.∴()()0f x f ≤，故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时，等号成立)，对任意正整数n ，取10x n =>，得2111ln 1n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭， ∴211ln n n n n ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n ++++++>++++=+.。

雅礼中学2021-2022学年度高三上学期11月月考(三)数学试卷(word原卷)

雅礼中学2022届高三月考试卷（三）数学得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}3A x x =>，104x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（） A ．∅B ．（3，4]C ．（3，4）D ．（4，+∞） 2．若1a >，则“x y a a >”是“log log a a x y >”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列各组函数中，()f x ，()g x 是同一函数的是（）A ．()2f x x =，()4g x = B ．()2log a f x x =，()2log a g x x =C ．()41x x f x -=，()21x g x =+D ．()f x =()g x =4．已知x y >，a b <，则下列不等式恒成立的是（）A ．x b y a ->-B ．ax by ay bx +<+C ．ay bx <D ．ax by > 5．国内生产总值（GDP ）指按市场价格计算的一个国家（或地区）所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果．下图是我国2014~2018年连续5年的GDP 及增速图，则下列结论错误的是（）A ．连续5年中我国GDP 保持6%以上的增长B ．2014～2018年我国GDP 增速整体呈现下降趋势C ．2018年GDP 为这5年最高，GDP 增速为这5年最低D ．2018年GDP 相对2014年GDP 增长了一倍以上6．函数2ln y kx x =-有两个零点1x ，2x （120x x <<），则下列说法正确的是（）A ．1x >B ．1x <C ．2x e >D ．2x e <绩是A 等的概率为（）A ．1115 B ．1720 C ．1719 D ．1130 8．已知圆锥的表面积为2π，则其体积的最大值为（）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知i 为虚数单位，复数11i z =+，22i z =-，则下列结论正确的是（）A ．1zB ．2z 的虚部为1-C ．12z z ⋅对应的点位于复平面第一象限D ．1z 的共轭复数为1i -- 10．关于函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，下列说法正确的是（） A ．由sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到 B ．对称轴为212k x ππ=+，k ∈Z C ．在区间（6π-，6π）上单调递增 D ．在区间[23π-，2π]上恰有3个零点 11．平行六面体ABCD —A'B'C'D'中，各棱长均为2，设ⅠA'AB=ⅠA'AD=ⅠDAB=θ，则下列结论中正确的有（）A ．当2πθ=时，'AC =B ．AC'和BD 总垂直C ．θ的取值范围为（0，23π）D ．θ=60°时，三棱锥C —C'B'D'的外接球的体积是12．已知数列{}n a 、{}n b 都是等比数列，且111b a -=，222b a -=，332b a -=，若等比数列{}n a 唯一，则在下列各值中，1a 不可能为（）A ．1B ．12-C ．13D ．1-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足a ·b =1，|a |=|b |=2，则+=a b ．14．动圆P 的圆心在抛物线24y x =上运动，且保持与直线116y =-相切，则动圆P 经过定点的坐标为．15．清华大学有6名同学准备在北京2022年冬奥会期间担任志愿者，去A ，B 两个场馆进行工作．现需制定工作方案，将6人分成2组，每组3人，每组各指定一名组长，再将两组分别指派到A ，B 两个场馆，则不同的工作方案数为．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，2-），点B （1，1-），P 为圆222x y +=上一动点，则PB PA的最大值是．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

雅礼中学2021届高三上学期第五次月考数学试题(含解析)

雅礼中学2021届高三上学期第五次月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合{24}A x x =-<∣，{53}B x x =-<∣，则A B ⋂=（）A ．{54}x x -<<∣B ．{52}x x -<-∣C ．{23}x x -∣D ．{34}x x <∣ 2．设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．从5名同学中选若干名分别到图书馆食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（） A.20种 B ．50种 C ．80种 D ．100种4．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（GDP ）y （单位：万亿元）关于年份代号x 的回归方程为 6.6050.36(1,2,3,4,5,6,7)y x x =+=，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（） A ．14.04万元 B ．202.16万元 C ．13.58万元 D ．14.50万元5．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种．某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.76．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 后的温度T 将满足()012ta a T T T T ⎛⎫⎪⎭⋅-=- ⎝，其中a T 是环境温度，h 称为半衰期．现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？（lg 20.3010≈，1g 30.4771≈）（）A ．12B ．14C ．16D ．18 7．在直角三角形ABC 中，90A ︒∠=，2AB =，4AC =，P 在ABC 斜边BC 的中线AD 上，则()AP PB PC ⋅+的最大值为（）A ．258 B ．52 C ．254 D ．2528．已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，若函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，且(1)3f =，则(2021)f =（）A ．6B ．3C ．0D ．3-二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.如果a 、b 、c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项成立的是（）A ．ab ac >B ．22cb ab < C ．()0c b a -> D ．()0ac a c -< 10．已知方程2225 3102x y ax ay a a +++++-=，若方程表示圆，则a 的值可能为（） A ．2- B ．0 C ．1 D ．3 11.．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A ．异面直线1BD 与1BC 所成的角大小为90° B ．四面体1D DBC 的每个面都是直角三角形 C ．二面角11D BC B --的大小为30°D ．正方体1111ABCD A B C D -12．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受得到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数41sin[(21)]()21i i x f x i =-=-∑的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（）A ．函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(2,0)π对称C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称 D ．函数()f x 的导函数()f x '的最大值为4 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，直线:2l y x b =+经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若||5AB =，则p =________．14．数列1，2-，2，3-，3，3-，4，4-，4，4-，5，5-，5，5-，5，…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n 的有n 个，则该数列第2021项是________．15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左下图．假定在水流量稳定的情况下，半径为3m 的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad /min 3π的匀速圆周运动，平面示意图如右下图，已知筒车中心O 到水面BC 的距距离为2m ，初始时刻其中一个盛水筒位于点0P 处，且0(// ) 6POA OA BC π∠=，则8min 后该盛水筒到水面的距离为________m ．16．正方体1111ABCD A B C D -的长为1，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点．则平面AEF 截正方体所得的截面面积为________；以点E 11ACC A 的交线长为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①sin 2B B +=，②cos220B B +-=，③222b ac -=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：已知ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若4a =，c =，________，求ABC的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()2*12323n a a a na n n N ++++=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1(1)n n n n b a a +=-+，求数列{}n b 的前2020项和2020S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1PA AB ==，D= 2BC C =，//AB CD ，2ADC π∠=．（1）求证：PD AB ⊥；（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．20．（本小題满分12分）在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜，在每局比赛中，发球方贏得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两队进行排球比赛：（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各 14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了(6)x x 个球后甲赢得整场比赛，求x 的值及相应的概率()p x ．21．（本小题满分12分）如图，点A 为椭圆221:21C x y +=的左顶点，过A 的直线1l 交抛物线22:2(0)C y px p =>于B ，C 两点，点C 是AB 的中点．（1）若点A 在抛物线2C 的准线上，求抛物线2C 的标准方程；（2）若直线2l 过点C ，且倾斜角和直线1l 的倾斜角互补，交椭圆1C 于M ，N 两点．（i ）证明：点C 的横坐标是定值，并求出该定值；（ii ）当BMN 的面积最大时，求p 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()21xf x ae x =+-，（其中常数 2.71828e =，是自然对数的底数）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ，当0x >时， ()()f x x ae x +．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．2．D 【解析】由题134z i =-，223z i =-+，则121z z i +=-，对应点为(1,1)-．3．B 【解析】当去4个人时，安排方法有4254C C 30=种，当去5个人时，安排方法有3152C C 20=种．综上，不同的安排方法共有50种．故选B ．4．A 【解析】到2035年底对应的年份代号为23，由回归方程ˆ 6.6050.36yx =+得，我国国内生产总值约为6.602350.36202.16⨯+=（万亿元），又202.1614.0414.4≈，所以到2035年底我国人均国内生产总值约为14.04万元．故选A ．5．B 【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++．因为()0.45P A =，()0.15P AB =，所以()0.4P B =．故选B ．6．C 【解析】根据题意有：1015525(8525)102hh ⎛⎫-=-⇒=⎪⎝⎭， ∴101211lg30.47714525(8525)log 101015.852103lg 20.3010t t t ⎛⎫-=-⇒=⇒=⨯=⨯≈⎪⎝⎭，故选C ． 7．B 【解析】以A 为坐标原点，以AB ，AC 方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，则(2,0)B ，(0,4)C ，中点(1,2)D ，设(,2)P x x ，所以(,2)AP x x =，(1,22)PD x x =--，()2()(2)2[(1)2(22)]10AP PB PC AP PD x x x x x x ⋅+=⋅=-+-=--， 12x =时，最大值为52．故选B ． 8．D 【解析】令0x =，得(2)(2)4(2)f f f =+，即(2)0f =，(2)(2)f x f x +=-，因为函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，所以函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称，即()()f x f x -=-，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-=--，即(4)()f x f x +=-，(8)()f x f x +=，则(2021)(25383)(3)(1)3f f f f =⨯-=-=-=-，故选D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．由,0c b ca ab a <⎧⇒<⎨>⎩，所以A 选项正确．当0b =时，22cb ab =，所以B 选项错误．0,()00b a c b a c -<⎧⇒->⎨<⎩，所以C 选项正确． 0,()00a c ac a c ac ->⎧⇒-<⎨<⎩，所以D 选项正确．故选ACD ． 10．AB 【解析】因为方程22253102x y ax ay a a +++++-=表示圆，所以2225(3)4102a a a a ⎛⎫+-+-> ⎪⎝⎭，解得1a <，所以满足条件的只有2-与0．故选AB ．11．ABD 【解析】连接1BC ，易知11BC B C ⊥，又正方体中11C D ⊥平面11BCC B ，从而有111C D B C ⊥，1111C D BC C ⋂=，1B C ⊥平面11BD C ，从而得11B C BD ⊥，异面直线1BD 与1B C 所成的角大小为90°，A 正确；正方体中1DD ⊥平面ABCD ，则1DD BD ⊥，1DD CD ⊥，同理BC CD ⊥，1BC CD ⊥，∴四面体1D DBC 的四个面都是直角三角形，B 正确；由1BC CD ⊥，1BC CC ⊥，知11D CC ∠是二面角11D BC B --的平面角，为45°，即二面角11D BC B --为45°，C 错误；易知1BD 的中点是正方体外接球和内切球的球心，12，，D 正确．故选ABD ．12．BCD 【解析】∵sin3sin5sin7()sin 357x x xf x x =+++， sin[3()]sin[5()]sin[7()]()sin()357x x x f x x πππππ++++=++++sin3sin5sin7sin ()()357x x xx f x f x =----=-≠，所以，π不是函数()y f x =的最小正周期，A 选项错误； ∵sin(3)sin(5)sin(7)sin3sin5sin7()sin()sin 357357x x x x x xf x x x ----=-+++=----， sin[3(4)]sin[5(4)]sin[7(4)](4)sin(4)357x x x f x x πππππ++++=++++sin3sin5sin7sin ()357x x xx f x =+++=，所以，函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称，C 选项正确； ()cos cos3cos5cos7f x x x x x '=+++，∵1cos 1x -，1cos31x -，1cos51x -，1cos71x -，则()cos cos3cos5cos74f x x x x x '=+++，又 (0)4f '=，所以函数()y f x '=的最大值为4，D 选项确．故选BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2【解析】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即 22b y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∵直线l 经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点， ∴22b p-=，即b p =-． ∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22,2,y x p y px =-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232px x +=，又||5AB =， ∴12552x x p p ++==，则2p =．法2：设直线的倾斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴2222||5sin p pAB θ===，得2p =． 14．64【解析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =，因为(1)6364202163201622n n n +⨯⇒⇒=，前2021项共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，故2021项为第64组第5个数字，由奇偶项正负交替规律，其为64． 15．72【解析】根据题意可得，8分钟后盛水桶所转过的角为8833ππ⨯=，而除去一圈，82233πππ-=，所以转8分钟之后0P 所转到的位置P 满足25366POA πππ∠=+=，所以点P 到水面的距离5723sinm 62d π=+=． 16．98【解析】如图，连接1AD ，则11////EF BC AD ， ∴等腰梯形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得截面图形，由正方体棱长为1，得1AD =，EF =，AE ==，则E 到1AD 的距离为4=，∴1192248AEFD S ⎛=+⨯= ⎝． ∵平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C ⋂平面ABCD AC =，过E 作EH AC ⊥于H ，则EH ⊥平面11ACC A ，∵E 为BC 中点，∴144EH AC ==，以点E 11ACC A 的交线为圆弧，2=，由4CH =， 2HN =，得 3NHC π∠=，∴23MHN π∠=，所求交线为劣弧MN ，长度为2323π⨯=．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】选①：由sin 2B B +=得：sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又 (0,)B π∈，所以6B π=． 3分选②：由cos220B B +-=得：22cos 30B B +-=，解得cos B =，又 (0,)B π∈，所以6B π=． 3分选③：由222b ac -=-得：222c a b +-=，得222cos 2a c b B ac +-===，又 (0,)B π∈，所以6B π=． 3分又因为sin sin C cB b==1sin 2C B ===由(0,)C π∈，所以3C π=或23C π=． 6分当3C π=时，2A π=，又因为4a =，所以2b =，c =．所以面积122S =⨯⨯=． 8分当23C π=时，6A π=，所以A B =．又因为4a =，所以4b =．所以面积1442S =⨯⨯= 10分 18．【解析】（1）由()2*12323n a a a na n n N ++++=∈，可得2123123(1)(1)n a a a n a n -++++-=-，所以22(1)21n na n n n =--=-， 3分即()*122,n a n n N n=-∈，当1n =，11a =也满足，所以()*12n a n N n=-∈． 6分（2）2020122020S b b b =+++111111112222222212232019202020202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-+-+--+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12020120212021=-=． 12分 19．【解析】（1）由PA ⊥平面ABCD ，得PA AB ⊥，由2ADC π∠=，得AD CD ⊥， 2分 ∵//AB CD ，∴AD AB ⊥， 3分∵AD PA A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴PDAB ⊥． 5分（2）以射线AB ,AD ,AP 为x ,y ,z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，D ，(0,0,1)P ，C ，AC =，(1,0,1)PB =-，1)PC =-． 7分设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =．则由0,0,n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.x z x z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 9分取31,n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则||3|cos ,|7||||AC n AC n AC n ⋅〈〉==⋅． 11分故直线AC与平面PBC12分20．【解析】（1）甲队最后贏得整场比赛的情况为第四局贏或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为11132224+⨯=．4分（2）根据比赛规则，x的取值只能为2,4或6，对应比分为16:14,17:15,18:16.两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为224(2)5525p=⨯=；6分两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为2332332272 (4)55555555625p=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．8分两队打了6个球后甲赢得整场比赛，6个球的胜负情况如图（胜者用√表示），(6)55555555555555555555555515625 p=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=．12分21．【解析】（1）由题意得(1,0)A-，1分点A在抛物线2C的准线上，则12p=，即2p =， 2分所以抛物线2C 的标准方程为24y x =． 3分（2）（i ）证明：因为过A 的直线1l 和抛物线交于两点，所以1l 的斜率存在且不为0，设1l 的方程为1x my =-，其中m 是斜率的倒数， 4分设()11,B x y ，()22,C x y ，联立方程组21,2,x my y px =-⎧⎨=⎩ 整理得2220y pmy p -+=，0∆>且12122,2,y y pm y y p +=⎧⎨=⎩ 5分因为C 是AB 的中点，所以122y y =，所以223pm y =，294m p =，2222111332pm p x m m =⋅-=-=，所以点C 的橫坐标为定值． 6分（ⅱ）因为直线2l 的倾斜角和直线1l 的倾斜角互补，所以2l 的斜率和1l 的斜率互为相反数．设直线2l 的方程为2132pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,(),M M M x y ，(),N N N x y ，即2x my =-+，联立方程组222,210,x my x y =-+⎧⎨+-=⎩整理得()222430m y my +-+=， ()222(4)1224240m m m ∆=-+=->，所以26m >，242M N m y y m +=+，232M Ny y m =+． 8分因为点C 是AB 中点，所以BMNAMNS S=，因为(1,0)A -到MN的距离d =，M N MN y =-，所以1||2AMNSMN d =⋅= 10分令26t m =-，则13288AMNS===⨯+，当且仅当8t =，214m =时等号成立，所以9144p=， 956p =． 12分 22．【解析】（1）()2xf x ae '=+．①当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增； 2分 ②当0a <时，由()0f x '>解得2ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，由()0f x '<解得2ln x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．故()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减． 4分综上所述，当0a 时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减．（2）证法一：原不等式等价于120x e x e x a ax a--+-． 6分令12()x e x g x e x a ax a =--+-，则()2(1)e 1()xx a x g x ax'---=．当1a 时，11x x ae x e x ----， 8分令()1xh x e x =--，则当0x >时，()10xh x e '=->， ∴当0x >时，()h x 单调递增，即()(0)0h x h >=， 9分∴当01x <<时，()0g x '<；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '>， ∴()(1)0g x g =． 11分即120x e x e x a ax a--+-，故()()f x x ae x +． 12分证法二：原不等式等价于()2(1)xa e exx --．令()x g x e ex =-，则()xg x e e '=-．当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>．∴()(1)0g x g =，即0x e ex -，当且仅当1x =时等号成立． 6分当1x =时，()2(1)xa e exx --显然成立；当0x >且1x ≠时，0x e ex -．欲证对任意的1a ，()2(1)xa e exx --成立，只需证2(1)x e ex x --． 8分思路1：∵0x >，∴不等式2(1)xe ex x --可化为120x e x e x x---+，令1()2x e h x x e x x =---+，则()2(1)1()xx e x h x x'---=， 10分易证当0x >时，10xe x -->，∴当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>， ∴函数()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴min ()(1)0h x h ==，∴()0h x ，即120x e x e x x---+，从而，对任意的1a ，当0x >时，()(e)f x x a x +． 12分思路2：令2(1)()x x ex x e ϕ-+=，则(1)(3)()xx x e x e ϕ'--+-=．()031x e x ϕ'>⇒-<<，()01x x ϕ'<⇒>或03x e <<-， 10分∴()x ϕ在(0,3)e -上单调递减，在(3,1)e -上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． ∵(0)(1)1ϕϕ==，∴2(1)()1xx ex x eϕ-+=，即2 (1)xx e ex --．从而，对任意的1a ，当0x >时，()()f x x ae x +． 12分证法三：原不等式等价于2210x ae x x aex +---．令2()(2)1xg x ae x ae x =----，()2(2)xg x ae x ae '=---．令()2(2)xh x ae x ae =---，则()2xh x ae '=-，其中0x >． 6分 ①当2a 时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增．注意到(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>．∴()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴min ()(1)0g x g ==，即 ()()f x x ae x +． 8分 ②当12a <时，20ln 1a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．当20ln x a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增．（i ）若221a e <-，则(0)(1e)20h a =-+．∵2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴当(0,1)x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>．与①同，不等式成立． 10分（ⅱ）若211a e <-，则(0)(1)20h a e =-+>， ∵2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴020,ln x a ⎛⎫⎛⎫∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()00h x =，且当()00,x x ∈时，()()0g x h x '=>；当()0,1x x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>． ∴()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∵(0)10g a =-，(1)0g =，此时，()0g x ，即()()f x x ae x +．综上所述，结论得证． 12分。

雅礼高三月考试卷(理综+数学+英语+语文)-答案

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理科数学参考答案!雅礼版"!" !
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#$!$解析%!""因为该同学通过各校考试的概率均为C(所以该同学恰好通过 0!"#0#"$"所高校自主招生考试的概率为*!C"0-"0$C0 !"!C""$!0 *?!C"0-"0$,0C0!"!"!C""$!0 ! !"$!0"C0 !"!C"%!0 0-"0$C0!"!"!C"%!0 ,0!"!C"! !"$!0"C0-"0$C0!"!"!C"%!0 !0!"$C"

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19.(本小题满分 12 分)已知 an 为等差数列，a1 ，a2 ，a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1 ，a2 ，a3 中
C.去除后 y 的估计值增加速度变快
D.去除后相应于样本点 2,3.75 的残差为 0.05
11. 已知三棱锥 P ABC 中， O 为 AB 中点， PO 平面 ABC ， APB 90 ， PA PB 2 ，则下列说法中正确的是( )
A.若 O 为△ABC 的外心，则 PC 2 B.若 △ABC 为等边三角形，则 AP BC
16.已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA PB PC ，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E ，F 分别是 PA ， AB 的中点， CEF 90 ，则球 O 的体积为________.
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)在△ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c .已知 cos A 2cosC 2c a .
(2)若 PC BC ，求二面角 A BP D 的正弦值.
C.存在正整数 k ，使得 f x kx 恒成立
D.对任意两个正实数 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，若 f x1 f x2 ，则 x1 x2 4
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若函数
A. 3 2 2
B. 2 2
C. 2 2
D. 3 2 2
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9.已知函数
f
x
1 2
sin
2x
3
1 2
，则以下说法中正确的是(
C. 2
D. 4
2.已知 i
1
是虚数单位，复数
ai
为纯虚数，则实数
a
为(
)
2i
A. 2
B. 2
C. 1
1
D.
2
2
007 3.古希腊时期的，人们把宽与长之比为
界
5 2
1
5 2
1
0.618
的矩形称为黄金矩形，把这个比值
5 1
称为黄金分割
2
习
比例：学.下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形 ABCD ， EBCF ， FGHC ， FGJI ， LGJK ， MNJK 均为黄金矩形，
C.当
ACB
90
时，
PC
与平面
PAB
所成角的范围为
0,
4
D.当 PC 4 时， M 为平面 PBC 内动点，若 OM // 平面 PAC ，则 M 在三角形 PBC 内的
轨迹长度为 2
12.关于函数的f007x
界
2 x
ln
x
，下列说法正确的是(
)
习
学：A.
x
2是
f
x
的极大值点
号
众
公
B.函数 y f x x 有且只有1个零点
f
x
ax( a
0 ，且 a
1)的图象经过点
P
2,
1 2
，则
f
1
________.
14. sin 50 1 3 tan10 ________.
15. O 为坐标原点， F 为抛物线 C : y2 4x 的焦点， P 为 C 上一点，若 PF 4 ，则 △POF 的面积为________.
f
x
在
12
, 7 12
上单调递减
D.当
x
0,
6
时，
f x 的最大值为 2
4
3
4.已知平面向量 a ， b 满足 a (1, 1) ， b 1， a 2b 2 ，则 a 与 b 的夹角为( )
5
3
A.
B.
C.
D.
6
6
4
4
10.已知由样本数据点集合 xi , yi i 1, 2,, n ，求得的回归直线方程为 yˆ 1.5x 0.5 ，且 x 3，现发现两个数据
cos B
b
(1)求 sin C 的值； sin A
(2)若 cos B 1 ， b 2 ，求 △ABC 的面积. 4
18.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中， △ABD 是边长为 2 的正三角形， PC 底面 ABCD ，
AB BP ， BC 2
3
.
3
(1)求证： PA BD ；
炎德·英才大联考-湖南省雅礼中学 2021 届高三月考试卷(三) 数学
6.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 0 ， S14 S9 ，则满足 Sn 0 的最大自然数 n 的值为( )
A. 23
B. 22
C.13
D.12
时量 120 分钟满分 150 分. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
点 1.2,2.2 和 4.8,7.8 误差较大，去除后重新求得的回归直线 l 的斜率为1.2 ，则( )
5.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形) 共有( )
A. 30 种
B. 20 种
C.15 种
D.10 种
1
A.变量 x 与 y 具有正相关关系 B.去除后的回归方程为 yˆ 1.2x 1.4
号众若
M
与
K
间的距离超过1.7 m
，
C
与
F
间的距离小于12 m
，
则该古建筑中
公
A 与 B 间的距离可能是( )(参考数据： 0.6182 0.382 ，
A. 1, 2
B. 1, 3
C. 1,2
D. 2,
8.已知实数 a ， b 满足 ab 0 ，则 a a 的最大值为( ) a b a 2b
1.已知集合 A 2,3,4 ，集合 B m,m 2 ，若 A B 2 ，则 m ( )
7.已知
A 是双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1a,b
0 的右顶点，过左焦点
F
与
y
轴平行的直线交双曲线于
P
，Q
两点，若
△APQ 是锐角三角形，则双曲线 C 的离心率的取值范围是( )
A. 0
B.1
)
0.6183 0.236 ， 0.6184 0.146 ， 0.6185 0.090 ， 0.6186 0.056 ， 0.6187 0.034 )
A. 28m
B. 29.2m
C. 30.8m
D. 32.5m
A. f x 的最小正周期为
C.
5 6
, 2
是
f
x
的一个对称中心
B.