2020届湖南省长沙市雅礼中学2017级高三第六次月考数学(文)试卷及解析
2020年湖南省雅礼中学高三1-6次月考 理科数学、文科数学(含答案)
预计去年消费金额在!$$!'$$(内的消费者今年都将会申请办理普通 会员$消费金额在 !!'$$$1#$$(内的消费 者都将会 申 请办 理银 卡会 员$消费金额在!1#$$$2"$$(内 的 消 费 者 都 将 会 申 请 办 理 金 卡 会 员! 消费者在申请办理会员时$需一次性缴清相应等级的消费金额! 该健身机构在今年 底 将 针 对 这 些 消 费 者 举 办 消 费 返 利 活 动$现 有 如 下两种预设方案# 方案!#按分层抽样 从 普 通 会 员$银 卡 会 员$金 卡 会 员 中 总 共 抽 取 #& 位-幸运之星.给予奖励#普通会员中的-幸运之星.每人奖励&$$元1 银卡会员中的-幸运之星.每人奖励'$$元1金卡会员 中的 -幸 运之 星.每人奖励"$$元! 方案##每位会员均可参加摸奖游戏$游戏规则如下#从一个装有1个 白球%#个红球!球只有颜色不同"的箱子中$有放回地摸三次球$每次 只能摸一个球!若摸到红球的总数为#$则可获得#$$元奖励金1若摸 到红球的总数为1$则可获得1$$元奖励金1其他情况不给予奖励!规 定每位普通会员均可参加!次摸奖游戏1每位银卡会员均可参加#次 摸奖游戏1每位金卡会员均可参加1次摸奖游戏!每次摸奖的结果相 互独立"! 以方案#的奖励金 的 数 学 期 望 为 依 据$请 你 预 测 哪 一 种 方 案 投 资 较 少0 并说明理由!
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湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高三上学期月考(三)数学文试题 Word版含答案
2017-2018学年数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共10页，时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≤，{}0B x Z x =∈≤，则A B 中的元素个数为（C ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52.已知函数()f x 的定义域为R ，则命题p ：“函数()f x 为奇函数”是命题q :“000,()()x R f x f x ∃∈=--”的（B ）A ．必要不充分条件B ．要分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知互不重合的直线,a b ，互不重合的平面,αβ，给出下列四个命题，其中错误．．的命题是（D ）A ．若,,a a b αβαβ= ，则a bB ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥C ．若,,a a αβγβγ⊥⊥= ，则a α⊥D ．若,a αβα ，则a β 4.已知a 是函数3()12f x x x =-的极大值点，则a =（B ） A ．-4 B ．-2 C.4 D ．25.投资者王先生第一天以5元/股的价格买进100股某股票，第2天该股票的价格涨了5％，但王先生认为它还会继续涨，就没有售出，到了第3天，该股票下跌了4％，王先生担心它继续下跌，把股票全部卖出了．如果不计交易的手续费和 税费，那么通过这次交易，王先生一共获利（B ）A ．5元B ．4元 C.1元 D ．4.5元6.函数sin()0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（A ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中卷六《均输》一节中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊、所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（B ）A ．54钱 B ．43钱 C.32钱 D ．53钱 8.已知ABC △外接圆的圆心为O ,半径为1，2AO AB AC =+且AO AB = ，则向量BA 在向量BC方向上的投影为（A ）A ．12 B C.12- D ．9.从点(4,4)射出的光线，沿着向量e ⎛= ⎝的反向射到y 轴上，经y 轴反射后，反射光线必经过点（D ）A ．(1,2)B ．(2,2) C.(3,1) D ．(4,0)10.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则改几何体的体积为（C ）A ．B D 11.已知实数,x y 满足01xy x y ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，使z ax y =+取得最大值的最优解恰有两个，则1z ax y =++的最小值为（A ）A ．0B ．-2 C.1 D ．-2 12.已知函数211()sin sin (0),222xf x x x R ωωω=+->∈．若()f x 在区间(,2)ππ内有零点，则ω的取值范围是（D ）A ．1150,,848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．()15,1,48⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.5,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a b +=____．14.已知a R ∈，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆的半径为____．15.已知A F ，P 是椭圆2214x y +=上的任一点，则PA PF -的取值范围是____．16.在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222',y x P x y x y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的“伴随点”还在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是____．（填写序号）三、解答题：本大题共70分.解答写出文字说明、证明或验算步骤.17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)()n S kn n n k R =+-∈，公差d 为2． （Ⅰ）求k 与n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足118,2(2)3n a n n b b b n -=-=≥，求n b ．18.（本小题满分12分）某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1:20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：（Ⅰ）求表中,,a b c 的值，并估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（成绩在[90,150]内为及格）；（Ⅱ）设茎叶图中成绩在[100,120)范围内的样本的中位数为m ，若从成绩在[100,120)范围内的样品中每次随机抽取1个，每次取出不放回，连续取两次，求取出两个样本中恰好一个是数字m 的概率．19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ，11123AF AD ED ===．（Ⅰ）求二面角E AC D --的正切值；（Ⅱ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM 平面BEF ，并证明你的结论．20.（本小题满分12分）已知抛物线C 的标准方程为22(0)y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，(,0)(0)A a a ≠为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON △的面积为18. （Ⅰ）求抛物线C 的标准方程； （Ⅱ）记11t AM AN=+，若t 值与M 点的位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 21.（本小题满分12分）设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈．（Ⅰ）讨论()f x的单调性；（Ⅱ）设()1sinf x x≤+，求a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为32cos42sinxyθθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）．（Ⅰ）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知(2,0),(0,2)A B-，在圆C上任意取一点(,)M x y，求ABM△面积的最大值．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()3|21|f x ax x=+--．（Ⅰ）若1a=，解不等式()2f x≤；（Ⅱ）若函数()f x有最大值，求a的取值范围．试卷答案一、选择题 1.C 2.B【解析】反例：过原点的函数，存在00x =符合条件q ，推不出p ． 3.D 4.B 5.B 6.A【解析】由图知2A =，周期236T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+，因为图象过点,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22sin 23πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，所以2sin ,13πϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =得，6πϕ=-，所以2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选A ．7.B【解析】设所成等差数列的首项为1a ，公差为d ，则依题意，有 1111115455,2234,a d a a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪++=+++++⎩解得143a =，16d =-，故选B ． 8.A【解析】因为22AO AB AC AO OB OA OC OA =+⇒=-+- ，所以OB OC =-，所以,,O B C 三点共线，即AB AC ⊥；又因为1OA AB == ，所以2BC =，所以()1BA BC BA AC AB =-= ，故向量BA 在向量BC 上的投影为12，选A ．9.D 10.C【解析】几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算． 由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面SAB 与底面ABCD 垂直，过S 作SO AB ⊥，垂足O ，∴SO ⊥底面ABCD ，2SO ==，底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积1223V =⨯⨯=．11.A【解析】如图所示，画出不等式组成表示的区域， ∵z ax y =+取得最大值的最优解有两个， ∴11a a -=⇒=-，∴当1,0x y ==或0,1x y ==-时，ax y x y +=-+有最小值－1， ∴1z ax y =++的最小值是0，故选A ．12.D【解析】1cos sin 1()2224x x f x x ωωπω-⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭,()0sin 04f x x πω⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，所以4(,2)()k x k Z ππππω+=∈∈，因此115599115,,,,,848484848ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈=+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选D ． 二、填空题 13.3【解析】2222,bc a b a===+，解得1,2a b ==． 14.5【解析】由题意22,1a a a =+=-或2，1a =-时方程为224850x y x y +++-=即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，变径为5，2a =时方程为224448100x y x y ++++=，2215(1)24x y ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭不表示圆．15.[0,2]【解析】11()240PA PF PA PF a AF -=+-≥-=，P 为线段1AF 与椭圆的交点时取“＝”．2PA PF AF -≤=，P 为AF 延长线与椭圆的交点时取“＝”． 16.①②【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11',22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而11',22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；②令单位圆上点的坐标为()cos ,sin P x x ，其伴随点为()'sin ,cos P x x -仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y =与曲线(,)0f x y -=表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222,0y x f x y x y ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭与2222,0y x f x y x y ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭也表示同一曲线，又因为2222,0y x f x y x y ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭与2222,0y x f x y x y ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以③正确；对于④，直线y kx b =+上取点后得其伴随点2222,y xx y x y-++，消参后轨迹是圆，故④错误．所以正确命题的序号为②③． 三、解答题17.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由题意可得1122121,41a S k a S S k ==-=-=-，所以2122a a k -==，即1k =．故数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，即21n a n =-． （Ⅱ）由题意21118,22(2)3a n n nb b b n --=-==≥由累加法可得2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+3121252112(14)822221433n n n b -+--=++++=+=- ．18.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴20.1,320a b ===， 成绩在[90,110)范围内的频率为10.10.250.250.4---=，∴成绩在10.10.250.250.4---=范围内的样本数为200.48c =⨯=， 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为：10.10.250.65p =--=． （Ⅱ）由茎叶图得106m =，一切可能的结果组成的基本事件空间为：(1)(2)(1)(2){(100,102),(100,102),(100,102),(100,116),(100,118),(102,106),(102,106),(102,116),Ω= (1)(2)(1)(1)(2)(2)(102,118),(106,106),(106,116),(106,118),(106,116),(106,118),(116,118)}，共15个基本事件组成；设事件A =“取出的两个样本中恰好有一个是数字m ”, 则(1)(2)(1)(2)(1)(1)(2)(2){(100,106),(100,106),(102,106),(102,106),(106,116),(106,118),(106,116),106,118)}A =，共由8个基本事件组成，∴8()15P A =． 19.（本小题满分12分）（Ⅱ）13BM BD =时，AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ，则13MN ED ，∵,3AF DE DE AF = ，∴AF MN ， ∴AMNF 是平行四边形， ∴AM FN ，∵AM BEF ⊄平面，FN BEF ⊂平面，∴AM BEF 平面 ． 20.（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）由题意，2112182222MONP p S OA MN p ==== △，∴6p =， 抛物线C 的标准方程为212y x =． （Ⅱ）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，联立212x my ay x=+⎧⎨=⎩得212120y my a --=，∴21212144480,12,12,m a y y m y y a =+>+==- 由对称性，不妨设0m >，（i ）0a <时，∵12120y y a =->，∴12,y y 同号，又11t AM AN =+= ∴2221222222212()111441111()11441y y m t m y y m a a m +⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， 不论a 取何值，t 均与m 有关，即0a <时，A 不是“稳定点”； （ii ）0a >时，∵12120y y a =-<，∴12,y y 异号．又11t AM AN =+= ∴222212121222222222121211()()4111144481311()1()11441a y y y y y y m a t m y y m y y m a a m ⎛⎫- ⎪-+-+====+ ⎪++++ ⎪⎪⎝⎭，∴仅当1103a -=，即3a =时，t 与m 无关．故“稳定点”为(3,0)． 21.（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）'()sin f x a x =-． ①当1a ≥时，'()0f x ≥，当且仅当1,2a x π==时，'()0f x =，所以()f x 在[0,]π上是增函数；②当1a ≤时，'()0f x ≤，当且仅当0,0a x ==或x π=时，'()0f x =，所以()f x 在[0,]π上减函数；③当01a <<时，存在12,(0,)x x π∈使'()0f x =，且12x x π+=，不妨设12x x <． 当[)10,x x ∈时，sin ,'()0,()x a f x f x <>是增函数； 当12(,)x x x ∈时，sin ,'()0,()x a f x f x ><是减函数； 当(]2,x x π∈时，sin ,'()0,()x a f x f x <>是增函数． （Ⅱ）由()1sin f x x ≤+得()1,11f a ππ≤-≤，所以2a π≤．令22()sin 0g x x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则2'()cos g x x π=-．令002cos ,0,2x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则： 当0(0,)x x ∈时，'()0g x >，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x <．又(0)02g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()0g x ≥，即2sin 02x x x ππ⎛⎫≤≤≤ ⎪⎝⎭．①当02x π≤≤时，2sin ,cos 1x x x π≤≤，所以()1sin f x x ≤+；②当2x ππ≤≤时，22()cos 1sin 1sin 22f x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫≤+=+---≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 综上，a 的取值范围是2,π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 【解析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），所以普通方程为22(3)(4)4x y -++=．∴圆C 的极坐标方程：26cos 8sin 210ρρθρθ-++=．（Ⅱ）点(,)M x y 到直线:20AB x y -+=的距离为d ABM △的面积12cos 2sin 924S AB d πθθθ⎛⎫=⨯⨯=--+ ⎪⎝⎭所以ABM △面积的最大值为9+23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 【解析】（Ⅰ）由题意得12x ≥时，不等式化为3212x x +-+≤， 解得2x ≥； 12x <时，不等式化为3212x x +-+≤，解得：0x ≤， 综上，不等式的解集是(][),02,-∞+∞ ． （Ⅱ）由题意得1(2)2,2()1(2)4,2a x x f x a x x ⎧++<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩， 函数()f x 有最大值的充要条件是20a +≥且20a -≤， 即22a -≤≤．。
【精准解析】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三第六次月考数学(文)试题
雅礼中学2020届高三月考试卷（六）数 学（文科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.集合{}13A x x =<<，集合{}2,B y y x x A ==-∈，则集合A B =（ ）A. {}13x x << B. {}13x x -<<C. {}11x x -<<D. ∅【答案】D 【解析】 【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合AB .【详解】因为{}13A x x =<<，{}{}2,11B y y x x A y y ==-∈=-<<，所以A B =∅，故选：D.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2.复数12z i =-的虚部为( ) A. 2i B. 2i -C. 2D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念可知复数12z i =-的虚部.【详解】形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部,所以复数12z i =-的虚部为-2. 故选：D.【点睛】考查复数的概念，知识点较为基础.3.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(],0-∞上是减函数,设()20.3a f =,()2log 5b f =,()0.32c f =,则,,a b c 的大小关系是()A. b c a <<B. a b c <<C. c b a <<D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的对称性可知()f x 在[)0,+∞上为增函数；通过临界值比较出自变量的大小关系，根据单调性可得结果. 【详解】()f x 是R 上的偶函数，且在(],0-∞上为减函数 ()f x ∴在[)0,+∞上为增函数0.30222log 5log 422210.30>=>>=>>()()()0.322log 520.3f f f ∴>>，即a c b <<本题正确选项：D【点睛】本题考查根据函数单调性比较函数值大小的问题，关键是能够利用奇偶性的性质得到函数在自变量所在区间内的单调性，通过自变量大小关系的比较得到函数值的大小关系. 4.若实数x ，y 满足x +y ＞0，则“x ＞0”是“x 2＞y 2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，实数x ，y 满足x +y ＞0，若x ＞0，则未必有x 2＞y 2， 例如x ＝1，y ＝2时，有x 2＜y 2；反之，若x 2＞y 2，则x 2﹣y 2＞0，即（x +y ）（x ﹣y ）＞0；由于x +y ＞0，故x ﹣y ＞0，∴x ＞y 且x ＞﹣y ，∴x ＞0成立；所以当x +y ＞0时，“x ＞0”推不出“x 2＞y 2”，“x 2＞y 2”⇒“x ＞0”； ∴“x ＞0”是“x 2＞y 2”的必要不充分条件． 答案：B ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5.在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，则AE BF ⋅=（ ）A. 1-B. 32-C. 2-D. 52-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到12=+=+AE AB BE AB AD ，12BF BC CF AD AB =+=-，再由向量数量积的运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】因为在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，所以12=+=+AE AB BE AB AD ，12BF BC CF AD AB =+=- 1122⎛⎫∴⋅=+⋅⎛⎫ ⎪⎝-+ ⎪⎝⎭⎭AE BF A D A B A AB D 2211313222422AB AD AB AD =-++⋅=-+=-.故选：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.6.一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ） A. 14π-B.4πC. 16π-D.6π【解析】 【分析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率.【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于1为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为1的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积22214S ππ=⨯-⨯=-，故概率4144P ππ-==-. 故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.7.已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，若将()f x 的图象向左平移3π个单位后得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的图象（ ） A. 关于直线2x π=对称 B. 关于直线3x π=对称 C. 关于点(,0)2π对称 D. 关于点(,0)3π对称【答案】B 【解析】 【详解】由条件知22,w wππ=⇒= 2()2sin(2)()2sin(2())2sin(2)33f x xg x x x ππϕϕϕ=+⇒=++=++ 关于y 轴对称，可得(0)2g =±，可得2,6k k z πϕπ=-+∈ ，0ϕπ<<，所以56πϕ=，故得5()2sin(2)6f x x π=+，当,() 2.3x f x π==- 对称中心为：5,0212k k z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭C ，D ，均不正确.点睛：此题考查的是函数图像的平移和对称，周期性，先根据周期的公式得到2w =， 再根据平移公式得到()g x ，根据轴对称性得到56πϕ=，故得5()2sin(2)6f x x π=+，可以根据选项代入表达式，比如B 选项，可以带入函数判断函数值是否为最值；8.已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k 的最大值是（ ） A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-，则k 的最大值为：32故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 9.两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ） A.49B.378C.7914D.14924【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可.【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈10.已知三个实数2、b 、8成等比数列，则双曲线22219y x b-=的渐近线方程为（ ）A. 340±=x yB. 430x y ±=20y ±=D.9160x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的定义求得2b 的值，可得出双曲线的标准方程，进而可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意，三个实数2、b 、8成等比数列，可得216b =，即双曲线221916y x -=的渐近线方程为340±=x y ，故选：A.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解答的关键就是求出双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.11.定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,∞+单调递增，且()f 21-=，则()f x 21-≤的x 的取值范围是（ ） A. []0,4 B. (][),22,∞∞--⋃+ C. (][),04,∞∞-⋃+ D. []2,2-【答案】A 【解析】 【分析】先得()21f =，再根据偶函数化简()21f x -≤，即为()()22fx f -≤，由单调性可得22x -≤，运用绝对值不等式的解法可得x 的取值范围.【详解】定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞单调递增， 且()21f -=，可得()()221f f =-=，()21f x -≤，即为()()22f x f -≤，可得22x -≤， 即222x -≤-≤， 解得04x ≤≤，即x 的取值范围是[]0,4，故选A.【点睛】首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.12.已知函数(),()ln 1xf x e eg x x =-=+，若对于1x ∀∈R ，()20x ∃∈+，∞，使得()()12f x g x ＝，则12x x -的最大值为（ ）A. eB. 1-eC. 1D. 11e-【答案】D 【解析】 【分析】不妨设f(1x )=g(2x )＝a ，从而可得12x x -的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可．【详解】不妨设f(1x )=g(2x )＝a ， ∴1x e e -＝21lnx +=a ， ∴1x ＝ln(a+e)，2x ＝1a e -， 故12x x -＝ln(a+e)-1a e -，（a ＞-e ） 令h （a ）＝ln(a+e)-1a e -，h ′（a ）11a e a e-=-+， 易知h ′（a ）在（-e ，+∞）上是减函数， 且h ′（0）＝0，故h （a ）在a 0=处有最大值， 即12x x -的最大值为11e-； 故选D ．【点睛】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________．【答案】13;【解析】由题意得，1()cos()sin()424443πππππαααα+=--⇒+=-=.14.已知向量a ，b 的夹角为34π，()3,4,10a a b =-⋅=-，则b 的模长是______．【答案】22 【解析】 【分析】由平面向量模的运算及数量积的运算得：由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos =-10，即||==2，得解．【详解】由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos=-10，即||==2，故答案为2．【点睛】本题考查了平面向量模的运算及数量积的运算，属中档题．15.直角ABC 的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若球O 的表面积为12π，则球心O 到平面ABC 的距离等于__________． 【答案】1 【解析】直角ABC 的斜边CB 为ABC 所在截面小圆的直径，则该截面小圆的半径为2r =的表面积为12π可得球的半径3R ，球心O 到平面ABC 的距离221d R r =-=.16.设(),()f x g x 是定义在R 上两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】分别考查函数()f x和函数()g x图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.【详解】当(]0,2x∈时，()2()11,f x x=--即()2211,0.x y y-+=≥又()f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x与()g x的图象，要使()()f xg x=在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x=-时，函数()f x与()g x的图象有2个交点；当g()(2)x k x=+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x与()g x的图象有6个交点.当()f x与()g x图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k-+=的距离为1，即2211k kk+=+，得24k=，函数()f x与()g x的图象有3个交点；当g()(2)x k x=+过点1,1（）时，函数()f x与()g x的图象有6个交点，此时13k=，得13k=.综上可知，满足()()f xg x=在(]0,9上有8个实根的k的取值范围为1234⎡⎢⎣⎭，.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足274cos cos 2()22A B C -+= （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3b c +=，求a 的最小值． 【答案】（Ⅰ）60o A ∴= （Ⅱ）32【解析】 （Ⅰ）A B C π++=，2274cos cos 2()2(1cos )cos 22cos 2cos 322A B C A A A A ∴-+=+-=-++=， 212cos 2cos 02A A ∴-+=．1cos 2A ∴=，0A π<<，60o A ∴=．（Ⅱ）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得222bc b c a =+-．2229()39393()24b c a b c bc bc +∴=+-=-≥-=， 32a ∴≥．所以a 的最小值为32， 当且仅当32b c ==时取等号．18.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和中位数a （a 的值精确到0.01）； （2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会． （i ）你认9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii ）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？阅读时间不足8.5小时 阅读时间超过8.5小时 理工类专业 40 60 非理工类专业附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.临界值表：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）平均数9，中位数8.99；（2）（i ）按照1:2进行名额分配；理由见详解； （ii ）有.【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可（2）完成列联表，计算2K 的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可. 【详解】（1）该组数据的平均数60.0370.180.290.35100.19x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.09120.049+⨯+⨯=，因为0.030.10.20.350.680.5+++=>，所以中位数[8.5,9.5)a ∈， 由0.030.10.2(8.5)0.350.5a +++-⨯=，解得0.50.338.58.990.35a -=+≈；（2）（i ）每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配．（ii ）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200(0.030.10.2)66⨯++=人，超过8.5小时的共有20066134-=人．于是列联表为：2K 的观测值2200(40742660)4.432 3.84166134100100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K 2的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.如图1，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB AE BE CD ====，4BC ED ==，O 为BE 中点，F 为BC 中点.将ABE △沿BE 折起到A BE '的位置，如图2.（1）证明：CD ⊥平面AOF '；（2）若平面A BE '⊥平面BCDE ，求点F 到平面A EC '的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】 【分析】（1）先证CD EC ⊥，接着证CD OF ⊥，根据已知条件得AO CD '⊥，即可得结论；（2）点F 到平面A EC '的距离转化为点B 到平面A EC '的距离的一半，取A E '的中点记为H ，证明BH ⊥平面A EC '，求出BH ，即可得结论.【详解】（1）23EC =，∴222BE EC BC +=，即BE EC ⊥， ∵CDBE ，∴CD EC ⊥O 为BE 中点，F 为BC 中点.∴OF EC ∥，∴CD OF ⊥∵A B A E ''=，O 为BE 中点，∴AO BE '⊥，∴AO CD '⊥ 而AO OF O '⋂=，∴CD ⊥平面AOF'.（2）OF EC ∥∴点F 到平面AEC 的距离即为点O 到平面A EC '的距离， 即点B 到平面A EC '的距离的一半.取A E '的中点记为H ，连结BH ，则BH A E '⊥∵平面A BE '⊥平面BCDE ，且交线为BE ， 由（1）知EC BE ⊥，∴EC ⊥平面A BE '，∴EC BH ⊥， 又EC A E E '⋂=∴BH ⊥平面A EC '，BH =， ∴B 到平面A EC '∴点F 到平面A EC '【点睛】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图像，考查线面垂直以及点的面的距离，解题的关键是对空间直线与平面的位置关系定理要熟练，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,1，且离心率e =(1)求椭圆C 的方程； (2)已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点,A B ，点P 的坐标为()2,1，设直线PA 与PB 的傾斜角分别为,αβ，证明:αβπ+=.【答案】（1）22:182x y C +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得，解可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；22411a b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩（2）证明αβπ+=即证明直线PA 与PB 的斜率120k k +=，根据题意，设直线1:2l y x m =+，联立直线与椭圆的方程，将韦达定理代入1211221122y x k k y x +--+=--变形即可证明．【详解】()1由题意得22411a b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩228,2a b ==，所以椭圆的方程为：22:182x y C +=()2设直线1:2l y x m =+，由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得，222240x mx m ++-=，2248160m m =-+>解得22m -<<，当0m =时，12y x =（舍） 设()()1122,,,A x y B x y ，则212122,24x x m x x m +=-=- 由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以,2παβ≠，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k则1tan k α=，2tan k β=，要证αβπ+=，即证()tan tan tan απββ=-=-，只需证120k k +=12121211,,22y y k k x x --==-- 故()()()()()()1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=---+又111,2y x m =+2212y x m =+ 所以()()()()12211212y x y x --+--=()()122111121222x m x x m x ⎛⎫⎛⎫+--++--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()1212241x x m x x m =+-+--()()()2122422410x x m m m m =-+----=120,k k ∴+=αβπ+=【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系。
湖南省长沙市雅礼中学高三数学月考试题(七)文(含解析)
湖南省长沙市雅礼中学高三数学月考试题（七）文（含解析）数学（文科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3,4}A =，{}0,1,2,4,5B =，全集B A U ⋃=，则集合)(B A C U 中的元素共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个【答案】A 【解析】 【分析】利用交集与并集定义先求B A 与B A ，再利用补集定义求)(B A C U .【详解】由题意得{}0,1,2,3,4,5A B ⋃=，{}1,2,4A B ⋂=，所以(){}0,3,5U C A B ⋂= 故选A.【点睛】理解交集、并集、补集的概念，确定A 、B 中的公共元素、所有元素、B A 的补集中的元素，本题考查集合的基本运算.2.若复数12iz i+=，则z 等于（ ） A. 2i -- B. 2i -+C. 2i -D. 2i +【答案】D 【解析】【分析】由复数的四则运算，将复数化成bi a z +=的形式，再利用共轭复数的定义可得答案. 【详解】∵()121221i ii z i i ++===--，∴2z i =+. 故选D.【点睛】本题考查复数的计算，同时考查实部和虚部以及共轭复数，当两个复数的实部相等且虚部为相反数时称一个复数是另一个复数的共轭复数，意在考查学生对这一部分知识的掌握水平.3.已知p ：12x +>，q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≥ B. 1a ≤C. 3a ≥-D. 3a -≤【答案】A 【解析】 【分析】首先解不等式x 12+>，求出p ⌝和q ⌝对应的不等式，再根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，得到二者之间的关系，建立不等关系进而求解.【详解】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q p ⇒，而p ⇒q ，p 化简为1x >或3x <-，所以当1a ≥时，q p ⇒. 故选A.【点睛】本题考查了不等式和充分不必要条件的应用，对于充分不必要条件的考查，首先要根据题设写出命题所表示的不等式的解集，其次根据条件列出不等关系，再解不等式即可.4.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x 、y 的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中a 、b 为待定系数）（ ）A. y a bx =+B. xy a b =+ C. b ax y +=2D. b y a x=+【答案】B 【解析】 【分析】可以逐一验证,若选A ，则y 的值增加幅度应比较接近；若选C ，则x=1,-1的值应比较接近；若选D ，则x=0不可取.【详解】∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A 不成立； ∵C 是偶函数，∴1x =±的函数值应该相等，∴C 不成立； ∵0x =时，bx无意义，∴D 不成立； 对于B ，当0x =时，1y =，∴11a +=，0a =；当1x =时， 2.02y b ==，经验证它与各教据比较接近. 故选B.【点睛】函数模型的选择应充分利用函数的性质，函数的性质主要有函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像的对称性等方面.5.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A. 2-B. 2C. 4-D. 4【答案】D 【解析】解：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D 。
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷(一)文科数学试题
雅礼中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科） 命题人： 审题人：得分:本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选才i 题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.已知集合 A={x|x （x —2）<0}, B = {x|—1<x<1},则 AcB=（）A.1x | -1 ： x ： 2?B. {x | x -1 或x . 2}C. {x|0<x<1}D. {x|x<0或XA 1}2.已知复数亘3是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（）2 -iA. -2B . 2C , -D . -12223 . "2 <m <6"是“方程」一+-y —为椭圆”的（）m -2 6 -mA.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ，E-八■，-14 .如果f （x ）=ax -（2—a ）x +1在区间（-℃|,一上为减函数，则a 的取值（）A. (0,1] B .此1) C. [0,1 D . (0,1)JI< 一）图象相邻两条对称轴之间的距离为2n的图象向左平移 一个单位后，得到的图象关于3y 轴对称，那么函数y = f （x ）的图象（）JiC.关于直线X = 一对称A.关于点5.已知函数f (x ) = sin (8x +中X 。
＞0,中 IT—,将函数y = f (x )12 D.关于直线X=— -对称126.bcosC 1 cos2C在|_ABC中，右-------- = -----------ccosB 1 cos2B则［ABC的形状是（）A . 等腰三角形 B.直角三角形C. 等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7 . 若抛物线 2y =2px（p>0 ）的焦点是椭圆2 22-+上=1的一个焦点，则p3p pA.C. 4 D8.如图所示, 在斜三棱柱ABC—AB1G 中，ZBAC =90°, BC1 .L AC , 则点C1在底面ABC上的射影H必在（）A.直线AB上直线AC上B D.直线BC上C. |_ABC内部9.函数y = Jn x-x-1 的图象大致是（）A .B. 0C. D.10.已知两点A(—1,0 ),2 2 2B(1,0 )以及圆C:(x—3) +(y —4)=r2(r >0 ),若圆C上存在点P ,满足,则r的取值范围是（A, 3,6〕 B .3,5】C. U,5] D . 14,6】11.已知x2 2+ y = 4 ,在这两个实数x,y之间插人三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. 1 加B .廓C. 3J10 D . 2M2 212.已知三棱锥A — BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD _L平面ABC ,上BAC = 90，, AD = 2 ,若球。
湖南省长沙市雨花区雅礼中学2017-2018学年高三下学期月考数学试卷(理科)(六) Word版含解析
2017-2018学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣12．在等差数列{a n}中，已知a6=5，S n是数列{a n}的前n项和，则S11=（）A．45 B．50 C．55 D．603．下列中，正确的是（）A．“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x≥0”B．“p∧q为真”是“p∨q为真”的必要不充分条件C．“若am2≤bm2，则a≤b”的否为真D．若实数x，y∈[﹣1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为4．已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14=a n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则6．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1判断框中应填的语句是（）A．n＞10 B．n≤10 C．n＜9 D．n≤97．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l8．已知向量与的夹角为θ，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，则||=（）A． B．C．6 D．9．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（）A．B．C． D．10．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．16+2πB．8+2π C．16+π D．8+π11．实数x，y满足，若y≥k（x+2）恒成立，则实数k的最大值是（）A．﹣1 B． C．D．12．设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）；（2）f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1．下列四个：①g（0）=1；②g（2）=1；③f2（x）+g2（x）=1；④当n＞2，n∈N*时，[f（x）]n+[g（x）]n的最大值为1．其中所有正确的序号是（）A．①③B．②④C．②③④ D．①③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=，n=．14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是．15．F是抛物线x2=2y的焦点，A、B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=6，则线段AB的中点到x轴的距离为．=a n2﹣a n+1（n∈N*），则m=++…+的整数部分16．数列{a n}满足a1=，a n+1是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数（1）求该函数的最小正周期和取最小值时x的集合；（2）若x∈[0，π]，求该函数的单调递增区间．18．已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD 将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：C′D⊥平面ABD；（Ⅱ）求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．19．某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．20．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y=﹣的顶点为B，且经过F1，F2，椭圆C1的上顶点A满足2．（I）求椭圆C1的方程；（II）设点M满足2，点N为抛物线C2上一动点，抛物线C2在N处的切线与椭圆交于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．21．已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当，当x∈（﹣4，﹣2）时，f（x）的最大值为﹣4．（1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；（2）是否存在实数b使得不等式对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，若存在，求出实数b的取值集合，若不存在，说明理由．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1几何证明选讲]22．如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与△ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且，求四边形EBCF的面积．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．[选修4-5:不等式选讲]24．已知关于x的不等式|ax﹣2|+|ax﹣a|≥2（a＞0）（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科）（六）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用复数的乘法运算将等式化简；利用复数相等实部、虚部分别相等；列出方程求出a，b的值．【解答】解：（a+i）i=b+i即﹣1+ai=b+i∴a=1，b=﹣1故选D2．在等差数列{a n}中，已知a6=5，S n是数列{a n}的前n项和，则S11=（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的定义和性质可得S11==11a6 ，把已知条件代入运算求得结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，已知a6=5，S n是数列{a n}的前n项和，则S11==11a6=55，故选C．3．下列中，正确的是（）A．“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x≥0”B．“p∧q为真”是“p∨q为真”的必要不充分条件C．“若am2≤bm2，则a≤b”的否为真D．若实数x，y∈[﹣1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为【考点】复合的真假．【分析】选择题可以逐一判断，x2﹣x≤0”的否定应该是x2﹣x＞0”，对于B项，“p∧q为真”是“pVq为真”的充分不必要条件，对于C选项，“若am2≤bm2的否定是am2＞bm2，而a≤b的否定是a＞b”，对于D项，由几何概型，x2+y2＜1的概率为，应由对立事件的概率的知识来求x2+y2≥1的概率，【解答】解：由全称的否定是特称可知“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定应该是“∃x∈R，x2﹣x＞0”，因此选项A不正确．对于B项，p∧q为真可知p、q均为真，则有pVq为真，反之不成立，故“p∧q为真”是“pVq 为真”的充分不必要条件，因此B错误．对于选项C，“若am2≤bm2，则a≤b”的否是“若am2＞bm2，则a＞b”，显然其为真．对于D项，由几何概型可知，区域D为边长为1的正方形，区域d为1为半径，原点为圆心的圆外部分，则满足x2+y2≥1的概率为p==1﹣=，故D错误．故选：C4．已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．6．已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则+1判断框中应填的语句是（）A．n＞10 B．n≤10 C．n＜9 D．n≤9【考点】循环结构．【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，从而进行判断框即可．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构判断框内为满足循环的条件第1次循环，m=1+1=2 n=1+1=2第2次循环，m=2+2=4 n=2+1=3…当执行第10项时，n=11n的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值故答案为：n≤9或n＜10，故选D．7．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．8．已知向量与的夹角为θ，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，则||=（）A． B．C．6 D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据条件容易求出，的值，进而求出，从而得到的值，带入向量积长度的计算公式便可求出||的值．【解答】解：根据条件，=2，；∴cos=；∴；∴=．故选D．9．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（）A．B．C． D．【考点】等差关系的确定；等可能事件的概率．【分析】先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．【解答】解：9个数分成三组，共有组，其中每组的三个数均成等差数列，有{（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9）}、{（1，2，3），（4，6，8），（5，7，9）}、{（1，3，5），（2，4，6），（7，8，9）}、{（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9）}、{（1，5，9），（2，3，4），（6，7，8）}，共5组．∴所求概率为．故选A10．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．16+2πB．8+2π C．16+π D．8+π【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知几何体为一长方体上放着两个半圆柱，根据三视图的数据分别求出长方体的体积和圆柱的体积，再相加．【解答】解：由三视图知几何体为一长方体上放着两个半圆柱， 且长方体的长、宽、高分别为4、2、1， 半圆柱的半径为1，高为2，∴几何体的体积V=V 长方体+V 圆柱=4×2×1+π×12×2=8+2π． 故选B ．11．实数x ，y 满足，若y ≥k （x +2）恒成立，则实数k 的最大值是（ ）A ．﹣1B ．C ．D ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域根据直线y=k （x +2）过定点B （﹣2，0），然后分k ＜0和k ≥0分类分析得答案．【解答】解：由线性约束条件作出可行域如图， 直线y=k （x +2）过定点B （﹣2，0），当k ＜0时，y ≥k （x +2）表示的是直线y=k （x +2）右上方的区域，当﹣1≤k ＜0时，可行域内的点恒满足y ≥k （x +2）；当k ≥0时，y ≥k （x +2）表示的是直线y=k （x +2）左上方的区域，要使y ≥k （x +2）恒成立，则0≤k ≤k AB ，此时．综上可得：．∴实数k 的最大值为． 故选：D ．12．设函数f （x ），g （x ）满足下列条件：（1）对任意实数x 1，x 2都有f （x 1）•f （x 2）+g （x 1）•g （x 2）=g （x 1﹣x 2）； （2）f （﹣1）=﹣1，f （0）=0，f （1）=1． 下列四个： ①g （0）=1；②g（2）=1；③f2（x）+g2（x）=1；④当n＞2，n∈N*时，[f（x）]n+[g（x）]n的最大值为1．其中所有正确的序号是（）A．①③B．②④C．②③④ D．①③④【考点】的真假判断与应用．【分析】既然对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2），那么分别令x1，x2取1，0，﹣1求出g（0），g（1），g（﹣1），g（2），然后令x1=x2=x可得③，再根据不等式即可得④【解答】解；对于①结论是正确的．∵对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）且f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，令x1=x2=1，得[f（1）]2+[g（1）]2=g（0），∴1+[g（1）]2=g（0），∴g（0）﹣1=[g（1）]2令x1=1，x2=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g （0）﹣1]=0解方程组得对于②结论是不正确的，令x1=0，x2=﹣1，得f（0）f（﹣1）+g（0）g（﹣1）=g（1），∴g（﹣1）=0令x1=1，x2=﹣1，得f（1）f（﹣1）+g（1）g（﹣1）=g（2），∴﹣1=g（2），∴g（2）≠1 对于③结论是正确的，令x1=x2=1，得f2（x）+g2（x）=g（0）=1，对于④结论是正确的，由③可知f2（x）≤1，∴﹣1≤f（x）≤1，﹣1≤g（x）≤1∴|f n（x）|≤f2（x），|g n（x）|≤g2（x）对n＞2，n∈N*时恒成立，[f（x）]n+[g（x）]n≤f2（x）+g2（x）=1综上，①③④是正确的．故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=﹣1，n=1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B=（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．【解答】解：A={x∈R||x+2|＜3}={x∈R|﹣5＜x＜1}，又集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B=（﹣1，n）．如图由图知m=﹣1，n=1，故答案为﹣1，1．14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是[，2] ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴，等价为f（log2a）+f（﹣log2a）=2f（log2a）≤2f（1），即f（log2a）≤f（1）．∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，∴f（log2a）≤f（1）等价为f（|log2a|）≤f（1）．即|log2a|≤1，∴﹣1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故答案为：[，2]15．F是抛物线x2=2y的焦点，A、B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=6，则线段AB的中点到x轴的距离为 2.5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．【解答】解：抛物线x2=2y的焦点F（0，0.5），准线方程y=﹣0.5，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=y1+0.5+y2+0.5=6解得y1+y2=5，∴线段AB的中点纵坐标为2.5∴线段AB的中点到x轴的距离为2.5．故答案为：2.5．16．数列{a n}满足a1=，a n=a n2﹣a n+1（n∈N*），则m=++…+的整数部分是+11．【考点】数列递推式．【分析】由题设知，通过累加，得m=++…+==2﹣，由此能求出m的整数部分．【解答】解：由题设知，a n﹣1=a n（a n﹣1），+1∴==﹣，∴﹣=，通过累加，得m=++…+==2﹣．﹣a n=（a n﹣1）2≥0，由a n+1即a n≥a n，+1由a1=，a2=，a3=，∴a2015≥a2014≥a2013≥…≥a3＞2，∴a2005﹣1＞1，∴0＜＜1，∴1＜m＜2，所以m的整数部分为1．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数（1）求该函数的最小正周期和取最小值时x的集合；（2）若x∈[0，π]，求该函数的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知函数，再由正弦函数图象的性质进行解答；（2）由正弦函数的单调增区间[2kπ﹣，2kπ+]，列出关于x的不等式，求出不等式的解集，令解集中k=0和1，得到x的范围，与x∈[0，π]取交集，即可得到该函数的单调递增区间．【解答】解：（1）=（sin4x﹣cos4x）+•（2sinxcosx）=（sin2x﹣cos2x）（sin2x+cos2x）+sin2x=sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），所以T=π，函数取最小值时x的集合为{x|x=kπ﹣（k∈Z）}；…（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，…令k=0，1，得到x∈[﹣，]或x∈[，]，与x∈[0，π]取交集，得到x∈[0，]或x∈[，π]，则当x∈[0，π]时，函数的递增区间是x∈[0，]或x∈[，π]．…18．已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD 将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：C′D⊥平面ABD；（Ⅱ）求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）根据题意可得翻折成△BC'D以后线段的长度不发生变化，所以可得CD=6，BC′=BC=10，BD=8，即BC′2=C′D2+BD2，故C′D⊥BD．，再结合面面垂直的性质定理可得线面垂直．（II）根据题意建立空间直角坐标系，求出直线所在的向量与平面的法向量，再利用向量的有关知识求出两个向量的夹角，进而可求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，可知CD=6，BC′=BC=10，BD=8，即BC′2=C′D2+BD2，故C′D⊥BD．∵平面BC'D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD=BD，C′D⊂平面BC′D，∴C′D⊥平面ABD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C'（0，0，6）．∵E是线段AD的中点，∴E（4，3，0），=（﹣8，0，0），．在平面BEC′中，=（﹣4，3，0），=（﹣8，0，6），设平面BEC′法向量为=（x，y，z），∴，令x=3，得y=4，z=4，故=（3，4，4）．…设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为．19．某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求出结果．（Ⅱ）该考生所得分数X=30，35，40，45，50，分别求出P（X=30），P（X=35），P（X=40），P（X=45），P（X=50），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P（A）=，P（B）=，该考生选择题得50分的概率为：P（A）P（A）P（B）P（B）==．（Ⅱ）该考生所得分数X=30，35，40，45，50，P（X=30）==，P（X=35）==，P（X=40）=+=，P（X=45）==，P（X=50）==，∴X的分布列为：EX==．20．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y=﹣的顶点为B，且经过F1，F2，椭圆C1的上顶点A满足2．（I）求椭圆C1的方程；（II）设点M满足2，点N为抛物线C2上一动点，抛物线C2在N处的切线与椭圆交于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得抛物线的顶点，求得F1，可得c=1，再由向量共线的坐标表示，可得b=1，进而得到a，即有椭圆方程；（II）运用向量共线的坐标表示，求得PQ的斜率，设出PQ的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用二次函数的最值求法，可得最大值．【解答】解：（I）由抛物线C2：，可得，F1（﹣1，0），设椭圆的焦距为2c，则有c=1，又由可得A（0，1），∴b=1，，故椭圆C1的方程为．（Ⅱ）由知，点M为OB中点，∴．设点，由得，则k PQ=y'|x=t=﹣t，∴，联立，消去y整理得，，由△＞0，得，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可得，，，∴，∴，而点到直线PQ的距离为，所以，∵，故当t2=3时，．21．已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当，当x∈（﹣4，﹣2）时，f（x）的最大值为﹣4．（1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；（2）是否存在实数b使得不等式对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，若存在，求出实数b的取值集合，若不存在，说明理由．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．【分析】（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），设x∈（﹣4，﹣2）时，则x+4∈（0，2），代入，求出f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），再根据当x∈（﹣4，﹣2）时，f（x）的最大值为﹣4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a的值，进而求得结论；（2）假设存在实数b使得不等式对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b的值．【解答】解：（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），，设x∈（﹣4，﹣2）时，则x+4∈（0，2），所以f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）∴x∈（﹣4，﹣2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）∴，∵，∴，∴当，当，∴，∴a=﹣1∴当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣x（2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式恒成立，即为恒成立，①当x∈（0，1）时，，令则令，则当x∈（0，1）时，∴h（x）＞h（1）=0，∴，∴g（x）＜g（1）=1，故此时只需b≥1即可；②当x∈（1，2）时，，令则令，则当x∈（1，2）时，∴h（x）＞h（1）=0，∴，∴φ（x）＞φ（1）=1，故此时只需b≤1即可，综上所述：b=1，因此满足题中b的取值集合为：{1}请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1几何证明选讲]22．如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点． （1）证明：EF ∥BC ；（2）若AG 等于⊙O 的半径，且，求四边形EBCF 的面积．【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质先判断AD 是∠CAB 的平分线，再根据切线长定理得到AE=AF ，接着利用等腰三角形的性质判断AD ⊥EF ，然后根据平行线的判定可得到结论；（2）先证明AD 是EF 的垂直平分线得到O 在AD 上；连结OE ，OM ，再根据切线的性质得到OE ⊥AE ，接着证明△ABC 和△AEF 都是等边三角形，则根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系计算出OE 、AO ，再利用勾股定理计算出OD ，然后根据等边三角形的面积公式，利用四边形EBCF 的面积=S △ABC ﹣S △AEF 进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ， ∴AD 是∠CAB 的平分线，又∵☉O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ， ∴AE=AF ， ∴AD ⊥EF ， ∴EF ∥BC ；（2）解：由（1）知，AE=AF ，AD ⊥EF ， ∴AD 是EF 的垂直平分线， ∴O 在AD 上； 连结OE ，OM ， ∵AB 为切线， ∴OE ⊥AE ， ∴AG=OG=OE ， 即AO=2OE ， ∴∠OAE=30°， ∴∠EAF=60°，∴△ABC 和△AEF 都是等边三角形，∴AE=2，∴OE=AE=2，AO=2OE=4，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD ═1，∴AD=AO+OD=5，∴BD=AD=，∴AB=2BD=，∴四边形EBCF的面积=S△ABC ﹣S△AEF=•（）2﹣×（2）2=．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的方法，写出圆C的直角坐标方程；（2）设P（3+，t），利用距离公式，可得结论．【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为，可得直角坐标方程为x2+y2=2，即x2+（y﹣）2=3；（2）设P（3+，t），∵C（0，），∴|PC|==，∴t=0时，P到圆心C的距离最小，P的直角坐标是（3，0）．[选修4-5:不等式选讲]24．已知关于x的不等式|ax﹣2|+|ax﹣a|≥2（a＞0）（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，不等式为|x﹣2|+|x﹣1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2，即可求此不等式的解集；（2）原不等式的解集为R等价于|a﹣2|≥2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式为|x﹣2|+|x﹣1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2．∴x≥2.5或x≤0.5，∴不等式的解集为{x|x≥2.5或x≤0.5}．（2）∵|ax﹣2|+|ax﹣a|≥|a﹣2|，∴原不等式的解集为R等价于|a﹣2|≥2，∴a≥4或a≤0．又a＞0，∴a≥4．2016年11月4日。
湖南省长沙市雅礼中学2017届高三上学期月考(二)数学(文)试题 含答案
数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,5,6,7U A B ===，则()()UUC A C B =（ ）A ．{}4,8B ．{}2,4,6,8C ．{}1,3,5,7D ．{}1,2,3,5,6,7 2。
已知111244log log log b a c <<，则(）A ．222ba c >> B ．222ab c >> C ．222cb a >> D ．222ca b >>3.“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4。
已知曲线21y x=-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ）A ．0B ．23C ．0或23- D ．23-5。
已知函数()()sin ,2f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数C ．函数()f x 的图象关于直线0x =对称D ．函数()f x 是奇函数 6.已知0,0,2a b a b >>+=，则14y ab=+的最小值是( ）A ．72B ．4C ．92D ．57。
有下列命题：①如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合; ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α;③若直线l 平面α平行,则l 与平面α内的任一直线平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行;⑤若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任一直线都没有公共点． 其中正确命题的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8.数列{}na 满足11112,1n n n a aa a ++-==+，其前n 项的积为n T ，则2016T 的值为（ )A ．-3B ．1C ．2D ．139。
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第六次月考数学（理）试题
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第六次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ={x ∈N |x ≤3},B ={x |﹣1≤x ≤5},则A ∩B =( )A ．{1,2,3}B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{﹣1,0,1,2,3}【答案】C【解析】列举出集合A 中的运算，应用集合的交运算，即可求得结果.【详解】∵集合A ={x ∈N |x ≤3}={0,1,2,3}，B ={x |﹣1≤x ≤5}，∴A ∩B ={0,1,2,3}.故选：C.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2．若复数z 满足|z +1|+|z ﹣1|=4,则z 的最小值为( )A ．1B C D ．2 【答案】C【解析】设出复数对应复平面内对应点的坐标，根据题意，写出点满足的轨迹方程，根据椭圆的几何性质，即可求得.【详解】设z 对应的点为(x ，y )，因为|z +1|+|z ﹣1|=4 则2243x y +=1，所以 z 故选：C.【点睛】本题考查复数运算的几何意义，涉及椭圆的几何性质，属综合基础题.3．已知()()2,1,,1a b λ=--=,则λ12>-是“a 与b 的夹角为钝角”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】根据向量的夹角为钝角，则0a b ⋅<，再排除共线时λ的取值，从而进行等价转化；再结合题意进行选择即可.【详解】∵()()2,1,1a b λ=--=，，∴a 与b 的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1<0且﹣2+λ≠0，即λ12>-且λ≠2. ∴λ12>-是“a 与b 的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由向量夹角的范围求参数的范围，属综合基础题.4．函数y =xlnx 的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数自变量趋近于0和正无穷时的极限，即可作出判断.【详解】因为y =xlnx ，故可得1y lnx '=+令0y '>，可得1x e >；令0y '<，可得1x e<，故函数在区间10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 又因为当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,0lnx y <<，故排除,A B ；又1x =时，0y =，故函数在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有一个零点，故排除C . 故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及函数零点的判断，函数单调性的判断，属综合基础题. 5．在等差数列{a n }中,其公差d ≠0,若S 7=S 12,现有以下四个命题:①S 19=0；②S 10=S 9；③若d >0，则S n 有最大值；④若d >0，则S n 有最小值. 则关于这四个命题,正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①④D ．②③. 【答案】B【解析】利用等差数列的性质和前n 项和的性质，对选项进行逐一分析即可.【详解】在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7=S 12，则：a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=0，整理得5a 10=0，所以a 10=0，对①：1191919()2a a S +==19a 10=0. 对②：由S 10=S 9；整理得a 10=0.对③和④：若d >0，则有S n ()2111()222n n d d na d n a n -=+=+-， 所以S n 有最小值.故①②④正确.故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式的性质和前n 项和的性质，属基础题.6．甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为( )A ．56B ．12C ．13D ．23【答案】A【解析】利用排列组合求出所有基本事件的个数，以及满足题意的事件个数，用古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】∵甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n 4424A ==，甲､乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m 422422A A A =-=20，∴甲,乙两人中至少有一人站在两端的概率为： P 205246m n ===. 故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，涉及排列组合，属综合基础题.7．在空间中，a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥bB ．若a ⊂α，b ⊂β，α⊥β，则a ⊥bC ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β【答案】D【解析】根据线线、线面、面面的位置关系逐一判断.【详解】对于A ，若a c ⊥，b c ⊥，则a 与b 可能平行、异面、相交，故A 是假命题； 对于B ，设m αβ=，若a ，b 均与m 平行，则//a b ，故B 是假命题； 对于C ，a ，b 可能平行、异面、相交，故C 是假命题；对于D ，若//αβ，a α⊂，则a 与β没有公共点，则//a β，故D 是真命题. 故选：D【点睛】本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知变量x ,y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+,且变量x ,y 之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是( )A ．变量x ,y 之间呈现负相关关系B ．可以预测,当x =20时,y =﹣3.7C ．m =4D ．该回归直线必过点(9,4) 【答案】C【解析】根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择.【详解】对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为0.710.3y x =-+，b =﹣0.7<0，故负相关.对于B ：当x =20时，代入可得y =﹣3.7对于C ：根据表中数据：()16810124x =+++=9. 可得0.7910.3y =-⨯+=4.即()163244m +++=， 解得：m =5. 对于D ：由线性回归方程一定过(x y ，)，即(9，4). 故选：C.【点睛】本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题. 9．1010cos sin ︒-︒4cos 10°=( )A ．1B C D ．2 【答案】C【解析】将原式通分，利用辅助角公式以及正弦的和角公式进行整理化简，即可求得.【详解】原式()10230101022010101010cos sin cos sin sin sin sin ︒-︒-︒︒-︒︒====︒︒︒故选：C.【点睛】本题考查三角恒等变换，涉及辅助角公式和正弦的和角公式，属基础题.10．设12243,5,2a log b log c ===,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >>a 【答案】A【解析】利用对数函数的单调性，结合指数式和对数式的转化，即可比较大小.【详解】32224325log log log log >>=， ∴32a b >>， 又4132444354232log log <=<<， ∴.a c b >>故选：A.【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小，属基础题.11．在数列{a n }中,a 1=a ,a n +1=2a n ﹣1,若a n 为递增数列,则a 的取值范围为( ) A ．a >0B ．a >1C ．a >2D ．a >3 【答案】B【解析】根据题意，通过构造数列法求得通项公式，再根据数列为增数列，求得参数范围.【详解】∴a n +1=2a n ﹣1，∴a n +1﹣1=2(a n ﹣1)，∴1121n n a a +-=-， 又∵a 1﹣1=a ﹣1，∴数列{a n ﹣1}是首项为a ﹣1，公比为2的等比数列，∴()1112n n a a --=-， ∴()1121n n a a -=-+，又∵{a n }为递增数列，∴()()()1111212122n n n n n a a a a a -+-=---=->0， ∴10a ->，∴1a >，故选：B.【点睛】 本题考查构造数列法求数列的通项公式，以及由数列的单调性求参数的范围.12．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在一点P ,使2112sin sin PF F c PF F a ∠=∠,则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A．(1,1B ．(1,2] C．()1++∞ D ．[2,+∞) 【答案】A【解析】将目标式进行转化，利用双曲线的性质，将一条焦半径用,a c 表示出来，根据焦半径的范围，即可求得离心率的范围.【详解】设P 在右支上，设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m ﹣n =2a ， 又因为2112sin PF F c m sin PF F a n ∠==∠，可得c a m n a n--=， 所以2a c a n a -=，所以n 22a c a=>-c ﹣a ， 即c 2﹣2ac ﹣a 2<0，即e 2﹣2e ﹣1<0，解得11e <<由于e >1，所以可得11e <<故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，涉及焦半径的范围，双曲线的性质，属中档题；处理问题的关键是要能够找到范围的来源.二、填空题13．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.【答案】5-【解析】【详解】试题分析：由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,4Β；由30{30x x y -=+-=得30x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．14．点P 为椭圆2222:1(1)1x y C a a a +=>-上的任意一点，AB 为圆22:(1)1M x y -+=的任意一条直径,若PA PB ⋅的最大值为15,则a =_____.【答案】3【解析】利用向量的运算，将目标式转化为21PM =-，再根据焦半径的范围，即可找到取得最大值时的条件，据此即可求得结果.【详解】圆M ：(x ﹣1)2+y 2=1的圆心M (1,0)，半径为1，AB 为圆M 的直径，可得MB MA =-，椭圆C ：22221x y a a +=-1(a >1)的焦点为(﹣1,0)，(1,0)， 则PA PB ⋅=(PM MA +)⋅()PM MB +=(PM MA +)⋅(PM MA -)=2221PM MA PM -=-， 又P 为椭圆上一点，M 为椭圆的右焦点，可得21PM -≤(a +c )2﹣1=15，当P 为椭圆的左顶点(﹣a ,0)，上式取得等号，则a +c =4，又c =1，可得a =3.故答案为：3.【点睛】本题考查向量的运算，焦半径的范围问题，属综合性中档题.15．在(x +y +z )6的展开式中,所有形如x 3y a z b (a ∈N ,b ∈N )的项的系数之和为_____.【答案】160【解析】根据目标式x 3y a z b 的来源，只需求解y a z b 项的所有系数之和与36C 的乘积即可.【详解】(x +y +z )6表示6个因式(x +y +z )的乘积，其中有3个因式都取x ，得336C x ⋅， 另外的三个因式取y 或z ，即可得到形如x 3y a z b (a ∈N ，b ∈N )的项.而(y +z )3的各项系数和为23，故所有形如x 3y a z b (a ∈N ，b ∈N )的项的系数之和为36C ⋅23=160，故答案为：160.【点睛】本题考查二项展开式中某一类项的系数之和，属中档题.16．函数18()0sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值为_____.【答案】【解析】对函数求导，利用三次方公式进行整理化简，令()0f x '=，根据函数单调性，即可求得最小值.【详解】()()()2233222224288'()()sinx cosx sin x sinxcosx cos x cosx sinx sin x cos x f x sin x cos x sinxcosx sinxcosx -++--=+==，由()'0f x =可得2cosx sinx =即tanx 12=， 又因为0<x 12π<， 根据导数与单调性的关系可知，当tanx 12=时，函数取得最小值， 此时sinx =cosx =，故f (x )min故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，属基础题.三、解答题17．△ABC 中,角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ,已知(a +b )(sinA ﹣sinB )=(c ﹣b )sinC . （1）求角A 的大小；（2）求b c a+的取值范围. 【答案】（1）3A π=.（2）(1,2]【解析】（1）利用正弦定理，将角化边，反凑余弦定理，即可求得；（2）由余弦定理，结合均值不等式，以及两边之和大于第三边，即可求得范围.【详解】（1）∵()()().a b sinAsinB c b sinC +=﹣﹣ 由正弦定理可得：()()().a b a b c b c +-=-化为b 2+c 2﹣a 2=bc ，由余弦定理可得：222122b c a cosA bc +-==， ∵A ∈(0,π)，∴A 3π=.（2）∵A 3π=，∴a 2=b 2+c 2﹣bc 2()2b c +≥-(2b c +)22()4b c +=， ∴(b c a+)2≤4， ∴b c a +≤2，可得b c a +的最大值为2， 又b c a +>，∴b c a+的取值范围为(1,2]. 【点睛】本题考查利用正弦定义将角化边，以及余弦定理的应用，涉及均值不等式求最值，属综合性中档题.18．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,所有棱长均为2，∠AA 1D 1=∠AA 1B 1=60°，∠D 1A 1B 1=90°.（1）求证:A 1C ⊥B 1D 1；（2）求对角线AC 1的长；（3）求二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值的大小.【答案】（1）证明见详解；（2）2；（33【解析】（1）根据题意，先证明B 1D 1⊥平面A 1ACC 1，再根据线面垂直推证线线垂直即可；（2）由AO ⊥平面1111D C B A 推证出1AOC 为直角三角形，再用勾股定理求解即可； （3）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再根据向量夹角的求解公式，即可求得.【详解】（1）证明：∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2，∴AD 1=AB 1=2，连结A 1C 1，B 1D 1，交于点O ，连结AO ，如下图所示：∵∠AA 1D 1=∠AA 1B 1=60°，∠D 1A 1B 1=90°.∴AO ⊥B 1D 1， ∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴B 1D 1⊥A 1C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1ACC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴B 1D 1⊥A 1C .（2）在△AB 1D 1中，AO 2=，又12AO =，AA 1=2， ∴22211AO A O A A +=，∴AO ⊥A 1O ， ∵AO ⊥B 1D 1，∴AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴AO ⊥OC 1，∴AC 1221AO OC =+=2.（3）由（2）知AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，以点O 为原点，OA 1为x 轴，OB 1为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，A 2)，B 12,0)，C 1(2-,0,0)，1AB =2,2，1AC =(2-2-)，设平面AB 1C 1的法向量(),,m x y z = 则11220220m AB y z m AC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取x =1，得m =(1,﹣1,﹣1)，平面AB 1D 1的法向量n =(1,0，0)，设二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角为θ，则cosθ33m nm n ⋅==. ∴二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值为33. 【点睛】本题考查由线面垂直推证线线垂直，以及利用线面垂直求线段的长度，涉及用向量法求解二面角的大小，属综合性中档题.19．已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ，且该双曲线过点(2,2). （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1､F 2分别为双曲线的左､右焦点,过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程.【答案】（1）221312x y -=.（2）223x y += 【解析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，根据点在双曲线上，求出参数值，即可得到结果；（2）根据题意，由三角形全等，结合双曲线的定义，推出点P 满足的条件，根据圆的定义，即可写出其轨迹方程.【详解】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y =±2x ， 则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2=λ，(λ≠0)，点(2,2)代入得：λ=12，则双曲线方程为：4x 2﹣y 2=12， 即22312x y -=1. （2）∵F 1,F 2是双曲线22312x y -=1的左右焦点， 过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ，并且交AF 1于Q ，连接OP ，如下图所示：则11,2OP FQ OP =//1F Q ， 显然2AQP AF P ∆≅∆故|AQ |=|AF 2|，∴|F 1Q |=|AF 1|﹣|AQ |=|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，∴|OP |=a 3=由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 3所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2=3.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，以及圆方程的求解，涉及双曲线的定义，属综合基础题. 20．已知函数f (x )=lnx ﹣ax +a ,a ∈R .（1）求f (x )的单调区间；（2）当x ≥1时，恒有g (x )=(x +1)f (x )﹣lnx ≤0恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当a ≤0时，函数的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间；当a >0时，函数的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）12a ≥. 【解析】（1）求导，对参数进行分类讨论，求出对应情况下的单调区间即可；（2）求出()g x 的导函数，进行二次求导，通过讨论导数的正负，判断函数()g x 的单调性，结合题意即可进行求解.【详解】（1）函数的定义域(0,+∞)，()11'ax f x a x x-=-=， (i )当0a ≤时，()0f x '>恒成立，f (x )在(0,+∞)上单调递增；(ii )当a >0时，由()0f x '>可得，10x a <<，此时函数单调递增， 由()0f x '<可得，x 1a>，此时函数单调递减. 故当a ≤0时，函数的单调增区间为()0,∞+，无单调减区间；当a >0时，函数的单调增区间为10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，函数的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）当x ≥1时，g (x )=(x +1)(lnx ﹣ax +a )﹣lnx =xlnx ﹣ax 2+a ， ()'g x =lnx +1﹣2ax ，令h (x )=lnx +1﹣2ax ，则()1'2h x a x=-. (i )当a ≤0时，()'h x >0恒成立，h (x )在[1,+∞)上单调递增.h (x )≥h （1）=1﹣2a >0，即()'g x >0，故g (x )在[1,+∞)上单调递增，g (x )≥g （1）=0，不合题意；(ii )当0<a 12<时，h (x )在[1,12a]上单调递增， ()()1h x h ≥=1﹣2a >0，此时g (x )在[1,12a]上单调递增，所以g (12a)>g （1）=0，不合题意； (iii )当a 12≥时，()'0h x ≤，h (x )在[1,+∞)上单调递减， 所以()()1120h x h a ≤=-<，故()'g x ≤0，所以g (x )在[1,+∞)上单调递减，所以g (x )≤g （1）=0，所以g (x )≤0恒成立.综上所述，a 的取值范围为12a ≥. 【点睛】本题考查对含参函数单调性的讨论，以及根据恒成立问题求参数范围的问题，涉及二次求导，属综合性中档题.21．现有甲､乙､丙､丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙､丙､丁中的任何一个人，依此类推.（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）设经过n 次传球后，球落在甲手上的概率为a n ，（i ）求a 1,a 2,a n ；（ii ）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲､乙､丙､丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由. 【答案】（1）分布列见详解，数学期望为2227；（2）(i )1121111 0,,()3443n n a a a -===-⨯-；(ii )球落在甲､乙､丙､丁每个人手上的概率相等，都是14，理由见详解. 【解析】（1）根据题意，写出ξ的取值，求得分布列，根据分布列即可写出数学期望；（2）(i )计算出12,a a ，推导出n a 与1n a -之间的关系，构造等比数列，求得通项公式即可；(ii )根据n a 的极限，结合每次传球等可能传递的特点，即可进行说明.【详解】（1）由题意得ξ的取值为0，1，2，P (ξ=0)222833327=⨯⨯=， P (ξ=1)12212211611333333327=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (ξ=2)1111339=⨯⨯=， ∴ξ的分布列为：∴E (ξ)8161220122727927=⨯+⨯+⨯=. （2）(i )由题意可知，12103a a ==，， a n ()1113n a -=-，n ≥2， ∴a n 1143-=-(114n a --)，(n ≥2)， ∴a n 14-=(114a -)×113n -⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴a n 1111()443n -=-⨯-. (ii )由(i )可知，当n →+∞时，a n →14， ∴当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数14， 又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，∴球落在每个人手上的概率都相等，∴球落在乙､丙､丁手上的概率为(114-)÷314=， ∴随着传球的次数足够多，球落在甲､乙､丙､丁每个人手上的概率相等，都是14. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，涉及构造数法求通项公式，涉及归纳推理的数学思想，属综合性中档题.22．已知直线l 的参数方程为132x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为22918sin ρθ=+. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线C 交于A ､B 两点,P (1,3)，求11PA PB+的值.【答案】（1）y =2x +1，2219x y +=.（2【解析】（1）消去参数t ，即可求得直线l 的普通方程；利用公式，即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）求得直线的标准参数方程，联立曲线C 的普通方程，得到关于t 的一元二次方程，利用参数t 的几何意义，即可求得结果.【详解】（1）直线l 的参数方程为 132x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 消去参数，可得直线l 的普通方程y =2x +1， 曲线C 的极坐标方程为22918sin ρθ=+，即8ρ2sin 2θ+ρ2=9， ∴x 2+y 2+8y 2=9， ∴曲线C 的直角坐标方程为29x +y 2=1. （2）直线的参数方程改写为13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 代入29x +y 2=1， 可得375t2t +73=0， 故t 1+t25=，t 1t 273375=， ()121211||t t PA PB t t -++===∴当直线l 与曲线C相交时，1173PA PB +=. 【点睛】 本题考查参数方程化为普通方程，以及将极坐标方程化为直角坐标方程，涉及直线参数方程中参数的几何意义，属综合基础题.23．已知函数f (x )=|x ﹣1|+|2x ﹣6|(x ∈R )，记f (x )的最小值为c .（1）求c 的值;（2）若实数a ､b 满足a >0,b >0，a +b =c ，求2211a b a b +++的最小值. 【答案】（1）2；（2）1.【解析】（1）根据绝对值的几何意义，将问题理解为数轴上点到1，3，3距离的最小值即可求得；（2）根据（1）中所求结果，配凑出使用均值不等式的条件，利用均值不等式即可求得.【详解】（1）f (x )=|x ﹣1|+|2x ﹣6=|x ﹣1|+|x ﹣3|+|x ﹣3|，f (x )表示数轴上的点到数轴上1,3,3对应点的距离之和.∴f (x )min =f （3）=2，∴c =2.（2）∵a +b =2， ∴221114a b a b +=++[(a +1)+(b +1)](2211a b a b +++) 14=[a 2+b 2()()221111b a a b a b ++++++]14≥(a 2+b 2+2ab )14=(a +b )2=1； 当且仅当()()2221111a b b a a b a b +=⎧⎪⎨++=⎪++⎩，即11a b =⎧⎨=⎩时，有最小值1. 【点睛】本题考查含绝对值的函数的最值的求解，以及均值不等式求最值，属综合基础题.。
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2020届湖南省长沙市雅礼中学2017级高三第六次月考
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
(解析版)
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.集合{}13A x x =<<,集合{}2,B y y x x A ==-∈,则集合A B =（ ） A. {}13x x << B. {}13x x -<< C. {}11x x -<< D. ∅ 【答案】D
【解析】
求出集合B ,利用交集的定义可求得集合A B . 【详解】因为{}13A x x =<<,{}{}2,11B y y x x A y y ==-∈=-<<,所以A B =∅,
故选：D.
2.复数12z i =-的虚部为( )
A. 2i
B. 2i -
C. 2
D. -2
【答案】D
【解析】
根据复数的概念可知复数12z i =-的虚部.
【详解】形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数,a 和b 分别叫它的实部和虚部,
所以复数12z i =-的虚部为-2.
故选：D.
3.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(],0-∞上是减函数,设
()20.3a f =,()2log 5b f =,()0.32c f =,则,,a b c 的大小关系是()
A. b c a <<
B. a b c <<
C. c b a <<
D. a c b << 【答案】D
【解析】
根据偶函数的对称性可知()f x 在[)0,+∞上为增函数；通过临界值比较出自变量的大小关系,根据单调性可得结果.
【详解】()f x 是R 上的偶函数,且在(],0-∞上为减函数 ()f x ∴在[)0,+∞上为增函数 0.30222log 5log 422210.30>=>>=>>
()()()0.322log 520.3f f f ∴>>,即a c b <<
本题正确选项：D
4.若实数x ,y 满足x +y ＞0,则“x ＞0”是“x 2＞y 2”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
根据充分条件、必要条件的判定方法,结合不等式的性质,即可求解,得到答案．
【详解】由题意,实数x ,y 满足x +y ＞0,若x ＞0,则未必有x 2＞y 2,
例如x ＝1,y ＝2时,有x 2＜y 2；
反之,若x 2＞y 2,则x 2﹣y 2＞0,即（x +y ）（x ﹣y ）＞0；
由于x +y ＞0,故x ﹣y ＞0,∴x ＞y 且x ＞﹣y ,∴x ＞0成立；
所以当x +y ＞0时,“x ＞0”推不出“x 2＞y 2”,“x 2＞y 2”⇒“x ＞0”；
∴“x ＞0”是“x 2＞y 2”的必要不充分条件．
答案：B ．
5.在长方形ABCD 中,2AB =,1AD =,点E 为BC 的中点,点F 为CD 的中点,则AE BF ⋅=。