长沙市雅礼中学理科实验班招生考试数学试题
2012雅礼省理科实验班考试
雅礼理科实验班考试试题（复试）1__________. 2．555的末尾三位数字是________.3．将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为_______.4．某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了 一个两位数ab cd 与，结果所得到的六位数28abcd 恰是一个完全立方数，则ab cd +=________.5．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，由两条含0120圆心角的弓形弧 AOB ， AOC 及边BC 所围成的（火炬形）阴影部分的面积是 .6．已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则b a a a b b+的值为________. 7．如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ，那么x +y 等于_______.8．一个一次函数图象与直线59544y x =+平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有_____个.9．已知21()()()4b c a b c a -=--且0a ≠，则b c a+＝ . 10．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2222y x ab xy b a ________.11．设a 为整数,使得关于x 的方程a 2x -(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根.12．为丰富学生的校园文化生活，振兴中学举办了一次学生才艺比赛，三个年级都有男、女各一名选手进入决赛，初一年级选手编号为男1号、女1号，初二年级选手编号为男2号、女2号，初三年级选手编号为男3号、女3号。
比赛规则是男、女各一名选手组成搭档展示才艺。
(1)用列举法说明所有可能出现搭档的结果；(2)求同一年级男、女选手组成搭档的概率；(3)求高年级男选手与低年级女选手组成搭档的概率13．如图，O、H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边的中点，由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E是F.证明：D、E、F三点共线.14．120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？。
雅礼中学理科数学试题(八)+解析
3
20.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的顶点是椭圆 该椭圆右焦点重合。 （Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
x2 y2 1 的中心，且焦点与 43
（Ⅱ）若 P(a,0) 为 x 轴上一动点，过 P 点作直线交抛物线 C 于 A、B 两点。
（ⅰ）设 SAOB t tan AOB, 试问：当 a 为何值时，t 取得最小值，并求此最小值。
3.下列说法正确的是（ ）
A. a R," 1 1" 是 "a 1" 的必要不充分条件 a
B. “ p q 为真命题”是“ p q 为真命题”的必要不充分条件
C. 命题 "x R ,使得 x2 2x 3 0" 的否定是 "x R , x2 2x 3 0"
D.命题 p : "x R, sin x cos x 2 "，则 p 是真命题
4. 右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入 a 的值
为16 ， b 的值为 24 ，则执行 该程序框图输出的结果为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5. 已知直线 a 与直线 b 垂直， a 平行于平面 ，则 b 与平面 的位置关系是（ ）
A． b //
B． b
C． b 与平面 相交 D．以上都有可能
1 b2
1
11. 如图，在 ABC 中， AD AB, BC 3BD, AD 1，
则 AC AD 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．已知抛物线 C ： y2 8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点，直线 PF 与曲线 C 相
【冲刺实验班】湖南长沙市雅礼中学中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析
中学自主招生数学试卷一、填空题（本大题共10小题，共60.0分）1.计算：|-3|+（+π）0-（-）-2-2cos60°=______．2.化简：（-）÷得______，当a=-2+，其值是______．3.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，则α，β，γ三者之间的等量关系是______．4.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则在45°，60°，75°，85°四个角度中，∠AMB的度数不可能是______．5.已知关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是______．6.如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0）和y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为______．7.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为______．8.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则EF的值为______．9.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③9a-3b+c=0；④若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a-2b+c＜0．其中正确的序号有______．10.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是______．二、解答题（本大题共4小题，共60.0分）11.为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了______名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是______°；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．12.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．13.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．14.如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB-BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x=______；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．答案和解析1.【答案】-1【解析】解：|-3|+（+π）0-（-）-2-2cos60°=3+1-4-2×=-1故答案为：-1．首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．2.【答案】【解析】解：原式=÷=，当a=-2+时，∴原式==，故答案为：，．根据分式的运算法则进行化简后，将a的值代入原式即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．3.【答案】γ=2α+β【解析】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．4.【答案】85°【解析】解：∵B是的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故答案为：85°．根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理求得∠AOB的度数是关键．5.【答案】2【解析】解：∵关于x的一元二次方mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞-1且m≠0．∵x1、x2是方程mx2-（m+2）x+=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=，∵+=4m，∴=4m，∴m=2或-1，∵m＞-1，∴m=2．故答案是：2．先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=，结合+=4m，即可求出m的值．本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记x1+x2=-，x1•x2=．6.【答案】8【解析】解：设：A、B、C三点的坐标分别是A（，m）、B（，m），则：△ABC的面积=•AB•y A=•（-）•m=4，则k1-k2=8．故答案为8．△ABC的面积=•AB•y A，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．7.【答案】（6053，2）【解析】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+12×504=6053，∴P2017（6053，2），故答案为（6053，2）．首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．8.【答案】【解析】解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设EF=x，则BP=x，DF=DE-EF=4-x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=3-x，∴AF=AB-BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4-x）2，∴x=∴EF=故答案为：根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得EF的长．本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．9.【答案】②③⑤【解析】解：①∵a＞0，∴b＞0，∵c＜0，∴abc＜0，故①错误．②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故②正确．③∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=-1，∴抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0），∴9a-3b+c=0，故③正确．④∵点（-0.5，y1）在抛物线上，对称轴为x=-1，∴（-1.5，y1）也在抛物线上，∵-1.5＞-2，且（-1.5，y1），（-2，y2）都在对称轴的左侧，∴y1＜y2，故④错误．⑤：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），∴-=-1，a+b+c=0，∴b=2a，c=-3a，∴5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，∴⑤正确．故正确的判断是②③⑤．故答案为②③⑤．①根据二次函数：①a＞0，b＞0，c＜0，据此判断即可；②根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；③由图象可知抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为x=-1，进而确定另一个交点，然后判断即可；④结合二次函数对称轴分别确定其增减性判断即可；⑤根据对称轴为x=-1可得-=-1，进而可得b=2a，c=-3a，a-2b+c=5a-4a-3a=-2a ＜0．本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．10.【答案】5【解析】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2-x，∴△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1-=，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故答案为：5．根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．11.【答案】2000 108【解析】解：（1）被调查的人数为：800÷40%=2000（人），C组的人数为：2000-100-800-200-300=600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°，故答案为：2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：=．（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）根据C组的人数，补全条形统计图；（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．12.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．【解析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．13.【答案】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x-3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=-，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-（x-3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y=1.8时，有-（x-3）2+5=1.8，解得：x1=-1，x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=-（x-3）2+5=．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴0=-×162+16b+，解得：b=3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+3x+=-（x-）2+．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．【解析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．14.【答案】s【解析】解：（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，∴2x=2（2-2x），∴x=s．故答案为s．（2）①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．y=2x×x=2x2．②如图2中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．y=（2-x+2x）×x=x2+x③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．y=（2-x+2）×[x-2（x-1）]=x2-3x+4；综上所述，y=．（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．则有：tan∠EAB=tan∠QPB，∴=，解得x=．②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．此时tan∠DEA=tan∠QPB，∴=，解得x=，综上所述，当x=或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，由此构建方程即可解决问题；（2）分三种情形分别求解即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题；本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程中学自主招生数学试卷一、填空题（本大题共10小题，共60.0分）15.计算：|-3|+（+π）0-（-）-2-2cos60°=______．16.化简：（-）÷得______，当a=-2+，其值是______．17.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，则α，β，γ三者之间的等量关系是______．18.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则在45°，60°，75°，85°四个角度中，∠AMB的度数不可能是______．19.已知关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是______．20.如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0）和y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为______．21.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为______．22.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则EF的值为______．23.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③9a-3b+c=0；④若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a-2b+c＜0．其中正确的序号有______．24.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是______．二、解答题（本大题共4小题，共60.0分）25.为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了______名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是______°；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．26.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．27.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．28.如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB-BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x=______；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．答案和解析1.【答案】-1【解析】解：|-3|+（+π）0-（-）-2-2cos60°=3+1-4-2×=-1故答案为：-1．首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．2.【答案】【解析】解：原式=÷=，当a=-2+时，∴原式==，故答案为：，．根据分式的运算法则进行化简后，将a的值代入原式即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．3.【答案】γ=2α+β【解析】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．4.【答案】85°【解析】解：∵B是的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故答案为：85°．根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理求得∠AOB的度数是关键．5.【答案】2【解析】解：∵关于x的一元二次方mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞-1且m≠0．∵x1、x2是方程mx2-（m+2）x+=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=，∵+=4m，∴=4m，∴m=2或-1，∵m＞-1，∴m=2．故答案是：2．先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=，结合+=4m，即可求出m的值．本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记x1+x2=-，x1•x2=．6.【答案】8【解析】解：设：A、B、C三点的坐标分别是A（，m）、B（，m），则：△ABC的面积=•AB•y A=•（-）•m=4，则k1-k2=8．故答案为8．△ABC的面积=•AB•y A，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．7.【答案】（6053，2）【解析】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+12×504=6053，∴P2017（6053，2），故答案为（6053，2）．首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．8.【答案】【解析】解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设EF=x，则BP=x，DF=DE-EF=4-x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=3-x，∴AF=AB-BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4-x）2，∴x=∴EF=故答案为：根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得EF的长．本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．9.【答案】②③⑤【解析】解：①∵a＞0，∴b＞0，∵c＜0，∴abc＜0，故①错误．②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故②正确．③∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=-1，∴抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0），∴9a-3b+c=0，故③正确．④∵点（-0.5，y1）在抛物线上，对称轴为x=-1，∴（-1.5，y1）也在抛物线上，∵-1.5＞-2，且（-1.5，y1），（-2，y2）都在对称轴的左侧，∴y1＜y2，故④错误．⑤：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），∴-=-1，a+b+c=0，∴b=2a，c=-3a，∴5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，∴⑤正确．故正确的判断是②③⑤．故答案为②③⑤．①根据二次函数：①a＞0，b＞0，c＜0，据此判断即可；②根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；③由图象可知抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为x=-1，进而确定另一个交点，然后判断即可；④结合二次函数对称轴分别确定其增减性判断即可；⑤根据对称轴为x=-1可得-=-1，进而可得b=2a，c=-3a，a-2b+c=5a-4a-3a=-2a ＜0．本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．10.【答案】5【解析】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2-x，∴△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1-=，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故答案为：5．根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．11.【答案】2000 108【解析】解：（1）被调查的人数为：800÷40%=2000（人），C组的人数为：2000-100-800-200-300=600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°，故答案为：2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：=．（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）根据C组的人数，补全条形统计图；（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．12.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．【解析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．13.【答案】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x-3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=-，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-（x-3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y=1.8时，有-（x-3）2+5=1.8，解得：x1=-1，x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=-（x-3）2+5=．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴0=-×162+16b+，解得：b=3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+3x+=-（x-）2+．。
2022-2023雅礼实验中学 初三入学考试 数学试卷(含答案)
雅礼实验中学2022-2023年九年级上学期入学考试一．选择题（每小题3分，共30分）1.下列是一元二次方程的是（）A.﹣5x +2＝1B.2x 2﹣y +1＝0C.x 2+2x ＝0D.x 2﹣21x ＝02.为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查．那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）A.中位数B.平均数C.众数D.加权平均数3.在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，若∠B ＋∠C ＝90°，则下列等式中成立的是（）A .a 2＋b 2＝c 2B.b 2＋c 2＝a 2C.a 2＋c 2＝b 2D.b ＋c ＝a4.一次函数y ＝－3x －2的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是直线(1)2y m x =-+上的两点，当12x x <时，有12y y >，则m 的取值范围是()A.1m > B.1m < C.1m ≠ D.0m <6.将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）.A.22(2)3y x =++； B.22(2)3y x =-+；C.22(2)3y x =--；D.22(2)3y x =+-.7.如图，矩形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，120,2∠=︒=AOB AD ，则矩形ABCD 的面积是（）A.2B. C. D.88.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=5cm ，接着把活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC 的长为（）A.5cmB.C.10cmD.15cm9.新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x 人，则x 为（）A.14B.15C.16D.1710.如图所示是抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象，其顶点坐标为()1,n ，且与x 轴的一个交点在点()3,0和()4,0之间，则下列结论：其中正确的结论个数是（）①0a b c -+>；②30a c +>；③()24b a c n =-；④一元二次方程21ax bx c n ++=+没有实数根．A .1个B.2个C.3个D.4个7题图8题图10题图二．填空题（每小题3分，共18分）11.若函数12m y x +=是正比例函数，则常数m 的值是___________．12.数组3，5，6，7，9的方差是____．13.菱形的两条对角线的长是方程x 2﹣7x +4＝0的两根，则菱形的面积是_____________．14.函数y ＝kx 与y ＝6﹣x 的图象如图所示，则不等式6﹣x ≥kx 的解集为_____．15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连接DE ，F 为DE 的中点，连接BF ，若BF ＝3，则BC 的长为_______________．16.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，点P 是边BC 上一动点，点D 在边AB 上，且BD=14AB ，则PA+PD 的最小值为________．14题图15题图16题图三．解答题（共9小题，共72分）17.计算：()113.1412π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭．18.解方程：（1）2230x x +-=；（2）22540x x -+=19.如图，一次函数3y x =+的图象1l 与x 轴相交于点B ，与过点()3,0A 的一次函数的图象2l 相交于点()1,C m ．（1）求一次函数图象2l 相应的函数表达式；（2）求ABC 的面积．20.为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：根据以上信息，解答下列问题（1）这个班共有男生________人，共有女生________人；（2）求初二1班女生体育成绩的众数是________，男生体育成绩的中位数是________；（3）若全年级有900名学生，体育测试9分及以上的成绩为A 等，试估计全年级体育测试成绩达到A 等的有多少名学生？21.已知关于x 的一元二次方程()230x mx m --﹣＝．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x 、2x ，且22121213x x x x +﹣＝，求m 的值．22.如图，矩形ABCD 中，点E 为边AB 上任意一点，连接CE ，点F 为CE 的中点，过点F 作MN CE ⊥，MN 与AB 、CD 分别相交于点M 、N ，连接CM 、EN ．（1）求证：四边形CNEM 为菱形；（2）若10AB =，4=AD ，当2AE =时，求EM 的长．23.“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x （元/千克）12162024日销售量y （千克）220180140m（注：日销售利润=日销售量⨯（销售单价-成本单价）（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）；（2）根据以上信息，填空：①m=_______千克；②当销售价格x=_______元时，日销售利润W最大，最大值是_______元；（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．24.二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线y m，我们称y m叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为，这个抛物线的2阶变换的表达式为．（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′＝（x﹣1）2+5．①二次函数M的函数表达式为．②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，在抛物线y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在点P，使点P与直线AB的距离最短，若存在，求出此时点P的坐标．（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC 是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值．25.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，10速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0t（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？答：；（直接填空，不用说理）（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．参考答案一．选择题（每小题3分，共30分）1.C2.C3.B4.A5.B6.B7.C8.B9.A10.D二．填空题（每小题3分，共18分）11.012.413.214.x ≤215.16.三．解答题（共9小题，共72分）17.解：原式)121121=+--=+-=18.（1）2230x x +-= ，(3)(1)0x x ∴+-=，则30x +=或10x -=，解得123,1x x =-=；（2）22540x x -+=a =2，b =－5，c =4，()25424253270=--⨯⨯=-=-< ∴方程无实数根．19.（1）解：（1）∵点()1,C m 在一次函数3y x =+的图象上，∴134m =+=，∴点()1,4C ，设一次函数图象2l 相应的函数表达式为y kx b =+，把点()3,0A ，()1,4C 代入得：304k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数图象2l 相应的函数表达式26y x =-+；（2）解：∵一次函数3y x =+的图象1l 与x 轴交于点B ，∴当0y =时，03x =+，解得3x =-，∴()3,0B -，∵()3,0A ，()1,4C ，∴6AB =，∴164122ABC S =⨯⨯= ．20.（1）解：由男生的条形统计图得：男生人数为：12635320+++++=人，则女生为452025-=人，∴这个班共有男生20名，女生25名；（2）从扇形统计图中可以看出，8分的占比最多28%，因此女生的众数为8分，男生20人的成绩从小到大排列后处于第10、11位的两个数都是8分，因此男生的中位数是8分，∴女生的众数是8分，男生的中位数是8分；（3）∵25×（20%+16%）=9，∴女生中9人为A ，又∵男生中8人为A ，∴1790034045⨯=，∴全年级A 等的销售人数大约有人．21.（1）证明：关于x 的一元二次方程()230x mx m --﹣＝，∵()21m ﹣≥0，∴()()234m m -∆⨯-＝﹣2694m m m ++-＝2218m m +-+＝()2180m +>＝﹣，则方程有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系可得：12123x x m x x m =+-=-，，∵22121213x x x x -=+，∴()21212313x x x x =+-，即()23313m m -+＝，整理得：2340m m -﹣＝，即()()410m m -+=，所以m ﹣4＝0或m +1＝0，解得：m ＝4或m ＝﹣1．22.（1）证明：矩形ABCD 中，AB DC ∥，∴MEF NCF ∠=∠，EMF CNF ∠=∠．又∵点F 为CE 的中点，∴EF CF =．∴EFM CFN △≌△，∴EM CN =．∴四边形CNEM 为平行四边形．∵MN CE ⊥，∴四边形CNEM 为菱形．（2）解：在菱形CNEM 中，设ME MC x ==，∵10AB =，2AE =，∴1028BM x x =--=-．∵矩形ABCD 中，90B Ð=°，4BC =．∴222MC MB BC =+，∴()22284x x =-+．∴5x =．即5EM =．23.解：（1）设y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，将（12，220），（16，180）代入得：2201218016k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得10340k b =-⎧⎨=⎩．∴y=-10x+340；（2）①∵当x=24时，y=-10×24+340=100，∴m=100．故答案为：100；②由题意得：W=（-10x+340）（x-8）=-10x 2+420x-2720=-10（x-21）2+1690，∵-10＜0，∴当x=21时，W有最大值为1690元．故答案为：21，1690；（3）由题意得：W=-10x2+420x-2720-100≥1500，∴x2-42x+432≤0，当x2-42x+432=0时，解得：x1=18，x2=24，∵函数y=x2-42x+432的二次项系数为正，图象开口向上，∴18≤x≤24，∴该产品销售单价的范围为18≤x≤24．24.解：（1）原二次函数的顶点为（﹣2，1），则顶点关于原点的对称点为（2，﹣1），则这个抛物线的2阶变换的表达式：y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，故答案为（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2﹣1；（2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：（1，﹣1），则函数M的顶点为：（﹣1，1），则其表达式为：y＝﹣（x+1）2+1，故答案为y＝﹣（x+1）2+1；②存在，理由：y＝﹣（x+1）2+1，令y＝0，则x＝﹣2或0，故点B（﹣2，0），而点A（﹣1，1），将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：{0=-21k b k b+=-+，解得：{12k b==，故直线AB的函数表达式为：y＝x+2，y6′＝（x﹣1）2+5＝x2﹣2x+6，如下图，过点P作PD⊥AB交于点D，故点P作y轴的平行线交AB于点H，∵直线AB的倾斜角为45°，则DP＝22 PH，设点P（x，x2﹣2x+6），则点H（x，x+2），DP＝22PH＝22（x2﹣2x+6﹣x﹣2）＝22（x2﹣3x+4），∵22＞0，故DP有最小值，此时x＝32，故点P（32，214）；（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，则点A（﹣1，4）、点B（0，1），抛物线的m阶变换的函数表达式为：y＝3（x﹣1）2﹣4+m，故点C（1，m﹣4），则AB2＝10，AC2＝4+（m﹣8）2，BC2＝1+（m﹣5）2，当AB＝AC时，10＝4+（m﹣8）2，解得：m＝8；当AB＝BC时，同理可得：m＝8或2，故m的值为：或8或8或2．25.（1）解：四边形EGFH是平行四边形，理由如下：由题意得：AE=CF=t，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠GAE=∠HCF，∵G，H分别是AD，BC中点，∴AG=12AD，CH=12BC，∴AG=CH，∴△AEG≌△CFH（SAS），∴EG=FH，∠AEG=∠CFH，∴∠FEG=∠EFH，∴EG∥HF，∴四边形EGFH是平行四边形．故答案为：四边形EGFH是平行四边形．（2）解：如图1，连接GH，由（1）得AG=BH，AG∥BH，∠B=90°，∴四边形ABHG是矩形，∴GH=AB=6，①如图1，当四边形EGFH是矩形时，∴EF=GH=6，∵AE=CF=t，∴EF=10-2t=6，∴t=2；②如图2，当四边形EGFH是矩形时，∵EF=GH=6，AE=CF=t，∴EF=t+t-10=2t-10=6，∴t=8；综上，四边形EGFH为矩形时t=2或t=8．（3）解：如图3，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O，M为AD边的中点，N为BC边和中点，∵四边形EGFH为菱形，∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，∴OA=OC，AG=AH，∴四边形AGCH为菱形，∴AG=CG，设AG=CG=x，则DG=8-x，由勾股定理可得：AB2+BG2=AG2，即：62+（8-x）2=x2，解得：x=25 4，∴MG=AG-AM=254-4=94，即t=94，∴当四边形EGFH为菱形时，t=9 4．。
2014年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（四）
2014年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（四）一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. （3分）如图，已知必是。
的切线，4为切点，FC 与相交于3、C 两点，PB=2cm,D. 2\[^cm2. （3分）二元二次方程组/x+y=3的解是（[xy=-10C . 20cm)x ]二-5x 2 2皿=-2[y 2=-53. （3分）如图，口ABCD 的周长是28cm, AABC 的周长是22cm,则AC 的长为（)12cm C. 4cm D. 8cm4. （3分）如图为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30° ,沿C8方向前进12m 到达。
处，在Q 处测得建筑物顶端A 的仰角为45° ,则建筑物A8的高度等于（）5.（3分）已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A.1：2B.2：1C.1：4D.4：16.（3分）已知二次函数j=2x2+9x+34,当自变量工取两个不同的值xi,工2时，函数值相等，则当自变量工取X1+X2时的函数值与（）A.工=1时的函数值相等B.工=0时的函数值相等C.时的函数值相等D.工=-业■时的函数值相等44二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7.（3分）根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角a,都有sin2a+cos2a=l.如果关于x的方程S^sina-4xcosa+2=0有实数根，那么锐角a的取值范围是.8.（3分）如图，在口ABCD中，ZB=60°,AE±BC,AFA.CD,E,F为垂足.设口ABCD9.（3分）如图，AZ）是RtAABC的斜边BC±的高线，要使/XACZ）的面积是左ABC和△A8Z）面积的比例中项，请你添加一个适当的条件：・10.（3分）分解因式：x2-2x-2y2+4y-xy=・11.（3分）如图梯形A8CQ中，AD//BC,时为中位线，S mbd：S a bcz）=3：7,则5梯形aefd：S梯形EBCF=DE,B C212.（3分）若?-3x+l=0,则——-----的值为4,2..x+x+113.（3分）如图A是一个面积为"的正三角形，现将它作如下变换：取三角形各边的三等分点向形外作没有底边的等边三角形，这样得到一个六角星（如图B）；继续对六角星各边施行相同的变换，得到“雪花形”（如图C）.则雪花形的面积为.14.（3分）已知xi=2,x，二1一（〃=1,2,3,…），贝!］工2004=・n+1【yA n15.（3分）如图是由数字组成的三角形，除最顶端的1以外，以下出现的数字都有一定的规律.根据它的规律，则最下排数字x的值是.10111001225542005101416166161564632160«»»x*««»16.（3分）在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式/-因式分解的结果是（x-y）（x+y）（J+y2）,若取x=9,y=9时，则各个因式的值是：（x-y）=0,（x+y）=18,（x2+y2）=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4p-xy2,取x=10,>=io 时，用上述方法产生的密码是：（写出一个即可）.三、解答题（共5小题，满分52分）17.（8分）（1）计算也忑二^•三筝+（岳-1）°'x+1〉3-x（2）解不等式组］飞一3—4（x+4）<3（x+6）X.18.（10分）初取什么值时，（xyzv^O）能被i+y+z整除？19.(10分)已知：如图，。
雅礼高一实验班招生考试数学试卷
数学测试一考生注意：本试卷时量90分钟，满分100分一、填空题：（每小题5分，共50分）1112sin 452-⎛⎫--= ⎪⎝⎭。
2、已知实数,m n 满足2223418290,m n m n +--+=则m n +的平方根是 。
3、若12,x y +=的最小值等于 。
4、在ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH=AC ，则ABC ∠等于 度。
5、四条边长分别为1、2、3、4的梯形的面积是 。
6、已知实数,,0,3,||||||x y z x y z xyz x y z ++==++满足则的最小值为 。
7、平面上的n 条直线恰有2011个交点，则n 的最小值为 。
8、从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是 。
9、如图，在ABC 中，90,,ACB AC BC P ∠==是ABC 内一点，PA=3，PB=1，PC=2，则BPC 的面积是 。
第9题图 第10题图10、如图所示，直径为d 的一只圆盘没有任何滑动的沿一个直径为3d 的铁环的内侧滚动，当圆盘的圆心返回到起始位置时，圆盘已围绕自己的圆心转了 圈。
二、解答题：（共50分）11、（10分）已知,a b 为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实根为12,x x ，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实根为12,y y 且1221104x y x y -=，求b 的最小值。
12、（10分）已知反比例函数2k y x=的图像与一次函数21y x =-的图像在第一象限内交于点A ，其中一次函数的图像过点()(),1,a b a b k ++和。
（1）求反比例函数的解析式；（2）请问在x 轴上是否存在点B ，使A O B 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的B 点坐标；若不存在，请说明理由。
13、（12分）如图，⊙O 是ABC 的外接圆，点I 是他的内心，射线AI 、BI 各交对边于点D 、E ，射线AD 、BE 各交⊙O 于点M 、N ，求证：AM ID AN IB =。
雅礼中学初升高招生试题数学(二)
雅礼中学初升高招生试题（二）考生注意：本卷共二道大题，18道小题，考试时间为60分钟。
一、 填空题：每小题5分，满分40分。
1. 有一列数122007,,...,,a a a ，其任意相邻两个数的和是3，已知11a =，则122007...a a a +++的值是 。
2. 对任意实数,,,,a b c d ，规定abc d ad bc =-，则不等式22118x --<的解是 。
3. 已知220,4,b a a b ab >>+=，则a b a b+-等于 。
4. 若334x kx -+被31x -除后余3，则k 的值为 。
5. 已知：112a b -=，则223a ab b a ab b+-=-- 。
6. 如图，AB AC AD ==，如果DAC ∠是CAB ∠的k 倍，那么DBC ∠是BDC ∠的 倍。
7. 直线()y x b b 0=-+>与双曲线在第一象限的一支交于A B 、两点，与坐标轴交于C D ，两点，P 是双曲线上的点，且PO PD =，且P O B ∆的面积为1，则k = .8. 设a,b 是整数，方程有一个根是，则a b += 。
二、 填空题：每小题6分，满分60分。
9. 多项式12341231234()()()a a a a b b b c c c c ++++++++的展开后共有 项。
10. 已知,,a b c 为整数，222494612a b c a b c +++---<1，则111()abc a b c ++= 。
11. 如果a,b 为常数，关于x 的方程2236kx a x bx +-=+，无论k 为何值，它的解总是1，则2a b += . 12. 如图1，在等腰直角ΔABC 中，0A 90∠=，P 是ΔABC 内一点，PA 1PB 3==，，PC =CPA ∠的大小是 。
图一13. 如图2，点E F 、分别是正△ABC 的边AC AB 、上的点，AE BF =，BE CF 、相交于点P ，CQ BE ⊥于Q ，若P F 1P Q 3==，，则BE = 。
雅礼中学高一理科实验班招生数学
雅礼中学高一理科实验班选拔考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共30分。
每小题均给出了A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得０分）1、有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的 结果如图所示。
如果记6的对面的数字为a ，2的对面的数字为b ，那么b a +的值为A ．3B ．7C ．8D ．112、右图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图像（收支差额=车票收入-支出费用） 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车 票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。
下面 给出四个图像（如图所示）则A ．①反映了建议（2），③反映了建议（1）B ．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C ．②反映了建议（1），④反映了建议（2）D ．④反映了建议（1），②反映了建议（2）3、已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则 实数b a n m ,,,的大小关系可能是A ．n b a m <<<B ．b n a m <<<C ．n b m a <<<D ．b n m a <<<4、记n S =n a a a +++Λ21，令12nnS S S T n+++=L ，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。
已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为A ．200４B ．2006C ．2008D ．20105、以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后1 1xyOA 1 1x yO A 1 1 xyO y1 1xO A A 1 1xyO ① ② ③④OD CBAFE D CBAxyE ODCBA 与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且10=AB ，则CB 的 长为A ． 54B ．34C ． 24D ．46、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。
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A B C F O 2012年长沙市雅礼中学理科实验班招生试题
数 学
（本卷原名：长沙市雅礼优生毕业测试卷）
考生注意：本卷满分120分，考试时间150分钟。
一、填空题（请将最后答案填写在横线上。
每小题3分，本大题满分60分）
1.在一次数学活动中，黑板上画着如图所示の图形，活动前老师在准备の四张纸片上分别写有如下四个等式中の一个等式：①AB=DC ；②∠ABE=∠DCE ；③AE=DE ；④∠A=∠D ；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下の纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取の两张纸片上の等式为条件，使△BEC 不能构成等腰三角形の概率是______________.
2．如图，“L ”形纸片由六个边长为1の小正方形组成，过A 点切一刀，刀痕是线段EF.若
阴影部分面积是纸片面积の一半，则EF の长为________ ______.
3. 如图，AB 是半圆O の直径，C 、D 是半圆上の两个动点，且CD ∥AB,若半圆の半径为1,则梯形ABCD 周长の最大值是 。
4. 已知2152522＝－－－x x ，则221525x x －＋－の值为 。
5. 一次函数y ＝kx ＋b の图象过点P （1，4），且分别与x 轴和y 轴の正半轴交于点A ，B ． 点O 为坐标原点．当△AOB 面积最小时，k 和b の值分别为 。
6. 如图，直线b kx y +=1过点A （0，2），且与直线mx y =2交于点P （1，m ），则关于 x の不等式组mx ＞kx +b ＞mx －2の解集是______________。
7. 已知实数a 满足2008a -＋2009a -＝a ，那么a －20082值是 。
8. 如图，以Rt △ABC の斜边BC 为一边在△ABC の同侧作正方形BCEF ，设正方形の中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC の长等于 。
9.设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，则2000x の值是 ．
B A O x y
10. 在Rt △ABC 中,∠C ＝900
,AC ＝3,BC ＝4.若以C 点为圆心, r 为半径 所作の圆与斜边AB 只有一个公共点,则r の取值范围是___________ ． 11. 已知a 、b 、c 满足2a b c a b 6102b 2⨯＋＋＋（＋1）（－）＋－＝，则代数式a ＋c の值是 。
12．如果三位数abc (表示百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c の三位数),且满足b ＜a 或b ＜c ，则称这个三位数为“凹数”。
那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”の概率是
13. 如图，已知在圆O 中，直径MN=10，正方形ABCD の四个顶点分别在半径OM ，OP 以及圆
O 上，并且∠POM=45°，则AB の长为 .
14. 直线)0(>=a ax y 与双曲线x
y 3=交于),(11y x A 、),(22y x B 两点,则代数式122134y x y x -の值是 .
15. 设0>>b a ，且ab b a 322=+，b
a b a -+那么の值为_________。
16. 如图,△ABC 中,BE,DC 是△ABC の内角平分线,DE=3,A,D,F,E 四点共圆,则△DEF の内接圆半径为______。
17. 如图, 正方形ABCD 中, AB=AG,EF ⊥AG , 若EG=4, FG=6, BM=23, 则MN=__ ____。
18. 设i=1,2,3,...,n, 且0<i x <1, i i x x x x x x ++++=+++...19...2121, 则n の最小整数解为______。
19. 抛物线c bx ax y ++=2
, 交y 轴于一点A(0,1),交x 轴于M(0,1x ),N )0,(2x , 且210x x <<,过点A の直线交x 轴于点C, 交抛物线于另一点B,且AMN BMN S S △△2
5=
. 若△CAN 为等腰直角三角形,则抛物线の解析式为______。
20. 29222=++y xy x の整数解共有______组。
二、解答题（请写出详细の解答或证明过程。
本大题共4小题，满分60分）
21.（本小题满分10分）已知关于x の方程02=++a cx x の两整数根恰好比方程
02=++b ax x の两根都大1，求c b a ++の值。
22.（本小题满分10分）如图(6),已知抛物线C :422+-=x x y 和
直线l :82+-=x y .直线)0(>=k kx y 与抛物线C 交于两个不同
の点A 、B ,与直线l 交于点P ,分别过A 、B 、P 作x 轴の垂线,
设垂足分别为111,,P B A .
(1)证明: 1
11211OP OB OA =+; (2)是否存在实数k ,使811=+B B A A ,如果存在,求出此时k の值,
如果不存在,请说明理由.
23.（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正数，且满足如下两个条件：
⎪⎩⎪⎨⎧=-++-++-+=++4132ab c b a ac b a c bc
a c
b
c b a 证明：以a 、b 、c 为三边长可构成一个直角三角形．
24.（本小题满分15分）已知：如图，O 是半圆の圆心，C 、E 是圆上の两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．
求证：CD ＝GF ．
25.（本小题满分15分）在平面直角坐标中，边长为2の正方形OABC の两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴の正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针针旋转，旋转角为θ，当A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点M ，BC 边交轴于点N (如图).
（1）求边AB 在旋转过程中所扫过の面积；
（2）设△MBN の周长为p ，在旋转正方形OABC の过程中，p 值是否有变化？请证明你の
结论；
（3）当旋转角θ为多少度时，△OMN の面积最小，并求出此时△BMN 内切圆の半径.
A F
G C E B O D。