抛物线与几何图形

第17课时：抛物线与几何图形(3) 班级_________ 姓名__________学号 学习目标：经历探索抛物线与圆有关问题的过程，体会知识之间的相互联系，综合运用所学的知识，提高分析和解决问题的能力，感受数形结合等思想方法．

探索活动：

问题一．抛物线y＝41x2＋mx＋n经过点(0，23)与(4，23)． (1)求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标； (2)现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标．

问题二．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为4，A的坐标为(2，0)，⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC交x轴于B．

(1)求直线BC的解析式； (2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为⊙A与x轴的交点，求抛物线的解析式； (3)试判断点C是否在抛物线上，并说明理由．

问题三．已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点(0，0)和A(1，－3)，B(－1，5)两点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连结MD，已知点E的坐标为(0，m)，求四边形EOMD的面积(用含m的代数式表示)； (3)延长DM交⊙M于点N，连结ON，OD，当点P在(2)的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形PCMD＝S△DON，请求出此时点P的坐标．

问题四．如图，已知直线y＝x＋6交x、y轴于A、C两点，经过A、O两点的抛物线 y＝ax2＋bx(a＜0)的顶点B在直线AC上. (1)求A、C两点的坐标； (2)求出抛物线的函数关系式； (3)以B点为圆心，以AB为半径作⊙B，将⊙B沿x轴翻折得到⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并求出BD的长； (4)若E为⊙B优弧ACO上一动点，连结AE、OE，问在抛物线上是否存在一点M，使 ∠MOA︰∠AEO＝2︰3，若存在，试求出点M的坐标；若不存在，试说明理由.

第六章 二次函数 A B O E y ● F D x C x C y

B A D O

B P E D

M C

O

A x

y D B O ● P A

C x

y

课后作业： 1、如图，P是射线y＝53x(x＞0)上的一动点，以P为圆心的圆与y轴相切于C点，与x轴的正半轴交于A、B两点. (1)若⊙P的半径为5，则P点坐标是( ， )；A点坐标是( ， )；以P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式是 ； (2)在(1)的条件下，上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，请说明理由； (3)试问：是否存在这样的直线l，当P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由. 2、如图，直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为(－3，0)，B点坐标为(12，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作OP与y轴的负半轴交于点C，抛物线2yaxbxc经过A、B、C三点，其顶点为M点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设点D是抛物线与⊙P的第四个交点(除A、B、C三点外)，求直线MD的解析式； (3)判定(2)中的直线MD是⊙P的位置关系，并说明理由． 3、如图，在平面直角坐标系中，已知点(220)B，，(0)Am，(20)m，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连结BE与AD相交于点F． (1)求证：BF＝DO； (2)设直线l是BDO△的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G．若G是BDO△的外心，试求经过BFO，，三点的抛物线的解析表达式； (3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线BE的对称点在x轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

A B C P x y O x53y

A E O

D C

B

G F

x

y l ● x y O B A O1

例3、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为(－8，0)，B点坐标为(2，0)以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C. ① 求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式； ② 设M点为①中抛物线的顶点，求出顶点M的坐标和直线MC的解析式； ③ 判定②中的直线MC和⊙P的位置关系，并说明理由；④ 过坐标原点O作直线BC的平行线OG，与②中的直线MC相交于点G，连结AG，求出点G的坐标，并证明AG⊥MC.

三、学生练习 1、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一

点，其坐标为47,21，B点坐标为(1，0). ① 求抛物线的解析式； ② 经过A、B、D三点的圆交AC于点F，交直线y＝x＋3于点E.试判断△BEF的形状，并加以证明.

2、已知：半径为1的⊙O1与X轴交于A、B 两点，圆心O1的坐标为(2， 0)，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A、B两点，其顶点为F.

(1)求 b、c的值及二次函数顶点F的坐标； (2)写出将二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象向下平移1个单位再向左平移2个单位的图象的函数表达式；

(3)经过原点O的直线l与⊙O相切，求直线l的函数表达式.

3、已知一个二次函数的图象经过A(4，－3)，B(2，1)和C(－1，－8)三点. ① 求这个二次函数的解析式以及它的图象与x轴的交点M，N(M在N的左边)的坐标； ② 若以线段MN为直径作⊙G，过坐标原点O作⊙G的切线OD，切点为D，求OD的长；③ 在直线OD上是否存在点P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

问题三．如图，等边△ABC的边长为23，以BC边所在直线为x轴，BC的边上的高线AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)设⊙P是△ABC的内切圆，点D为y轴上一动点，以D点为圆心，3为半径的⊙D与直线．．

AB、AC都相切时，试判断⊙O与⊙P的位置关系，并简要说明理由； (3)若(2)中⊙P的大小不变，圆心P沿y轴运动，设P点坐标为(0，a)，则⊙P与直线AB、AC有几种位置关系？并写出相应位置关系时，a的取值范围．

x A P O B

C

y ●

x C D

B O A

F

y E

F ● x y O P C B

E 图 O A B D E y x C y A C O B D

x

4、如图，在直角坐标系中，以点(30)A，为圆心，以23为半径的圆与x轴相交于点BC，，与y轴相交于点DE，.

(1)若抛物线213yxbxc经过CD，两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上. (2)在(1)中的抛物线的对称轴上求一点P，使得PBD△ 的周长最小. (3)设Q为(1)中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上 是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形.若 存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

已知：如图，抛物线mxxy332312与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°， ⑴求m的值及抛物线顶点坐标； ⑵过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；

⑶在条件⑵下，设P为CBD上的动点(P不与C、D重合)，连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.

例1、如图，在平面直角坐标系中，以点M(0，1)为圆心，以2为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连结AM并延长交⊙M于P点，连结PC交x轴于E. (1)求出CP所在直线的解析式； (2)连结AC，求△ACP的面积. (3)求出过A、B、C三点的抛物线解析式 (4)在过A、C、B三点的抛物线上是否存在点Q，使△ABQ与△ABC相似？ (5)在过A、C、B三点的抛物线上是否存在点Q，使△ABQ为等腰三角形？

例3、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点C且与直线AC只有一个公共点. (1)求直线AC的解析式 (2)求抛物线y＝x2＋bx＋c的解析式 (3)点P为(2)中y轴左边抛物线上的点，由点P作x轴的垂线，垂足为点Q，问：此抛物线上是否存在这样的点P，使△PQB~ADB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

A · B C

D

E F

G M

x

y

O