2019聚焦中考数学(山西省)复习考点精练：第19讲 特殊三角形
山西中考数学几何图形概念定理知识
1、图形基础（1）余角、补角、对顶角互余：如果两个角的和是90°，则这两个角互为余角.互补：如果两个角的和是180°,则这两个角互为补角.同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.对顶角相等.（2）度分秒计算1度=60分,1分=60秒.（3）角平分线性质角平分线上的点到角两边的距离相等;反之,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.（4）线段垂直平分线①线段的中点：点C把线段AB分成相等的两条线段AC与CB，点C叫做线段AB的中点.②平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线;直线外一点与直线上各点所连的线段中,垂线段最短.③经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.（5）平行线①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.②平行线的判定和性质①平行于同一条直线的两直线互相平行;②在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行.(6)几何体的三视图①几何体的三视图是指几何体的主视图、俯视图、左视图②三视图中三个视图的位置关系是:俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方.③大小关系是:主视图与俯视图长对正,主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等.这里的长、宽、高分别对应三视图所示物体的左右之间、上下之间、前后之间的长度.（7）几何体的展开图①直棱柱的(侧面)展开图.例如将正方体的表面沿某些棱剪开，把各个面展开在同一平面内,就得到正方体的平面展开图,展开图中的每个正方形至少有一条边与其他正方形的边相连.②圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的弧长等于圆锥体的底面周长,扇形的半径等于圆锥体母线长.③圆柱体的侧面展开图是一个矩形,它的一边长等于圆柱体的母线长,另一边长等于圆柱体的底面周长.2、三角形（1）三角形边、角关系①三角形任意两边之和大于第三边.②三角形任意两边之差小于第三边.③三角形三个内角的和等于180°.④三角形三个外角的和等于360°.⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（2）三角形的主要线段、外心、内心、重心①三角形三边的垂直平分线交于一点,这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等.②三角形三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的内心,三角形的内心到三边的距离相等.③三角形的重心是三角形三边中线的交点.④外心、内心、重心示意图（3）三角形中位线定理①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.②三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.（4）等腰三角形性质与判定等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一);③等腰三角形是轴对称图形,底边的中垂线是它的对称轴等腰三角形的判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)（5）等边三角形等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都等于60°.等边三角形的判定：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.（6）直角三角形①勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.②勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.③直角三角形的判定：a.有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形；b.有两个内角互余的三角形是直角三角形；c.勾股定理的逆定理.④直角三角形的性质：a.直角三角形的两个锐角互余；b.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；c.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；d.勾股定理.3、四边形（1）多边形及其内角和n边形的内角和等于(n-2)x180°;n边形的外角和等于360°.①正n边形都是轴对称图形,有n条对称轴;②当n为偶数时,正n边形还是中心对称图形.（2）平行四边形的概念,性质及其判定①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;②平行四边形是以对角线的交点为中心的中心对称图形,但不一定是轴对称图形;①两组对角分别相等的四边形是平行四边形;②四边形具有不稳定性.（3）矩形的概念、性质及其判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.②矩形的性质：a.矩形的四个角都是直角；b.矩形的对角线相等；③矩形的判定：a.有三个角是直角的四边形是矩形；b.对角线相等的平行四边形是矩形.①平行四边形的所有性质,矩形都具有;②矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定.（4）菱形的概念、性质及其判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.②菱形的性质：a.菱形的四条边都相等；b.菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角．③菱形的判定：a.四条边都相等的四边形是菱形;b.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.①平行四边形的所有性质,菱形都具有;②菱形的定义既是菱形的性质也是菱形的判定;③菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半.（5）正方形的概念、性质及其判定①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.②正方形的性质：a.正方形的四条边都相等,四个角是直角；b.正方形的对角线互相垂直且相等,并且每条对角线平分一组对角.③正方形的判定：a.有一组邻边相等的矩形是正方形；b.对角线互相垂直的矩形是正方形；c.有一个角是直角的菱形是矩形；d.对角线相等的菱形是正方形①正方形的定义既是其性质也是其判定;②正方形具有矩形和菱形的所有性质;③平行四边形是中心对称图形,对称中心为两条对角线的交点;菱形,矩形、正方形既是中心对称图形又是轴对称图形.4、图形变换（1）轴对称的概念和性质①两个图形成轴对称：把一个图形沿着一条直线折叠,如果它能够与另一个图形完全重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.两个图形中的对应点叫做关于直线的对称点,这条直线叫做对称轴,两个图形关于直线对称叫做轴对称.②轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做这个图形的对称轴.③轴对称的性质：如果两个图形关于某一条直线对称,那么对应线段相等,对应角相等.对应点所连的线段被对称轴垂直平分.图形折叠后出现轴对称图形.最短线路问题通常运用轴对称知识解决.（2）平移的概念和性质①平移：在平面内,将某一图形沿着某个方向移动一定的距离,这种图形运动称为平移;平移不改变图形的大小和形状.②平移的性质：平移后的图形与原来图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.（3）旋转的概念和性质①旋转：在平面内,把一个图形绕一个定点,沿某个方向旋转一个角度,这样的图形运动称为旋转;这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角;旋转不改变图形的大小和形状.②旋转的性质：图形的旋转使图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同角度,对应点到旋转中心的距离相等,任意一对对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角.（4）中心对称的概念和性质①中心对称图形:在平面内,把一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做图形的对称中心,在中心对称图形上,每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.②中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够和另一个图形重合,那么我们称这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点,叫做关于对称中心的对称点.5、全等相似（1）全等三角形性质与判定全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等,对应边相等.全等三角形的判定：一般三角形的判定有四种:SAS,ASA,AAS,SSS;直角三角形除了以上方法外,还有HL.“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等.（2）线段的比和成比例线段①成比例线段a.两条线段的比:如果用同一长度单位量得两条线段的长度分别为m,n,那么我们就说这两条线段的比是m:n或m/nb.成比例线段:已知四条线段a,b,c,d,若a/b=c/d或a:b=c:d,那么a,b ,c ,d叫做成比例线段;a,d叫做比例外项,b,c叫做比例内项.c.比例的基本性质:如果a/b=c/d,则ad=bc.②黄金分割:如图,将一条线段AB分割成两条线段AP,PB,若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比,即PB/PA=AP/AB.此时线段AP叫做PB,AB的比例中项,则可得这一比值等于√5-1)/2=0.618…,这种分割称为黄金分割,点P 叫做线段AB的黄金分割点.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.③相似三角形相似三角形的判定：a.两角对应相等,两三角形相似；b.两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似；c.三边对应成比例,两三角形相似；相似三角形的性质：a.相似三角形的对应角相等,对应边成比例；b.相似三角形的周长的比等于相似比；c.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.6、三角函数7、圆（1）圆的有关性质①圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线②圆是中心对称图形,其对称中心是圆心;③圆具有旋转不变性;④不在同一直线上的三点确定一个圆.一个三角形有且只有一个外接圆;⑤在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等;⑥在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条劣弧(优弧)两条弦中有一组量对应相等,那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等（2）圆周角定理及其推论①圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;②同弧或等弧所对的圆周角相等;③半圆(或直径)所对的圆周角是直角, 90°的圆周角所对的弦是直径;④圆内接四边形对角互补.（3）点与圆的位置关系有三种：设点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则①点在圆外，即d>r;②点在圆上，即d=r;③点在圆内，即d<r.（4）直线和圆的位置关系：设圆心到直线l的距离为d ,圆的半径为r,则①直线和圆相交，即d<r;②直线和圆相切，即d=r;③直线和圆相离，即d>r.（5）三角形的内切圆和外接圆三角形的内切圆：①三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.②三角形的内心到三角形三边的距离相等.三角形的外接圆：①三角形的外心是三角形三边中垂线的交点②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.（6）切线的性质及判疋切线的性质:与圆只有一个公共点;圆心到切线的距离等于半径;圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定：①如果一条直线与圆只有一个公共点,那么这条直线叫做圆的切线;②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;③)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（7）圆的周长、弧长公式周长公式:在半径为R的圆中,圆的周长计算公式为C=2TR.弧长公式:在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长计算公式为l=nπR/180（8）圆、扇形面积公式圆面积:S=πR2如果扇形的半径为R,圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为S扇形=nπR2/360比较扇形面积公式与弧长公式，用弧长来表示扇形的面积S扇形=lr/2（9）正多边形与圆各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.正多边形与外接圆的关系:设正n边形的边长为a,中心角②d(边心距),R(圆半径),a(正n边形边长)的关系③正n边形周长l=na;正n边形面积(d为边心距).8、尺规作图5种基本的尺规作图。
2019年山西中考数学专题讲解——专题二.几何应用题
第1题图↓2.为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图①所示，是一辆自行车的实物图.车架档AC与CD的长分别为第2题图3.一台台式电脑显示器的左视图如图①所示，它由显示屏侧边AB，支架四边形CEGD和底盘=43cm，BE=3 cm，∠EGF=60°，∠AEG.（点A到FD的距离）（计算结果保留整数）sin70°=0.940，sin50°=0.766）第3题图第4题图↓5.夏季为了防晒，居民常常在户外修建防晒棚出的防晒圈与墙面的夹角为60°，房子的高线CD与地面的夹角为30°时.太阳光线防晒圈AC应为米.（注：AB为房子的高度也是大门所在的位置，sin60°=32，cos60°=第5题图↓6.某电脑桌生产厂家生产了一种笔记本电脑桌，其实物图如图①所示，此电脑桌的桌面可调节，如图②和图③是其可调节桌面的侧面示意图，在点C处安装一根长度一定的支撑臂CB）在图②中，当BC⊥AC时，测得∠在图③中，当BC与AC不垂直时，0.1cm,参考数据：sin24第6题图第1题图↓2.如图①是一张创意电脑桌，图②是其平面示意图，已知以为顶点的矩形，点C、D在AE上，点G在HF上，测得AB=CB=31.2cm，AH=50cm，∠BAH=40°，则GH的长为到0.1cm，参考数据sin50°≈0.766，cos50°≈0.643第2题图↓3.小明家的书桌上放置的飞机模型如图所示，支点E到机头D的距离ED的长为的∠BAE=60°.经使用发现，机身DC好.此时机头D的桌面高度DG为 .(≈1.732）第3题图第4题图↓5.如图，是设计师为小许家厨房的装修给出的俯视图，尺寸如图所示，DF 边上有一个80 cm 宽的门，留下墙DE 的位置，冰箱的俯视图是一个边长为60 cm 热，厂家建议冰箱的后面和侧面都至少留有建议冰箱的门至少要能打开到120°（图中∠的建议，图纸中的冰箱离墙DE 至少 cm.第5题图↓6.如图是一个桌面会议话筒示意图，中间在弯曲时可形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为相切，点B 、C 分别为切点，已知AB (1)如图①，若话筒弯曲后CD 与桌面求BC ︵的长度(结果保留π)；︵第6题图第1题图↓2.如图，风车的支杆OE 垂直于桌面，cm ，风车在风吹动下绕着中心C 、D 在同一圆O 上，已知圆O 求点A 相对于桌面的高度不超过留π）.第2题图第3题图↓4.图①是一辆自行车的侧面图，图②是它的简化示意图，经测量，车轮的直径为66cm 离CF 为33cm ，车架中立管使用科学计算器）（1）后轴轴心理由；（2）求∠ACB （3）如果希望车座的长度BB '应是多少？第4题图第1题图B【解析】如解图，作CD⊥AB交AB的延长线于点∵tan33°=AD，第1题解图第2题图63【解析】在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AD=22224560AC CD+=+=75(cm)所以车架档AD长为75cm.如解图所示，过点E作EF⊥AB，垂足为点EF=AE·sin75°=（45+20）×0.966=62.79第2题解图第3题图30 cm【解析】如解图，延长∵∠EGF=60°，∠AEG=130°，∴∠APD=∠AEG−∠EGF=70°；过点E作EN⊥FD于点N，过点∵∠EGF=60°，EG=43∴EN=EG·sin60°=43×∵∠APD=70°，EP=sin70EN︒∵AB=28，BE=3，∴AE=25，∴AP=AE+EP≈31.383(cm)∴AM=AP·sin70°≈30(cm)，∴电脑显示器的高约为30 cm.第3题解图第4题图5 cm 【解析】如解图，过点A '作A 'D ⊥BC '，垂足为在△ABC 中，∵AC ⊥BC ，AB =5 cm ，AC =4 cm ，∴BC =3 cm ，当动点C 移动至C '时，A 'C '=AC =4 cm ，A 'B =AB =5 cm '=30°，∠A 'DC '=90°，12A 'C '=2 cm ，C 'D =3A 'D =2DB =90°，A 'B =5 cm ，A 'D =2 cm 22A B A D''-=21cm ，'D +BD −BC =（23+21−3）≈1.732.21≈4.583，2×1.732+4.583−3≈5cm.第4题解图第5题图 3−33【解析】如解图，过点C 作EB 的平行线交垂线交EB 延长线于F ，第5题解图 第6题图解：（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =45°，BC ⊥AC ， ∴∠ABC =45°,∴BC =AC =25 cm ， 答：支撑臂CB 的长为25 cm ； （2）如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .第6题解图第1题图29【解析】如解图，连接AC，与BD相交于点∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO，当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形，∴当∠ADC=120°时，∠ADO=60°.∴AO=AD·第1题解图第2题图85.3【解析】如解图，过B点作BN∵AB=CB=31.2cm，∠BAH=40°，∠∴∠BAC=50°，∴AC=2AB·cos∠BAC=2×31.2×0.643∵AC=CD=2DE.DE=43GF.AE=HF，∴AE=AC+CD+DE≈40.1+40.1+（40.1第2题解图第3题图53.0 cm【解析】如解图，过点E做EF⊥AB，∵∠EAF=60°，33第3题解图第4题图10.47 cm【解析】设挡风窗为EF，如解图，过点C B作BH⊥EF于点H.过点C作CM⊥BH于点M，在Rt△DGC中.CG=CD·sin60°=10×32≈8.66，∠∵CG⊥EF，BH⊥EF，第4题解图第5题图30【解析】如解图，延长AB交DE于点G，∴∠ABC=120°，∵∠CBG=60°，∴在Rt△CBG中，∴BG=BC·cos∠CBG即冰箱离墙DE至少30cm.第5题解图第6题图解：(1)∵线段AB、CD均与圆弧相切，∴OB⊥AB，OC⊥CD，∴CD∥OB∥AM，∵CD距离桌面14 cm，AB的长为10 cm，第6题解图第1题图1.5【解析】如解图，由题意得∵AF⊥OB，∠AOF=45°，OA=3，OF=OA·cos45°＝3×22=3h=OD−OF=3.6−322≈3.6−32第1题解图第2题图20π3【解析】如解图所示，点A在旋转过程中运动到点点A到桌面的距离等于20 cm.作A2H⊥MN于H,∴A2H=20 cm,作A2D⊥OE于D,∴DE=A2H,∵DE=25 cm,第2题解图第3题图20【解析】如解图，过点接BE，AB，∵弧AB是半圆弧，∴AB是直径，∴∠∵AF⊥CD，BH⊥∴四边形BEFH∴EF=BH=9.4 cm在Rt△AEB中，∴AB=cosAEBAE∠第3题解图第4题图）后轴轴心A与中轴轴心C所在的直线AC与地面l是否平行?请说明理由；）求∠ACB的大小（精确到1°）；）如果希望车座B到地面的距离B'E'为93.8 cm，车架中立管BC第4题解图的长度BB'应是多少？1）AC∥l，理由如下：。
2016聚焦中考数学(山西省)习题课件：第19讲 特殊三角形
＝∠ECF， 在△DFG 和△EFC 中， ∠DFG＝∠EFC，∴△ FD＝EF，
DFG≌△EFC(AAS)，∴GD＝CE，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B， ∠AGD＝∠ACB， ∴∠A＝∠ADG＝∠AGD， ∴△ADG 是等 边三角形，∴AD＝GD，∴AD＝CE
[对应训练] 3．(1)(2014· 益阳)如图，将等边△ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 60． AB 与 AC 重合得△ACD， BC 的中点 E 的对应点为 F， 则∠EAF 的度数是__ (2)(2015· 铜仁)已知，如图，点 D 在等边三角形 ABC 的边 AB 上，点 F 在边 AC 上，连接 DF 并延长交 BC 的延长线于点 E，EF＝FD. 求证：AD＝CE.
命题点1：等腰三角形性质及相关计算 (2014·山西)如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC， AD是BC边上中线，∠ACE＝∠BAC，CE交AB于点E，交AD于 点F，若BC＝2形性质及相关计算 1．(2014· 山西)如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时 给出的“弦图”，它解决的数学问题是( C ) A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理 2．(2011· 山西)如图，已知AB＝12，AB⊥BC 于B，AB⊥AD于A，AD 13 ＝5，BC＝10，点E是CD的中点，则AE的长是 2 ．
解： 证明： 作 DG∥BC 交 AC 于 G， 如图所示： 则∠DGF ∠DGF＝∠ECF，
【例 4】 (1)(2015· 北京)如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开．若测得 AM 的长为 1.2 km，则 M，C 两点间的距离为( D) A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km (2)(2015· 桂林)下列各组线段能构成直角三角形的一组是( A ) A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 【点评】 (1)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解 题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． (2)在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确 定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进 而作出判断．
专题20 特殊三角形-2019年中考数学考点总动员系列(解析版)
2019年中考数学备考之黄金考点聚焦考点二十：特殊三角形聚焦考点☆温习理解1、等腰三角形：（1） 概念：有两条边相等的三角形是等腰三角形（2） 性质：等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴；等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高和底边上的中线相互重合（简写成“三线合一”）（3） 判定：等角对等边2、等边三角形的性质：等边三角形有三条对称轴；三个内角都为60°；判定一个三角形是等边三角形的方法有两种：一是直接证三个内角都相等；二是先证它是等腰三角形，再证一个内角是60°3、线段垂直平分线上一点到这条线段的两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．4、直角三角形：（1） 概念：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（2） 性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+5、角平分线上的点到角的两边的距离相等；角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上;6、三大几何变换：平移及性质： 把一个图形整体沿一方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。
平移变换的性质 ： ①对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连结的线段平行且相等， ②对应角分别相等，且对应角的两边分别平行，方向一致. ③平移后的图形与原图形全等，因为平移只改变图形位置，不改变图形的形状和大小轴对称及性质：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点。
轴对称变换的性质： ①关于直线对称的两个图形是全等图形. ②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线. ③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. ④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.旋转及性质：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转。
2019年山西中考数学复习——中考数学各题型考试常用技巧小结
2019年山西中考数学复习——中考数学各题型考试常用技巧小结1选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。
2、特殊值法：（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关；在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。
4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略；每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
2常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查；这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。
太原市数学中考《第十九章解直角三角形》知识点聚焦
22a b ⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎩⎪⎪⎩⎭+验证勾股定理拼图法判断直角三角形边与边的关系勾股定理的逆定理勾股数直接应用勾股定理的应用间接应用，构造直角三角形角与角的关系两锐角互余正弦特殊角的三角函数值边与角的关系三角函数余弦解两角、互余的角的三角函数关系正切直角定义：由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程三 叫做解直角三角形角边的关系：形依据解直角三角形290sin cos ,sin cos ,tan c A B a b a A B B A A c c b ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎪∠∠=︒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩角的关系：+边角关系：=已知两直角边，解直角三角形已知一直角边和斜边，解直角三角形常见类型已知一锐角和一直角边，解直角三角形已知一锐角和斜边，解直角三角形实际探究与应用⎪ 第44讲 勾股定理 知识能力解读知能解读（一）勾股定理及其验证方法（1）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c 。
（2）勾股定理的验证。
勾股定理的验证方法常见于中考命题。
勾股定理的验证方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图法是最常见的一种方法，验证如下： 现有四块直角边长为a ，b ，斜边长为c 的直角三角形纸板，请从中取出若干块进行拼图（需画出所拼的图形），证明勾股定理。
证法1：如图所示，∵=4+S S S 大正方形三角形小正方形， ∴()221=4+-2c ab b a ⨯，∴222=+c a b 。
证法2：如图所示，∵=2+S S S 梯形小三角形大三角形，∴()()2111++=2+222a b a b ab c ⨯， 整理，得222+=a b c 。
专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮
专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出 它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。
考点1：比例线段1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n.在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项. 2.比例的基本性质：①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=AB ≈0.618AB. 考点2：相似图形1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.n m b a =cb b a =⇔ac b =⇔2215-3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点3：位似图形1.位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【题型1：相似三角形的相关计算】【典例1】（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4B．6C．8D．101．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD ＝3，则的值是（）A．B．C．D．2．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1B．C．2D．33．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4D C，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.24．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4 a，则AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a5．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2B．4C．6D．8【题型2：相似三角形的实际应用】【典例2】（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米．1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m2．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm．（结果保留根号）3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．【题型3：位似】【典例3】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）2．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为．3．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形P A1A2A3，正方形P A4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形P A1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）一．选择题（共10小题）1．已知，则的值是（）A．B．C．3D．2．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75°B．105°C．60°D．45°3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高16 5cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则E F的长为（）A．6B．9C．10D．258．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（）A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．3：1C．9：1D．9：1610．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．2二．填空题（共5小题）11．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为m．13．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C 是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．14．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．15．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为．三．解答题（共5小题）16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．18．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长．19．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG ＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G 在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）20．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．一．选择题（共10小题）1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（）A．3B．C．D．2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，则DE的长度为（）A．1B．C．2D．3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④5．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（）A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△P HB．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE＝2，CE交BD于点F，则DF的长为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD 交于点O，则的值为（）A．2B．C．D．9．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．10．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P 的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为．12．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若DF＝2，EF＝4，则C D的长是．13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为．14．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE 于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是．三．解答题（共3小题）17．如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE•B E．（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求证△AED≌△DFC．【类比探究】（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是边AD上一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．【拓展延伸】（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连结AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．20．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC 上，且，则AE的长为（）A．1B．2C．1或D．1或22．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．D．3．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是．4．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．5．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M 恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．7．（2023•辽宁）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为．8．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．10．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即E D＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．11．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠F AC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．12．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．。
人教版九年级下册数学中考综合复习：第19讲《特殊三角形》
第19讲《特殊三角形》要点梳理知识点1：等腰三角形的性质和判定性质判定等腰三角形(1)两腰相等，两底角相等；(2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合；(3)是轴对称图形，有一条对称轴。
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形(1)三边相等；(2)各角相等，且都等于60°；(3)是轴对称图形，有三条对称轴。
(1)三条边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于60°的______________是等边三角形。
直角三角形(1)两锐角之和等于90°；(2)斜边上的中线等于斜边_____；(3)30°角所对的直角边等于斜边的一半；(4)若有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____；(5)两直角边的平方和等于斜边的平方.(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.1．计算有关线段长度问题如果所求线段是在直角三角形中，一般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．2．有关等腰三角形的问题若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然．3．面积法用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论．4．在涉及折叠的相关问题中若原图形中含有直角或折叠后产生直角，常常把所求的量与已知条件利用折叠的性质，借助等量代换转化到一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解．命题点1：等腰三角形的性质1.(滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，∠B的大小( ) A．40° B．36° C．30° D．25°2.(包头)若等腰三角形的周长为10 cm ，其中一边长为2 cm ，则该等腰三角形的底边长为( )A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm 命题点2：等边三角形的性质3.(南充)如图，在等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A.（1，1）B.（3，1）C.（3，3）D.（1，3）第3题 第4题 第5题 命题点3：直角三角形的性质： 4．(株洲)如图所示在△ABC 中∠B ＝_____． 命题点4：勾股定理5.(陕西)如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A'B'C'拼在一起,其中点A'与点A 重合，点C'落在边AB 上,连接B'C 。
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一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2018·衡阳)已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为( D )
A．11 B．16
C．17 D．16或17
2．(2018·黄石)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD等于( B ) A．36°B．54°C．18°D．64°
3．(2018·毕节)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( B )
A.3，4， 5 B．1，2， 3
C．6，7，8 D．2，3，4
,第2题图),第4题图)
4．(2018·眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E 是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是( A )
A．2 3 B．2 C．4 3 D．4
5．(2018·泸州)在平面直角坐标系中，点A(2，2)，B(32，32)，动点C在x轴上，若以A，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2017·杭州)如图，已知直线a∥b，若∠1＝40°50′，则∠2＝__139°10′__．
,第6题图),第7题图) 7．(2017·湘潭)如图，直线a，b被直线c所截，若满足__∠1＝∠2(答案不唯一)__，则a，b平行．
8．(2018·厦门)已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是__5__km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的__正北__方向．9．(2018·宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD ＝5，则EF的长为__5__．
,第9题图),第10题图) 10．(2018·株洲)如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于__6__．
三、解答题(共40分)
11．(10分)(2017·益阳)如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°.求∠C的度数．
解：∵EF ∥BC ，∴∠BAF ＝180°－∠B ＝100°，∵AC 平分∠BAF ，∴∠CAF ＝12
∠BAF ＝50°，∵EF ∥BC ，∴∠C ＝∠CAF ＝50°
12．(10分)(2018·常州)如图，在▱ABCD 中，∠BCD ＝120°，分别延长DC ，BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF 都是正三角形．
(1)求证：AE ＝AF ；
(2)求∠EAF 的度数．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ，AB ＝CD ，
BC ＝AD ，∵△BCE 和△CDF 都是正三角形，∴BE ＝BC ，DF ＝CD ，∠EBC ＝∠CDF ＝60°，∴∠ABE ＝
∠FDA ，AB ＝DF ，BE ＝AD ，在△ABE 和△FDA 中，⎩⎨⎧AB ＝DF ，∠ABE ＝∠FDA ，BE ＝AD ，
∴△ABE ≌△FDA(SAS )，∴AE ＝AF (2)解：∵△ABE ≌△FDA ，∴∠AEB ＝∠FAD ，∵∠ABE ＝60°＋60°＝120°，∴∠AEB ＋∠BAE ＝60°，∴∠FAD ＋∠BAE ＝60°，∴∠EAF ＝120°－60°＝60°
13．(10分)(2013·湘西)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3.
(1)求DE 的长；
(2)求△ADB 的面积．
解：(1)∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE ＝DC ＝3(角平分线的性质) (2)在Rt △ABC 中，
AB ＝AC 2＋BC 2＝10，∴S △ADB ＝12AB·DE ＝12
×10×3＝15
14．(10分)(2018·珠海)已知△ABC ，AB ＝AC ，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF.
(1)如图①，连接BD ，AF ，则BD__＝__AF(填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)如图②，M 为AB 边上一点，过M 作BC 的平行线MN 分别交边AC ，DE ，DF 于点G ，H ，N ，连接BH ，GF ，求证：BH ＝GF.
解：证明：∵MN ∥BF ，∴△AMG ∽△ABC ，△DHN ∽△DEF ，MG BC ＝AM AB ，HN EF ＝DN DF ，∴MG ＝HN ，MB ＝NF.在△BMH 和△FNG 中，⎩⎨⎧BM ＝FN ，∠BMH ＝∠FNG ，MH ＝NG ，△BMH ≌△FNG(SAS )，∴BH ＝FG。