高中数学新课标人教A版选修1-2《第二章 推理与证明》归纳整合课件

专题三
直接证明
由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型
均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与 重点． 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是
解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，
直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、
解析
由数表知 f(3)比 f(2)多 2，f(4)比 f(3)多 3，
f(5)比 f(4)多 4…归纳得 f(n)比 f(n－1)多 n－1， 故得递推关系：f(n)－f(n－1)＝n－1， 即 f(n)＝f(n－1)＋n－1. ∴f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，…， f(n)－f(n－1)＝n－1. 上述式子相加得 f(n)－f(2)＝2＋3＋…＋(n－1)， nn－1 n2－n＋2 ∴f(n)＝1＋[1＋2＋…＋(n－1)]＝1＋ ＝ . 2 2 答案 f(n)＝f(n－1)＋n－1(n>1) n2－n＋2 2
方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证 明方法．
4．归纳、猜想、证明 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结 论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条 件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再
【例2】 自然数按下表的规律排列
则上起第2 007行，左起第2 008列的数为( A．2 0072 C．2 006×2 007 B．2 0082
)．
D．2 007×2 008
解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：
①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的 平方，即第n行的第1个数为n2； ②第一行第n个数为(n－1)2＋1； ③第n行从第1个数至第n个数依次递减1； ④第n列从第1个数至第n个数依次递增1. 故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007
对归纳、猜想的结论进行证明．
专题一 归纳推理和类比推理
归 纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论
合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用． 运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明 是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特
“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，
本 章 归 纳 整 合
知识网络
要点归纳
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体
的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测 未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证 明． 2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中
证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另
一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的 前提，后者论证前者的可靠性．
3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证 明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推
导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，
在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种
2 为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了) Sn＋1 Sn－1 (2)由(1)可知 ＝4· (n≥2)， n＋1 n－1 Sn－1 n－1＋2 ∴Sn＋1＝4(n＋1)· ＝4· · Sn－1＝4an(n≥2) n－1 n－1 (小前提) 又 a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
设∠BSC＝α，SA 和平面 SBC 所成的角为 β. 1 1 则 VSDEF＝3· SD· sin β· S△SEF＝6SD· sin α· sin β， 1 同理，VSABC＝6SA· SB· SC· sin α· sin β， VSDEF SD· SE· SF ∴V ＝SA· . SB · SC SABC 1 β· SE· SF· sin α＝6SD· SE· SF· sin
Sn (1)数列 n 是等比数列； ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)Sn＋1＝4an. n＋2 证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ S， n n ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. Sn＋1 Sn ∴ ＝2· ，(小前提) n n＋1
Sn 故 n 是以
点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、
猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．
【例1】 如下图所示，由正整数排成的三角形数表，第n行首尾两
数均为n，记第n(n>1)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行
的数据关系可以得到递推关系________，并通过有关求解可 以得到通项f(n)＝________.
专题二
演绎推理
演绎推理的一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首
先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．
在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常要由几个三 段论才能过完成．大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括 号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式．
n＋2 【例 4】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn， 已知 a1＝1， an＋1＝ S (n n n ∈N*)，证明：
个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.
答案 D
S△AEF 【例 3】 一直线与△ABC 的边 AB， AC 分别相交于 E， F， 则 S△ABC AE· AF ＝ .将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比， 试 AB· AC 推理三棱锥的性质，并给出证明． 解 在三棱锥 SABC 中，平面 α 与侧棱 SA，SB，SC 分别相 交于 D，E，F. VSDEF SD· SE· SF 则V ＝SA· SB· SC . SABC 证明如下：