2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5:第一章 1.2 基本不等式

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高二数学人教b版选修4-5课件:第一章_1.2_基本不等式

高二数学人教b版选修4-5课件:第一章_1.2_基本不等式
答案:≤
7.函数 y=x4x+2 9(x≠0)有最大值________,此时 x=________.
解析:∵x≠0,∴x2>0.
∴y=x4x+2 9=x2+1 x92≤2
1x2·x92=16,
当且仅当 x2=x92,即 x4=9,x=± 3时取等号,
即当 x=± 3时,ymax=16.
答案:16 ± 3
围是
()
A.(-∞,lg 6]
B.(-∞,3lg 2]
C.[lg 6,+∞)
D.[3lg 2,+∞)
解析:∵lg x+lg y+lg z=lg(xyz), 而 xyz≤x+3y+z3,∴lg(xyz)≤lg 8=3lg 2 (当且仅当 x=y=z=2 时,等号成立). 答案:B
4.设 a,b,c∈(0,+∞)且 a+b+c=1,令 x=1a-11b-11c-1,
则 x 的取值范围为
()
A.0,18 C.[1,8)
1-a a·1-b b·1-c c=b+c·ca+bca·a+b
≥2
bc·2 ca·2 abc
ab=8,
提示:a,b,c 的范围为 a≥0,b≥0,c≥0.
利用基本不等式证明不等式
[例 1] 已知 a,b,c 为正实数,且 abc=1 求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8. [思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应 用,解答本题需要分析不等式的特点,先对 a+b,b+c,c+ a 分别使用基本不等式,再把它们相乘. [精解详析] ∵a,b,c 为正实数, ∴a+b≥2 ab>0,
当且仅当 a=b=c 时取等号,∴x≥8.
答案:D
二、填空题
5.已知 x,y∈R+,且满足x3+4y=1,则 xy 的最大值为_______. 解析:因为 x>0,y>0,

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5:第一章 1.3 绝对值不等式的解法

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5:第一章  1.3 绝对值不等式的解法

[对应学生用书P10][读教材·填要点]1.含绝对值的不等式|x|≤a与|x|≥a的解集2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法(1)分区间讨论法:以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键.(2)图象法:构造函数,结合函数的图象求解.(3)几何法:利用绝对值不等式的几何意义求解.[小问题·大思维]1.|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义是什么?提示:|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离;|x-a|±|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a,b的点的距离之和(差).2.如何解|x-a|<|x-b|、|x-a|>|x-b|(a≠b)型的不等式的解集?提示:可通过两边平方去绝对值符号的方法求解.[对应学生用书P10][例1] 解下列不等式: (1)1<|x -2|≤3; (2)|2x +5|>7+x ; (3)1x 2-2≤1|x |. [思路点拨] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法.解答本题(1)可利用公式转化为|ax +b |>c (c >0)或|ax +b |<c (c >0)型不等式后逐一求解,也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号,还可用平方法转化为不含绝对值的不等式.(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式. (3)可分类讨论去掉分母和绝对值.[精解详析] (1)法一:原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x -2|>1,|x -2|≤3,即⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >3,-1≤x ≤5,解得-1≤x <1或3<x ≤5,所以原不等式的解集为{x |-1≤x <1或3<x ≤5}. 法二:原不等式可转化为:①⎩⎪⎨⎪⎧ x -2≥0,1<x -2≤3,或②⎩⎪⎨⎪⎧x -2<0,1<-(x -2)≤3,由①得3<x ≤5,由②得-1≤x <1,所以原不等式的解集是{x |-1≤x <1或3<x ≤5}. (2)由不等式|2x +5|>7+x ,可得2x +5>7+x 或2x +5<-(7+x ), 整理得x >2或x <-4.∴原不等式的解集是{x |x <-4或x >2}. (3)①当x 2-2<0且x ≠0,即当-2<x <2, 且x ≠0时,原不等式显然成立. ②当x 2-2>0时,原不等式与不等式组⎩⎨⎧|x |>2,x 2-2≥|x |等价,x 2-2≥|x |即|x |2-|x |-2≥0, ∴|x |≥2,∴不等式组的解为|x |≥2, 即x ≤-2或x ≥2. ∴原不等式的解集为(-∞,-2]∪(-2,0)∪(0,2)∪[2,+∞).含一个绝对值不等式的常见类型及其解法: (1)形如|f (x )|<a ,|f (x )|>a (a ∈R )型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法,即 ①当a >0时,|f (x )|<a ⇒-a <f (x )<a . |f (x )|>a ⇔f (x )>a 或f (x )<-a . ②当a =0时,|f (x )|<a 无解. |f (x )|>a ⇔f (x )≠0.③当a <0时,|f (x )|<a 无解. |f (x )|>a ⇔f (x )有意义.(2)形如|f (x )|<g (x ),|f (x )|>g (x )型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法,即 ①|f (x )|<g (x )⇔-g (x )<f (x )<g (x ),②|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<-g (x )(其中g (x )可正也可负). 若此类问题用分类讨论法来解决,就显得较复杂. (3)形如a <|f (x )|<b (b >a >0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法,即 a <|f (x )|<b (0<a <b )⇔a <f (x )<b 或-b <f (x )<-a . (4)形如|f (x )|<f (x ),|f (x )|>f (x )型不等式 此类题的简单解法是利用绝对值的定义,即 |f (x )|>f (x )⇔f (x )<0, |f (x )|<f (x )⇔x ∈∅.1.设函数f (x )=|2x -a |+5x ,其中a >0. (1)当a =3时,求不等式f (x )≥5x +1的解集; (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值. 解:(1)当a =3时,不等式f (x )≥5x +1可化为|2x -3|≥1, 由此可得x ≥2或x ≤1.故不等式f (x )≥5x +1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}.(2)由f (x )≤0得|2x -a |+5x ≤0,此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2,2x -a +5x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2,-(2x -a )+5x ≤0,即⎩⎨⎧x ≥a 2,x ≤a7或⎩⎨⎧x <a 2,x ≤-a3,因为a >0,所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≤-a 3.由题设可得-a3=-1,故a =3.[例2] 解不等式|x +7|-|3x -4|+3-22>0. [思路点拨] 先求出零点即x =-7,43,再分段讨论.[精解详析] 原不等式化为 |x +7|-|3x -4|+2-1>0,当x >43时,原不等式为x +7-(3x -4)+2-1>0,得x <5+22,即43<x <5+22;当-7≤x ≤43时,原不等式为x +7+(3x -4)+2-1>0, 得x >-12-24,即-12-24<x ≤43;当x <-7时,原不等式为 -(x +7)+(3x -4)+2-1>0, 得x >6-22,与x <-7矛盾; 综上,不等式的解为-12-24<x <5+22.(1)|x -a |+|x -b |≥c 、|x -a |+|x -b |≤c (c >0)型不等式的三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.(2)|x -a |+|x -b |≥c 、|x -a |+|x -b |≤c (c >0)型不等式的图象解法和画出函数f (x )=|x -a |+|x -b |-c 的图象是密切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出f (x )的分段表达式.不妨设a <b ,于是f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +a +b -c , (x ≤a ),b -a -c , (a <x <b ),2x -a -b -c , (x ≥b ).这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.(3)形如|f (x )|<|g (x )|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法,即 |f (x )|<|g (x )|⇔[f (x )]2<[g (x )]2 ⇔[f (x )+g (x )][f (x )-g (x )]<0.2.设函数f (x )=|2x +1|-|x -3|. (1)解不等式f (x )≥4; (2)求函数y =f (x )的最小值.解:(1)由题意得,f (x )=|2x +1|-|x -3|=⎩⎨⎧-x -4, x <-12,3x -2, -12≤x ≤3,x +4,x >3,所以不等式f (x )≥4,等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <-12,-x -4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧-12≤x ≤3,3x -2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >3,x +4≥4,解得x ≤-8或x ≥2.所以原不等式的解集为{x |x ≤-8或x ≥2}. (2)由(1)知,当x <-12时,f (x )=-x -4,所以f (x )在⎝⎛⎭⎫-∞,-12上单调递减; 当-12≤x ≤3时,f (x )=3x -2,所以f (x )在⎣⎡⎦⎤-12,3上单调递增; 当x >3时,f (x )=x +4,所以f (x )在(3,+∞)上单调递增. 故当x =-12时,y =f (x )取得最小值,此时f (x )min =-72.[例3] 设函数f (x )=|x -1|+|x -a |. 如果∀x ∈R ,f (x )≥2,求a 的取值范围.[思路点拨] 本题考查绝对值不等式的解法.解答本题应先对a 进行分类讨论,求出函数f (x )的最小值,然后求a 的取值范围.[精解详析] 若a =1,f (x )=2|x -1|,不满足题设条件.若a <1,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +a +1, x ≤a ,1-a , a <x <1,2x -(a +1), x ≥1,f (x )的最小值为1-a .若a >1,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +a +1, x ≤1,a -1, 1<x <a ,2x -(a +1), x ≥a ,f (x )的最小值为a -1.所以∀x ∈R ,f (x )≥2的充要条件是|a -1|≥2,从而a 的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).含有参数的不等式的求解问题分两类,一类不需要对参数进行讨论,另一类如本例,对参数a 进行讨论,得到关于参数a 的不等式(组),进而求出参数的取值范围.3.(辽宁高考)已知函数f (x )=|x -a |,其中a >1. (1)当a =2时,求不等式f (x )≥4-|x -4|的解集;(2)已知关于x 的不等式|f (2x +a )-2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2},求a 的值. 解:(1)当a =2时,f (x )+|x -4|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +6, x ≤2,2, 2<x <4,2x -6, x ≥4.当x ≤2时,由f (x )≥4-|x -4|,得-2x +6≥4, 解得x ≤1;当2<x <4时,f (x )≥4-|x -4|无解;当x ≥4时,由f (x )≥4-|x -4|,得2x -6≥4, 解得x ≥5.所以f (x )≥4-|x -4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}.(2)记h (x )=f (2x +a )-2f (x ), 则h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2a , x ≤0,4x -2a , 0<x <a ,2a , x ≥a .由|h (x )|≤2,解得a -12≤x ≤a +12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a -12=1,a +12=2,于是a =3.[对应学生用书P12]一、选择题1.若不等式|ax +2|<6的解集为(-1,2),则实数a 的取值为( ) A .8 B .2 C .-4D .-8解析:原不等式化为-6<ax +2<6, 即-8<ax <4. 又∵-1<x <2,∴验证选项易知a =-4适合. 答案:C2.如果1x <2和|x |>13同时成立,那么x 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | -13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12或x <-13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <-13或x >13解析:解不等式1x <2得x <0或x >12;解不等式|x |>13得x >13或x <-13.如图所示:∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12或x <-13.答案:B3.如果关于x 的不等式|x -a |+|x +4|≥1的解集是全体实数,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,3]∪[5,+∞)B .[-5,-3]C .[3,5]D .(-∞,-5]∪[-3,+∞)解析:在数轴上,结合绝对值的几何意义可知a ≤-5或a ≥-3. 答案:D4.若关于x 的不等式|x +1|≥kx 恒成立,则实数k 的取值范围是( ) A .(-∞,0] B .[-1,0] C .[0,1]D .[0,+∞)解析:作出y =|x +1|与l1;y =kx 的图象如图,当k <0时,直线一定经过第二、四象限,从图看出明显不恒成立;当k =0时,直线为x 轴,符合题意;当k >0时,要使|x +1|≥kx 恒成立,只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]. 答案:C 二、填空题5.不等式|2x +1|-2|x -1|>0的解集为________.解析:原不等式即|2x +1|>2|x -1|,两端平方后解得12x >3,即x >14.答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >146.不等式|x +1||x +2|≥1的实数解集为________.解析:|x +1||x +2|≥1⇔|x +1|≥|x +2|,x +2≠0⇔(x +1)2≥(x +2)2,x ≠-2⇔x ≤-32,x ≠-2.答案:(-∞,-2)∪⎝⎛⎦⎤-2,-32 7.若不等式| x +1x | >|a -2|+1对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是________.解析:∵|x +1x |≥2,∴|a -2|+1<2,即|a -2|<1,解得1<a <3.答案:1<a <38.若关于x 的不等式|x -1|+|x -a |≥a 的解集为R (其中R 是实数集),则实数a 的取值范围是________.解析:不等式|x -1|+|x -a |≥a 恒成立, a 不大于|x -1|+|x -a |的最小值, ∵|x -1|+|x -a |≥|1-a |,∴|1-a |≥a,1-a ≥a 或1-a ≤-a ,解得a ≤12.答案:⎝⎛⎦⎤-∞,12 三、解答题9.解不等式|2x -4|-|3x +9|<1. 解:(1)当x >2时,原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >2,(2x -4)-(3x +9)<1, 解得x >2.(2)当-3≤x ≤2时,原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧-3≤x ≤2,-(2x -4)-(3x +9)<1, 解得-65<x ≤2. (3)当x <-3时,原不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x <-3,-(2x -4)+(3x +9)<1,解得x <-12.综上所述,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <-12或x >-65. 10.已知函数f (x )=|2x -1|+|x -2a |.(1)当a =1时,求f (x )≤3的解集;(2)当x ∈[1,2]时,f (x )≤3恒成立,求实数a 的取值范围.解:(1)当a =1时,原不等式可化为|2x -1|+|x -2|≤3,当x >2时,得3x -3≤3,则x ≤2,无解;当12≤x ≤2时,得x +1≤3,则x ≤2,所以12≤x ≤2; 当x <12时,得3-3x ≤3,则x ≥0,所以0≤x <12. 综上所述,原不等式的解集为[0,2].(2)原不等式可化为|x -2a |≤3-|2x -1|,因为x ∈[1,2],所以|x -2a |≤4-2x ,即2x -4≤2a -x ≤4-2x ,故3x -4≤2a ≤4-x 对x ∈[1,2]恒成立.当1≤x ≤2时,3x -4的最大值为2,4-x 的最小值为2,所以a 的取值范围为1.11.已知函数f (x )=|x +3|+|x -a |(a >0).(1)当a =4时,已知f (x )=7,求x 的取值范围;(2)若f (x )≥6的解集为{x |x ≤-4或x ≥2},求a 的值.解:(1)因为|x +3|+|x -4|≥|x +3-x +4|=7,当且仅当(x +3)(x -4)≤0时等号成立. 所以f (x )=7时,-3≤x ≤4,故x ∈[-3,4].(2)由题知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ a -3-2x , x ≤-3,a +3,-3<x <a ,2x +3-a , x ≥a ,当a +3≥6时,不等式f (x )≥6的解集为R ,不合题意;当a +3<6时,不等式f (x )≥6的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤-3,a -3-2x ≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,2x +3-a ≥6, 即⎩⎨⎧ x ≤-3,x ≤a -92或⎩⎨⎧ x ≥a ,x ≥a +32. 又因为f (x )≥6的解集为{x |x ≤-4或x ≥2},所以a =1.。

2017-2018学年高中数学人教B版 选修4-5教师用书:第1

2017-2018学年高中数学人教B版 选修4-5教师用书:第1

1.2 基本不等式1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.教材整理 基本定理(重要不等式及基本不等式) 1.定理1设a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 2.定理2如果a ,b 为正数,则a =b 时,等号成立.这个不等式我们称之为基本不等式或平均值不等式.同时,我们称a +b2为正数a ,b 的算术平均值,称ab 为正数a ,b 的几何平均值,该定理又可叙述为:两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.3.定理3如果a ,b ,c 为正数,则a +b +c3≥3abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立.4.定理4如果a 1,a 2,…,a n 为n 个正数,则a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( ) A.a <b <ab <a +b2B.a <ab <a +b2<bC.a <ab <b <a +b2D.ab <a <a +b2<b【解析】 ∵0<a <b ,∴a <a +b2<b ,A ,C 错误;ab -a =a (b -a )>0,即ab >a ,故选B.【答案】 B预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑:已知a ,b ,c 都是正数,求证:b +c +a≥a +b +c .【导学号:38000004】【精彩点拨】 观察不等号两边差异,利用基本不等式来构造关系. 【自主解答】 ∵a >0,b >0,c >0,∴a 2b +b ≥2a 2b·b =2a , 同理:b 2c +c ≥2b ,c 2a+a ≥2c .三式相加得:a 2b +b 2c +c 2a+(b +c +a )≥2(a +b +c ), ∴a 2b +b 2c +c 2a≥a +b +c .1.首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形,或配凑使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明.2.当且仅当a =b =c 时,上述不等式中“等号”成立,若三个式子中有一个“=”号取不到,则三式相加所得的式子中“=”号取不到.1.设a >0,b >0,m >0,n >0.证明:(m 2+n 4)(m 4+n 2)≥4m 3n 3. 【证明】 因为m >0,n >0,则m 2+n 4≥2mn 2,m 4+n 2≥2m 2n , 所以(m 2+n 4)(m 4+n 2)≥4m 3n 3, 当且仅当m =n =1时,取等号.(1)已知x ,y ∈R +,且x +2y =1,求x +y的最小值;(2)已知x >0,y >0,且5x +7y =20,求xy 的最大值.【精彩点拨】 根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的条件. 【自主解答】 (1)因为x +2y =1, 所以1x +1y =x +2y x +x +2y y =3+2y x +x y≥3+22yx ·xy=3+22,当且仅当2y x=xy,x +2y =1,即x =2-1,y =1-22时,等号成立. 所以当x =2-1,y =1-22时,1x +1y取最小值3+2 2. (2)xy =135(5x ·7y )≤135⎝ ⎛⎭⎪⎫5x +7y 22=135⎝ ⎛⎭⎪⎫2022=207, 当且仅当5x =7y =10,即x =2,y =107时,等号成立,此时xy 取最大值207.在求最值时,除了注意“一正、二定、三相等”之外,还要掌握配项、凑系数等变形技巧,有时为了便于应用公式,还用换元法,多用于分母中有根式的情况.2.若将本例(1)的条件改为“已知x >0,y >0,且1x +9y=1”,试求x +y 的最小值.【解】 ∵x >0,y >0,且1x +9y=1,∴x +y =(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +9y=y x+9xy+10≥2y x ·9xy+10=16. 当且仅当y x =9xy, 即y =3x 时等号成立.又1x +9y=1,∴当x =4,y =12时,(x +y )min =16.)x万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x =3-km +1(k 为常数),如果不搞促销活动,该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数;(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时,厂家的年利润最大?最大年利润是多少万元?【精彩点拨】 (1)可先通过m =0时,x =1求出常数k ,再根据条件列出y 关于m 的函数;(2)在(1)的函数关系式下,利用基本不等式求最值.【自主解答】 (1)依题意得m =0时,x =1,代入x =3-km +1,得k =2,即x =3-2m +1. 年成本为8+16x =8+16⎝⎛⎭⎪⎫3-2m +1(万元), 所以y =(1.5-1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤8+16⎝⎛⎭⎪⎫3-2m +1-m =28-m -16m +1(m ≥0).(2)由(1)得y =29-⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ++16m +1≤29-2m +16m +1=21. 当且仅当m +1=16m +1,即m =3时,厂家的年利润最大,为21万元.设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――→“=”成立的条件结论3.某工厂建一底面为矩形(如图1­2­1),面积为162 m 2,且深为1 m 的无盖长方体的三级污水池,由于受地形限制,底面的长和宽都不能超过16 m ,如果池外围四壁建造单价为400 元/m 2,中间两条隔墙建造单价为248 元/m 2,池底建造单价为80 元/m 2,试设计污水池的长和宽,使总造价最低.图1­2­1【解】 设污水池的宽为x m ,则长为162xm ,则总造价f (x )=400×⎝⎛⎭⎪⎫2x +2×162x+248×2x +80×162=1 296x +1 296×100x+12 960=1 296⎝⎛⎭⎪⎫x +100x +12 960.由限制条件,知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16,0<162x ≤16,得818≤x ≤16. 设g (x )=x +100x ⎝ ⎛⎭⎪⎫818≤x ≤16, 因为g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤818,16上是增函数, 所以当x =818时⎝ ⎛⎭⎪⎫此时162x =16,g (x )有最小值,即f (x )有最小值,f (x )min =1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎫818+80081+ 12 960=38 882(元).所以当长为16 m ,宽为818 m 时,总造价最低,为38 882元.探究1 在基本不等式2≥ab 中,为什么要求a >0,b >0?【提示】 对于不等式a +b2≥ab ,如果a ,b 中有两个或一个为0,虽然不等式仍成立,但是研究的意义不大,当a ,b 都为负数时,不等式不成立;当a ,b 中有一个为负数,另一个为正数,不等式无意义.探究2 你能给出基本不等式的几何解释吗?【提示】 如图,以a +b 为直径的圆中,DC =ab ,且DC ⊥AB . 因为CD 为圆的半弦,OD 为圆的半径,长为a +b2,根据半弦长不大于半径,得不等式ab ≤a +b2.显然,上述不等式当且仅当点C 与圆心重合,即当a =b 时,等号成立.因此,基本不等式的几何意义是:圆的半弦长不大于半径;或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高.探究3 利用基本不等式,怎样求函数的最大值或最小值?【提示】 利用算术平均数与几何平均数定理(即基本不等式)可以求函数的最大值、最小值.(1)已知x ,y ∈(0,+∞),如果积xy 是定值P ,那么当x =y 时,和x +y 有最小值2P . (2)已知x ,y ∈(0,+∞),如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时,积xy 有最大值14S 2.以上两条可简记作:和一定,相等时,积最大;积一定,相等时,和最小.条件满足:“一正、二定、三相等”.求下列函数的值域.(1)y =x 2+12x ;(2)y =2x x 2+1.【精彩点拨】 把函数转化为y =ax +bx或y =1ax +b x的形式,再利用基本不等式求解.【自主解答】 (1)y =x 2+12x =12⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x ,当x >0时,x +1x ≥2,∴y ≥1;当x <0时,-x >0,-x +1-x ≥2,x +1x ≤-2,∴y ≤-1,综上函数y =x 2+12x的值域为{y |y ≤-1或y ≥1}.(2)当x >0时,y =2x x 2+1=2x +1x. 因为x +1x ≥2,所以0<1x +1x≤12,所以0<y ≤1,当且仅当x =1时,等号成立; 当x <0时,x +1x≤-2,所以0>1x +1x≥-12, 所以-1≤y <0,当且仅当x =-1时,等号成立; 当x =0时,y =0. 综上,函数y =2xx 2+1的值域为{y |-1≤y ≤1}.形如y =cx 2+ex +f ax +b 型的函数,一般可先通过配凑或变量替换等变形为y =t +Pt +C (P ,C 为常数)型函数,再利用基本不等式求最值,但要注意变量t 的取值范围.4.求函数y =x 2+8x -1(x >1)的最小值.【导学号:38000005】【解】 因为x >1,所以x -1>0.所以y =x 2+8x -1=x -2+2x +7x -1=x -2+x -+9x -1=(x -1)+9x -1+2≥2x -9x -1+2=8, 当且仅当x -1=9x -1,即x =4时,等号成立. 所以当x =4时,y min =8.1.函数y =1x -3+x (x >3)的最小值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】 原式变形为y =1x -3+x -3+3. ∵x >3,∴x -3>0,∴1x -3>0, ∴y ≥2x -1x -3+3=5, 当且仅当x -3=1x -3,即x =4时等号成立. 【答案】 A2.下列函数中最小值为4的是( ) A.y =x +4xB.y =sin x +4sin x (0<x <π)C.y =3x+4×3-xD.y =lg x +4log x 10【解析】 A 项,当x <0时,y =x +4x<0,故A 项错误;B 项,当0<x <π时,sin x>0,∴y =sin x +4sin x ≥2sin x ·4sin x =4,当且仅当sin x =4sin x,即sin x =2时取等号,但sin x ≤1,B 项错误;C 项,由指数函数的性质可得3x>0,所以y =3x+4·3-x≥24=4,当且仅当3x=2,即x =log 32时取得最小值4,故C 项正确;D 项,当0<x <1时,lg x <0,log x 10<0,所以y =lg x +4log x 10<0,故D 项错误.【答案】 C3.若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( )【导学号:38000006】A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2ab C.1a +1b>2abD.b a +ab≥2【解析】 A 选项中,当a =b 时,a 2+b 2=2ab ,则排除A ;当a <0,b <0时,a +b <0<2ab ,1a +1b<0<2ab,则排除B ,C 选项;D 选项中,由b a >0,a b >0,得b a +a b≥2b a ·ab=2,当且仅当a =b 时取“=”,所以选D.【答案】 D4.不等式b a +a b>2成立的充要条件是________. 【解析】 由b a +a b >2,知b a>0,即ab >0, 又b a ≠a b,∴a ≠b .因此b a +a b>2的充要条件是ab >0且a ≠b . 【答案】 ab >0且a ≠b 5.若对任意x >0,xx 2+3x +1≤a 恒成立,求实数a 的取值范围.【解】 由x >0,知原不等式等价于 0<1a ≤x 2+3x +1x =x +1x+3恒成立.又x >0时,x +1x≥2x ·1x=2, ∴x +1x+3≥5,当且仅当x =1时,取等号.因此⎝⎛⎭⎪⎫x +1x+3min =5,从而0<1a ≤5,解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15,+∞.我还有这些不足:(1) (2) 我的课下提升方案:(1) (2)。

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5:第一章 1.5 1.5.2 综合法和分析法

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5:第一章  1.5 1.5.2 综合法和分析法
答案: P≥Q≥R
1 1 » 8.若不等式 + + >0 在条件 a>b>c 时恒成立,则 a-b b-c c-a » 的取值范围是 ________.
1 1 » 解析:不等式可化为 + > . a-b b-c a-c ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0, a-c a-c ∴»< + 恒成立. a-b b-c a-c a-c a-b+b-c a-b+b-c ∵ + = + a-b b-c a-b b-c
[小问题 ·大思维]
1.如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件?
提示:用分析法证题时,语气总是假定的,常用“欲证 A 只需证 B”表示,说明只要 B 成立,就一定有 A 成立,所以 B 必须是 A 的充 分条件才行,当然 B 是 A 的充要条件也可. 2.用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系?
第 一 章
1 . 5 不 等 式 证 明 的 基 本 方 法
1 . 5. 2 综 合 法 和 分 析 法
读教材·填要点 理解教材新知 小问题·大思维 考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练
1.5
不等式证明的基本方法
1.5.2
综合法和分析法
[读教材 ·填要点]
1.综合法 从 命题的已知条件 出发,利用公理、已知的定义及定理, 逐步推导,从而最后导出 要证明的命题 ,这种方法称为综合法. 2.分析法 从 需要证明的命题 出发,分析使这个命题成立的充分条件, 利用已知的一些定理,逐步探索,最后达到命题所给出的条件 (或 者一个已证明过的定理或一个明显的事实 ),这种证明方法称为分 析法.
10 当且仅当 5x=7y=10 即 x=2,y= 时取等号. 7

人教版B版高中数学选修4-5:第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 复习课件

人教版B版高中数学选修4-5:第一章  不等式的基本性质和证明的基本方法  复习课件
c|+|x-b|≤m,|x-c|+|x-b|≥m. 5.会用平均值不等式求一些特定函数的最值. 6.理解不等式证明的五种方法:比较法、综合法、分析法、反
证法、放缩法,会用它用证明比较简单的不等式.
知识结构
知识梳理 1.实数的运算性质与大小顺序的关系: a>b⇔a-b>0,a=b⇔a-b=0,a<b⇔a- b<0,由此可知要比较两个实数的大小,判断 差的符号即可.
Hale Waihona Puke 随堂演练1.若 a,b,c∈R,且 ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是( )
A.a2+b2+c2≥2
B.(a+b+c)2≥3
C.1a+1b+1c≥2 3
D.abc(a+b+c)≤13
解析 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≥3(ab+
ac+bc)=3,故应选 B.
答案 B
应用绝对值三角不等式证明不等式 【例 3】 已知 f(x)=x2+ax+b (a,b∈R)的定义域为[-1,1].
(1)记|f(x)|的最大值为 M,求证:M≥12; (2)当 M=12时,求 f(x)的表达式. (1)证明 由题意 M≥|f(0)|,M≥|f(1)|,M≥|f(-1)|. ∴4M≥2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)| =2|b|+|1+a+b|+|1-a+b| ≥|1+a+b+1-a+b-2b|=2,∴M≥12.
4.基本不等式 (1)定理 1:若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab (当且仅当 a=b 时取“=”). (2)定理 2:若 a,b∈R+,则a+2 b≥ ab(当且仅当 a=b 时取“=”). (3)引理:若 a,b,c∈R+,则 a3+b3+c3≥3abc(当且仅当 a=b= c 时取“=”)可以当作重要结论直接应用.

【测控指导】高中数学人教B版选修4-5课件:1.2 基本不等式

【测控指导】高中数学人教B版选修4-5课件:1.2 基本不等式

������ ������
4 ������
4 ������
≤-2 4 = −4.
1.2 基本不等式
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Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
【做一做 2-2】 若 log 2 ������ + log 2 ������ = 4, 则x+y 的最小值是
1.2
基本不等式
-1-
1.2 基本不等式
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Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
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D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
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1.了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值. 2.理解定理1和定理2(基本不等式). 3.探索并了解三个正数的算术—几何平均值不等式的证明过程. 4.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题.
(3)基本不等式可用语言叙述为:两个正数的算术平均值大于或等 于它们的几何平均值.
-3-
1.2 基本不等式
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D典例透析 S随堂演练
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名师点拨(1)a +b
2
2
者只要求 a,b 都是实数 ,而后者要求 a,b 都是正数 .有些同学易忽略 这一点 ,例如 :(-1)2+(-4)2≥2×(-1)×(-4)成立 ,而 不成立. (2)a2+b2≥ 2ab与

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4:第一章 1.5 1.5.2 球坐标系

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4:第一章  1.5  1.5.2  球坐标系

À 在 Rt△OO1B 中,∠O1BO= ,OB=R, 4 2 ∴O1B=O1A= R. 2 À ∵∠AO1B= ,∴AB=R. 2 À 在△AOB 中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB= . 3 À 故飞机沿经过 A, B 两地的大圆飞行,航线最短,其路程为 R. 3
我们根据 A, B 两地的球坐标找到纬度和经度,当飞机沿着 过 A,B 两地的大圆飞行时,飞行最快.求所飞行的路程实际上 是要求我们求出过 A,B 两地的球面距离.
解析:设点 M 的直角坐标为 (x, y, z),则点 M 关于 (0,0,0) 的对称点 M′的直角坐标为 (- x,- y,- z),设 M′的球 cos ¸ , x= rsin Æ sin ¸ , 坐标为 (r′, Æ ′, ¸ ′ ),因为 y= rsin Æ z= rcos Æ ,
4À 5À 题需要先搞清球坐标 5, 3 , 6 中各个坐标的意义,然后代入相
应的公式求解即可.
[精解详析] ∵M
4À 5À 的球坐标为5, 3 , 6 ,
5À 4À ∴r=5,Æ = ,¸ = . 6 3 5À 4À 5 x=5sin cos =- , 6 3 4 5À 4À 5 3 y = 5sin sin =- , 得 6 3 4 5À 5 3 z=5cos =- . 6 2
一、选择题 1.已知一个点 P
3À À 的球坐标为2, 4 ,4 ,点
P 在 xOy 平面上
* * * * 的投影点为 P0,则与 OP0
的夹角为
À À 3À = . 解析:∵Æ = ,∴OP 与 OP0 之间的夹角为2-Æ 4 4
答案:A
2.点M 的球坐标为 (r, Æ , ¸ )(Æ , ¸ ∈(0, À)),则其关于点 (0,0,0) 的对称点的坐标为 A.(-r,-Æ ,-¸ ) C.(r,À+Æ ,¸ ) ( B.(r,À-Æ ,À-¸ ) D.(r,À-Æ ,À+¸ ) )

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5教学案:第一章

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5教学案:第一章

1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1.1.1 不等式的基本性质[对应学生用书P1][读教材·填要点]1.实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系 设a ,b ∈R ,则 ①a >b ⇔a -b >0; ②a =b ⇔a -b =0; ③a <b ⇔a -b <0. 2.不等式的基本性质[小问题·大思维]1.若x >y ,a >b ,则在①a -x >b -y ,②a +x >b +y ,③ax >by ,④x -b >y -a ,⑤ay >bx这五个不等式中,恒成立的不等式有哪些? 提示:令x =-2,y =-3,a =3,b =2, 符合题设条件x >y ,a >b ,则∵a -x =3-(-2)=5,b -y =2-(-3)=5, ∴a -x =b -y ,因此①不成立.又∵ax =-6,by =-6,∴ax =by ,因此③也不正确. 又∵a y =3-3=-1,b x =2-2=-1,∴a y =bx,因此⑤不正确. 由不等式的性质可推出②④恒成立. 即恒成立的不等式有②④. 2.若a <b ,一定有1a >1b吗?提示:不一定.如a =-1,b =2.事实上, 当ab >0时,若a <b ,则有1a >1b ;当ab <0时,若a <b ,则有1a <1b;当ab =0时,若a <b ,则1a 与1b 中有一个式子无意义.[对应学生用书P2][例1] x ∈R ,比较x 3-1与2x 2-2x 的大小.[思路点拨] 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小.解答本题需要将作差后的代数式分解因式,然后根据各因式的符号判断x 3-1与2x 2-2x 的大小.[精解详析] (x 3-1)-(2x 2-2x ) =(x 3-x 2)-(x 2-2x +1) =x 2(x -1)-(x -1)2 =(x -1)(x 2-x +1)∵x 2-x +1=⎝⎛⎭⎫x -122+34≥34>0, ∴当x >1时,(x -1)(x 2-x +1)>0. 即x 3-1>2x 2-2x ;当x =1时,(x -1)(x 2-x +1)=0, 即x 3-1=2x 2-2x .当x <1时,(x -1)(x 2-x +1)<0, 即x 3-1<2x 2-2x .(1)用作差法比较两个数(式)的大小时,要按照“三步一结论”的程序进行,即:作差→变形→定号→结论,其中变形是关键,定号是目的.(2)在变形中,一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断.变形的常用技巧有:因式分解、配方、通分、分母有理化等.(3)在定号中,若为几个因式的积,需每个因式均先定号,当符号不确定时,需进行分类讨论.1.当a ≠0时,比较(a 2+2a +1)(a 2-2a +1)与(a 2+a +1)(a 2-a +1)的大小. 解:两式作差得(a 2+2a +1)(a 2-2a +1)-(a 2+a +1)(a 2-a +1) =[(a 2+1)2-(2a )2]-[(a 2+1)2-a 2]=-a 2. ∵a ≠0,∴-a 2<0.∴(a 2+2a +1)(a 2-2a +1)<(a 2+a +1)(a 2-a +1).[例2] 下列命题中正确的是( ) (1)若a >b ,c >b ,则a >c ; (2)若a >b ,则lg ab >0;(3)若a >b ,c >d ,则ac >bd ; (4)若a >b >0,则1a <1b ;(5)若a c >bd,则ad >bc ;(6)若a >b ,c >d ,则a -d >b -c . A .(1)(2) B .(4)(6) C .(3)(6)D .(3)(4)(5)[思路点拨] 本题考查对不等式的性质的理解,解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断.[精解详析] (1)错误.因为当取a =4,b =2,c =6时,有a >b ,c >b 成立,但a >c 不成立.(2)错误.因为a 、b 符号不确定,所以无法确定a b >1是否成立,从而无法确定lg ab >0是否成立.(3)错误.此命题当a 、b 、c 、d 均为正数时才正确.(4)正确.因为a >b ,且a 、b 同号,所以ab >0,两边同乘以1ab ,得1a <1b .(5)错误.只有当cd >0时,结论才成立.(6)正确.因为c >d ,所以-d >-c ,又a >b , 所以a -d >b -c . 综上可知(4)(6)正确. [答案] B运用不等式的性质时要注意条件,如倒数法则要求两数同号;两边同乘一个数,不等号方向是否改变要视此数的正负而定;同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.2.若m ,n ∈R ,则1m >1n 成立的一个充要条件是( )A .m >0>nB .n >m >0C .m <n <0D .mn (m -n )<0解析:1m >1n ⇔1m -1n >0⇔n -m mn >0⇔mn (n -m )>0⇔mn (m -n )<0.答案:D[例3] 已知π<α+β<4π3,-π<α-β<-π3,求2α-β的取值范围.[思路点拨] 解答本题时,将α+β,α-β看作整体,再求出2α-β的取值范围. [精解详析] 设2α-β=A (α+β)+B (α-β), 则2α-β=(A +B )α+(A -B )β.比较两边系数得⎩⎪⎨⎪⎧A +B =2,A -B =-1⇒⎩⎨⎧A =12,B =32.∴2α-β=12(α+β)+32(α-β).∵π2<12(α+β)<23π, -3π2<32(α-β)<-π2, ∴-π<2α-β<π6.故2α-β∈⎝⎛⎭⎫-π,π6.(1)若已知某两个代数式的取值范围,求另一个代数式的取值范围时,应利用待定系数法把所求代数式用已知的两代数式表示,进而利用同向不等式的可加性求其范围,否则可能导致所求代数式范围变大.(2)同一问题中应用同向不等式相加性质时,不能多次使用,否则可能导致范围扩大.3.若已知二次函数y =f (x )的图象过原点,且1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (-2)的范围. 解:法一:∵f (x )过原点,∴可设f (x )=ax 2+bx .∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=a +b ,f (-1)=a -b . ∴⎩⎨⎧a =12[f (1)+f (-1)],b =12[f (1)-f (-1)].∴f (-2)=4a -2b =3f (-1)+f (1). ∵1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4. ∴6≤f (-2)≤10. 法二:设f (x )=ax 2+bx , 则f (1)=a +b ,f (-1)=a -b .令m (a +b )+n (a -b )=f (-2)=4a -2b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m +n =4,m -n =-2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m =1,n =3. ∴f (-2)=(a +b )+3(a -b )=f (1)+3f (-1). ∵1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4, ∴6≤f (-2)≤10.[对应学生用书P3]一、选择题1.已知a ,b ,c ,d 为实数,且c >d ,则“a >b ”是“a -c >b -d ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ a -c >b -d ,c >d ⇒a >b ;而当a =c =2,b =d =1时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b ,c >d ,但a -c >b -d 不成立,所以“a >b ”是“a -c >b -d ”的必要而不充分条件.答案:B2.已知a ,b ,c ∈R ,且ab >0,则下面推理中正确的是( ) A .a >b ⇒am 2>bm 2 B .a c >bc ⇒a >bC .a 3>b 3⇒1a <1bD .a 2>b 2⇒a >b解析:对于A ,若m =0,则不成立;对于B ,若c <0,则不成立;对于C ,a 3-b 3>0⇒(a -b )(a 2+ab +b 2)>0,∵a 2+ab +b 2=(a +b 2)2+34b 2>0恒成立,∴a -b >0.∴a >b .又∵ab >0,∴1a <1b .∴C 成立.对于D ,a 2>b 2⇒(a -b )(a +b )>0,不能说a >b . 答案:C3.设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式正确的是( ) A .b -a >0 B .a 3+b 3<0 C .a 2-b 2<0D .b +a >0解析:∵a -|b |>0,∴a >|b |>0.∴不论b 取任何实数不等式a +b >0都成立. 答案:D4.如果a ∈R ,且a 2+a <0,那么a ,a 2,-a ,-a 2的大小关系是( ) A .a 2>a >-a 2>-a B .-a >a 2>-a 2>a C .-a >a 2>a >-a 2D .a 2>-a >a >-a 2解析:∵a 2+a <0,即a (a +1)<0,可得,-1<a <0, ∴-a >a 2>0,∴0>-a 2>a . 综上有-a >a 2>-a 2>a . 答案:B 二、填空题5.若f (x )=3x 2-x +1,g (x )=2x 2+x -1,则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x ). 解析:f (x )-g (x )=(3x 2-x +1)-(2x 2+x -1)=x 2-2x +2=(x -1)2+1≥1>0,∴f (x )>g (x ).答案:>6.已知12<a <60,15<b <36,则a -b 的取值范围分别是________.解析:∵12<a <60,-36<-b <-15, ∴-24<a -b <45. 答案:(-24,45)7.给出下列条件:①1<a <b ;②0<a <b <1;③0<a <1<b .其中能推出log b 1b <log a1b <log a b 成立的条件的序号是________.(填所有可能的条件的序号)解析:∵log b 1b =-1,若1<a <b ,则1b <1a<1<b ,∴log a 1b <log a 1a =-1,故条件①不可以;若0<a <b <1,则b <1<1b <1a .∴log a b >log a 1b >log a 1a =-1=log b 1b ,故条件②可以;若0<a <1<b ,则0<1b <1,∴log a 1b>0,log a b <0,条件③不可以.故应填②. 答案:②8.设x =a 2b 2+5,y =2ab -a 2-4a ,若x >y ,则实数a ,b 满足的条件是________________. 解析:∵x >y ,∴a 2b 2+5-2ab +a 2+4a =a 2+4a +4+a 2b 2-2ab +1 =(a +2)2+(ab -1)2>0. ∴ab ≠1或a ≠-2. 答案:ab ≠1或a ≠-2. 三、解答题9.已知-π2≤α<β≤π2,求α+β2,α-β2的范围.解:∵-π2≤α<β≤π2,∴-π4≤α2<π4,-π4<β2≤π4. 因而两式相加得-π2<α+β2<π2.又∵-π4<β2≤π4,∴-π4≤-β2<π4.∴-π2≤α-β2<π2.又∵α<β,∴α-β2<0.∴-π2≤α-β2<0.即α+β2∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,α-β2∈⎣⎡⎭⎫-π2,0. 10.已知a ,b ∈{正实数}且a ≠b ,比较a 2b +b 2a 与a +b 的大小.解:∵⎝⎛⎭⎫a 2b +b 2a -(a +b )=a 2b -b +b2a -a =a 2-b 2b +b 2-a 2a =(a 2-b 2)⎝⎛⎭⎫1b -1a =(a 2-b 2)(a -b )ab ,=(a -b )2(a +b )ab ,又∵a >0,b >0,且a ≠b , ∴(a -b )2>0,a +b >0,ab >0, ∴a 2b +b 2a>a +b . 11.已知α,β满足⎩⎪⎨⎪⎧-1≤α+β ≤1,1≤α+2β ≤3,试求α+3β的取值范围.解:设α+3β=λ(α+β)+u (α+2β) =(λ+u )α+(λ+2u )β.比较α,β的系数,得⎩⎪⎨⎪⎧ λ+u =1,λ+2u =3,⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ=-1,u =2.由题意得-1≤-α-β≤1,2≤2α+4β≤6, 两式相加,得1≤α+3β≤7. 故α+3β的取值范围是[1,7].。

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[对应学生用书P7][读教材·填要点]1.定理1设a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 2.定理2(基本不等式或平均值不等式)如果a ,b a =b 时,等号成立.即:两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.3.定理3(三个正数的算术—几何平均值不等式)如果a ,b ,c 为正数,则a +b +c 3≥a =b =c 时,等号成立.4.定理4(一般形式的算术—几何平均值不等式) 如果a 1,a 2,…,a n 为n 个正数,则 a 1+a 2+…+a nn≥ 并且当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.[小问题·大思维]1.在基本不等式a +b2≥ab 中,为什么要求a ,b ∈(0,+∞)?提示:对于不等式a +b2≥ab ,如果a ,b 中有两个或一个为0,虽然不等式仍成立,但是研究的意义不大,而且a ,b 至少有一个为0时,不能称ab 为几何平均(或等比中项),因此规定a ,b ∈(0,+∞).2.满足不等式a +b +c 3≥3abc 成立的a ,b ,c 的范围是什么?提示:a ,b ,c 的范围为a ≥0,b ≥0,c ≥0.[对应学生用书P8][例1] 已知a ,b ,c 为正实数,且abc =1 求证:(a +b )(b +c )(c +a )≥8.[思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用,解答本题需要分析不等式的特点,先对a +b ,b +c ,c +a 分别使用基本不等式,再把它们相乘.[精解详析] ∵a ,b ,c 为正实数, ∴a +b ≥2ab >0, b +c ≥2bc >0, c +a ≥2ca >0, 由上面三式相乘可得 (a +b )(b +c )(c +a ) ≥8ab ·bc ·ca =8abc . 即(a +b )(b +c )(c +a )≥8.(1)用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明.(2)本题证明过程中多次用到基本不等式,然后利用同向不等式的可加性得出所证的不等式.1.已知a ,b ∈(0,+∞),求证:(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥4. 证明:∵a >0,b >0,∴a +b ≥2ab >0,① 当且仅当a =b 时取等号. 1a +1b≥21ab>0,②当且仅当1a =1b ,即a =b 时取等号.①×②,得(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥2ab ·21ab=4, 当且仅当a =b 时取等号. ∴(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥4.[例2] (1)已知a ,b ,c ∈R +,求证:a 2+b 2+c 2+⎝⎛⎭⎫1a +1b +1c 2≥6 3.(2)设a 1,a 2,a 3均为正数,且a 1+a 2+a 3=m ,求证:1a 1+1a 2+1a 3≥9m.[思路点拨] 本题考查平均不等式的应用.解答(1)题时可重复使用均值不等式,(2)题需要先观察求证式子的结构,然后通过变形转化为用平均不等式证明.[精解详析] (1)a 2+b 2+c 2+⎝⎛⎭⎫1a +1b +1c 2 ≥33a 2b 2c 2+931a 2·1b 2·1c 2≥233a 2b 2c 2·931a 2·1b 2·1c 2=63,当且仅当a =b =c =43时等号成立. (2)∵⎝⎛⎭⎫1a 1+1a 2+1a 3·m =(a 1+a 2+a 3)·⎝⎛⎭⎫1a 1+1a 2+1a 3≥33a 1·a 2·a 3·3 31a 1·1a 2·1a 3=9·3a 1·a 2·a 3·1a 1·1a 2·1a 3=9.当且仅当a 1=a 2=a 3=m3时等号成立.又∵m >0,∴1a 1+1a 2+1a 3≥9m.三个正数的算术—几何平均不等式定理,是根据不等式的意义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相等”的条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明.连续多次使用平均值不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致.2.已知a ,b ,c ∈R +,证明⎝⎛⎭⎫1a 2+1b 2+1c 2(a +b +c )2≥27. 证明:∵a ,b ,c ∈R +, ∴a +b +c ≥33abc >0. ∴(a +b +c )2≥93a 2b 2c 2 又1a 2+1b 2+1c 2≥331a 2b 2c2>0, ∴⎝⎛⎭⎫1a 2+1b 2+1c 2(a +b +c )2≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2 =27.当且仅当a =b =c 时,等号成立. ∴⎝⎛⎭⎫1a 2+1b 2+1c 2(a +b +c )2≥27.[对应学生用书P9]一、选择题1.设x 、y 为正实数,且xy -(x +y )=1,则( ) A .x +y ≥2(2+1)B .x +y ≤2(2+1)C .x +y ≤(2+1)2D .x +y ≥(2+1)2解析:x >0,y >0,xy -(x +y )=1⇒xy =1+(x +y )⇒1+(x +y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 22⇒x +y ≥2(2+1).答案:A2.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V ,则下列关系式总成立的是( ) A .V ≥π B .V ≤π C .V ≥18πD .V ≤18π解析:设圆柱的底面半径为r ,高为h , 则由题意得:4r +2h =6,即2r +h =3, 于是有V =πr 2h ≤π·⎝⎛⎭⎪⎫r +r +h 33=π⎝⎛⎭⎫333=π,当且仅当r =h 时取等号. 答案:B3.设x ,y ,z ∈R +且x +y +z =6,则lg x +lg y +lg z 的取值范围是( ) A .(-∞,lg 6] B .(-∞,3lg 2] C .[lg 6,+∞) D .[3lg 2,+∞) 解析:∵lg x +lg y +lg z =lg(xyz ), 而xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x +y +z 33,∴lg(xyz )≤lg 8=3lg 2 (当且仅当x =y =z =2时,等号成立). 答案:B4.设a ,b ,c ∈(0,+∞)且a +b +c =1,令x =⎝⎛⎭⎫1a -1⎝⎛⎭⎫1b -1⎝⎛⎭⎫1c -1,则x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0,18 B.⎣⎡⎭⎫18,1 C .[1,8)D .[8,+∞)解析:∵x =⎝⎛⎭⎫1a -1⎝⎛⎭⎫1b -1⎝⎛⎭⎫1c -1=1-a a ·1-b b ·1-c c =(b +c )·(c +a )·(a +b )abc≥2bc ·2ca ·2ababc=8,当且仅当a =b =c 时取等号,∴x ≥8. 答案:D 二、填空题5.已知x ,y ∈R +,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为________.解析:因为x >0,y >0, 所以x 3+y 4≥2x 3·y 4= xy3,即 xy3≤1,解得xy ≤3,所以其最大值为3. 答案:36.设a >1,t >0,则12log a t 与log a t +12的大小关系为12log a t ________log a t +12(填“<”“≥”或“≤”).解析:因为12log a t =log a t ,又t >0又t +12≥ t .而a >1,∴log a t +12≥log a t ,故填“≤”.答案:≤7.函数y =x 2x 4+9(x ≠0)有最大值________,此时x =________.解析:∵x ≠0,∴x 2>0. ∴y =x 2x 4+9=1x 2+9x2≤12x 2·9x2=16, 当且仅当x 2=9x 2,即x 4=9,x =±3时取等号,即当x =±3时,y max =16.答案:16±38.已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1,则abc 的最大值是________. 解析:∵a ,b ,c ∈(0,+∞),∴1=a +b +c ≥33abc . 0<abc ≤⎝⎛⎭⎫133=127,当且仅当a =b =c =13时取等号.答案:127三、解答题9.求函数y =2x 2+3x (x >0)的最小值.解:由x >0知2x 2>0,32x >0,则y =2x 2+3x =2x 2+32x +32x≥332x 2·32x ·32x =3392.当且仅当2x 2=32x ,即x =334时,y min =3392=32336.10.已知a ,b 为正实数,a +b =1. 求证:⎝⎛⎭⎫a +1a 2+⎝⎛⎭⎫b +1b 2≥252. 证明:∵a >0,b >0,a +b =1. ∴1=a +b ≥2ab ,ab ≤12.∴1ab ≥4.∵a +b 2≤ a 2+b 22,∴a 2+b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22. ∴⎝⎛⎭⎫a +1a 2+⎝⎛⎭⎫b +1b 2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a +1a +b +1b 22=⎝⎛⎭⎫1+1a +1b 22≥⎝⎛⎭⎫1+21ab 22≥252.∴⎝⎛⎭⎫a +1a 2+⎝⎛⎭⎫b +1b 2≥252. 当且仅当a =b =12时等号成立.11.设a ,b ,c 为正实数, 求证:1a 3+1b 3+1c3+abc ≥2 3.证明:因为a ,b ,c 为正实数,由算术—几何平均不等式可得 1a 3+1b 3+1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3, 即1a 3+1b 3+1c 3≥3abc (当且仅当a =b =c 时,等号成立). 所以1a 3+1b 3+1c 3+abc ≥3abc +abc .而3abc+abc ≥23abc·abc =23(当且仅当a 2b 2c 2=3时,等号成立), 所以1a 3+1b 3+1c 3+abc ≥23(当且仅当a =b =c =63时,等号成立).。

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