四川省南充市高考数学一诊试卷(理科)

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四川省南充市2023届高三高考一模考试理科数学试题(后附参考答案)

南充市高2023届高考适应性考试（一诊）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}1,3,5,7,9,29M N x x ==>，则M N ⋂=（）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,92．若复数z 满足i 1z ⋅=+，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．253．如图，在ABC ∆中，4BD DC =，则AD =（）A ．1455AB AC + B ．4155AB AC+uuur uuu r C ．1566AB AC + D ．5166AB AC + 4．函数()21(21x x f x x -=+在33[,]22ππ-上的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．5．某建筑物如图所示，底部为A ，顶部为B ，点C ，D 与点A 在同一水平线上，且CD l =，用高为h 的测角工具在C ，D 位置测得建筑物顶部B 在1C 和1D 处的仰角分别为α，β.其中1C ，1D 和1A 在同一条水平线上，1A 在AB 上，则该建筑物的高AB =（）A ．()sin cos sin l hαββα+-B ．()cos cos sin l hαββα+-C ．()cos sin sin l h αββα+-D ．()sin sin sin l h αββα+-6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为258，则判断框内可填入的条件为（）A ．4?n ³B ．5?n ³C ．6?n ³D ．7?n ³7．在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（）A ．60种B ．120种C ．132种D ．168种8．已知直线20kx y -+=与椭圆2219x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围（）A.(]4,9 B.[)4,+∞ C.[)()4,99,+∞ D.()9,+∞9．已知数列满足212323n a a a na n ++++= ，设n n b na =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项和为（）A ．20224045B ．40464047C ．40444045D ．2023404710．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x≥⎧=⎨<⎩，给出下列五个命题：（1）该函数的值域是[1,1]-；（2）当且仅当222x k x k πππ=+=或(Z k ∈)时，该函数取得最大值1；（3）该函数的最小正周期为2π；（4）当且仅当222k x k ππππ-<<+(Z k ∈)时，()0f x >；（5）当且仅当[,]42x k k ππππ∈++(Z k ∈)时，函数()f x 单调递增；其中所有正确命题个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数3211()32f x x bx cx d =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程[]2()()0f x bf x c ++=的不同实根个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知13sin 3a =，1cos 3b =，1718c =，则（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．b a c>>D ．a c b>>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2610a a +=，则7S =_________.14．若4()(1)x t x -+的展开式中3x 的系数为10，则t =.15．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为2，2,30AB BC ABC ==∠=︒，则此球的表面积等于_________.16．已知向量a 与b夹角为锐角，且2a b == ，任意R λ∈，a b λ-⋅ c满足()()0c a c b -⋅-= ，则c r 的取值范围为_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本题满分12分）在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量)sin m A A = ，，()11n =- ，，且//m n ．(1)求角A 的大小；(2)若a =sin sin 0a B c A -=，求ABC ∆的面积．18．（本题满分12分）2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格.赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”.某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷.该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：（1）若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m 的值，并计算这200人得分的平均值x （同一组数据用该区间中点值作为代表）；（2）该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为23，未抽中奖的概率为13，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y 为他获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望.19．（本题满分12分）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =，90ABC ∠=︒，ADE △是等边三角形．现将ADE △沿AD 折起，连接EB ，当3EC =时得（如图2）的几何体．（1）求证：EAD ABCD ⊥平面平面；（2）在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．20．（本题满分12分）已知函数()()2ln 12ax f x x x x a =--+∈R ．（1）当1a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ．求证：1221x x a <．21．（本题满分12分）已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上一点.（1）求抛物线C 方程；（2）设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN ∆的内切圆方程为221x y +=，求PMN ∆面积的最小值.（二）在选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 满足参数方程为=2cos =2sin x y αα⎧⎨⎩（α为参数，[],0απ∈-）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 0m ρθρθ+-=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2OA OB ⋅=，求实数m 的值．23．（本题满分10分）已知函数()12f x x x =--+.（1）求不等式()2f x x <的解集；（2）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足143a b c M ++=，求证：11116a b c++≥.南充市高2023届高考适应性考试（一诊）理科数学参考答案一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112BCAADCACDCBA二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.3514.1-15.52π16.⎤⎦三.解答题17..解：（1）因为)sin m A A =，，()11n =- ，，//m n.所以sin A A =，..........................................................................................................2分可得tan A =，又(0,)A π∈．..........................................................................................4分所以23A π=..............................................................................................................................6分（2）sin sin 0a B c A -=由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得ab ca =...................................................................................................................................8分则b c =，又a =23A π=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得b c ==分所以211sin 222ABC S bc A ∆==⨯⨯=分18.解：（1）由频率分布直方图表，10(0.00250.00500.01000.01500.0200.0250)1m ++++++=得0.0225m =.......................................................................................................................2分53040504520103545556575859565200200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯所以这200人得分的平均值65x =....................................................................................5分(2)Y 的所有取值为0，100，200，300，............................................................................6分003311232233303211(0)()()3327216(100)()()33272112(200)()()3327218(300)()()3327P Y C P Y C P Y C P Y C ==⨯===⨯===⨯===⨯=....................................................................10分Y 0100200300P1272949827...............................................................................................................................................11分1241()0100200300200279932E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=............................................12分19.（1）取AD 中点O ,连接,OC OE ,易得OEAD ⊥,OC AD⊥.在COE ∆中，由已知3,2CE OC AB OE ====.222.OC OE CE OE OC +=∴⊥ 又OE AD ⊥，OC AD O ⋂=.................................................................................................................3分则OE ABCD ⊥平面........................................................................................................4分又OE ADE⊂平面故EAD ABCD ⊥平面平面得证 (6)分（2）以O 为原点，分别以射线,,OC OAOE 为,,x y z 轴正半轴.建立如图所示空间直角坐标系.则(0,(0,0,A B DE则(0,(0,EB AE AD ===-在棱EB 上的点F满足13EF EB =则13EF = ，AF AE EF =+=- .设平面ADF 的一个法向量为(,,)m x y z =则0,0,m AF m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 令1z =，得平面ADF的一个法向量(m =-..............................................10分又平面EAD 的一个法向量(1,0,0)n =整理得cos ,m n 故二面角E AD F --的余弦值为223.....................................................................12分20.(1)解：()()2ln 10,2ax f x x x x x a =--+>∈R 当1a =时，()()2ln 102x f x x x x x =--+>因为()()ln 0f x x x x '=->，()112f =-，()11f '=-..................................................2分所以()f x 在()(1,1)f 处的切线方程为：1(1)2y x +=--.即2210x y +-=......................................................................................................4分（2）由()()2ln 10,2ax f x x x x x a =--+>∈R 得()()ln 0f x x ax x '=->........................................................................................5分因为函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ．所以()ln 0f x x ax '=-=在(0,)+∞有两个不同的变号零点1x ，2x .不妨设120x x <<.由于1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，得2211ln ()x a x x x =-，则2121()10ln x x x a x -=>...............................7分要证：1221x x a <只需证：2211221()ln x x x x x x -<2121ln x x x x -<只需证：21lnx x <=分t =，则1t >，只需证：12ln t t t<-..................................................................10分构造函数1()2ln h t t t t=-+，(1)t >.因为22221(1)()10t h t t t t-'=--=-<，...........................................................................11分所以()h t 在(1,)+∞单调递减因为1t >，所以()(1)0h t h <=.故原不等式成立........................................................................................................12分21.解：（1）因为点()1,2Q 在焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上所以2221p =⨯.............................................................................................................................2分得2p =，所以抛物线的方程为24y x =.....................................................................................................4分（2）设()00,P x y ，()1,M m -，()1,N n -，则直线PM 的方程为00(1)1y m y m x x --=++，即0000()(1)0y m x x y mx y --+++=........................................................................................5分因为直线PM 与圆221x y +=相切所以1=所以2220000(1)2(1)(1)0x m y x m x --+++=.............................................................................6分同理直线PN 与圆221x y +=相切得：2220000(1)2(1)(1)0x n y x n x --+++=.构造方程:2220000(1)2(1)(1)0x t y x t x --+++=，则1t m =，2t n =.02000020020020(1)002(1)211(1)1011x y x y m n x x x x m n x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+⎪+==⎨--⎪⎪++⋅==<⎪--⎪⎩.......................................................................................8分显然01x>0000 11122PMNS m n x x x x∆=-+=+=+=+ ....................................................................................................................................................10分令1xμ=-，则1xμ=+，0μ>PMNS∆===.........................11分当且仅当42μμ==时，即03x=，取最小值.所以PMNS∆的最小值为分22.解：（1）因为曲线C满足参数方程为=2cos=2sinxyαα⎧⎨⎩（α为参数，[],0απ∈-）所以曲线C的直角坐标方程为：224x y+=(0)y≤...........................................................3分因为直线l的极坐标方程为cos sin0mρθρθ+-=．由cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l直角坐标方程为0x y m+-=......................................................................................5分(2)方法一：因为直线l与曲线C交于A，B两点，且2OA OB⋅=所以1cos2OA OBAOBOA OB⋅∠==⋅................................................................................................7分记O到l的距离为d.则2sin3dπ==.......................................................................................................................8分又0m<.所以m=分方法二：已知(0,0)O，设11(,)A x y，22(,)B x y.则2121212121212()()2()2OA OB x x y y x x m x m x x x m x x m⋅=+=+-⋅-=-++=....................6分2240x y x y m ⎧+=⎨+-=⎩得222240mx m x -+-=........................................................................................................7分122120042x x m m x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=<⎨⎪-⎪⋅=⎪⎩所以222(4)2OA OB m m m ⋅=--+= ......................................................................................8分所以m =m =..........................................................................................9分综上：m =分23.解：（1）()122f x x x x=--+<12123212232x x x x x x x ≥-<<≤-⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨-<--<<⎩⎩⎩或或................................................................................3分1(,)4x ⇔∈-+∞......................................................................................................................5分（2）()3112122132x f x x x x x x ⎧-≥⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩............................................................6分所以函数()f x 的最大值为3M =.已知正实数a ，b ，c 满足1413a b c M ++==....................................................................8分由柯西不等式得2222222111(16a b c ⎡⎤⎡⎤++=++⋅++≥=⎢⎥⎣⎦⎣⎦...................................................................................................................................................9分==2a b c ==时，又41a b c ++=.所以当且仅当14a =，14b =，18c =时，等号成立..............................................................10分。

2019年四川省南充市高考数学一诊试卷(理科)

2019年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣64．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7 5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么f（2019）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣16．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为．14．（5分）函数y=的单调递增区间是．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2019年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上【解答】解：集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B={（x，y）|y=f（x），且x=1}，当x=1时，f（1）的值存在，A∩B={（1，f（1））}，有一个元素；当x=1时，f（1）的值不存在，A∩B=∅，没有元素；∴A∩B中元素的个数至多一个．故选：C．2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得==，∴z=，∴复数z的虚部是﹣．故选：C．3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【解答】解：向量是互相垂直的单位向量，且，则=0﹣+5=﹣1+5×（﹣1）=﹣6．故选：D．4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7【解答】解：根据表中数据，得；=（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．故选：B．5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么f（2019）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1【解答】解：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，则asinα+bcosβ=1，那么f（2019）=asin（2019π+α）+bcos（2019π+β）=asinα+bcosβ=1，故选：A．6．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=log m x是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m ＞1﹣m＞0，∴log m（1+m）＜log m（1﹣m）；∴A不正确；②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴log m（1+m）＜0；∴B不正确；③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是定义域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；故选：D．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形FHDE，∵正方体的棱长为2，∴FH=，DE=，梯形的高为．∴该截面的面积为S=．故选：A．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，则f′（﹣1）f′（1）＜0，即（1﹣a）（5﹣a）＜0，解得1＜a＜5，另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，故选：B．9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．【解答】.解：由题意得，若设AD=DC=1，则AC=，AB=2 ，BC=，由题意知，，△BCD中，由余弦定理得DB2=DC2+CB2﹣2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×=7+2∵∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2①．如图，作，，则CC′=x﹣1，C′B=y，Rt△CC′B中，由勾股定理得BC2=CC'2+C′B2，即6=（x﹣1）2+y2，②由①②可得x=1+，y=．那么：x+y=1+2故选：B．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE=．AO=．所求球的体积为：==32．故选A．11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=4y，对其求导得．设A，B，则直线PA，PB的斜率分别为k PA=，k PB=．由点斜式得PA，PB的方程分别为：y﹣=．=（x﹣x2），联立解得P，因为P在l上，所以=﹣1，所以k PA•k PB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]【解答】解：由f（m）=2ln﹣f（n）得f（m）+f（n）=1⇒，f（mn）=1﹣=1﹣，又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+≥4+4=8，∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为32．【解答】解：由，得通项，为有理项，∴当r=0、2、4、6时，T r+1此时有理项系数之和为=．故答案为：32．14．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，] ．【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜．再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2=5+20=25，∴m=±5，∴利用，解得：AB=4．故答案为：4．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．=2a n﹣1﹣2，当n≥2时，S n﹣1所以a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n（n∈N*）．（2）=（n+1）•（）n，则T n=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，上面两式相减，可得T n=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（n+3）•（）n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：即E（X）=0×=．19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．由题意可得MP∥AD∥BC，因为MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以MP∥平面BCE，同理可证NP∥平面BCE．因为MP∩NP=P，所以平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP，所以MN∥平面BCE．（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE．由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．令AB=2，则．所以．设平面MAB的法向量则令x=2，则因为是平面ABE的一个法向量所以所以锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．【解答】解：（1）设P（x0，y0），又A（﹣2，0），F（﹣1，0）所以=，因为P点在椭圆上，所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，函数在[﹣2，2]单调递增，当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；当x0=2时，f（x0）取最大值为12．所以的取值范围是[0，12]．（2）由题意：联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①设M（x1，y1），N（x2，y2），则．==0，所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0即，4k2﹣16km+7m2=0，所以或均适合①．当时，直线l过点A，舍去，当时，直线过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=﹣2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x﹣在[1，+∞）上恒成立，令h（x）=2x﹣，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，所以a≤；（2）若对任意x1∈[﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（﹣1，+∞）上的值域是函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为a=﹣1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x+2，定义域（﹣1，+∞）f′（x）=﹣2x﹣1=令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（﹣∞，2）对于函数g（x）=﹣x2+2bx+b=﹣（x﹣b）2+b+b2①当b≤﹣1时，g（x）的最大值为g（﹣1）=﹣1﹣b⇒g（x）值域为（﹣∞，﹣1﹣b]由﹣1﹣b≥2⇒b≤3；②当b＞﹣1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（﹣∞，b2+b]由b2+b≥2⇒b≥1或b≤﹣2（舍去），综上所述，b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1．+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x+2所以直线l的斜率角为．（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．则，所以t1＜0，t2＜0所以．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。

四川省南充市高考数学一诊试卷(理科)解析版

高考数学一诊试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={x|x2≤1}，则A∪B=（）A. {x|x≥1}B. {x|x≥-1}C. {x|x≤1}D. {x|x≤-1}2.=（）A. -+iB. --iC. +iD. -3.“α=“是“cosα=“成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（）A. B. C. 8π D.5.函数f（x）=的最小值是（）A. B. C. - D. -6.的展开式中x3的系数为（）A. 5B. 10C. 15D. 207.若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.8.设函数，若方程f（x）=a有且只有一个实根，则实数a满足（）A. a＜0B. 0≤a＜1C. a=1D. a＞19.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若|BC|=2，|+|=|-|，则||=（）A. B. 1 C. 2 D. 410.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a+b=+，则角C=（）A. B. C. D.11.设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（）=e（e为自然对数的底数），则不等式f（ln x）＜x2的解集为（）A. （0，）B. （0，）C. （，）D. （，）12.已知1＜m＜4，F1，F2为曲线C：的左、右焦点，点P为曲线C与曲线E：在第一象限的交点，直线l为C在点P处的切线，若三角形F1PF2的内心为点M，直线F1M与直线l交于N点，则M，N横坐标之差为（）A. -1B. -2C. -3D. 随m的变化而变化二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A（1，1），B（2，-4），C（x，-9），且，则x=______．14.函数f（x）=sin x+cos x在区间[0，]上的最大值为______．15.已知函数f（x）=+sin x，则f（-5）+f（-4）+f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值是______16.过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，又过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为D，C，若梯形ABCD的面积为6，则p=______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，组号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计10012小时的频率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值．18.在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当+++…+最大时，求n的值．19.如图，在四棱锥P-BCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，PA⊥底面ABCD．（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？证明你的结论；（2）当PA==2时，求面PDC与面PAB所成二面角的正弦值．20.已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点P（-1，-）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|=|F1N|？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）=mx2-x+ln x，（Ⅰ）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线L与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值或取值范围．22.在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．23.已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|x≥1}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∪B={x|x≥-1}．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：==．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由α=一定能推出cosα=，当由cosα=，则不一定推出α=，故“α=“是“cosα=“成立的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断本题考查了充分条件和必要条件的定义和三角函数的值，属于基础题4.【答案】C【解析】解：设半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S=（R2-1）π=π，∴R2=2，∴球的表面积S=4πR2=8π．故选：C．求出截面圆的半径为，利用截面圆的面积为π，可得R2=2，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查勾股定理的运用，比较基础．5.【答案】D【解析】解：函数f（x）==sin2x，当2x=-+2kπ，即x=-+kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值为-．故选：D．利用二倍角公式化函数f（x）为正弦函数，利用正弦函数的有界性求出f（x）的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由二项式的展开式的通项公式为，r=3，则x3的系数为=15，故选：C．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．7.【答案】C【解析】【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．本题考查直线和圆的位置关系，也可以用数形结合画出图形来判断，是基础题．解：设直线方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0，直线l与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，【解答】圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，所以.故选C．8.【答案】C【解析】解：关于x的方程f（x）=a有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=a的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a=1时，y=f（x）与y=a的图象只有一个交点故选：C．关于x的方程f（x）=a有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=a的图象只有一个交点，结合图象可求观察．本题主要考查了根式函数、绝对值函数的图象性质；但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题．9.【答案】B【解析】解：∵点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若|BC|=2，|+|=|-|，设+=，-=，则||=||，∴平行四边形ABDC的对角线AD=BC，则||=||=||=1，故选：B．由题意利用两个向量加减法及其几何意义，求出要求式子的值．本题主要考查两个向量加减法及其几何意义，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，a+b=+，由正弦定理可得sin A+sin B==+=cos A+cos B，则有sin A+sin B=cos A+cos B，变形可得：2sin（）cos（）=2cos（）cos（），又由-＜＜，则cos（）≠0，则有2sin（）=cos（），即tan（）=1，又由0＜＜，则=，即A+B=，则C=，故选：D．根据题意，由正弦定理可得a+b=+⇒sin A+sin B=cos A+cos B，由三角函数的恒等变形公式可得2sin（）cos（）=2cos（）cos（），变形可得tan（）=1，进而分析可得答案．本题考查三角函数的恒等变形，涉及三角函数的和差化积公式的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：可构造函数F（x）=，F′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．不等式f（ln x）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即为F（ln x）＜F（），由F（x）在R上递增，可得ln x＜，解得0＜x＜．故不等式的解集为（0，），故选：B．构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（ln x）＜F（），运用单调性，可得ln x＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意可得曲线C，E有相同的焦点（-m，0），（m，0），且|PF1|+|PF2|=4，c=，联立，消去y可得x=±，设P（x0，y0），且x0=，y0=，直线l的方程为①，设三角形F1PF2的内切圆的半径为r，则由等面积可得•2c•y0=r（|PF1|+|PF2|+2c），即2y0=（4+2）r，∴r==y M②，由M（1，y M），F1（-，0），可得直线F1M的斜率为k=，直线F1M的方程为y=（x+）③，联立①②③，化简可得3x=6，得x N=2，∵x M=1，∴x M-x N=-1．故选：A．由题意可得两曲线的焦点，先求出P的坐标，得出切线方程，求出三角形F1PF2的内切圆的半径、直线F1M的方程，联立切线方程求出N的横坐标，即可得出结论．本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查椭圆的切线方程和两直线交点的求法，考查化简运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：，∵，∴-10+5（x-1）=0，解得x=3．故答案为：3．可以求出，根据可得出-10+5（x-1）=0，解出x的值即可．本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：函数f（x）=sin x+cos x=2sin（x+），故函数在区间[0，]，x=时，取到最大值2，故答案为：2．用辅助角公式对三角函数化简，求出最大值即可．考查了运用辅助角公式对函数化简，和三角函数求最值，基础题．15.【答案】11【解析】解：∵f（x）=+sin x=，∴f（-x）+f（x）=+，==2，则f（-5）+f（-4）+f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5），=5×2+1=11．故答案为：11．由题意可得f（-x）+f（x）=2，然后代入即可求解．本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是发现f（x）+f（-x）=2的规律．16.【答案】【解析】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0．由，消去y得x2-2px-p2=0，由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=-p2∴梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2-x1）=（x1+x2+p）（x2-x1）=•3p=3p2=6，又p＞0，∴p=．故答案为．先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B 坐标表示出梯形的面积，建立面积等式求得p．本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算能力，属中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有6+2+2=10名，所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P=1-=0.9；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（Ⅱ）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4，6）的人数为17，则频率是=0.17，所以由频率分布直方图得，a==0.085，同理可得，b==0.125．【解析】（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由求出a、b的值．本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8=25，∴a32+2a3a5+a52=25又a n＞0，∴a3+a5=5 …（1分）又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5=4 …（2分）而q∈（0，1），∴a3＞a5，∴a3=4，a5=1，∴q=，a1=16，∴a n=16×（）n-1=25-n．（2）∵b n=log2a n=5-n，∴b n+1-b n=-1，b1=log2a1=log216=log224=4，∴{b n}是以b1=4为首项，-1为公差的等差数列，∴S n=．…（8分）（3）∵=，∴n≤8时，＞0，n=9时，=0，n＞9时，＜0，∴n=8或9时，+++…+最大…（12分）【解析】（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把a n代入到b n=log2a n中得到b n的通项公式，即可得到前n项和的通项s n；（3）把s n代入得到，确定其正负，即可求n的值．本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的求法，解题时要认真审题，注意方法的合理运用．19.【答案】解：（1）当a=2时，ABCD为正方形，则因为PA⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD．所以DB⊥PA，又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，所以当a=2时，BD⊥平面PAC．（2）以A为原点，的正方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．D（0，4，0），C（2，4，0），P（0，0，2），，设是平面PDC的一个法向量，则，即；取y=1，则是平面PAB的法向量；所以；所以故面PDC与面PAB所成二面角的正弦值【解析】（1）当ABCD为正方形时，AC⊥BD，即a=2时满足条件．（2）建立空间直角坐标系，求出平面PDC的一个法向量，是平面PAB的法向量；即可求出答案．本题考查线面垂直的条件的探索，二面角，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意得，c=2，=1，a2=b2+c2，解得：a2=6，b2=2，所以椭圆的标准方程：=1；（2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程：y=-x+t，设M（x，y），N（x'，y'）与椭圆联立整理：4x2-6tx+3t2-6=0，△=36t2-4•4•（3t2-6）＞0，-2，x+x'=，xx'=，由于|F1M|=|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，所以k=-=1又E（，），所以k==1，解得t=-4，当t=-4时，不满足-2，所以不存在满足条件的直线l．【解析】（1）直接由题意得离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）假设存在这样的直线，设直线方程联立与椭圆的方程，判别式大于零，由使得|F1M|=|F1N|求出参数，结果不满足判别式大于零的条件，所以不存在这样的直线．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题21.【答案】解：（Ⅰ）因为，依题意知2mx2-x+1＜0在（0，+∞）上有解．当m≤0时显然成立；当m＞0时，由于函数y=2mx2-x+1的图象的对称轴，故需且只需△＞0，即1-8m＞0，解得，故．综上所述，实数m的取值范围为．（Ⅱ）因为f（1）=m-1，f'（1）=2m，故切线L的方程为y-m+1=2m（x-1），即y=2mx-m-1．从而方程mx2-x+ln x=2mx-m-1在（0，+∞）上有且只有一解．设g（x）=mx2-x+ln x-（2mx-m-1），则g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点．又g（1）=0，故函数g（x）有零点x=1．则．当时，g'（x）≥0，又g（x）不是常数函数，故g（x）在（0，+∞）上单调递增．所以函数g（x）有且只有一个零点x=1，满足题意．当时，由g'（x）=0，得或x=1，且．由g'（x）＞0，得0＜x＜1或；由g'（x）＜0，得．所以当x在（0，+∞）上变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：x（0，1）1g'（x）+0-0+g（x）增极大值减极小值增根据上表知．而函数．所以，故在上，函数g（x）又存在一个零点，不满足题意．综上所述，．（Ⅰ）求出函数的导数，通过当m≤0时显然成立；当m＞0时，结合函数y=2mx2-x+1【解析】的图象的对称轴，转化求解实数m的取值范围．（Ⅱ）求出切线L的方程y=2mx-m-1．设g（x）=mx2-x+ln x-（2mx-m-1），则g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点．利用函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的极值，然后列出不等式，即可求出m的范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：（I）C1的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，…（2分），C2的直角坐标方程为x=3；…（4分）（II）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为：，代入C1可得t2+2t cosθ=0，解得，可知|AP|=|t2|=|2cosθ|…（6分）代入C2可得2+t cosθ=3，解得，可知…（8分）所以PQ=，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…（10分）【解析】（Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）设出直线PQ的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可．本题主要考查极坐标方程和普通坐标方程之间的转化，考查学生的转化能力．23.【答案】解：（I）由已知可得，所以f min（x）=1，所以只需|m-1|≤1，解得-1≤m-1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M=2（II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a=b时取等号，①又∴∴，当且仅当a=b时取等号，②由①②得，∴，所以a+b≥2ab法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，即证2（ab）2-ab-1≤0，即证（2ab+1）（ab-1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab.【解析】（I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m-1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．。

四川省南充市高考数学一模试卷(理科)

四川省南充市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2020·江西模拟) 已知集合，，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数的值是（）A .B .C .D . 13. （2分）已知直线平面,直线,则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i,j)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42=8,a54=15,若aij=2011，则i与j的和为A . 106B . 107C . 108D . 1095. （2分） (2018高二下·磁县期末) 在如图所示的计算的值的程序框图中，判断框内应填入A .B .C .D .6. （2分）(2016·北京文) 已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（）A . ﹣1B . 3C . 7D . 87. （2分） (2016高二上·中江期中) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 108B . 100C . 92D . 848. （2分）在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知则B的大小为（）A .B .C . 或D . 或9. （2分）在等比数列 {an}中，a3+a5=20，a4=8，则a2+a6=（）A . 188B . 24C . 32D . 3410. （2分）(2018·山东模拟) 已知点P是双曲线C：的一条渐近线上一点，F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（）A .B .C . 1D . 2二、填空题： (共5题；共6分)11. （2分） (2019高二上·张家口月考) 某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：日期月日月日月日月日月日温差发芽数(颗)由表中根据月日至月的数据，求的线性回归方程中的，则为________，若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程________.(填“可靠”或“不可幕”)12. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=0.2，则P（﹣1＜ξ＜0）等于________．13. （1分） (2016高二下·右玉期中) 若f（x）= ，则f（2016）等于________．14. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于________．15. （1分）(2017·扬州模拟) 已知函数f（x）= 其中m＞0，若函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共55分)16. （10分）已知函数y=sin（2x+ ）+1．（1）用“五点法”画出函数的草图；（2）函数图象可由y=sinx的图象怎样变换得到？17. （15分） (2016高二上·上杭期中) 在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣，bn= ，其中n∈N* ．（1）求证：数列{bn}为等差数列；（2）设cn=bn+1•（），数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn；（3）证明：1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）18. （10分）(2017·衡阳模拟) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=5，AB=6，M是CC1中点，CC1=8．（1）求证：平面AB1M⊥平面A1ABB1；（2）求平面AB1M与平面ABC所成二面角的正弦值．19. （5分）(2017·石家庄模拟) 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．20. （10分） (2019高三上·凉州期中) 已知函数（1）求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围21. （5分） (2018高三上·昆明期末) 已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若，是椭圆上两个不同的动点，且使的角平分线垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共6分)11-1、12、答案：略13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、答案：略。

四川省南充市2024届高三一模数学(理)试题(教师版)

南充市高2024届高考适应性考试(一诊)理科数学一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.当12m <<时，复数1(2)i m m -+-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到1020m m ->⎧⎨-<⎩，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由12m <<，可得1020m m ->⎧⎨-<⎩，所以复数1(2)i m m -+-在复平面内对应的点(1,2)Z m m --位于第四象限.故选：D.3.已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=（）A.0B.C. D.4【答案】C【解析】【分析】利用向量运算法则得到2AB BC CA AC +-==.【详解】2AB BC CA AC CA AC +-=-=，因为正方形ABCD 的边长为1，所以AC ==，故AB BC CA +-=故选：C4.已知直线m ,n 和平面α,n ⊂α，m α⊂/，则“//m n ”是“//m α”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理与性质定理判断即可.【详解】根据线面平行的判定定理知,若//m n ,则//m α,故充分性成立；若//m α,则直线m ,n 有可能平行或者异面,故必要性不成立.所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件.故选：A .5.已知全集U =R ，集合(){}223|log 11|14x A x x B x y ⎧⎫=-<=+=⎨⎬⎩⎭，，则能表示A B U ，，关系的图是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】解出集合,A B 后，求得{}|12A B x x ⋂=<≤，逐项分析即可.【详解】因为(){}{}3|log 11|14A x x x x =-<=<<，{}22|1|224x B x y x x ⎧⎫=+==-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以{}|12A B x x ⋂=<≤，对于A ，A B B = ，错误；对于C ，A B ⋂=∅，错误；对于D ，A B A = 错误；B 选项符合题意，故选：B .6.某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y （万件）与时间x （月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 与x 的回归直线方程为： 0.480.56y x =+．则下列说法错误的是（）时间x （月）12345销售量y （万件）11.62.0a3A.由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件B.表中数据的样本中心点为()3,2.0C. 2.4a =D.由表中数据可知，y 和x 成正相关【答案】A 【解析】【分析】根据给定数据，结合回归直线的特性逐项判断即得.【详解】依题意，123451 1.6237.63,555a ax y +++++++++====，而y 与x 的回归直线方程为： 0.480.56y x =+，则7.630.480.565a+=⨯+，解得 2.4a =， 2.0y =，表中数据的样本中心点为()3,2.0，BC 正确；由0.480>，得y 和x 成正相关，D 正确；2024年1月份，即13x =，由回归直线方程 0.480.56y x =+，得0.48130.56 6.8y =⨯+=，因此2024年1月份该地区的销售量约为6.8万件，A 错误.故选：A7.二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A.60-B.60C.210D.210-【答案】B 【解析】【分析】直接利用二项式定理展开式的通项求解即可.【详解】展开式的通项为()611216=C2kkkk T xx --+-，所以()()161022k k k ´-+-´=Þ=，常数项为()2665C 24602k´-=´=，故选：B.8.已知：123a +=，3123b -=，则下列说法中错误的是（）A.2a b += B.312b << C.1b a -< D.1ab >【答案】D 【解析】【分析】由123a +=，3123b -=，得到22log 31,3log 3a b =-=-，再由2322log 3log 2>，得到322232log 3log 22>>=，然后逐项判断.【详解】解：因为123a +=，3123b -=，所以22log 31,3log 3a b =-=-，则()()22log 313log 32a b +=-+-=，故A 正确；因为2322log 3log 2>，则322232log 3log 22>>=，所以2313log 32<-<，即312b <<，故B 正确：因为232log 32>>，所以()()2223log 3log 3142log 31b a -=---=-<，故C 正确；因为232log 32>>，所以()()()()2222222log 313log 3log 34log 33log 3211ab =--=-+-=--+<，故D 错误；故选：D9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面面积为（）A.32B.92C.9D.18【答案】B 【解析】【分析】根据E ，F 分别是BC ，1CC 的中点，得到1EF BC ，利用正方体的结构特征，有11AD BC ，从而有1EF AD ，由平面的基本性质得到1,,,A D E F 在同一平面内，截面1EFD A 是等腰梯形，再利用梯形面积公式求解.【详解】由题知连接1BC ，1AD ，1D F ，如图所示因为,E F 分别是1,BC CC 的中点，所以1EF BC ，在正方体中11AD BC ，所以1EF AD ，所以1,,,A D E F 在同一平面内，所以平面AEF 截该正方体所得的截面为平面1EFD A ，因为正方体的棱长为2，所以EF =，1AD =，1D F AE ===，则E 到1AD 的距离为等腰梯形1EFD A 的高为2=，所以截面面积为(1329222S =⨯=，故B 正确.故选：B.10.如图1是函数π()cos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中()g x 的部分图象，则（）A.1()22g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.2023332g ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.方程14()log g x x =有4个不相等的实数解D.1()2g x >的解集为152,266k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Zk ∈【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数图象变换求得()g x ，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.。

2021年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）

2021年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上2．（5分）已知复数z 知足，则复数z的虚部是（）A ．B ．C ．D ．3．（5分）已知向量是彼此垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣64．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：651 0126532则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A ．=0.7x﹣2.3B ．=﹣0.7x+10.3C ．=﹣10.3x+0.7D ．=10.3x﹣0.7 5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2021）=﹣1，那么f（2021）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣16．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D ．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一路，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点别离为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为．14．（5分）函数y=的单调递增区间是．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线彼此垂直，则线段AB的长度是．16．（5分）概念域为R的偶函数f（x）知足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此取得样本的重量频率散布直方图（如图）．（1）求a的值，并按照样本数据，试估量盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的散布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面彼此垂直，M，N别离是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左核心为F，左极点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2021年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上【解答】解：集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B={（x，y）|y=f（x），且x=1}，当x=1时，f（1）的值存在，A∩B={（1，f（1））}，有一个元素；当x=1时，f（1）的值不存在，A∩B=∅，没有元素；∴A∩B中元素的个数最多一个．故选：C．2．（5分）已知复数z知足，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得==，∴z=，∴复数z的虚部是﹣．故选：C．3．（5分）已知向量是彼此垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【解答】解：向量是彼此垂直的单位向量，且，则=0﹣+5=﹣1+5×（﹣1）=﹣6．故选：D．4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x651012y6532则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7【解答】解：按照表中数据，得；=（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．故选：B．5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2021）=﹣1，那么f（2021）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1【解答】解：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2021）=asin（2021π+α）+bcos（2017π+β）=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，则asinα+bcosβ=1，那么f（2021）=asin（2021π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bcosβ=1，故选：A．6．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=log m x是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m ＞1﹣m＞0，∴log m（1+m）＜log m（1﹣m）；∴A不正确；②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴log m（1+m）＜0；∴B不正确；③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是概念域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；故选：D．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形FHDE，∵正方体的棱长为2，∴FH=，DE=，梯形的高为．∴该截面的面积为S=．故选：A．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，则f′（﹣1）f′（1）＜0，即（1﹣a）（5﹣a）＜0，解得1＜a＜5，另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，故选：B．9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一路，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．【解答】.解：由题意得，若设AD=DC=1，则AC=，AB=2 ，BC=，由题意知，，△BCD中，由余弦定理得DB2=DC2+CB2﹣2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×=7+2∵∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2①．如图，作，，则CC′=x﹣1，C′B=y，Rt△CC′B中，由勾股定理得BC2=CC'2+C′B2，即6=（x﹣1）2+y2，②由①②可得x=1+，y=．那么：x+y=1+2故选：B．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE=．AO=．所求球的体积为：==32．故选A．11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点别离为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=4y，对其求导得．设A，B，则直线PA，PB的斜率别离为k PA=，k PB=．由点斜式得PA，PB的方程别离为：y﹣=．=（x﹣x2），联立解得P，因为P在l上，所以=﹣1，所以k PA•k PB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]【解答】解：由f（m）=2ln﹣f（n）得f（m）+f（n）=1⇒，f（mn）=1﹣=1﹣，又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+≥4+4=8，∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为32．【解答】解：由，得通项，为有理项，∴当r=0、二、4、6时，T r+1此时有理项系数之和为=．故答案为：32．14．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，] ．【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线彼此垂直，则线段AB的长度是4．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（﹣m，0），按照圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜．再按照题意可得O1A⊥AO2，∴m2=5+20=25，∴m=±5，∴利用，解得：AB=4．故答案为：4．16．（5分）概念域为R的偶函数f（x）知足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是概念域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、极点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣2，﹣1所以a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n（n∈N*）．（2）=（n+1）•（）n，则T n=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，上面两式相减，可得T n=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（n+3）•（）n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此取得样本的重量频率散布直方图（如图）．（1）求a的值，并按照样本数据，试估量盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的散布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估量盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估量盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估量整体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的散布列为：X0123P即E（X）=0×=．19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面彼此垂直，M，N别离是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．由题意可得MP∥AD∥BC，因为MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以MP∥平面BCE，同理可证NP∥平面BCE．因为MP∩NP=P，所以平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP，所以MN∥平面BCE．（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE．由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，成立空间直角坐标系．令AB=2，则．所以．设平面MAB的法向量则令x=2，则因为是平面ABE的一个法向量所以所以锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的左核心为F，左极点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．【解答】解：（1）设P（x0，y0），又A（﹣2，0），F（﹣1，0）所以=，因为P点在椭圆上，所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，函数在[﹣2，2]单调递增，当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；当x0=2时，f（x0）取最大值为12．所以的取值范围是[0，12]．（2）由题意：联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①设M（x1，y1），N（x2，y2），则．==0，所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0即，4k2﹣16km+7m2=0，所以或均适合①．当时，直线l过点A，舍去，当时，直线过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=﹣2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x﹣在[1，+∞）上恒成立，令h（x）=2x﹣，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，所以a≤；（2）若对任意x1∈[﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（﹣1，+∞）上的值域是函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为a=﹣1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x+2，概念域（﹣1，+∞）f′（x）=﹣2x﹣1=令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．当x转变时，f（x）与f′（x）的转变情况如下表：所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（﹣∞，2）对于函数g（x）=﹣x2+2bx+b=﹣（x﹣b）2+b+b2①当b≤﹣1时，g（x）的最大值为g（﹣1）=﹣1﹣b⇒g（x）值域为（﹣∞，﹣1﹣b]由﹣1﹣b≥2⇒b≤3；②当b＞﹣1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（﹣∞，b2+b]由b2+b≥2⇒b≥1或b≤﹣2（舍去），综上所述，b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1．+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x+2所以直线l的斜率角为．（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数别离为t1，t2．则，所以t1＜0，t2＜0所以．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。

四川省南充市高考数学第一次适应性考试理(扫描版)

南充市高2013届第一次高考适应性考试数学理科答案一、选择题（50分）题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A DC A B CD A D C 二、填空题（25分）11. π+8 ； 12. 2 ； 13. 23 ； 14. 22 ； 15. 3018说明：15题更正如下：三、解答题(75分）16.（本题满分12分）解：（Ⅰ）分所以因为20cos cos sin sin 23, =+-⊥C B C B n m（Ⅱ）由余弦定理得若,3,1c b a ==17.（本题满分12分）解：（Ⅰ） ① 8 ② 0.44 ③ 6 ④ 0.12 …………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：P = 0.4①该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道题.第4道也能够答对才获得一等奖，则有1230.40.60.40.1728C ⨯⨯⨯= ……………………………6分②因为只要答对2道题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4. 即X = 2、3、42(2)0.40.16,P X ===132123(3)0.40.60.40.60.408,(4)0.40.60.432.P X C P X C ==⨯⨯+===⨯=分布列为：20.1630.40840.432 3.272.EX =⨯+⨯+⨯= ……………………………12分18.（本题满分13分）解：(Ⅰ证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC .因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE . ……………………………4分(Ⅱ)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，即∠DBE ＝60°，所以ED DB ＝ 3. 因为正方形ABCD 的边长为3，所以BD ＝32，所以DE ＝36，AF ＝ 6.则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0，3,0)，所以BF ＝(0，－3，6)，EF ＝(3,0，－26)，设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BF ＝0，n ·EF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0，令z ＝6，则n ＝(4,2，6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，CA ＝(3，－3,0)，所以cos 〈n ，CA 〉＝n ·CA|n ||CA |＝626×32＝1313. 因为二面角为锐角，所以二面角F －BE －D 的余弦值为1313. …………………9分 (Ⅲ)点M 是线段BD 上一个动点，设M (t ，t,0)．则AM ＝(t －3，t,0)，因为AM ∥平面BEF ，所以AM ·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.此时，点M 坐标为(2,2,0)，BM ＝13BD ，符合题意． …………………………13分19.（本题满分12分）（Ⅱ）因为n a n =，则,2)1(+=n n S n )111(2)1(21+-=+=n n n n S n ． ………10分所以=+++nS S S 11121 2(2)111(2)]111()3121()211[(<+-=+-++-+-n n n ． …12分 20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)y x a b a b +=>>,由已知得1b =.设右焦点为(,0)c ，由题意得223, 2.2c c +=∴= ……………………………2分2223a b c ∴=+=.∴椭圆的方程为2213x y+=. ……………………4分21.（本题满分14分）解：(Ⅰ)分时，当时当时，当分得令4.11ln1)(1)(,),1(,0)()1,0(2.1,0)(),(1ln)(min''''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-===∴>+∞∈<∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==>+=eeexfexxfexxfexexxfxxxf(Ⅱ)分上单调递减在上单调递增在时当上是增函数在时当综上分解得得令分解得得令时当分上是增函数；在恒有时当分9.),21(,)21,0()(,;),0()(,:8.21,012)(7;21,012,0)(,)2(6),0()(,0)(,)1(5).(1212)().(1ln)(2'2''2'2+∞--<+∞≥-><+<-<<>+><+∞>≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>+=+=>++=aaxFaxFaaxaxxFaxaxxFaxFxFaxxaxxaxxFxxaxxF（Ⅲ）分故等价于证知由则只要证令分等价于即证要证证：11)(*)1(ln 1ln ,0ln 1,ln 11,10,ln 11,ln ln ,1.ln ln )()('12121212212121211212121'2 ><-<>><-<=<-<<--<<<--=--=t t t t t t t t t t x x t x x x x x x x x x x x x x k x x x x x x x x f x f k分成立，得证知（由即时当上是增函数，在故则设分即时当上是增函数。

四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试(一诊)理科数学试题

一、单选题二、多选题1. 将三角函数向左平移个单位后，得到的函数解析式为A．B．C．D．2. 已知全集，集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为A．B．C．D．3. 已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（）A．B．C ．0D ．24.复数的虚部为（）A ．3B．C ．2D．5. 已知集合，，则为（）A．B．C．D．6. 小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则（）．A．B．C．D．7. 蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有五个点、、、、恰好构成一正四棱锥，若该棱锥的高为8，底面边长为，则该鞠的表面积为（）A．B．C．D．8.已知，将函数的图象向右平移个单位得到，则使得函数是偶函数的的最小值是（）A．B．C．D．9. 已知直线与函数的图象相交，A ，B ，C 是从左到右的三个相邻交点，设，四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试（一诊）理科数学试题四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试（一诊）理科数学试题三、填空题四、解答题，则下列结论正确的是（）．A．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称B．若，则C ．若在上无最值，则的最大值为D．10.已知函数，则下列结论正确的是（）A．对于任意的，存在偶函数，使得为奇函数B．若只有一个零点，则C ．当时，关于的方程有3个不同的实数根的充要条件为D ．对于任意的，一定存在极值11. 已知向量满足，则可能成立的结果为（）A．B．C．D．12. 已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足，则下列关系一定正确的是（）A．B．C．D．13. 定义在R 上的奇函数f （x ）以2为周期，则f （1）=________．14. 已知函数则________；方程的解为________．15. 已知，若，则_____．16. 已知函数，其中a 为实数．(1)讨论函数的单调性；(2)令，若恒成立，求实数a 的取值范围．17. 安庆某农场主拥有两个面积都是220亩的农场——加盟“生态农场”与“智慧农场”，种植的都是西瓜，西瓜根据品相和质量大小分为优级西瓜､一级西瓜､残次西瓜三个等级.农场主随机抽取了两个农场的西瓜各100千克，得到如下数据：“生态农场”优级西瓜和一级西瓜共95千克，两个农场的残次西瓜一共20千克，优级西瓜数目如下：“生态农场”20千克，“智慧农场”25千克.(1)根据所提供的数据，完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为残次西瓜率与农场有关？农场非残次西瓜残次西瓜总计生态农场智慧农场总计(2)种植西瓜的成本为0.5元/千克，且西瓜价格如下表：等级优级西瓜一级西瓜残次西瓜价格（元/千克） 2.5 1.5（无害化处理费用）①以样本的频率作为概率，请分别计算两个农场每千克西瓜的平均利润；②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策.（假设两个农场的产量相同）参考公式：，其中.附表：0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.82818. 如图，直三棱柱的所有棱长都是2，D、E分别是AC、的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．19.已知圆：，定点，如图所示，圆上某一点恰好与点关于直线对称，设直线与直线的交点为.(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）.直线，的斜率分别记为，，且.求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.20. 某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：分段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数510a30a+510(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求的取值范围.21. 已知，是椭圆的左，右顶点，，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于点，，交直线于点，且直线，，的斜率成等差数列，和是椭圆上的两动点，和的横坐标之和为2，的中垂线交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）求的面积的最大值．。

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2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣64．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x651012y6532则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7 5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么f（2018）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣16．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为．14．（5分）函数y=的单调递增区间是．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上【解答】解：集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B={（x，y）|y=f（x），且x=1}，当x=1时，f（1）的值存在，A∩B={（1，f（1））}，有一个元素；当x=1时，f（1）的值不存在，A∩B=∅，没有元素；∴A∩B中元素的个数至多一个．故选：C．2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得==，∴z=，∴复数z的虚部是﹣．故选：C．3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【解答】解：向量是互相垂直的单位向量，且，则=0﹣+5=﹣1+5×（﹣1）=﹣6．故选：D．4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x651012y6532则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7【解答】解：根据表中数据，得；=（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．故选：B．5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么f（2018）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1【解答】解：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，则asinα+bcosβ=1，那么f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bcosβ=1，故选：A．6．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=log m x是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m ＞1﹣m＞0，∴log m（1+m）＜log m（1﹣m）；∴A不正确；②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴log m（1+m）＜0；∴B不正确；③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是定义域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；故选：D．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形FHDE，∵正方体的棱长为2，∴FH=，DE=，梯形的高为．∴该截面的面积为S=．故选：A．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，则f′（﹣1）f′（1）＜0，即（1﹣a）（5﹣a）＜0，解得1＜a＜5，另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，故选：B．9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．【解答】.解：由题意得，若设AD=DC=1，则AC=，AB=2 ，BC=，由题意知，，△BCD中，由余弦定理得DB2=DC2+CB2﹣2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×=7+2∵∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2①．如图，作，，则CC′=x﹣1，C′B=y，Rt△CC′B中，由勾股定理得BC2=CC'2+C′B2，即6=（x﹣1）2+y2，②由①②可得x=1+，y=．那么：x+y=1+2故选：B．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE=．AO=．所求球的体积为：==32．故选A．11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=4y，对其求导得．设A，B，则直线PA，PB的斜率分别为k PA=，k PB=．由点斜式得PA，PB的方程分别为：y﹣=．=（x﹣x2），联立解得P，因为P在l上，所以=﹣1，所以k PA•k PB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]【解答】解：由f（m）=2ln﹣f（n）得f（m）+f（n）=1⇒，f（mn）=1﹣=1﹣，又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+≥4+4=8，∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为32．【解答】解：由，得通项，为有理项，∴当r=0、2、4、6时，T r+1此时有理项系数之和为=．故答案为：32．14．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，] ．【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜．再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2=5+20=25，∴m=±5，∴利用，解得：AB=4．故答案为：4．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．=2a n﹣1﹣2，当n≥2时，S n﹣1所以a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n（n∈N*）．（2）=（n+1）•（）n，则T n=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，上面两式相减，可得T n=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（n+3）•（）n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：X0123P即E（X）=0×=．19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．由题意可得MP∥AD∥BC，因为MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以MP∥平面BCE，同理可证NP∥平面BCE．因为MP∩NP=P，所以平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP，所以MN∥平面BCE．（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE．由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．令AB=2，则．所以．设平面MAB的法向量则令x=2，则因为是平面ABE的一个法向量所以所以锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．【解答】解：（1）设P（x0，y0），又A（﹣2，0），F（﹣1，0）所以=，因为P点在椭圆上，所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，函数在[﹣2，2]单调递增，当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；当x0=2时，f（x0）取最大值为12．所以的取值范围是[0，12]．（2）由题意：联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①设M（x1，y1），N（x2，y2），则．==0，所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0即，4k2﹣16km+7m2=0，所以或均适合①．当时，直线l过点A，舍去，当时，直线过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=﹣2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x﹣在[1，+∞）上恒成立，令h（x）=2x﹣，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，所以a≤；（2）若对任意x1∈[﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（﹣1，+∞）上的值域是函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为a=﹣1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x+2，定义域（﹣1，+∞）f′（x）=﹣2x﹣1=令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（﹣∞，2）对于函数g（x）=﹣x2+2bx+b=﹣（x﹣b）2+b+b2①当b≤﹣1时，g（x）的最大值为g（﹣1）=﹣1﹣b⇒g（x）值域为（﹣∞，﹣1﹣b]由﹣1﹣b≥2⇒b≤3；②当b＞﹣1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（﹣∞，b2+b]由b2+b≥2⇒b≥1或b≤﹣2（舍去），综上所述，b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1．+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x+2所以直线l的斜率角为．（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t 2．则，所以t1＜0，t2＜0所以．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x ＜﹣1；②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．21。