2019年中考数学总复习 第四单元 课时训练(十九)锐角三角函数及其应用练习
北京市海淀区2019届中考《锐角三角函数》专题复习练习含答案
北京市海淀区普通中学2019届初三中考数学复习 锐角三角函数 专题复习练习题1．已知在△ABC 中，若∠C＝90°，sin A ＝13，则cos B 等于( )A.13 B ．1 C.23 D.2232．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( ) A ．csin A ＝a B ．bcos B ＝c C ．atan A ＝b D ．ctan B ＝b 3．如图，已知AD 是△ABC 的外接圆的直径，AD ＝13 cm ，cos B ＝513，则AC 的长等于( )A ．5 cmB ．6 cmC ．12 cmD ．10 cm4．在△ABC 中，若|sin A －32|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则△ABC 是( )A ．不等边的等腰三角形B ．等边三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形5．如图，∠1的正切值是( )A ．2 B.13 C. 5 D.526．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，点C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC.根据所测数据，能求出A ，B 间距离的有( )．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组07．在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图，已知李明距假山的水平距离BD 为12 m ，他的眼睛距地面的高度为1.6 m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( )A ．(43＋1.6)mB ．(123＋1.6)mC ．(42＋1.6)mD ．43m8．如图，在一个房间内，有一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a m ，此时梯子的倾斜角为60°，若梯子顶端距离地面的垂直距离NB 为b m ，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB 是( )A.3a ＋b 2 m B.3a －b2m C.⎝⎛⎭⎪⎫33a －b m D.⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ＋b m 9．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A，∠B ，∠C 的对边，且有c 2＋4b 2－4bc ＝0，则sin A ＋cos A 的值为( )A ．1 B.1＋32 C.1＋22 D.3＋2210．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P 的距离是( )A ．2 cmB ．4 3 cmC ．6 cmD ．8 cm11．计算：12＋2sin 60°＝________．12．如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝13，AD 是BC 边上的高，AD ＝4，则CD ＝______，sin C ＝________．13．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是________cm 2.14．如图所示的是市民广场到地下通道的手扶电梯示意图，其中AB ，CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC ＝135°，BC 的长是5 2 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是________m.15．如图，△ABC 的内心在y 轴上，点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(0，2)，直线AC 的解析式为y＝12x －1，则tan A 的值是________．16．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB ，AC 与地面MN 所夹的角分别为8°和10°，大灯A 与地面的距离为1 m ，则该车大灯照亮地面的宽度BC 是________m ．(不考虑其他因素，参考数据：sin 8°≈425，tan 8°≈17，sin 10°≈950，tan 10°≈528)17．如图，将以点A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△A′B′C′，使点B′与点C 重合，连接A′B，则tan ∠A′BC′＝________．18．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O.过点O 作OE⊥AC 交AB 于点E ，若BC ＝4，△AOE 的面积为5，则sin ∠BOE 的值为________．19．当x ＝2sin 45°＋tan 60°时，先将代数式x x 2－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1化简，后求值．20．如图，在平面直角坐标系内，点O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，且BO ＝5，sin ∠BOA ＝35.求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值．21．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，AE＝BC，DF⊥AF，垂足为点F，连接DE.(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan ∠ED F的值．22．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ 3 m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.23．如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市，CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°.(1)求CD 与AB 之间的距离；(2)某人从车站A 出发去超市B ，求他沿折线A→D→C→B 到达超市比直接横穿马路多走多少米？(参考数据：sin 67°≈1213，cos 67°≈513，tan 67°≈125，sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)答案：1---10 AACCB CADBC 11. 3 3 12. 10 2292913. 60 14. 5 15. 1316. 7517. 1318. 3519. 解：原式＝x x 2－1÷x x －1＝x （x ＋1）（x －1）·x －1x ＝1x ＋1.又∵x＝2sin 45°＋tan 60°＝2×22＋3＝1＋3，∴原式＝12＋3＝2－ 3. 20. 解：(1)过点B 作BC⊥OA 于点C ，图略．∵sin ∠BOA ＝35，∴BC ＝BO·sin ∠BOA ＝5×35＝3.∴OC ＝BO 2－BC 2＝4.∴点B 的坐标为(4，3)．(2)∵BC＝3，OC ＝4，OA ＝10，∴AC ＝6，∴AB ＝62＋32＝35，∴cos ∠BAO ＝635＝255.21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠DAF ＝∠AEB.∵AE ＝BC ，∴AE ＝AD ，又∵∠B＝∠DFA＝90°，∴△EAB ≌△ADF ，∴AB ＝DF.(2)在Rt △ABE 中，BE ＝AE 2－AB 2＝102－62＝8.∵△EAB ≌△ADF ，∴DF ＝AB ＝6，AF ＝EB ＝8，∴EF ＝AE －AF ＝10－8＝2，∴tan ∠EDF ＝EF DF ＝26＝13.22. 解：连接AE ，图略．在Rt △ABE 中，AB ＝3，BE ＝3，则AE ＝AB 2＋BE 2＝2 3.∵tan ∠EAB ＝BE AB ＝33，∴∠EAB ＝30°.在Rt △AEF 中，∠EAF ＝∠EAB＋∠BAC＝30°＋30°＝60°，∴EF ＝AE×sin ∠EAF ＝23×32＝3(m)． 答：木箱端点E 距地面AC 的高度EF 为3 m.23. 解：(1)设CD 与AB 之间的距离为x 米，则在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵CF BF ＝tan 37°，DEEA＝tan 67°， ∴BF ＝CF tan 37°≈43x ，AE ＝DE tan 67°≈512x.又∵AB＝62，CD ＝EF ＝20，∴43x ＋512x ＋20≈62，解得x≈24， 故CD 与AB 之间的距离约为24米．(2)在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵BC ＝CF sin 37°≈2435＝40(米)，AD ＝DE sin 67°≈241213＝26(米)，∴AD ＋DC ＋CB －AB≈26＋20＋40－62＝24(米)．答：他沿折线A→D→C→B 到达超市比直接横穿马路多走约24米．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．﹣5的相反数是（ ） A ．﹣5B ．5C ．﹣15D ．152．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A 、B 两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y ＝3x的图象经过A ，B 两点，则点D 的坐标为( )A.(23﹣1，3)B.(23+1，3)C.(22﹣1，3)D.(22+1，3)3．下列运算正确的是（ ） A ．（a 2）3＝a 6 B ．（a+2）2＝a 2+4 C ．a 6÷a 3＝a 2D ．23a a a +=4．如图，某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图（图中尺寸单位：m ）．根据三视图可以得出每顶帐篷的表面积为（ ）A.6πm 2B.9πm 2C.12πm 2D.18πm 25．下列命题是真命题的是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．将抛物线21y x =+先向左平移1个单位长，再向上平移1个单位长，得到新抛物线（ ） A.2(1)y x =+B.2(1)2y x =++C.2(1)y x =-D.2(1)2y x =-+7．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB ＝120°，半径OA为9m ，那么花圃的面积为（ ）A ．54πm 2B ．27πm 2C ．18πm 2D ．9πm 28．如图，在△ABC 中，BC ＞AB ＞AC ．甲、乙两人想在BC 上取一点P ，使得∠APC ＝2∠ABC ，其作法如下： （甲）作AB 的中垂线，交BC 于P 点，则P 即为所求；（乙）以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于P 点，则P 即为所求． 对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确9．如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠ADC 的度数为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°10．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝24，AC ＝25．在△ABC 内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．下列运算正确的是（ ） A ．325a a a +=B ．32a a a ÷=C ．326a a a ⋅=D ．()23622a a =12．在某校选拔毕业晚会主持人的决赛中，参与投票的每名学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名，根据投票结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，则选手B 的得票为（ ）A ．300B ．90C ．75D ．85二、填空题13．中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士象、马、车、炮”各两个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是士、象、帅的概率是14．科学家发现一种病毒的直径为0.00000104米，用科学记数法表示为_____米．15．已知二次函数y=kx 2+(2k-1)x-1与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1<x 2)，则对于下列结论：①当x=-2时，y=1；②当x>x 2时，y>0；③方程kx 2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1<-1，x 2>-1；⑤x 2-x 1=2144k +，其中所有正确的结论是_______(只需填写序号). 16．已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差2 S 1.3275=甲，乙种棉花的纤维长度的方差2S 1.8775=乙，则甲、乙两种棉花质量较好的是 ▲ 。
河北省2019版中考数学复习图形的初步认识与三角形课时训练19锐角三角函数及其应用练习
课时训练(十九)锐角三角函数及其应用(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2018·柳州]如图K19-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sin B==()图K19-1A. B.C. D.2.[2018·金华]如图K19-2,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为()图K19-2A.B.C.D.3.[2018·宜昌]如图K19-3,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上一点C,测得PC=100米,∠PCA= °,则小河宽PA等于()图K19-3A.100 °米B.100 °米C.100 °米D.100 °米4.[2018·苏州]如图K19-4,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西 0°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()图K19-4A.40海里B.60海里C.20 海里D.40 海里5.[2018·重庆A卷]如图K19-5,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底面E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED= 8°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度为(参考数据: 8°≈0.8 , 8°≈0. , 8°≈1.6)()图K19-5A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米6.[2018·滨州]在△ABC中,∠C=90°,若tan A=1,则sin B= .27.[2018·枣庄]如图K19-6,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为 1°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度为米.(精确到0.1,参考数据: 1°≈0. 1 , 1°≈0.8 , 1°≈0.601)图K19-68.[2018·葫芦岛]如图K19-7,某景区的两个景点A,B处于同一水平地面上,一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业,MN与AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至C处时,测得景点A的俯角为 °,景点B的俯角为 0°,此时C 到地面的距离CD为100米,则两景点A,B间的距离为米(结果保留根号).图K19-79.[2018·临沂]如图K19-8,有一个三角形的钢架ABC,∠A= 0°,∠C= °,AC=2(+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门?图K19-810.[2018·长沙]为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建,如图K19-9,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶,已知BC=80千米,∠A= °,∠B= 0°.(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:2≈1.41, ≈1.73)图K19-911.[2018·徐州]如图K19-10,1号楼在2号楼的南侧,两楼的高度均为90 m,楼间距为AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为32. °,1号楼在2号楼墙面上的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为55. °,1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=42 m.(1)求楼间距AB;(2)若2号楼共有30层,层高均为3 m,则点C位于第几层?(参考数据:sin32. °≈0.53,cos32. °≈0.85,tan32. °≈0.63,sin55. °≈0.83,cos55. °≈0.56,tan55. °≈1.47)图K19-10|拓展提升|12.[2018·娄底]如图K19-11,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积是49,则sinα-cosα=()图K19-11A.1 B.-1C.1 D.-113.[2018·眉山]如图K19-12,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点O,则tan∠AOD= .图K19-1214.[2018·泰安] 如图K19-13,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD 沿BE 折叠,点A 落在A'处,若EA'的延长线恰好过点C ,则sin ∠ABE 的值为 .图K19-1315.[2018·赤峰] 阅读下列材料:如图K19-14,在△ABC 中,∠BAC ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,可以得到:S △ABC =12ab sin C=12ac sin B=12bc sinA .图K19-14证明:过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D. 在Rt △ABD 中,sin B=,∴AD=c · B , ∴S △ABC =12a ·AD=12ac sin B.同理:S △ABC =12ab sin C ,S △ABC =12bc sin A.∴S △ABC =12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A.(1)通过上述材料证明:==;(2)运用(1)中的结论解决问题:如图K19-15,在△ABC中,∠B=1 °,∠C=60°,AB=20,求AC的长度;图K19-15(3)如图K19-16,为了开发公路旁的城市荒地,测量人员选择A,B,C三个测量点,在B点测得A在北偏东 °方向上,沿笔直公路向正东方向行驶18 km到达C点,测得A在北偏西 °方向上,根据以上信息,求A,B,C三点围成的三角形的面积.(本题参考数值: 1 °≈0. , 120°≈0.9,2≈1.4,结果取整数)图K19-16参考答案1.A2.B [解析] 在Rt △ABC 中,AB=,在Rt △ACD 中,AD=,∴AB ∶AD=∶ =,故选B . 3.C [解析] 在Rt △PCA 中,∠APC=90°, ∠PCA=,得到PA=PC · ∠PCA=100 °(米). 4.D [解析] 在Rt △PAB 中,∵∠APB= 0°,∴PB=2AB.由题意知BC=2AB ,∴PB=BC ,∴∠C=∠CPB.∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°,∴∠C= 0°,∴PC=2PA ,∵PA=AB · 60°,∴PC=2×20× =40 (海里),故选D .5.B [解析] 过点C 作CN ⊥DE 于点N ,延长AB 交ED 的延长线于点M ,则BM ⊥DE 于点M ,则MN=BC=1米.∵斜坡CD 的坡比i=1∶0.75,∴令CN=x ,则DN=0.75x.在Rt △CDN 中,由勾股定理,得x 2+(0.75x )2=22,解得x=1.6,从而DN=1.2米.∵DE=7米,∴ME=MN+ND+DE=9.2米,AM=(AB+1.6)米.在Rt △AME 中,tan ∠AEM=,即1 69 2= 8°,从而1 69 2≈1.6,解得AB ≈1 .1(米),故选B .6.2[解析] 根据tan A=12,∠C=90°可设BC=1,则AC=2,AB= ,所以sin B= =2.7.6.2 [解析] 在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,∴BC=AB · ∠BAC ≈12×0. 1 ≈6.2(米).8.(100+100 ) [解析] ∵MN ∥AB ,∴∠A=∠MCA= °,∠B=∠NCB= 0°.∵CD=100,∴AD=°=100,DB=0°=100 .∴AB=AD+DB=(100+100 )米.9.解:过点B 作BD ⊥AC ,垂足为点D.在Rt △ABD 中,∠ABD=90°-∠A=60°, 则AD=tan ∠ABD ·BD= BD. 在Rt △BCD 中,∠C= °,∴CD=BD.∴AC=AD+CD= BD+BD=( +1)BD=2( +1),解得:BD=2.∵2 m<2.1 m,故工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门. 10.解:(1)过点C作CD⊥AB于点D.Rt△BCD中,CD=BC· B=40(千米),Rt△ACD中,AC==402(千米),AC+BC=402+80≈1 6.4(千米).答:开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米.(2)Rt△BCD中,BD=BC· B=40(千米),Rt△ACD中,AD==40(千米),AB=AD+BD=40+40 ≈109.2(千米),AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米).答:开通隧道后,汽车从A地到B地大约可少走27.2千米.11.解:(1)过点C,D分别作CE⊥PB,DF⊥PB,垂足分别为E,F.则有AB=CE=DF,EF=CD=42.由题意可知:∠PCE=32. °,∠PDF=55. °,在Rt△PCE中,PE=CE×tan32. °≈0.63CE,在Rt△PDF中,PF=DF×tan55. °≈1.47CE,∵PF-PE=EF,∴1.47CE-0.63CE=42,∴AB=CE=50(m).答:楼间距AB 为50 m .(2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m),∴AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m),58.5÷3=19.5,∴点C 位于第20层.答:点C 位于第20层.12.D [解析] ∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在Rt △ABC中,AC 2+BC 2=AB 2,即AC 2+(7+AC )2=132,整理得,AC 2+7AC-60=0,解得AC=5或AC=-12(舍去),在Rt △ABC 中,AC=5,BC=12,AB=13,sin α-cos α= 1 -121=-1.13.2 [解析] 如图,连接AE ,BE ,易证CD ∥BE ,∴∠AOD=∠ABE ,显然△ABE 是直角三角形,∴tan ∠AOD=tan ∠ABE== 22=2.14. 1010 [解析] 由折叠知∠BA'E=∠A=90°,AE=A'E ,A'B=AB=6,故在Rt △A'BC 中,由勾股定理,得A'C= 2- 2= 102-62=8,设AE=A'E=x ,则CE=x+8,DE=10-x ,在Rt △CDE 中,由勾股定理,得(x+8)2=62+(10-x )2,解得x=2.在Rt △ABE中,BE= 22 62=2 10.所以sin ∠ABE=== 1010.15.解:(1)∵12ab sin C=12ac sin B ,∴ =.同理: =. ∴ = =. (2)由(1)可知: =, 即 1 °=20 60°, 解得:AC ≈12.(3)过点A 作AD ⊥BC 于点D.由(1)可知: ∠ =∠ . 由题意可知∠BAC=∠BAD+∠CAD= °+ °=120°, ∴18 120°= 1 °,解得:AC ≈6,∴AD= 22AC= 22×6=3 2≈ .2(km).∴S △ABC =12AD ·BC=12×4.2×18≈ 8(km 2).。
2019届中考数学章节复习测试：锐角三角函数(含解析)
10.在 Rt△ABC 中, ∠C=90°,已知 tanB= 5 ， 则 cosA 等于 2
A. 5 2
答案：B
B. 5 3
C. 2 5
D. 2
5
3
提示：∵tanB= 5 ， b = 5 ，可令 b= 5 ,a=2,则 c=3,cosA= 5 .
2 a2
3
11.有一个角是 30°的直角三角形，斜边为 1 cm，则斜边上的高为
CD 楼上的影子是 m.（精确到 0.1 m）
图 9-43
答案：16.2
提示：画出图形,解直角三角形.
二、选择题
7.在△ ABC 中，∠C=90°,下列式子正确的是
A.b=atanA
B.b=csinA
C.a=ccosB
答案：C
提示：因为 cosB= a ,所以 a=ccosB. c
8.在 Rt△ABC 中,各边都扩大四倍，则锐角 A 的各三角函数值
北偏西 45°方向行进了 5 千米到达目的地点 C.
（1）求 A、C 两地之间的距离； （2）试确定目的地 C 在点 A 的什么方向？ 解：根据题意,可知∠ABC=90°,
锐角三角函数
一、填空题 1. 在 直 角 三 角 形 中 ， 斜 边 和 一 直 角 边 的 比 是 5 ∶ 3 ， 最 小 角 为 α ， 则 sin α =_______________,cos α =_________________,tanα=__________________.
答案： 3 4 3 55 4
提示：假如两边长分别为 5、3,则另一边为 4,且 3 所对的角最小, 由此可得答案.
2.在 △ABC 中,若︱sinA- 1 ︱+( 3 -cosB)2=0, 则∠C=___________________. 22
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。
2019年湘教版数学九年级上册第四章 锐角三角函数单元测试题(含答案)
第四章单元检测卷[时间：90 分钟 分值：150 分]一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) △1．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则 sin A 的值是()512 5 13 A.13B.13C.12D. 52．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为 300 m ，250 m ，200 m ，线与地面所成的角度分别为 30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放风筝()A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．乙的最低3．如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为 D.若 AC ＝ 6，BC ＝2，则 sin ∠ACD 的值为()15 2 5 5 6 A. 5B. 5C. 2D. 2第 3 题图第 4 题图△4．如图， ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sin B 的值为()12 3 A.2 B. 2 C. 2D ．135．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知 cos A ＝5，那么 tan A 等于()4 3 45 A.3 B.4 C.5 D.46．如图，为测量河两岸相对的两电线杆 A ，B 之间的距离，在距 A 点 16 m的 C 处(AC ⊥AB)测得∠ACB ＝52°，则 A ，B 两点间的距离为()16m A．16sin52°m B．16cos52°m C．16tan52°mD.tan52°7．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A 到旗杆的距离AB＝12m，则旗杆的高度为()A．63m B．6m C．123m D．12m第7题图第8题图8．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是()A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里9．若α，β都是锐角，且cosα＞cosβ，则下列式子正确的是()A．α＞βB．sinα<sinβC．tanα＞tanβD．以上式子都不正确△10．如图，在ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝62，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于()A．2B．3C．32D．23二、填空题(每小题4分，共32分)11．计算：cos245°＋tan30°·sin60°＝_______．△12．在ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sin A＝________，tan BAB于点D，E.如果BC＝8，tan 4＝___________．13．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比(指坡面的铅直高度BC与水平宽度CA的比)是1∶3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长度是_________m.4 14．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cos B＝5，则AC＝________．315．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝2，a＝3，那么b＝______．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，A＝3，那么BD＝________．,)17．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于_________海里．,第17题图),第18题图) 18．如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1∶2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过________米．三、解答题(共7小题，满分78分)3319．(10分)计算：2sin60°－2cos45°－3tan30°·cos60°.20．(10分)如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫作角α的余切，记作cotα＝角α的邻边AC角α的对边＝BC.根据上述角的余切的定义，解答下列问题：(1)cot30°＝___________；(5分)3(2)如图，已知tan A＝4，其中∠A为锐角，试求cot A的值．21．(10分)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5m的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22m，求旗杆CD的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan32°≈0.62)1 22．(10分△)如图，在ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝3，AD＝1，求BC的长．23．(12分)某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相24．(12分)如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝ 2.求：关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚好在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情的渔船的俯角为30°，请问此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)1232(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．25．(14分)如图所示，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1∶3，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．参考答案[时间：90 分钟 分值：150 分]一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)1． A 2． B 3． A 4． B 5． A 6． C 7． C 8． C 9． B10．A【解析】 ∵AC ＝6 2，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，2∴AD ＝AC ·sin 45°＝6 2× 2 ＝6.AD AD∵tan ∠ABC ＝3，∴BD ＝3，∴BD ＝ 3 ＝2.二、填空题(每小题 4 分，共 32 分)3411．1 12．53 13．1014．5【解析】 ∵△ABC 为直角三角形，AD ⊥BC 于点 D ，∴∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∠B ＋∠BAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠B ，AD 4∴cos B ＝cos ∠CAD ＝AC ＝5.又∵AD ＝4，∴AC ＝5.2515．116． 417．10 3【解析】 根据题意可知∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°.∵∠CBD ＝∠CAD ＋∠ACB ，∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∴AB ＝BC ＝20 海里．在 Rt △CBD 中，∠BDC ＝90°，∠CBD ＝60°，CD∴sin 60°＝ B C ，3∴CD ＝BC ·sin 60°＝20× 2 ＝10 3海里．18． 2.4三、解答题(共 7 小题，满分 78 分)3 3 2 3 3 119．解：原式＝ 2 × 2 － 2× 2 － 3 × 3 ×2(4 分)31＝4－1－6(8分)5＝－12.(10分)20(1)3BC3解：(2)∵tan A＝AC＝4，AC4∴cot A＝BC＝3.(10分)DE 21．解：在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，BE＝AC＝22m，tan32°＝BE，(5分)∴DE＝BE·tan32°≈22×0.62＝13.64(m)．(8分)∵CE＝AB＝1.5m，∴CD＝CE＋DE≈1.5＋13.64≈15.1(m)．答：旗杆CD的高度约为15.1m．(10分)AD122．解：在Rt△ABD中，∵AD＝1，∴sin B＝AB＝3，∴AB＝3，(4分)∴BD＝AB2－AD2＝2 2.(6分)在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1，(8分)∴BC＝BD＋CD＝22＋1.(10分)23．解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000m，∴AD＝CD·tan∠ACD＝10003m．(4分)在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CD·tan∠BCD＝30003m，(8分)∴AB＝BD－AD＝20003m.答：此时渔政船和渔船相距20003m．(12分)24．答图解：(1)如答图，过点A作AE⊥BC于点E.2∵cos C＝2，∴∠C＝45°.(1分)在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，∴AE＝CE＝1.(3分)1AE1在Rt△ABE中，tan B＝3，即BE＝3，∴BE＝3AE＝3，(5分)∴BC＝BE＋CE＝4.(6分)(2)∵AD是△ABC的中线，1∴CD＝2BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.(8分)∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，(10分)2.(12分)∴sin∠ADC＝225．答图解：如答图，过点E作EF⊥BC于点F，EN⊥AB于点N.(2分)∵假山的坡度为i＝1∶3，∴设EF＝x米，则FC＝3x米．(4分)∵CE＝20米，∴x2＋(3x)2＝400，解得x＝10，则FC＝103米．(8分)∵BC＝25米，∴BF＝NE＝(25＋103)米．(10分)∵∠AEN＝45°，∴AN＝EN＝(25＋103)米，(12分)∴AB＝AN＋BN＝NE＋EF＝25＋103＋10＝(35＋103)米．答：建筑物AB的高为(35＋103)米．(14分)。
北京市第四中2019年中考数学总复习专题训练锐角三角函锐角三角函数
锐角三角函数1．问题引入（1）提出问题 : 含 30°、 45°角的直角三角形中，边与角之间有确立的对应关系，关于一般的直角三角形，边与角之间能否也有确立的对应关系？在 Rt△ABC中，∠ACB = 90°，当 A 确立后，其三边a、b、c 中随意两边之比能否独一确立？①共有六个比 :b和a、c和a、c和b，两两互为倒数，我们研究ab a cb c三个比．②当∠A 确立后，△ABC的形状就确立了，上述六个比值就随之独一确立了（与边长没关）．B（2）实质问题 : 如何ca丈量旗杆的长度？①在同一时辰，旗杆Ab C长度和影子长度的比值是一个定值 .②求出比值，测出影子长度，能够求出旗杆长度．B2BB 12. 锐角三角函数的定义(1)AC 1C C 2的对边叫做的正弦，记作sin α斜边；(2)的邻边叫做的余弦，记作 cos α．斜边∠α的对边(3)叫做∠α的邻边如图，（1 ）sinB =（2）cosA =cosB =（3）tanA =tanB =的正切，记作tan α．在Rt ABC 中，∠C = 90 °，sinA ==，=；=，=．=，=．C小贴士:①∵0 < a < c ，∴0 < sinα<1A B，c = a．② a = csin αsin α③在 Rt ABC 中，∠C = 90 °，sinA= cosB ， cosA = sinB④* tanα=sinα，sin2α+ cos2α=1，tan2α+1=1 cos αcos 2α*思虑 : 你以为如何规定 0°和 90°角的三角函数值？E DE BBAC DA C例 1．填空（1）在Rt ABC中，∠C = 90°，若a = 3，b = 4，则c =，sinA =，cosA =，sinB =，cosB =．Bc（ 2 ）在Rt ABC中，a∠C = 90°，若∠B = 3 0∠° ，则 A =，A CbsinA =，cosA =，sinB =，cosB =．（3）在Rt ABC中，∠C = 90°，若∠A = 45°，则∠B =，sinA =，cosA =，sinB =，cosB =．（4）在Rt ABC中，∠C = 90°，若sinB =3，AB =15，则5AC =，BC =，cosA =，sinA =．例2．如图，在Rt ABC中，∠ABC = 90°，BD⊥AC于D，若 BD = 6 ， AD = 8 ，则 cos ∠ABD =，sin ∠1=，sinC =，BC =．B1例 3 ．如图，在ABC 中，，，ABC的AB =15AC =14AD C面积是84．求sinA的值．BA C 例 4．等腰三角形两条边长分别为8 和 10，求其底角的正弦值．。
中考数学复习《锐角三角函数》专项综合练习含答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）【答案】AB 的长约为0.6m ．【解析】【分析】作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可．【详解】解：作BF CE ⊥于F ，在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈，答：AB 的长约为0.6m ．【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB ∥CD ，∴∠BOD ＝∠ODC ＝60°在Rt △OFK 中，KO ＝OF•cos60°＝2（分米），FK ＝OF•sin60°＝23（分米）， 在Rt △PKE 中，EK ＝22EF FK -＝26（分米），∴BE ＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt △OFJ 中，OJ ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ ＝23（分米）， 在Rt △FJE′中，E′J ＝2263-（2）＝26， ∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE ＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．3．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是E 的切线；（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E 于点G ，连接BG ： ①当1an 7t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求BG CF的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】【分析】（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得12BG CF ≤，从而得解. 【详解】（1）证明：连接DE ，则：∵BC 为直径∴90BDC ∠=︒∴90BDA ∠=︒∵OA OB =∴OD OB OA ==∴OBD ODB ∠=∠∵EB ED =∴EBD EDB ∠=∠∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠即：EBO EDO ∠=∠∵CB x ⊥轴∴90EBO ∠=︒∴90EDO ∠=︒∴直线OD 为E 的切线.（2）①如图1，当F 位于AB 上时：∵1~ANF ABC ∆∆∴11NF AF AN AB BC AC== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=-∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：1031x = ∴150531AF x ==1504333131OF =-= 即143,031F ⎛⎫ ⎪⎝⎭如图2，当F 位于BA 的延长线上时：∵2~AMF ABC ∆∆∴设3AM x =，则224,5MF x AF x ==∴103CM CA AM x =+=+∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25x = ∴252AF x ==2325OF =+=即2(5,0)F②如图，作GM BC ⊥于点M ，∵BC 是直径∴90CGB CBF ∠=∠=︒∴~CBF CGB ∆∆ ∴8BG MG MG CF BC == ∵MG ≤半径4= ∴41882BG MG CF =≤= ∴BG CF 的最大值为12.【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4．如图（1），在平面直角坐标系中，点A （0，﹣6），点B （6，0）．Rt △CDE 中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD 在y 轴上，且点C 与点A 重合．Rt △CDE 沿y 轴正方向平行移动，当点C 运动到点O 时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt △CDE 运动到点D 与点O 重合时，设CE 交AB 于点M ，求∠BME 的度数．（2）如图（3），在Rt △CDE 的运动过程中，当CE 经过点B 时，求BC 的长．（3）在Rt △CDE 的运动过程中，设AC=h ，△OAB 与△CDE 的重叠部分的面积为S ，请写出S 与h 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值．【答案】（1）∠BME=15°；（2BC=4；（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，当h≥2时，S=18﹣3h．【解析】试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．试题解析：解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴，∴，解得FM=4﹣，∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形5．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tan PH PAH∠=3=503，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=503+50，∵60千米/时=503米/秒，∴时间503503+=3+33≈8.1（秒），即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。
中考数学复习《锐角三角函数》专项练习题-附带有答案
中考数学复习《锐角三角函数》专项练习题-附带有答案一、选择题1．已知α是锐角，若sinα=12，则α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（）A．sinC＝35B．cosC＝43C．tanA＝34D．sinA＝453．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 513，则tanB的值为（）A．1213B．512C．1312D．1254．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，堤高BC=4m，则坡面AB的长度是（）mA．8 B．16 C．4√5D．4√35．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（）A．12B．√1010C．√55D．2√556．如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．200√33米D．50√3米7．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（）A．sin2α+1B．1sin2α+1C．cos2α+1D．1cos2α+18．如图所示，正方形ABCD中AB=4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（）A．95√5B．4 C．165D．85√5二、填空题9．已知∠A是锐角tanA=√32，则sinA=.10．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB的长为2m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m.（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6，tan54°≈1.4）.11．如图，在⊙O中，弦AB的长为12√3，圆心到弦AB的距离为6，则∠BOC的度数为.12．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是(1，0)、(0，√3)，且∠ABC=90°，∠A=30°，则顶点A的坐标是.13．如图，正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接AD、BD，那么cos ∠ADB的值为．三、解答题14．计算：2sin30°+cos30°•tan60°.15．先化简，再求值：xx2−1÷(1−1x+1)，其中x=√2sin45°+2tan60°.16．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）17．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，在A 处测得C 港在北偏东45°方向上，在B 处测得C 港在北偏西60°方向上，且 AB =400+400√3 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.（1）海港C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 √2≈1.41 √3≈1.73 √5≈2.24 ）18．如图所示，已知BC 是⊙O 的直径，A 、D 是⊙O 上的两点，连接AD 、AC 、CD ，线段AD 与直径BC 相交于点E.（1）若∠ACB ＝60°，求sin∠ADC 的值.（2）当CD ⌢=12AC ⌢时 ①若CE =√2，BC⋅CE AB =2求∠COD 的度数.②若CD ＝1，CB ＝4求线段CE 的长.参考答案1．A2．C3．D4．C5．C6．D7．B8．B9．√217 10．0.711．60°12．(4，√3)13．3√101014．解：原式＝2× 12 + √32× √3 ＝1+ 32＝ 5215．解： x x 2−1÷(1−1x+1)=x (x+1)(x−1)÷x+1−1x+1 =x (x+1)(x−1)⋅x+1x=1x −1 当x =√2sin45°+2tan60°=√2×√22+2×√3=1+2√3时 1x −1=11+2√3−1=12√3=√36原式=√36. 16．解：延长DC 交EA 的延长线于点F ，则CF ⊥EF∵山坡AC上坡度i＝1：2.4∴令CF＝km，则AF＝2.4km在Rt△ACF中，由勾股定理得CF2+AF2＝AC2∴k2+（2.4k）2＝262解得k＝10∴AF＝24m，CF＝10m∴EF＝30m在Rt△DEF中，tanE＝DFEF∴DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3（m）∴CD＝DF﹣CF＝23.3m因此，古树CD的高度约为23.3m.17．（1）解：如下图，过点C作CH⊥AB交AB于点H设CH=x在Rt△ACH中在Rt△BCH中∴AB=(√3+1)x=400+400√3∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受台风影响（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响在 Rt △PCH 中∴PH =√CP 2−CH 2=200√5∴PQ =2PH =400√5则时间： t =400√520=20√5≈45 （小时）答：台风影响该海港持续的时间有45小时.18．（1）解：∵BC 是⊙O 的直径∴∠BAC ＝90°∵∠ACB ＝60°∴∠B ＝30°∵AC ⌢＝AC ⌢∴∠ADC ＝∠B ＝30°∴sin∠ADC ＝sin30°=12所以sin∠ADC 的值为12；（2）解：①∵CE =√2 BC⋅CE AB =2∴BC AB =√2∵∠BAC ＝90°∴cos∠B ＝AB BC =√22∴∠B ＝45°∵CD ⌢＝12AC ⌢∴∠CAD ＝12∠B ＝22.5°∴∠COD ＝2∠CAD ＝45°即∠COD 的度数为45°；②∵CD ⌢＝12AC ⌢∵∠ADC＝∠COD，∠OCD＝∠DCE ∴△OCD∽△DCE∴CDOC =CECD∵BC＝4∴OC＝2∴12=CE1∴CE＝12∴线段CE的长为12.。
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课时训练(十九)锐角三角函数及其应用
(限时:45分钟)
|夯实基础|
1.[2018·滨州]在△ABC中,∠C=90°,若tan A=,则sin B= .
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A=;②cos B=;③tan A=;④tan B=.其中正确的结论是(只需填上正确结论的序号).
3.[2018·湖州]如图K19-1,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=,AC=6,则BD的长是.
图K19-1
4.[2018·枣庄]如图K19-2,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度为米.(精确到0.1米)
(参考数据:sin31°≈0.515,cos31°≈0.857,tan31°≈0.601)
图K19-2
5.如图K19-3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是()
图K19-3
A.sin B=
B.sin B=
C.sin B=
D.sin B=
6.如图K19-4,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为()
图K19-4
A.1200 m
B.1200 m
C.1200 m
D.2400 m
7.[2018·金华、丽水]如图K19-5,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为()
图K19-5
A.B.
C.D.
8.如图K19-6,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针旋转60°到△AB'C'的位置,连接C'B,则C'B的长为()
图K19-6
A.2-
B.
C.-1
D.1
9.[2017·绵阳]为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺.先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B.测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm,镜面中心C距旗杆底部D的距离为4 m,如图K19-7所示,已知小丽同学的身高是1.54 m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm,则旗杆的高度等于 ()
图K19-7
A.10 m
B.12 m
C.12.4 m
D.12.32 m
10.[2017·重庆B卷]如图K19-8,已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上),某同学从点C出发,沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处.斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°,则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米,参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364) ()
图K19-8
A.29.1米
B.31.9米
C.45.9米
D.95.9米
11.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园,如图K19-9,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)
图K19-9
12.[2017·丽水]如图K19-10是某小区的一个健身器材,已知BC=0.15 m,AB=2.70 m,∠BOD=70°,求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
图K19-10
13.[2018·曲靖罗平县模拟]如图K19-11,在航线l的两侧分别有观测点A和B,点B到航线l的距离BD为4 km,点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20 km处,现有一艘轮船从位于点A南偏东75°方向的C处,沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向的E处,求这艘轮船的航行路程CE的长度.(精确到0.1 km,参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)
图K19-11
|拓展提升|
14.已知α,β均为锐角,且满足sinα-+=0,则α+β=.
15.[2017·舟山]如图K19-12,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=,tan∠BA3C=,计算tan∠BA4C= ,…,按此规律,写出tan∠BA n C= (用含n的代数式表示).
图K19-12
参考答案
1.[解析] 设BC=x,则AC=2x,根据勾股定理可知AB=x,故sin B===.
2.②③④[解析] 因为∠C=90°,AB=2BC,所以该直角三角形是含30°角的直角三角形,故BC∶AB∶AC=1∶2∶.令BC=1,AB=2,AC=,作出图形.①sin A==;②cos B==;③tan A==;④tan B==.故答案为②③④.
3.2[解析] ∵菱形的对角线互相垂直,∴AC⊥BD.∵tan∠BAC=,∴=.
∵AC=6,∴AO=3,∴BO=1,∴BD=2BO=2.故填2.
4.6.2[解析] =sin∠BAC,即=sin31°,BC≈12×0.515=6.18≈6.2(米),故填6.2.
5.C
6.D[解析] ∵∠α=30°,∴∠ABC=30°.
又∵∠C=90°,∴AB=2AC=2400 m.
7.B[解析] 由锐角三角函数的定义,得AB=,AD=,∴AB与AD的长度之比为,故选B.
8.C
9.B
10.A[解析] 过点D作DE⊥BC,垂足为E,解直角三角形CDE得:DE=75,CE=180,根据BC=306可求得BE=126,过A作AF⊥DE于点F,所以AF=BE=126米,∵∠DAF=20°,根据tan20°≈0.364,即==0.364,求得DF=45.864米,∴
AB=75-DF≈29.1(米).
11.解:如图,作AD⊥BC于点D,BH⊥水平线于点H.
由题意得∠ACH=75°,∠BCH=30°,AB∥CH,
∴∠ABC=30°,∠ACB=45°.
∵AB=4×8=32(米),
∴AD=CD=AB·sin30°=16(米),
BD=AB·cos30°=16(米).
∴BC=CD+BD=16+16(米).
∴BH=BC·sin30°=8+8(米).
故这架飞机的飞行高度是(8+8)米.
12.[解析] 过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,构造Rt△ABF,运用解直角三角形的知识求出AF,进而求出AE得出结果.
解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,
∵OD⊥CD,∴AE∥OD,∴∠A=∠BOD=70°,
在Rt△ABF中,AB=2.70,
∴AF=2.70×cos70°≈2.70×0.34=0.918,
∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1(m).
答:端点A到地面CD的距离约是1.1 m.
13.解:如图,在Rt△BDF中,∵∠DBF=60°,BD=4 km,
∴BF==8(km).
∵AB=20 km,∴AF=12 km,
∵∠AEF=∠BDF,∠AFE=∠BFD,
∴△AEF∽△BDF,
∴=,∴AE=6 km,
在Rt△ACE中,CE=AE·tan75°≈22.4(km).
故这艘轮船的航行路程CE的长度约是22.4 km.
14.75°
15.[解析] 过点C作CH⊥BA4于H,由勾股定理得BA4==, A4C==,
∵△BA4C的面积=4-×1×4-×1×3=,
∴×CH=,∴CH=,
则A4H==,
∴tan∠BA4C===.
∵1=12-1+1,3=22-2+1,7=32-3+1,13=42-4+1, ∴tan∠BA n C=.。