考研数学之导数应用
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
导数知识点总结考研
导数知识点总结考研一、导数的定义导数是微积分学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在几何上，一个函数在某一点处的导数可以理解为这个函数在该点处的切线斜率。
在代数上，函数f(x)在点x=a处的导数可以用极限来表示，即f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a)) / (x - a)如果这个极限存在，那么函数f(x)在点x=a处是可导的，其导数即为f'(a)。
如果导数存在，那么函数在该点处是光滑的，即函数在该点处的变化率是连续的。
二、导数的计算1. 基本导数法则- 常数导数法则：如果f(x) = c，其中c为常数，那么f'(x) = 0。
- 幂函数导数法则：如果f(x) = x^n，其中n为自然数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
- 指数函数导数法则：如果f(x) = a^x，其中a为正数且不等于1，那么f'(x) = a^x * ln(a)。
- 对数函数导数法则：如果f(x) = log_a(x)，其中a为正数且不等于1，那么f'(x) = 1/(x *ln(a))。
2. 导数的四则运算- 和差法则：如果f(x) = g(x) + h(x) (或f(x) = g(x) - h(x))，那么f'(x) = g'(x) + h'(x) (或f'(x)= g'(x) - h'(x))。
- 积法则：如果f(x) = g(x) * h(x)，那么f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。
- 商法则：如果f(x) = g(x) / h(x)，那么f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / h(x)^2。
3. 链式法则如果f(x) = g(h(x))，那么f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)。
常见的导数公式考研真题
常见的导数公式考研真题常见的导数公式是数学中的重要工具，用于计算函数的变化率。
在考研数学中，导数公式经常被考察，对于学习者来说是必须要掌握的知识点。
本文将介绍几个常见的导数公式，并分析其中的应用。
1. 常数函数的导数公式对于一个常数函数f(x) = C，其中C为常数，其导数等于零。
因为常数函数在任意点上的斜率都为零，即函数没有变化。
2. 幂函数的导数公式幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数时，其导数等于n乘以x的n-1次方，即f'(x) = n*x^(n-1)。
这个公式可以通过求导法则进行推导。
3. 指数函数的导数公式指数函数f(x) = a^x，其中a为正数且不等于1，其导数等于a乘以ln(a)乘以a的x次方，即f'(x) = ln(a)*a^x。
这个公式可以通过换底公式和指数函数的性质进行推导。
4. 对数函数的导数公式对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正数且不等于1，其导数等于1除以x的自然对数底数ln(a)乘以1除以x的对数，即f'(x) =(1/ln(a))*(1/x)。
这个公式可以通过换底公式和对数函数的性质进行推导。
5. 三角函数的导数公式常见三角函数的导数公式包括：- 正弦函数的导数：f(x) = sin(x)，其导数等于余弦函数cos(x)。
- 余弦函数的导数：f(x) = cos(x)，其导数等于负的正弦函数-sin(x)。
- 正切函数的导数：f(x) = tan(x)，其导数等于sec^2(x)。
- 反正弦函数的导数：f(x) = arcsin(x)，其导数等于1除以根号下(1-x^2)。
- 反余弦函数的导数：f(x) = arccos(x)，其导数等于-1除以根号下(1-x^2)。
- 反正切函数的导数：f(x) = arctan(x)，其导数等于1除以(1+x^2)。
6. 双曲函数的导数公式常见双曲函数的导数公式包括：- 双曲正弦函数的导数：f(x) = sinh(x)，其导数等于双曲余弦函数cosh(x)。
2021考研数学高等数学基础讲义6 导数的应用-01
考点:单调性与极值、最值1.单调性的判定法()()()(),00,0f x I I f x f x f x I ''><设函数在上连续在上满足（或）则函数在上单调增加（单调减少）.只有驻点（导数为的点）和不可导点（导数不存在的点）才能成为单调区间的分界点.定理1除最多有限个点外注:()()1110,.xf x x ⎛⎫=++∞⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭例证明在内单调增加()[)()()()()()()()2,,,,,,f x f a f x a f x a F x x a x a F x a −''+∞+∞=>⎡⎤⎣⎦−+∞例设在上连续,在内大于零记证明在内单调增.32103.496y x x x =⎡⎤⎣⎦−+例确定的单调区间2.极值及其求法()()()()()()()00000(),,,.f x x x f x f x f x f x f x f x x f x <>设在点的某邻域内有定义如果对于该去心邻域内任一有（或）那么称是函数的一个极大值（或极小值）;相应的称为函数的一个极大值点（或极小值点）极值是一个局部概念,极大不一定是最大,极大也未必大于极小.定义1注:()()()000,0.f x x f x f x ''=若在点取极值则或不存在定理2（必要条件）()()()()()00000000,1,,2f x x x f x x x f x x f x x f x x x ''''设在处连续在的某去心邻域可导.（）若在两侧变号,则是极值点,且若由正变负是极大值点,由负变正是极小值点；（）若在两侧不变号,则不是极值点.定理3（第一判别法）()()()()()()00000000000.100,0,20f x x f x f x x f x x f x x f x x '=''≠''''><''=设在处二阶可导,（）若,则是极值点,且若是极小值点,是极大值点；（）若,则可能是极值点,也可能不是极值点.定理4（第二判别法）4cos x y e x =⎡⎤⎣⎦例求函数的极值.()()3353320,y x x y x y y x +−+−=⎡⎤⎣⎦例已知函数由方程确定求的极值.3.最大值最小值000()[,]()(,)(),()[,].()(,),()[,]f x a b f x a b f x a b f x a b f x a b x x x f x a b =求连续函数在闭区间上的最值的方法第一步：求出在内的所有驻点和不可导的点；第二步：计算在上述驻点、不可导点和端点处的函数值；第三步：比较,其中最大的即为在上的最大值,最小的即为最小值设连续函数在内有唯一极值点,若是极大（小）值点则是上的最大（小）值.注:[]65,1.y x =+−⎡⎤⎣⎦例求函数上的最大值与最小值7cos ,sin 02x a t y b t t π==≤≤⎡⎤⎣⎦例在椭圆（）内嵌入一内接矩形,使其边平行于椭圆的轴,问矩形的边长分别为多少时,其面积最大.。
考研数学导数题解题技巧
考研数学导数题解题技巧导数在考研数学中占据着重要的地位，掌握好导数的解题技巧是考研数学成功的关键之一。
下面将介绍几种常见的导数题型及相应的解题技巧，希望对考研数学的学习和备考有所帮助。
一、基本函数的导数求解基本函数的导数求解是解决导数题的基础。
对于常见的基本函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，都有相应的求导公式。
掌握好这些求导公式并能熟练灵活地运用，能够快速求解导数。
以幂函数为例，对于函数y=x^n，其中n为常数，导数的求解公式为dy/dx=n*x^(n-1)。
在使用求导公式时，需要注意指数函数和对数函数的运算规则，掌握好它们的性质，能够更好地应用到求导题目中。
二、基本运算法则的应用在导数的求解过程中，经常需要运用到基本运算法则，如和差法则、积法则和商法则。
熟练运用这些法则可以简化复杂的导数计算过程，提高解题的效率。
以和差法则为例，对于由两个函数相加或相减而成的复合函数，可以利用和差法则将其求导分解为各个部分的导数之和或差。
这样可以简化计算过程，减少错误的可能性。
三、高阶导数求解高阶导数是指对一个函数进行多次求导得到的导数。
在考研数学中常常会涉及到高阶导数的求解，需要运用到求导的运算法则和综合运用各种基本函数的导数求解公式。
在计算高阶导数时，可以使用递推的方式进行求解。
即通过求解低阶导数的方式，逐步推导得到高阶导数的结果。
这种方法能够减少计算量和错误几率，提高解题效率。
四、隐函数求导在某些函数方程中，可能存在隐含的函数关系，即无法用常规的显式函数表示。
这时就需要用到隐函数求导的方法。
隐函数求导可以通过利用导数的定义和隐函数偏导数的概念来进行求解。
隐函数求导的关键是识别出隐含的函数关系，并利用已知信息进行求导。
这种方法在解决一些复杂的问题时非常有效，可以帮助我们深入理解函数的性质和规律。
五、应用题解题技巧考研数学中，导数的应用题是必不可少的一部分。
在解决应用题时，需要将导数技巧与具体问题相结合，通过分析问题和建立模型来解决。
考研数学三大纲解析之导数的经济应用
考研数学三大纲解析之导数的经济意义
来源：文都教育
考研数三考试大纲对导数的经济意义的要求是了解，但是经济应用中边际与弹性以及最大利润等仍是考研数三常考的内容。
边际与弹性经常以客观题的形式来考查，最大利润经常以应用题的形式考查，这两个知识点出题的难度不大。
但是由于大学时很多同学没学过，学过的也学的比较浅很多都忘记了，所以在复习时存在抵触情绪，考试的得分率并不高。
下面文都考研数学辅导老师对这部分内容帮助大家总结一下。
一、边际函数与弹性函数
1边际函数
设()f x 可导，经济学上称()f x '为边际函数，并称()0f x '为()f x 在0x x =处的边际值.
2 弹性函数
设()f x 可导，称()()()
0/lim /x y y x x f x f x x x y f x η→''===为()f x 的弹性函数，其主要反映x 变化所致()f x 变化的强弱程度或者叫灵敏度.
二、五个研究对象
1需求函数：设需求量为Q ，价格为P ，称()Q Q P =为需求函数，且一般为单减函数.
2供给函数：设供给量为q,价格为p ，称()q q p =为供给函数，且一般为单增函数.
3成本函数-总成本=固定成本+可变成本，即()()01C x C C x =+,边际成本为()C x '.
4收益函数()R x ，边际收益为()R x '.
5 利润函数()()()L x R x C x =-，边际利润为()L x '.。
考研导数知识点总结
一、导数的定义与概念1.1 导数的定义在数学中，函数的导数是描述函数变化速率的概念。
给定函数y=f(x)，在点x处的导数可以用极限表示：\[ f'(x)=\lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{\Delta x} \]其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，也可以记作y'或dy/dx。
1.2 几何意义导数的几何意义是函数的切线斜率。
在函数图像上，给定点P(x, f(x))，函数在该点的切线斜率即为函数在该点的导数值。
1.3 导数的符号表示导数可以表示为函数y=f(x)关于自变量x的一阶偏导数：\[ f'(x)=\frac{{dy}}{{dx}} \]二、导数的计算方法2.1 导数的基本计算方法导数的基本计算方法包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数的导数、三角函数的导数、常见函数的和、积、商的导数等。
通过这些法则，可以求解各种函数的导数值。
2.2 链式法则对于复合函数，可以使用链式法则求导。
链式法则描述了复合函数求导的方法，对于函数y=f(g(x))，其导数可以表示为：\[ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} \]其中，u=g(x)。
2.3 隐函数求导对于隐函数y=f(x)和g(x)=c，若y=f(g(x))，则可以使用隐函数求导的方法计算导数。
2.4 参数方程求导对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以使用参数方程求导的方法计算导数。
3.1 常数函数的导数对于常数函数y=c，其导数为0，即f'(x)=0。
3.2 幂函数的导数对于幂函数y=x^n，其中n为常数，其导数为f'(x)=nx^{n-1}。
3.3 指数函数和对数函数的导数指数函数y=a^x（a>0，且a≠1）和对数函数y=log_a x（a>0，且a≠1）的导数分别为f'(x)=a^x \cdot ln a和f'(x)=\frac{1}{x \cdot ln a}。
从考研数学试题谈导数的应用
1 引言数学在我们的学习和工作中起奠基作用，从2003年起考研数学分数由原来的100分调整至150分，这说明数学在考研中起着举足轻重的作用。
考研数学由于其自身学科的特点，一直属于拉分的科目，因此经常在一些考研论坛上听到这样的说法：得数学者得天下。
这种说法可能不完全正确，但却说明了数学在考研中的重要性，可以说数学是拉开考研分数的一个分水岭。
因此，我们应该引起高度的重视，而导数在考研数学中占据了相当的份量，有着广泛的应用。
导数是我们解决某些问题的工具，我们在高中的时候对它就有了一定的认识，在大学里我们进一步学习导数，在研究生入学考试中我们仍然考查导数，可见导数之重要,应用之广泛。
为了能更好地解决考研数学中有关导数的问题，我们就要熟练地掌握导数的定义、性质、基本公式、运算法则等并对一些能用导数解决的问题进行归纳与总结，并给出相应的求解方法。
国内外也有许多人对导数的应用进行了相应的探究，但对于导数在考研数学试题中的应用并未给出全面，系统地概括与阐述。
因此，我结合所学知识和查阅相关资料，从利用导数定义解题、利用导数求未定式极限、利用导数研究函数这三方面着手对导数的应用进行讨论。
本文中例题的选取以内容为准，以题型归类，边分析例题，边讲解思路，边解题，边思考，解题完毕后，概括题型特征，归纳、总结出几类题型的解题方法。
对导数的应用全面、深刻地理解，为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和途径，有助于我们快速、准确地解决相关问题，深入理解，巩固提高，灵活运用所学知识。
下面我就从考研数学真题来谈谈导数的应用。
2 利用导数定义解题2.1 相关概念的阐述导数：设()y f x =在0x x =及其附近有定义，x y ∆→∆ ()()00f x x f x =+∆-。
若()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆存在，则称()y f x =在0x x =可导且极限值称为()f x 在0x x =点的导数，记为()0f x '或x x dy dx=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Born To Win
/ 考研数学之导数应用
在考研数学中，导数的应用这一块是值得我们关注的。
利用导数来研究函数单调性、判断函数的驻点、判定函数的极值、最值、拐点，以及不等式的证明、方程根的判别、渐近线的判定，是我们必须掌握的。
这类题大都是以选择或填空的形式出现的，其中不等式证明和方程根的问题可以以大题形式出现，往年真题中也是有出现的。
下面，跨考教育吴方方老师为大家为大家介绍导数应用的相关知识及方法。
函数单调性的证明大都有两种方法，一是我们可以用定义来证，二就是根据一阶导的情况，来判断函数单调性的问题，而对于不等式的证明，我们是首选单调性来证明的，所以当不能用单调性来证明时，我们再考虑用其他方法来证明，有时可能用拉格朗日中值定理来证明，有的用最值来证明可能会更简单。
函数极值点和拐点的证明，我们可以对比较来学习，它们的证明出用定义外，都有两个充分条件来判定。
所以，我们在判定极值点或拐点时，当用它们的充分条件时一定要注意它们满足的条件再用，注意每个充分条件所满足的条件。
第一充分条件和第二充分条件是我们判定极值点和拐点的重要工具。
因此要求我们同学对这两个条件的内容要非常熟练。
关于驻点和极值点的有关问题我们一定要先分清楚，驻点不一定是极值点，而极值点也不一定是驻点。
我们只能说极值点的嫌疑点包括驻点和不可导点。
而驻点和极值点之间是没有一定的包含关系的。
考研数学中，闭区间上的最值求法，我们一般是先找出函数在开区间内的驻点和不可导点，计算这两点的函数值，然后再求出函数区间端点处的函数值，最后比较驻点、不可导点和端点处的函数值的大小，最大的就为最大值，最小的即为函数的最小值。
而开区间 上的最值求法，是先求出两个端点处的极限值( )，然后求出驻点和不可导点的函数值，最后比较它们的大小，若两个端点处极限值最大或最小值了，则说明此函数在开区间上没有最大或最小值。
方程根的问题在考研数学中也是经常出现的考题，判断方程根的情况是我们要求掌握的。
对于要求判断方程根有且仅有几个根的问题，我们一般是先利用零点定理来证明其存在性，然后再单调性来判别其唯一性。
有时对于驻点不容易求出来的，我们则可能要用：“若 至多有 个根，则 至多有 个根”来判断。
此类问题是先用零点定理或者推广的零点定理来判断其至少有几个根，然后再用上面这个“罗尔原话”来判断至多有几个根这样便可证明有且仅有几个根的问题了。
考研数学中关于导数应用这一块，有些很好结论也有助于我们判断极值点和拐点的，我们要熟记于心。
利用导数研究曲线性态也是导数应用的重要内容。
而关于渐近线的判断这一块主要考察在选择填空题中常用出现，学会以铅垂、水平、斜渐近线的顺序来判定渐近线类型是我们必须掌握的内容。
文章来源：跨考教育。