2020北京二中教育集团初二数学周测(二)
北京二中分校2020-2021学年八年级(上)期末模拟(二)数学试卷
初二数学期末模拟（二）一、选择题（每题3分，共30分）1．下列交通标志中，轴对称图形的个数为（ ）A.4个B.3个C. 2个D.1个2. 在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m 微间距显示屏就是其中之一．数字0.0009用科学记数法表示应为（ ） A ．9×10﹣4 B ．9×10﹣3C ．0.9×10﹣3D ．0.9×10﹣43. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A ．122+-x x B ．x 8 C ．31D ． 10 4. 已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则它的周长是（ ） A ．15 B ． 20 C ． 25 D ． 20或25 5．下列运算中，错误的是（ ） A ．＝ B ．＝﹣1 C ．＝D ．＝﹣6. 如图，若△ABC 是等边三角形，AB=6，BD 是∠ABC 的平分线，延长BC 到E ，使CE=CD ，则BE=（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．107. 如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE相交于点D，DM⊥AB，交AB于点M，DN⊥AC，交AC的延长线于点N．下列结论不正确的有( )A. DM=DNB. △ADM≌△ADNC. BM=CND. AB=AC+BM8. 如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9. 如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，B C'交AD于点E，则线段DE的长为（）A. 3B. 154C. 5D.15210.如图，长方形ABCD中，AB = 6，BC = 2，直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD，BC交于点E，F，若直线l上的动点P，使得△PAB和△PBC均为等腰三角形. 则动点P的个数有（）个.A．4 B．5C．6 D．7二、填空题（每题3分，共27分）11.如果代数式x有意义，那么x的取值范围是．12.如果一个n边形的外角和是内角和的一半，那么n=．13.可以合并，则x 的值为 ． 14.如图，在ABC ∆中，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，若1260∠-∠=︒，则B ∠的度数是 ．第14题图 第15题图 第16题图15．如图，15AOP BOP ∠=∠=︒，//PC OB ，PD OB ⊥，若4OC =，则PD 等于 ． 16. 如图，已知点D 、E 分别是等边三角形ABC 中BC ，AB 边的中点，BC=6，点 F 是 AD 边上的动点，则BF+EF 的最小值为 ．17. 如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝8，AC ＝3，则BE ＝ ．18. 如图，△OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB=90°，延长OA 至B 1，使AB 1=OA ，以OB 1为底，在△OAB 外侧作等腰直角三角形OA 1B 1，再延长OA 1至B 2，使A 1B 2=OA 1，以OB 2为底，在△OA 1B 1外侧作等腰直角三角形OA 2B 2，……，按此规律作等腰直角三角形OA n B n （n ≥1，n 为正整数），回答下列问题： （1）A 3B 3的长是 ；（2）△OA 2020B 2020的面积是 .A B 1DFEA B C一、选择题（每题3分，共30分）姓名：_________ 学号：_____二、填空题（每题3分，共27分）11. _________ 12. _________ 13. _________ 14. _________15. _________ 16. _________ 17. _________ 18. _________；_________三、解答题（19题8分，20-23每题4分，24-26每题5分，27题7分，28题8分，共54分）19．计算：（1）(√12−√8)×√32（2）|√3−2|−20190+√(−2)2+√27420．解分式方程：3x2−9−2x−3=1x+3．21．先化简，再求代数式（1−2x+1）÷x2−12x+2的值，其中x=√3−1．22．如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．求证：△ABC≌△EDB．23．已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2√2， 求S △ABC ．24. 作图：下面是圆圆设计的“作等腰三角形一腰上的高线”的尺规作图过程 .已知：△ABC ，AB=AC .求作：AB 边上的高线 ． 作法：如图，① 以点C 为圆心，CB 为半径画弧，交AB 于点B 和点D ；② 分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ；③ 作射线CM 交AB 于点E ．所以线段CE 就是所求作的AB 边上的高线．根据圆圆设计的尺规作图过程，完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明.证明：∵CB=CD ，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上（________） （填推理的依据）． ∵__________=__________， ∴点M 在线段BD 的垂直平分线上． ∴CM 是线段BD 的垂直平分线. ∴CM ⊥BD ．∴线段CE 就是AB 边上的高线．EMD CB A25．通过使用手机app购票，智能闸机、手持验票机验票的方式，能够大大缩短游客排队购票、验票的等待时间，且操作极其简单，已知某公园采用新的售票、验票方式后，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求该公园原来平均每分钟接待游客的人数．26．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为_____________；（2）请问点C在BD上什么位置时，AC+CE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+9+√(24−x)2+16的最小值．27.△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将AC关于AB对称得到AD. 过点A的直线l与BC边相交. 将线段AC关于直线l对称，得到线段AE，作射线DE交直线l于点F. 过点A作AG⊥DE交DE于G.（1）依题意补全图形，并直接写出∠GAF的度数为________°；（3）判断EF、DF、AC之间的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系xOy 中，直线为一、三象限角平分线．点P 关于y 轴的对称点 称为P 的一次反射点，记作P 1；P 1关于直线l 的对称点称为点P 的二次反射点，记作 P 2．例如，点（-2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）． 根据定义，回答下列问题：（1）点（2，5）的一次反射点为_____________，二次反射点为_______________； （2）当点A 在第一象限时，点M （3，1），N （3，-1），Q （-1，-3）中可以是点A的二次反射点的是______________；（3）若点A 在第二象限，点A 1，A 2分别是点A 的一次、二次反射点，△O A 1 A 2为等边三角形，求射线OA 与x 轴所夹锐角的度数．l。
2020年初二八年级数学周测试卷2
2020年2月初二数学第二次周测学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 点所在的象限是第（）象限．A.一B.二C.三D.四2. 四川省雅安市芦山县发生了级地震，下列能够准确表示这次地震震中位置的是( )A.北纬B.东经C.成都西南方向D.北纬，东经3. 在象限内轴左侧的一点，到轴距离为，到轴距离为，则点的坐标为（）A.B.C.或D.4. 如图是某校的平面示意图的一部分，若用“”表示校门的位置，“”表示图书馆的位置，则教学楼的位置可表示为A. B. C. D.5. 在平面直角坐标系中，下列哪个点在第四象限（）A. B. C. D.6. 如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建立坐标系，知道“炮”所在位置的坐标是，则“车”所在位置的坐标是A. B. C. D.7. 点与轴的距离是（）A. B. C. D.8. 在一次“寻宝”游戏中,“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A(2,3),B(4,1),A,B两点到“宝藏”点的距离都是10,则“宝藏”点的坐标是()A.(1,0)B.(5,4)C.(1,0)或(5,4)D.(0,1)或(4,5)9. 在平面坐标系内，点位于第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为( )A. B. C. D.10. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限内，则点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空题（本题共计5 小题，每题4分，共计20分，）11. 如果用有序数对表示第单元号的住户，那么________表示住户是第单元号．12. 点在第________象限．13. 某点在轴上，则________．14. 在平面直角坐标系中，点在第________象限．15. 在电影票上如果将“排号”记作，那么“排号”记作________．三、解答题（本题共计5 小题，每题10 分，共计50分，）16. 如图是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为，．完成下列问题：请根据题意在图上建立直角坐标系，并写出图上信息楼、综合楼的坐标；在图中用点表示体育馆的位置．17. 已知点A(3-a, 7+a)在平面直角坐标系第一象限的角平分线上，求OA的值．18. 已知点P(a-2, 2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标．(1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上；(3)点Q的坐标为(1, 5)，直线PQ // y轴；(4)点P到x轴，y轴的距离相等．19.如图所示的网格中,△ABC的顶点A的坐标为(0，5).(1)根据A点的坐标在网格中建立平面直角坐标系,并写出B，C两点的坐标；(2)求. S ABC V20. 已知点M(3|a|-9, 4-2a)在y轴的负半轴上．（1）求M点的坐标；（2）求(2-a)2015+1的值．。
北京市二中教育集团2022-2023学年八年级上学期月考数学试题(含答案解析)
北京市二中教育集团2022-2023学年八年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A ．3，4，8B ．3，4，7C ．5，6，10D ．5，6，112．下列各式计算正确的是（）A ．248a a a +=B ．()44422ab a b =C ．()248a a =D ．824a a a ÷=3．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°4．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．()2111x x x x -+=-+B ．()2x y x xy x+=+C ．()()22x y x y x y+-=-D ．()2222x xy y x y -+=-5．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 之间的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上两点C ，D ，使BC CD =，再画出BF 的垂线DE ，使点E 与A ，C 在同一条直线上，这时，可得ABC EDC △≌△，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定ABC EDC △≌△最直接的依据是（）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS6．如图，90A D ∠=∠=︒，AC ，BD 相交于点O ．添加一个条件，不一定能使ABC ≌DCB △的是（）A ．AB DC =B ．OB OC =C ．ABO DCO∠=∠D ．ABC DCB∠=∠7．如图所示，点O 是ABC 内一点，BO 平分,ABC OD BC ∠⊥于点D ，连接OA ，若5OD =，20AB =，则AOB 的面积是（）A ．20B ．30C ．50D ．1008．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的A '处，折痕为DE .如果A α∠=，CEA β∠'=，BDA γ∠'=，那么下列式子中正确的是（）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γαβ=-- 二、填空题10．如图，DE⊥AB，∠11．若29++是一个完全平方式，则x kx∠=∠，要使12．如图，12件即可）．13．如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是三、解答题17．计算：()232622a a a a a ⋅-+÷．18．计算：()()()2x y x y x x y -+--．19．计算：2(3)(32)(2)x y x y x y -+--．20．已知22770x x --=，求代数式()()()223321x x x ---+的值．21．分解因式：(1)22363a ab b -+；(2)39a a -．22．如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AE DF ∥，AE DF =，AB CD =．（1）求证：AEC DFB ≅ ．（2）若40A ∠=︒，145ECD ∠=︒，求∠F 的度数．23．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于223x x -+，由于2223(1)2x x x -+=-+，所以当项式223x x -+的值是相等的．例如，当1x -=3；当12x -=±，即3x =或1-时，223x x -+的值均为于关于x 的多项式，若当x t -取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x t =对称．例如223x x -+关于x (1)求证：AF EF DE +=；____________________．参考答案：1．C【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A 中，3+4=7＜8，不能组成三角形；B 中，3+4=7，不能组成三角形；C 中，5+6=11＞10，能够组成三角形；D 中，5+6=11，不能组成三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．2．C【分析】根据合并同类项、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则逐项判断解答即可．【详解】解：A 、a 2、a 4不是同类项，不能合并计算，此选项错误，不符合题意；B 、()4444442126ab a b a b ==，此选项错误，不符合题意；C 、()248a a =，此选项正确，符合题意；D 、82826a a a a -÷==，此选项错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．3．C【分析】利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案．【详解】解：如图，∵两三角形全等，∴∠2=60°，∠1=52°，∴∠α=180°-50°-60°=70°，故选：C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．4．D【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项判断即可．【详解】解：A 选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；B 选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；C 选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；D 选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解答的关键．5．C【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】解：因为BF 的垂线DE ，AB 的垂线BF ，所以90ABC EDC ∠=∠=︒，因为BC CD =，ACB ECD ∠=∠（对顶角相等），所以()ASA ABC EDC ≌△△，故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）是解题的关键．6．C【分析】直接利用直角三角形全等的判定定理（HL 定理）即可判断选项A ；先根据等腰三角形的性质可得ACB DBC ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可判断选项B ；直接利用三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可判断选项D ，由此即可得出答案．【详解】解：当添加条件是AB DC =时，在Rt ABC 和Rt DCB △中，AB DC BC CB=⎧⎨=⎩，【分析】根据三角形的外角得：∠BDA '=∠A +∠AFD ，∠AFD =∠A '+∠CEA '，代入已知可得结论.【详解】由折叠得：∠A =∠A '，∵∠BDA '=∠A +∠AFD ，∠AFD =∠A '+∠CEA '，∵∠A =α，∠CEA ′=β，∠BDA '=γ，∴∠BDA '=γ=α+α+β=2α+β，故选A.【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.9．2.5【分析】根据平移的性质可得AC DF =，从而由AG AC GC =-求解即可．【详解】由平移的性质可得：45AC DF .==，∴45225AG AC GC ..=-=-=，故答案为：2.5．【点睛】本题考查图形平移的性质，理解基本性质是解题关键．10．110°【分析】由DE 与AB 垂直，利用垂直的定义得到∠BED 为直角，进而确定出△BDE 为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余，求出∠B 的度数，在△ABC 中，利用三角形的内角和定理即可求出∠ACB 的度数．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠BED=90°，∵∠D=45°，∴∠B=180°-∠BED-∠D=45°，又∵∠A=25°，∵∠ACB=180°-（∠A+∠B ）=110°．故答案为110°【点睛】此题考查了三角形的外角性质，直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．11．6±【分析】根据完全平方式的结构特征解决此题．【详解】解：22293x kx x kx ++=++．∵29x kx ++是一个完全平方式，∴6kx x =±．∴6k =±．故答案为：6±．【点睛】本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构是解答的关键．12．CD BD=【分析】由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加DB DC =，利用SAS 判定其全等．【详解】解：需添加的一个条件是：CD BD =，理由：12∠=∠ ，ADC ADB ∴∠=∠，在ABD △和ACD 中，DA DA ADC ADB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACD SAS ∴ ≌．故答案为：CD BD =．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，解题的关键是根据已知结合图形及判定方法选择条件．13．a 2﹣b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）【分析】首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式．【详解】解：∵S 甲＝（a 2﹣b 2），S 乙＝（a ＋b ）（a ﹣b ）又∵S 甲＝S 乙∴a 2﹣b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）故答案为：a 2﹣b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，根据题意表示出阴影部分面积是解题的关键．14．±3【分析】根据完全平方公式先求得（a -b ）2的值，然后根据平方根的概念进行计算求解．【详解】解：∵（a -b ）2=a 2-2ab +b 2，且a 2+b 2=19，ab =5，∴（a -b ）2=19-2×5=19-10=9，∴a -b =±3，故答案为：±3．【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2的结构是解题关键．15．①②④【分析】由∠ACB =90°，BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，得到∠ACD +∠BCE =90°，∠ADC =∠CEB =90°，则∠ACD +∠CAD =90°，AD ∥BE ，即可判断②，即可利用AAS 证明△CAD ≌△BCE ，即可判断①；则AD =CE ，得到CD =CE +DE =AD +DE ，即可判定④；由AB >AC >CD ，得到AB ≠CD ，即可判断③．【详解】解：∵∠ACB =90°，BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠ADC =∠CEB =90°，∴∠ACD +∠CAD =90°，AD ∥BE ，∴∠CAD =∠BCE ，∠ABE =∠BAD ，故②正确；又∵AC =CB ，∴△CAD ≌△BCE （AAS ），故①正确；∴AD =CE ，∴CD =CE +DE =AD +DE ，故④正确，∵AB >AC >CD ，∴AB ≠CD ，故③错误；【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可．【详解】解：原式2222x y x xy=--+22y xy=-+【点睛】本题考查了整式的计算，熟练掌握平方差公式和单项式与多项式的乘法法则是解答本题的关键．19．2237x xy y ---【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：2(3)(32)(2)x y x y x y -+--，()2222329644x xy xy y x xy y =+----+，2222329644x xy xy y x xy y =+---+-，2237x xy y =---【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确应用多项式的乘法法则及完全平方公式是解题的关键．20．19【分析】先通过整式的运算法则将代数式化简成22712x x -+，再整体代入求值．【详解】解：原式()()224129263x x x x x =-+-+--224129253x x x x =-+-++22712x x =-+∵22770x x --=，，∴2277x x -=，∴原式71219=+=．【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的运算法则．21．(1)()23a b -(2)()()33a a a +-【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．（2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．【详解】（1）()()22222363323-+=-+=-a ab b a ab b a b（2）()()()329933a a a a a a a -=-=+-【点睛】本题考查综合公式法和提公因式法进行因式分解，注意有公因式一定要先提公因式．22．（1）见解析；（2）105︒【分析】（1）根据平行线的性质可得A D ∠=∠，根据线段的和差关系可得AC DB =，进而根据SAS 即证明AEC DFB ≅ ；（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E ，进而根据（1）的结论即可求得∠F ．【详解】（1）证明： AE DF∥∴A D ∠=∠，AB CD=∴AB BC BC CD+=+即AC BD=又 AE DF =，∴AEC DFB≅ （2）解： 40A ∠=︒，145ECD ∠=︒，18035ECA ECD ∴∠=︒-∠=︒180105E A ECA ∴∠=︒-∠-∠=︒AEC DFB≅ F E ∴∠=∠105=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．23．(1)2(2)3-(3)1-【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可得；（2）求出223x bx ++的对称轴，令对称轴等于3即可得；（3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可得．【详解】（1）解：2246(2)2x x x -+=-+，则此多项式关于2x =对称，故答案为：2；（2）解：22223()3x bx x b b ++=++- ，∴关于x 的多项式223x bx ++关于x b =-对称，又 关于x 的多项式223x bx ++关于3x =对称，3b ∴-=，即3b =-；（3）解：()()()()22228164442x x x x x x ++-+=+-()()242x x =+-⎡⎤⎣⎦()2228x x =+-()2219x ⎡⎤=+-⎣⎦，则整式()()2281644x x x x ++-+关于=1x -对称，故答案为：1-．【点睛】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，理解新定义是解题的关键．24．(1)见解析(2)DE EF AF+=(3)AF EF DE+=【分析】（1）连接BF ，根据HL 证明Rt Rt BCF BEF ≌△△，进而得出答案；（2）连接BF ，根据HL 证明Rt Rt BCF BEF ≌△△，进而得出答案；（3）延长DE 交AC 与点F ，连接BF ，根据HL 证明Rt Rt BCF BEF ≌△△，进而得出答案．【详解】（1）连接BF ，如图1所示：∴BE BC =，DE AC =．在t R BCF 和t R BEF 中，BF BF BE BC =⎧⎨=⎩，∴()t t HL R BCF R BEF ≌，∴CF EF =，∴AF EF AC DE +==．（2）结论：DE EF AF +=．理由：如图2中，连接BF ．∵DBE △≌△ABC ，∴BE BC =，DE AC =．在t R BCF 和t R BEF 中，BF BF BE BC=⎧⎨=⎩，∴()t t R BCF R BEF HL ≌，∴CF EF =．∴AF AC CF DE EF =+=+．故答案为：DE EF AF +=．（3）如图③所示，延长DE 交AC 与点F ，连接BF ，∴BE BC =，DE AC =．在Rt BCF 和Rt BEF △中，BF BF BC BE =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt HL BCF BEF ≌（），∴EF CF =，∴AF EF AC DE +==．故答案为：AF EF DE +=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．。
北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A ．1，2，3B ．1，2，4C ．2，3，4D ．2，2，43．下列计算中，正确的是（）A ．235a b a +=B ．()235a a =C ．1025a a a ÷=D ．347a a a ⋅=4．如图，在等边三角形ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，且 1.5CE =，则AB 的长为（）A ．3B ．4.5C ．6D ．7.55．若()()1135a a +-=，则a 的值为（）A ．6±B ．3±C ．6D ．36．若2x m =，2y n =，则2x y +等于（）A ．23m n +B ．32m nC ．mnD ．23m n +7．如图，若点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，OAB ∠的平分线交OAB 外角OBD ∠的平分线于点C ，则C ∠的度数是（）A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒8．如图，BN 为∠MBC 的平分线，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠APC +∠ABC ＝180°，给出下列结论：①∠MAP ＝∠BCP ；②PA ＝PC ；③AB +BC ＝2BD ；④四边形BAPC 的面积是△PBD 面积的2倍，其中结论正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线分别交14．若关于x 的二次三项式2x +为．15．如图，在正方形ABCD 中，若3AG =，2BF =，90GEF ∠=16．如图，已知20AOB ∠=︒，点Q 分别为OA OB ，上的动点，则MQ PQ PN ++取得最小值时，三、解答题17．计算：362a a a a ⋅+÷．18．计算：()423x x y x y +-⋅．19．因式分解：334x y xy -．20．已知2210a a --=．求代数式()()()221215a a a +-+-的值．21．如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =.求证：A E ∠=∠.22．已知：如图，线段MN ，直线l ．请完成下面的尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法；(1)在图1中过点M 作直线l 的垂线MH ，垂足为H ；(2)在图2中求作点P ，使得点P 在直线l 上，且PMN 条件的P 点）23．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，E 是BD 上一点，(1)如果40ABC = ∠，则DEC ∠的度数为(2)求证：2BC AB =．24．如图，在带有坐标系的网格中，ABC ()2,2A -，()4,2B --，()0,1C -．(1)画出ABC 关于y 轴的对称的DEC 坐标为__________．(2)已知直线l 过点()1,0且平行于y 轴，在直线l 上存在点P ，使点P 到点D ，E 距离之和最小，则点P 的坐标为__________；(3)用无刻度的直尺，借助网格，画出ABC 的高AF （保留作图痕迹）．25．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2的面积关系，写出正确的等式__________；(2)若要拼出一个面积为()()232a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片6张，B 号卡片__________张，C 号卡片__________张；(3)正方形ABCD ，AEFG 如图3摆放，边长分别为x ，y ．若22x y 34+=，2BE =，求图中两个阴影三角形面积和．26．【例题讲解】因式分解：31x -．∵31x -为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想31x -可以分解成()()21x x ax b -++，即()()3211x x x ax b -=-++，展开等式右边得：()()321x a x b a x b +-+--，∴()()33211x x a x b a x b -=+-+--恒成立．∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即1001a b a b -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴()()32111x x x x -=-++．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】(1)若()()2623x mx x x +-=-+，则m =__________；(2)若3222x x x k -++有一个因式是1x +，求k 的值及另一个因式．27．已知等边ABC ，点D 为BC 上一点，连接AD ．(1)若点E 是AC 上一点，CE BD =，连接BE ，BE 与AD 的交点为点P ，在图1中根据题意补全图形，直接写出APE ∠的大小；(2)在AD 的右侧画120DAF ∠=︒，且使AF AD =，连接BF 交AC 于点Q ，在图2中根据题意补全图形，用等式表示线段BQ 和FQ 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，称过点()0m ,且与y 轴平行的直线为直线x m =，对于任意图形G ，给出如下定义：将图形G 先沿直线x m =翻折得到图形1G ，再将图形1G 沿第一、三象限的角平分线翻折得到图形2G ，则称图形1G 是图形G 的单变换图形，图形2G 是图形G 的双变换图形．已知点()3,1A m --，()2,1B m --，()2,2C m -(1)当1m =时，点C 的单变换图形点1C 的坐标为__________，双变换图形点2C 的坐标为__________；(2)用含m 的式子表示点C 的双变换图形点2C 的坐标为__________．(3)当ABC 单变换图形1G 与双变换图形2G 有公共点时，求出m 的取值范围；(4)若ABC 的双变换图形上只存在两个与x 轴的距离为2的点，直接写出m 的取值范围．。
北京市二中学教育集团2020-2021学年数学八下期末经典模拟试题含解析
北京市二中学教育集团2020-2021学年数学八下期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为X 甲=82分，X 乙=82分，S 甲2=245，S 乙2=190，那么成绩较为整齐的是( )A ．甲班B ．乙班C ．两班一样整齐D ．无法确定 2．若一个等腰直角三角形的面积为8，则这个等腰三角形的直角边长为（ ）A ．B ．C ．4D ．83．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AB =，2cos 3B =，则BC 的长为( )A ．3B ．2C ．D ．4 4．某科普小组有5名成员，身高（单位：cm ）分别为：160，165，170，163，172，把身高160 cm 的成员替换成一位165 cm 的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（ ）A ．平均数变小，方差变小B ．平均数变大，方差变大C ．平均数变大，方差不变D ．平均数变大，方差变小5．某校八（5）班为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，最终决定买哪些水果．下面的调查数据中您认为最值得关注的是（ ）A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差6．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，A ∠、B 、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，则下列结论错误的是（ ）A ．2c a =B ．222+=a b cC ．:1:a b =D ．222b a =7．已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是一次函数y ＝（2a ﹣1）x ﹣3图象上的两点，当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜2B ．a ＞12C ．a ＞2D ．a ＜128．在下列式子中，x 可以取1和2的是( )A ．11x -BCD ．12x -9．如图，在△ABC中，若AB＝AC＝6，BC＝4，D是BC的中点，则AD的长等于（）A．42B．25C．210D．410．小颖现已存款200元，为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式是（）A．y＝10x B．y＝120x C．y＝200－10x D．y＝200＋10x二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数6(0)y xx=>的图象上，则点C的坐标为__．12．将一次函数y＝5x﹣1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第_____象限．13．如图，点C为线段AB上一点，且CB＝1，分别以AC、BC为边，在AB的同一侧作等边△ACD和等边△CBE，连接DE，AE，∠CDE＝30°，则△ADE的面积为_____．14．如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，点A位坐标原点，点B在x轴正半轴上，若点D的坐标为（1，），则点C的坐标为．15．直角三角形两直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为______．16．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______.17．当x___________时，13x -是二次根式．18．在菱形ABCD 中，M 是BC 边上的点（不与B ，C 两点重合），AB=AM ，点B 关于直线AM 对称的点是N ，连接DN ，设∠ABC ，∠CDN 的度数分别为x ，y ，则y 关于x 的函数解析式是_______________________________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、BD 、EF 的中点，GH EF ⊥.求证：AB CD =.20．（6分）如图，Rt AOB ∆的直角边OB 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过斜边OA 的中点D ,与直角边AB 相交于点C .①若点(4,6)A ，求点C 的坐标：②若9S OCD ∆=，求k 的值.21．（6分）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 上两个点，DE CF =.（1）如图1，AF 与BE 的关系是________；（2）如图2，当点E 是AD 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请进行证明；若不成立，说明理由； （3）如图2，当点E 是AD 的中点时，求证：CG CB =.22．（8分）（问题情境）在综合实践课上，同学们以“图形的平移”为主题开展数学活动，如图①，先将一张长为4，宽为3的矩形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的四边形ABCD ，3AD =，4BD =，则拼得的四边形ABCD 的周长是_____.（操作发现）将图①中的ABE △沿着射线DB 方向平移，连结AD 、BC 、AF 、CE ，如图②.当ABE △的平移距离是12BE 的长度时，求四边形AECF 的周长. （操作探究）将图②中的ABE △继续沿着射线DB 方向平移，其它条件不变，当四边形ABCD 是菱形时，将四边形ABCD 沿对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长.23．（8分）求证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）24．（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 经过点C ，AD ⊥EF 于点D ，∠DAC=∠BAC ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．25．（10分）（1）因式分解：()222224a b a b +-； （2）解分式方程：21133x x x-=---； （3）解不等式组：()51312151132x x x x ⎧-<+⎪⎨-+-≤⎪⎩；26．（10分）已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接．（1）如图1，求证：；（2）将图1中的绕点逆时针旋转45°，如图2，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图1中的绕点逆时计旋转任意角度，如图3，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】【分析】【详解】∵S甲2=245，S乙2=190，∴S甲2>S乙2∴成绩较为整齐的是乙班．故选B．2、C【解析】设等腰直角三角形的直角边长为x，根据面积为8，可列方程求解．解；设等腰直角三角形的边长为x，12x2=8，x=1或x=-1（舍去）．所以它的直角边长为1．故选C．“点睛”本题考查等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的两个腰相等，两腰夹角为90°，根据面积为8可列方程求解．3、D【解析】【分析】根据2cos3B=，可得23CBAB=，再把AB的长代入可以计算出CB的长．【详解】解：∵cos B＝BC AB，∴BC＝AB•cos B＝6×23＝1．故选：D．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．4、D【解析】【分析】根据平均数、中位数的意义、方差的意义，可得答案．【详解】解：原数据的平均数为15×（160+165+175+163+172）=166（cm），方差为15×[（160-166）2+（165-166）2+（170-166）2+（163-166）2+（172-166）2]=19.6（cm2），新数据的平均数为15×（165+165+170+163+172）=167（cm），方差为15×[2×（165-167）2+（170-167）2+（163-167）2+（172-167）2]=11.6（cm2），所以平均数变大，方差变小，故选D．【点睛】本题考查了方差，利用平均数、中位数和方差的定义是解题关键5、C【解析】【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．【详解】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．故选：C．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．6、D【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到c＝1a，根据勾股定理计算，判断即可．【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴c＝1a，A正确，不符合题意；由勾股定理得，a1＋b1＝c1，B正确，不符合题意；b，即a：b＝1，C正确，不符合题意；∴b1＝3a1，D错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a1＋b1＝c1．7、D【解析】【分析】根据一次函数的图像即可求解.【详解】解：∵当x1＜x2时，有y1＞y2∴y随x的增大而减小即2a﹣1＜0∴a＜1 2故选：D．【点睛】此题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图像.8、B【解析】【分析】根据分式和二次根式有意义的条件即可求出答.【详解】解：A.x﹣1≠0，所以x≠1，故A不可以取1B.x﹣1≥0，所以x≥1，故B可以取1和2C.x﹣2≥0，所以x≥2，故C不可以取1D.x﹣2≠0，所以x≠2，故D不可以取2故选：B．【点睛】本题考查的是分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握二者是解题的关键.9、A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝12BC＝1，根据勾股定理计算即可．【详解】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝12BC＝1，∴AD，故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a1+b1＝c1．10、D【解析】【分析】根据题意可以写出存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，y=200+10x，故选：D．【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出函数关系式．二、填空题(每小题3分,共24分)11、（3，6）．【解析】【分析】设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在反比例函数6(0)y xx=>的图象上求出xy的值，进而可得出C的坐标．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，2），∴设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），∵点B与点D在反比例函数6(0)y xx=>的图象上，∴y=6，x=3，∴点C的坐标为（3，6）．故答案为（3，6）．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．12、四【解析】【分析】根据一次函数图象的平移规律，可得答案．【详解】将一次函数y＝5x﹣1的图象向上平移3个单位，得y=5x+2，直线y=5x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限，故答案为：四。
北京二中教育集团2024—2025学年上学期 八年级数学期中考试卷(含答案)
北京二中教育集团2024—2025学年度第一学期初二数学期中考试试卷考查目标1.知识：人教版八年级上册《三角形》、《全等三角形》、《轴对称》、《整式的乘法与因式分解》的全部内容.2.能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力.考生须知 1.本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡7页。
全卷共三大题，28道小题。
2.本试卷满分100分，考试时间120分钟。
3.在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号。
4.考试结束，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题共 16分）一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项）1.中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（） A.B.C.D.2.下列计算正确的是（ ）A. B. C. D.3.如图是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，那么判定图中两三角形全等的条件是（ ）A.SSSB.SASC.AASD.ASA 4.如图，在中，边上的高是（）32m m m -=326m m m ⋅=624m m m ÷=()239m m =ABC △BCA. B. C. D.5.如图，在中，，于D ，点B 关于直线的对称点是点，若，则的度数为（ ）A.8°B.10°C.20°D.40°6.已知式子的计算结果中不含x 的一次项，则a 的值为（）A. B.3 C.1.5D.07.根据下列已知条件，不能画出唯一的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，8.如图，和分别是的内角和外角的角平分线，，连接.以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（非选择题 共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9.已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为______.10.若有意义，则x 的取值范围是______.11.如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是______.BD CE BE AFABC △90BAC ∠=︒AD BC ⊥AD B '50B ∠=︒B AC '∠()()23x x a +-3-ABC △10AB =6BC =5CA =10AB =6BC =30A ∠=︒10AB =6BC =60B ∠=︒10AB =6BC =90C ∠=︒BD AD ABC △ABC ∠CAE ∠AD BC P CD AB AC =2BAC BDC ∠=∠4EAC ADB ∠=∠90ADC ABD ∠+∠=︒()021x -12.如图是一个五边形，图形中x 的值为______°.13.如图，在长方形中，，垂足为E ，交于点F ，连接.请写出一对面积相等但不全等的三角形______.14.若，，则______.15.如图，在等腰中，，，，，点C 的坐标是______.16.如图，等边的边长为5，点E 在上，，射线，垂足为点C ，点P 是射线上一动点，点F 是线段上一动点，当的值最小时，的长为______.ABCD AF BD ⊥AF BC DF 3a x =2b x =3a b x +=Rt ABC △90CAB ∠=︒AB AC =2OA =3OB =ABC △BC 2CE =CD BC ⊥CD AB EP FP +BF三、解答题（共68分，其中第17-21，23题每题5分，第22，24，25，26题每题6分，第27-28题每题7分）17.计算：.18.因式分解：.19.因式分解：.20.已知，求代数式的值.21.如图，中，，于点E ，于点D ，与相交于点F .求证：.22.如图，已知.（1）根据要求尺规作图：①作的平分线；②在上取点C ，作边的垂直平分线交于点D ，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：.解：平分 垂直平分线段（____________）（填推理依据） （____________）（填推理依据）()2533a a a⋅--2328x y y -()()314x x +-+2410m m --=()()()22311m m m ---+ABC △45ABC ∠=︒BE AC ⊥AD BC ⊥BE AD BF AC =AOB ∠AOB ∠OP OP OC MN OA CD CD OB P OC AOB ∠AOC BOC ∴∠=∠MN OCDO DC ∴=AOC DCO ∴∠=∠BOC DCO ∴∠=∠CD OB∴P23.如图：在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：，，.（1）画出关于x 轴对称的图形.其中A 、B 、C 分别和、、对应；（2）点P 在y 轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点P 的个数是______个.24.如图，是等边三角形，于D ，为边中线，，相交于点O ，连接.（1）判断的形状，并说明理由（2）若，求的长.25.如图1有三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b ，宽为a 的长方形，老师用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形.（1）观察图2的面积关系，写出一个数学公式______；（2）根据数学公式，解决问题：已知，，求的值.26.我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法.步骤如下：①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐；②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减；ABC △xOy ()3,1A -()1,2B --()1,3C ABC △111A B C △1A 1B 1C ACP △ABC △BD AC ⊥AE BC AE BD DE CDE △2OD =OB 7a b +=2229a b +=()2a b -()()43267121x x x x ---÷+46x 2x 33x 33x ()21x +()4363x x +④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式.若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.余式为0，可以整除.请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）：（1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子；（2）多项式除以商式为______，余式为______；（3）多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______.27.已知，，，连接和.（1）如图1，①求证：；②当时，的延长线交于点F ，写出与的数量关系并证明；（2）如图2，与的延长线交于点P ，连接，直接写出的度数（用含的式子表示）28.在平面直角坐标系，中，已知点，过点且垂直于x 轴的直线记为直线，过点且垂直于y 轴的直线记为直线.给出如下定义：将图形G 关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形G 关于点M 的双对称图形.（1）已知点M 的坐标为，点关于点M 的双对称图形点的坐标为______；()3210x x-- 432671x x x ∴---21x +2357x x +-2x +324839x x x +--1x -AB AC =AD AE =BAC DAE α∠=∠=BD CE BD CE =AD BD ⊥ED BC BF CF CE DB AP APB ∠αxOy (),M m n (),0m x m =()0,n y n =x m =1G 1G y n =2G 2G ()0,1()2,3N 2N（2）如图，的顶点坐标是，，.①已知点M 的坐标为，点，点，线段关于点M 的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求n 的取值范围；②已知点M 的坐标为，直线l 经过点且平行于第一三象限的角平分线，当关于点M 的双对称图形与坐标轴有交点时，直线l 上存在满足条件的双对称图形上的点，直接写出k 的取值范围.北京二中教育集团2024—2025学年度第一学期初二数学期中考试参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1-5.ACADB 6-8.CBD二、填空题（共16分，每小题2分）9.12 10.11.三角形具有稳定性 12.121°13.和（和，和，和）14.24 15. 16.3.5三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17.原式18.原式19.原式20.解：原式当时 原式21.证明：， ABC △()2,3A -()4,1B -()0,1C ()1,1-()4,P n ()4,1Q n +PQ 22P Q ABC △(),3m m -+()0,k ABC △222A B C △222A B C △12x ≠ABF △DBF △ABD △AFD △BCD △AFD △ABE △DEF △()5,2--66698a a a=-=-()()()2224222y x yy x y x y =-=+-()222234211x x x x x =+-+=++=+2224129131210m m m m m =-+-+=-+2410m m --=31013=+=BE AC ⊥ AD BC ⊥90ADB ADC BEC ∴∠=∠=∠=︒， 在与中 22.（1）图略（2）线段垂直平分线上的点与线段两个端点距离相等 等边对等角23.解：（1）图略 （2）524.（1）等边三角形证：在等边中，，， 又为边上的中线 又 是等边三角形（2），，，为边上的中线， 在中， 25.解：（1）（2）9又 26.解：（1）2，（2），（3）27.解：（1）①证： 90EBC C ∴∠+∠=︒90DAC C ∠+∠=︒EBC DAC ∴∠=∠45ABC ∠=︒ 9045BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒ABC BAD∴∠=∠AD BD ∴=BFD △ACD △ADB ADC BD ADEBC DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA BFD ACD ∴≌△△BF AC∴=ABC △AB BC AC ==60C ABC BAC ∠=∠=∠=︒AB BC = BD AC ⊥12CD AC ∴=AE BC 12CE BC ∴=CD CE ∴=60C ∠=︒ CDE ∴△AB BC = AB AC =BD AC ⊥AE BC 1302ABD ABC ∴∠=∠=︒1302BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒ABD BAE ∴∠=∠OA OB ∴=BD AC ⊥ 90BDA ∴∠=︒ Rt AOD △30CAE ∠=︒24OA OD ∴==4OB OA ∴==()2222a b a ab b +=++7a b += ()249a b ∴+=()()()22222a b a b a b ++-=+ ()2229499a b ∴-=⨯-=32105x x--31x -5-()()2123x x -+BAC DAE α∠=∠= BAC CAD DAE CAD ∴∠+∠=∠+∠在与中 ②法1：延长至G ，使，连接。
北京二中教育集团2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷含答案
北京二中教育集团2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办．以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列计算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．（a2）3＝a5C．a6÷a2＝a3D．a2•a3＝a53．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3D．221222(1)x x xx+=+4．如果（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，那么m的值为（）A．﹣6B．﹣3C．0D．15．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是（）A．AM=BM B．∠ANM=∠BNMC．∠MAP=∠MBP D．AP=BN6．要使2161x bx-+成为完全平方式，那么常数b的值是（）A ．4B ．8-C ．4±D ．8±7．如图，△ABC 中，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接BE ，则∠BEC 的大小为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°8．如图，AD 是等边△ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为（ ）A ．30°B ．20°C ．25°D ．15°9．平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （0，2）若在坐标轴上取C 点，使∠ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．810．如图，120AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，且2OP =，若点M N 、分别在OA OB 、上，且PMN ∆为等边三角形，则满足上述条件的PMN ∆有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个二、填空题 11．当x ≠4时，（x ﹣4）0＝___．12．等腰三角形一内角为40°，则该等腰三角形顶角的度数为________．13．已知x m =6，x n =3，则x 2m ﹣n 的值为_____．14．若a 2+b 2＝19，ab ＝5，则a ﹣b ＝___．15．如图，从边长为a 的大正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是_____________16．如图，点P 为∠AOB 内任一点，E ，F 分别为点P 关于OA ，OB 的对称点．若∠AOB ＝30°，则∠E ＋∠F ＝_____°．17．已知一张三角形纸片(ABC 如图甲)，其中.AB AC =将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，折痕为(BD 如图乙).再将纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，折痕为(EF 如图丙).原三角形纸片ABC 中，ABC ∠的大小为______.18．如图，在等边△ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM∠BC于点M．下列结论正确的有___．（把所有正确的序号写在横线上）∠12 DM DE=∠BM＝EM∠2CD＝3DM∠BM＝3CM三、解答题19．因式分解；(1)ax2+2a2x+a3(2)（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）20．计解：41 596055⨯．21．计算：[7m•m4﹣（﹣3m2）2]÷2m2．22．已知4a2+2b2﹣1＝0，求代数式（2a+b）2﹣b（4a﹣b）+2的值．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知∠ABC的三个顶点坐标分别为A（3，0），B（5，3），C（6，1）．(1)若∠ABC与∠A'B'C'关于y轴对称，画出∠A'B'C'；(2)若直线l上存在点P，使AP+BP最小，则点P的坐标为，AP+BP的最小值为．24．如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．(1)画图：∠作AB的垂直平分线，分别与AB交于点D，与BC交于点E；（要求尺规作图，保留作图痕迹）∠连接AE；∠过点B作BF垂直AE，垂足为F．(2)求证：AC＝BF．25．如图，AE是∠ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∠BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明.26．老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．(1)爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝( )2+b2；再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣）2+；根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是．(2)请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．∠C，BE∠DE，垂27．在∠ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝12足为E，DE与AB相交于点F．(1)当且C，D两点重合时（如图1）∠直接写出∠EBF＝°；∠直接写出线段BE与FD之间的数量关系；(2)当C，D不重合时（如图2），写出线段BE与FD的数量关系，并证明．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m），且平行于x轴的直线记作直线y ＝m．我们给出如下定义：点P（x，y）先关于x轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y ＝m对称得到点P'，则称点P'称为点P关于x轴和直线y＝m的二次反射点．(1)点A（5，3）关于x轴和直线y＝1的二次反射点A'的坐标是；(2)点B（2，﹣1）关于x轴和直线y＝m的二次反射点B'的坐标是（2，﹣5），m＝；m），其中m＞0，点C关于x轴和直线y＝m的二次反射点是(3)若点C的坐标是（0，12C'，求线段CC'的长（用含m的式子表示）；(4)如图，正方形的四个顶点坐标分别为（0，0）、（2，0）、（2，2）、（0，2），若点P（1，4），Q（1，5）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P'，Q'，且线段P'Q'与正方形的边没有公共点，直接写出m的取值范围．参考答案：1．B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合【详解】解：A. 不是轴对称图形，故不符合题意；B.是轴对称图形，故符合题意；C.不是轴对称图形，故不符合题意；D.不是轴对称图形，故不符合题意；故选B【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．2．D【解析】【分析】根据幂的乘方，同底数幂相除，同底数幂相乘，逐项判断即可求解．【详解】解：A、3a和2a不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；B、()326a a=，故本选项错误，不符合题意；C、624÷=，故本选项错误，不符合题意；a a aD、235⋅=，故本选项正确，符合题意；a a a故选：D【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相除，同底数幂相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．3．B【解析】将多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义依次判断．【详解】解：m（a+b）＝ma+mb是整式乘法，故选项A不符合题意；x2+3x+2＝（x+1）（x+2）是因式分解，故选项B符合题意；x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3不是因式分解，故选项C不符合题意；221222(1)x x xx+=+不是因式分解，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了因式分解的定义，熟记定义并正确理解是解题的关键．4．A【解析】【分析】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据乘积不含x的一次项得出6+m=0，再求出m即可．【详解】解：（2x+m）（x+3）=2x2+6x+mx+3m=2x2+（6+m）x+3m，∠（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，∠6+m=0，解得：m=-6，故选：A．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．5．D【解析】【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得【详解】 解：直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，AM BM ∴=，MAP MBP ∠=∠，ANM BNM ∠=∠．由于AP 和BN 不是对应线段，故AP 不一定等于BN ．故选：D ．【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．6．D【解析】【分析】根据完全平方公式的形式可得241b -=±⨯⨯，解方程求出b 的值即可．【详解】解：∠2161x bx -+是完全平方式，∠241b -=±⨯⨯，解得：8b =±．故选：D ．【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式．完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+．7．C【解析】【分析】由线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，可得AE=BE ，继而求得∠ABE 的度数，再由三角形的外角性质则可求得答案．【详解】∠线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，∠AE=BE ，∠∠ABE=∠A=40°，∠∠BEC=∠A+∠ABE∠∠BEC=40°+40°=80°．故选：C．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．D【解析】【分析】由AD是等边∠ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD∠BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【详解】解：∠AD是等边∠ABC的中线，∠AD∠BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×60°=30°，∠∠ADC=90°，∠AD=AE，∠∠ADE=∠AED=180752CAD∠︒-=︒，∠∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．9．C【解析】【详解】解：如图，∠以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰∠ABC1，∠ABC2，∠ABC5；∠以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰∠BAC3，∠BAC6，∠BAC7；∠作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰∠C4AB∠符合条件的点C共7个故选C10．D【解析】【分析】根据题意在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明∠PEM∠∠PON即可反推出∠PMN是等边三角形满足条件，以此进行分析即可得出结论.【详解】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∠OP平分∠AOB，120AOB∠=︒，∠∠EOP=∠POF=60°，∠OE=OF=OP，∠∠OPE ，∠OPF 是等边三角形，∠EP=OP ，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∠∠EPM=∠OPN ，在∠PEM 和∠PON 中，PEM PON PE POEPM OPN ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝ ∠∠PEM∠∠PON （ASA ）．∠PM=PN ，∠∠MPN=60°，∠∠PNM 是等边三角形，∠只要∠MPN=60°，∠PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选：D ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.11．1【解析】【分析】根据零指数幂的定义：a 0=1（a ≠0），求解即可．【详解】解：∠x ≠4，∠x -4≠0，∠（x -4）0=1．故答案是：1．【点睛】本题考查了零指数幂，掌握运算法则是解答本题的关键．12．40°或100°【解析】【分析】等腰三角形的一个内角是40°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分开计算．【详解】解：（1）若等腰三角形一个底角为40°，顶角为180°-40°-40°=100°；（2）等腰三角形的顶角为40°．因此这个等腰三角形的顶角的度数为40°或100°．故选答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．解题的关键是要注意分类讨论，不要漏解．13．12【解析】【分析】逆用“同底数幂的除法法则和幂的乘方的运算法则”进行解答即可.【详解】∠63m n x x ==，，∠222()6312m n m n x x x -=÷=÷=.故答案为12.【点睛】熟记“同底数幂的除法法则：m n m n a a a -÷=，幂的乘方的运算法则：()m n mn a a =，并能逆用这两个法则”是解答本题的关键.14．±3【解析】【分析】根据完全平方公式先求得（a -b ）2的值，然后根据平方根的概念进行计算求解．【详解】解：∠（a -b ）2=a 2-2ab +b 2，且a 2+b 2=19，ab =5，∠（a -b ）2=19-2×5=19-10=9，∠a -b =±3，故答案为：±3．【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2的结构是解题关键． 15．22()()a b a b a b -=+-【解析】【详解】大正方形的面积−小正方形的面积=a 2−b 2，矩形的面积=(a+b)(a−b)，故a 2−b 2=(a+b)(a−b).故答案为()()22a b a b a b -=+-.【点睛】本题主要考查平方差公式的几何意义，用这两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键. 16．150【解析】【分析】连接OP ，根据轴对称的性质得到60EOF ∠=︒，,,E EPO F FPO ∠=∠∠=∠再利用四边形的内角和是360︒计算可得答案.【详解】解：如图，连接OP ，E ，F 分别为点P 关于OA ，OB 的对称点,,EOA POA POB FOB ∴∠=∠∠=∠30EOA FOB POA POB ∴∠+∠=∠+∠=︒60EOF ∴∠=︒,,E EPO F FPO ∴∠=∠∠=∠360E EPO F FPO EOF ∴∠+∠+∠+∠+∠=︒2()300E F ∴∠+∠=︒150E F ∴∠+∠=︒故答案为150.【点睛】本题考查了轴对称的性质，四边形的内角和性质，证得60EOF ∠=︒，,,E EPO F FPO ∠=∠∠=∠解本题的关键.17．72;【解析】【分析】根据题意设∠A 为x,再根据翻折的相关定义得到∠A 的大小，随之即可解答.【详解】设∠A 为x ，则由翻折对应角相等可得∠EDA=∠A=x ，由∠BED 是△AED 的外角可得∠BED=∠EDA+∠A=2x ，则由翻折对应角相等可得∠C=∠BED=2x ，因为AB=AC ，所以∠ABC=∠C=2x ，在△ABC 中，∠ABC+∠C+∠A=2x+2x+x=180°，所以x=36°，则∠ABC=2x=72°.故本题正确答案为72°.【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质．18．∠∠∠【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到60ACB ABC ∠=∠=︒，求得1302E ACB ∠=∠=︒，得到12DM DE =，可判断∠；连接BD ，得到11603022∠=∠=︒︒⨯=DBC ABC ，根据等腰三角形的性质得到BM EM =，可判断∠；求出∠CDM =30°=2DM ，变形得到2CD DM ，可判断∠；根据1122CM CD CE ==，可得3EM CM =，从而得到3BM CM =，可判断∠．【详解】 解：ABC ∆是等边ABC ∆，60ACB ABC ∠=∠=︒∴，又CE CD =，E CDE ∴∠=∠，又ACB E CDE ∠=∠+∠，1302E ACB ∴∠=∠=︒， 12DM DE ∴=，故∠正确， 连接BD ，等边ABC ∆中，D 是AC 的中点，11603022DBC ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 30DBC E ∴∠=∠=︒，DB DE ∴=，又DM BC ⊥，BM EM ∴=，故∠正确；∠ACB =60°，∠DMC =90°，∠∠CDM =30°，∠CD =2CM ，DM ，∠2CD =2DM ，即2CD ，故∠错误， 1122CM CD CE ==， 3EM CM ∴=，3BM CM ∴=，故∠正确；故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．19．(1)2()a x a +(2)2()x a b -【解析】【分析】（1）直接提取公因式a ，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接提取公因式()-a b ，进而分解因式即可．【小题1】解： 2232ax a x a ++22(2)a x ax a =++2()a x a =+；【小题2】()()()()a b x y b a x y ----+()()a b x y x y =--++2()x a b =-【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 20．24359925【解析】【分析】 把原式化为11(60)(60)55-⨯+，然后根据平方差公式计算即可．【详解】解：原式11(60)(60)55=-⨯+22160()5=- 1360025=- 24359925=． 【点睛】此题考查的是平方差公式，掌握平方差公式的公式结构是解决此题关键．21．327922m m -【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，整式的除法计算即可．【详解】解：原式542(79)2m m m =-÷52427292m m m m =÷-÷ 327922m m =-． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，整式的除法，掌握()n n n ab a b =是解题的关键．22．3【解析】【分析】先化简代数式，再根据化简结果整体代入可得答案．【详解】解：原式222224442422a ab b ab b a b =++-++=++．由224210a b +-=可得22421a b +=，22422123a b ∴++=+=．【点睛】本题考查整式的混合运算，应用整体代入是解题关键．23．(1)见解析(2)(3,3)，5【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A'，B′，C'即可；（2）作点B关于直线l的对称点B''，连接AB''交直线l于点P，连接PB，此时PA PB+的值最小，最小值为线段AB''的长．【小题1】'''即为所求；解：如图，△A B C【小题2】P，最小值为5，如图，点P即为所求．(3,3)故答案为：(3,3)，5．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．24．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）利用基本作图作出AB的垂直平分线，然后连接AE，过B点作AE的垂线即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到EA EB=，然后证明ACE BFE∆≅∆，从而得到(1)解：如图，DE 为所作；如图，BF 为所作；(2)证明：ED 垂直平分AB ，EA EB ∴=，BF AE ⊥，90BFE ∴∠=︒，在ACE ∆和BFE ∆中，C BFE AEC BEF EA EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BFE AAS ∴∆≅∆，AC BF ∴=．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．25．AE 与AF 的位置关系是垂直. 证明见解析.【解析】【分析】由角平分线的性质和平行线的性质得到∠B =∠ACB ，由等角对等边，得到AB =AC ，再由等腰三角形三线合一的性质及角平分线的性质即可得到结论．AE 与AF 的位置关系是垂直．理由如下：∠AE 是∠ACD 的角平分线，∠∠DAE =∠CAE =12∠DAC ． ∠AE ∠BC ，∠∠DAE =∠B ，∠EAC =∠ACB ，∠∠B =∠ACB ，∠AB =AC ．又∠F 为BC 中点，∠∠BAF = ∠CAF = 12∠CAB ． ∠∠CAB +∠CAD =180°，∠∠CAF +∠CAE =90°，∠AE ∠AF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 26．(1)2b -，1，2，2(2)50【解析】【分析】（1）根据小明的思路得到关于b 的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值； （2）根据小明的思路得到关于x 的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值．【小题1】解：2a b +=，2a b ∴=-；代入22a b +得到：22a b +22(2)b b =-+2442b b b =-++2244b b =-+22(1)2b =-+；根据完全平方式的非负性，就得到了22a b +的最小值是2；故答案为：2b -，1，2，2；【小题2】10x y +=，10y x ∴=-；22x y ∴+22(10)x x =+-2201002x x -+=22(5)50x =-+；根据完全平方式的非负性，就得到了22xy +的最小值是50． 根据小明的方法，当10x y +=时，22xy +的最小值是50．【点睛】 本题考查了配方法的应用和完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 27．(1)∠22.5°；∠12BE DF =(2)12BE FD =，证明见解析 【解析】【分析】（1）作//DG AC 交BE 的延长线于G ，根据全等三角形的性质即可得到结论；根据等腰直角三角形的性质得到45ABC C ∠=∠=︒，根据题意求出EDB ∠，计算即可；（2）如图2，过点D 作//DG CA ，与BE 的延长线相交于点G ，与AB 相交于点H ，得到GDB C ∠=∠，90BHD A GHB ∠=∠=︒=∠，根据全等三角形的性质得到12BE GE GB ==，求得HB HD =，根据全等三角形的性质得到GB FD =，于是得到结论．【小题1】解：∠90A ∠=︒，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，122.52EDB ACB ∴∠=∠=︒， 又BE DE ⊥，9022.567.5EBD ∴∠=︒-︒=︒，67.54522.5EBF ∴∠=︒-︒=︒，∠延长BE ，CA 交于G ，12EDB ACB ∠=∠， CE ∴平分ACB ∠，GCE BCE ∴∠=∠，BE DE ⊥，90BEC CEG ∴∠=∠=︒，在BCE ∆与GCE ∆中，GCE BCE CE CEGEC BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()BCE GCE ASA ∴∆≅∆，12BE EG BG ∴==， 90BEF BAC ∠=∠=︒，BFE AFC ∠=∠，ABG ACF ∴∠=∠，在ABG ∆与ACF ∆中，ABG ACF AB ACBAG CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABG ACF ASA ∴∆≅∆，BG CF ∴=，12BE DF ∴=； 【小题2】 结论：12BE FD =， 证明：如图2，过点D 作//DG CA ，与BE 的延长线相交于点G ，与AB 相交于点H ， 则GDB C ∠=∠，90BHD A GHB ∠=∠=︒=∠，1122EDB C GDB EDG ∠=∠=∠=∠， 又DE DE =，90DEB DEG ∠=∠=︒，()DEB DEG ASA ∴∆≅∆，12BE GE GB ∴==， 90A ∠=︒，AB AC =，ABC C GDB ∴∠=∠=∠，HB HD ∴=，90BED BHD ∠=∠=︒，BFE DFH ∠=∠，EBF HDF ∴∠=∠，()GBH FDH ASA ∴∆≅∆，GB FD ∴=，12BE FD ∴=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形性质，正确地作出辅助线是解题的关键．28．(1)（5，5）(2)-2(3)2m(4)1m >-或322m -<<-或52m <- 【解析】【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；（2）根据二次反射点的定义得出(2,21)B m '-，则215m -=-，由此可得m 的值； （3）根据二次反射点的定义得出5(0,)2C m '，则可得出答案；（4）根据二次反射点的定义得出(1,24)P m '+，(1,25)Q m '+，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．【小题1】 解：点(5,3)A ，∴点A 关于x 轴对称得到点1(5,3)A -，∴点1A 关于直线y m =对称得到点(5,5)A '．故答案为：(5,5)．【小题2】点(2,1)B -，∴点B 关于x 轴对称得到点1(2,1)B ，∴点1B 关于直线y m =对称得到点(2,21)B m '-，215m ∴-=-，解得2m =-，故答案为：2-．【小题3】点C 的坐标是1(0,)2m ，∴点C 关于x 轴对称得到点11(0,)2C m -，∴点1C 关于直线y m =对称得到点1(0,2)2C m m '+，即5(0,)2C m '，51222CC m m m ∴'=-=． 【小题4】由题意可知，点(1,4)P ，(1,5)Q 关于x 轴和直线y m =的二次反射点分别为(1,24)P m '+，(1,25)Q m '+，且//P Q y ''轴，1P Q ''=，∴线段P Q ''与正方形的边没有公共点，有三种情况：∠242m +>，解得1m >-；∠252240m m +<⎧⎨+>⎩，解得322m -<<-； ∠250m +<，解得52m <-． 综上，若线段P Q ''与正方形的边没有公共点，则m 的取值范围1m >-或322m -<<-或5m<-．2【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化，考查了正方形的性质，轴对称性质，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．。
2023-2024学年北京二中教育集团八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年北京二中教育集团八年级（下）期末数学试卷一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1．（2分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥﹣2C．x≥2D．x≤﹣22．（2分）下列运算中错误的是（）A．B．C．D．3．（2分）已知点（k，b）为第一象限内的点，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2分）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．AB2+BC2＝AC2B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．AB＝1，BC＝，AC＝5．（2分）某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42（单位：cm）的衬衫，一个月内的销量如下表：领口大小/cm3839404142销量/件6419918011047你认为商店最感兴趣的是这里数据的（）A．平均数B．中位数C．众数D．加权平均数6．（2分）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．变小B．不变C．变大D．无法判断7．（2分）下列命题正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的四边形是菱形D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形8．（2分）某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（）A．第30天该产品的市场日销售量最大B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大C．第20天该产品的日销售总利润最大D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）计算：＝．10．（2分）如图，直线y＝kx+b分别交坐标轴于（﹣5，0），（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解集是．11．（2分）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为．12．（2分）如图，△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∠ABC 的角平分线交DE 于点F ，AB ＝8，BC ＝12，则EF 的长为．13．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 1：y ＝﹣x +m 向左平移1个单位长度，得到直线l 2：y ＝﹣x +1，则m ＝．14．（2分）甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为甲，乙，方差分别为s 甲2，s 乙2，则甲乙，s 甲2，s 乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝x +b 与直线y ＝﹣2x +4的交点在第一象限，则b 的取值范围是．16．（2分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，∠BAC ＝60°，则对角线AC ＝，点P 是AC 上的动点，连接PD ，则PA +PD 的最小值是．三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）已知，，求a2+ab+b2的值．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣1，6），B（1，2），且与x轴交于点C．（1）求这个一次函数的解析式；（2）连接OA，求△AOC的面积．21．（5分）已知：如图，E，F为▱ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE∥CF．22．（5分）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．（1）求从45m高空抛物到落地时间；（2）已知高空坠物动能W（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg 的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）．23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE与CE相交于点E．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）连接DE，若AB＝3，AC＝4，求DE的长．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（﹣2，0）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝nx﹣1（n≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．25．（6分）某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x ＜90，90≤x≤100）：b．七年级学生的成绩在80≤x＜90这一组的是：8082848586878787878789c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数七年级84.2m n八年级84.687.588根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）估计七、八两个年级成绩在90≤x≤100的人数一共为；（3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为p1，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为p2，比较p1，p2的大小，并说明理由．26．（6分）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请运用积累的经验和方法，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．（1）列表：x..．01234567..．y..．5m1﹣11357..．表格中：m＝；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）观察图象：①方程有个解；②当2＜x＜5时，y的取值范围是；（4）进一步研究：若点M（x1，y1），N（x2，y2）是函数图象上任意两点，若对于1＜x1＜2，2＜x2＜3，都有y1＜y2，则t的取值范围是．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点P在边AD上，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，延长ED至点F，使EF＝EC，连接BF，CF．（1）依题意补全图形；（2）∠EFC的度数为；（3）用等式表示线段BF，DF，EF之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，则称线段MN是点A的“菱线段”，点M是点A的“菱点”．例如，图1中线段MN是点A的“菱线段”．（1）如图2，已知点A的坐标是（0，2）．①点M1（1，﹣1），M2，M3（2，0），M4（﹣2，1），其中点A的“菱点”有；②若线段MN是点A的“菱线段”，且菱形AOMN的面积是2，求点N的坐标；（2）记OA＝t，若线段MN与线段M′N′′都是点A的““菱线段”，且线段MN与线段M′N′′都经过点（2，0），直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京二中教育集团八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x+2≥0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．2．【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：A、与不能合并，原计算错误，符合题意；B、÷＝，正确，不符合题意；C、•＝＝，正确，不符合题意；D、原式＝3，正确，不符合题意，故选：A．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．3．【分析】根据点（k，b）为第一象限内的点，得到k＞0，b＞0，即可得到一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、三象限，问题得解．【解答】解：∵点（k，b）为第一象限内的点，∴k＞0，b＞0，∴一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、三象限．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是关键．4．【分析】根据勾股定理的逆定理和题意，可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：∵AB2+BC2＝AC2，故△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴最大角∠C＝180°×＝75°，故△ABC不是直角三角形，选项B符合题意；∵∠A+∠B＝∠C，∴△ABC是直角三角形，选项C不符合题意；∵AC2+BC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形，选项D不符合题意；【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出三角形的形状．5．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是对衬衫的领口大小销售情况作调查，那么应该是看适合大众的衬衫，故商店最感兴趣的是众数．【解答】解：∵由于众数是数据中出现次数最多的数，∴商店最感兴趣的是众数．故选：C．【点评】此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．6．【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP＝AB＝a，即可得出答案．【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，理由是：连接OP，∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，∴OP＝AB＝a，即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；故选：B．【点评】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．7．【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．是熟练掌握特殊四边形的判定定理是关键．8．【分析】从图1中看日销售量，日销售量随上市时间的增大而增大；从图2中看单件销售利润，前20天单件销售利润在增大，到了第20天至第30天，单件销售利润达到最大．【解答】解：A．从图1中可知，第30天日销售量为60件，日销售量最大，故该选项正确，不符合题意；B．从图2中可知，单件产品的销售利润最大的是第20天至30天，单件销售利润为30元，故该选项正确，不符合题意；C．应该是第30天，因为第30天的单件销售利润最大，日销售量最大，故该选项错误，符合题意；D．第20天至30天，单件销售利润都是30元，日销售量在增大，所以销售总利润逐日增多，故该选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是看懂这两幅图的自变量和因变量．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．【解答】解：原式＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．10．【分析】kx+b＞0可看作是函数y＝kx+b的函数值大于0，然后观察图象得到图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞﹣5，这样即可得到不等式kx+b＞0的解集．【解答】解：根据题意，kx+b＞0，即函数y＝kx+b的函数值大于0，图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞﹣5，故不等式kx+b＞0的解集是：x＞﹣5．故答案为：x＞﹣5．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：对于一次函数y＝kx+b，当y＞0时对应的自变量的取值范围为不等式kx+b＞0的解集．11．【分析】首先根据折叠的性质可得AD＝BD，设CD＝xcm，则AD＝BD＝（8﹣x）cm，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：AD＝BD，设CD＝xcm，则AD＝BD＝（8﹣x）cm，由勾股定理得：62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝．故答案为：cm．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．12．【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，求出DF，进而求出EF．【解答】解：∵DF是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠FBC，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝6，∴∠DFB＝∠FBC，∴∠DFB＝∠DBF，∴DF＝BD＝，∴EF＝DE﹣DF＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．13．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：∵y＝﹣x+m向左平移1个单位长度得到y＝﹣（x+1）+m，∴﹣x+1＝﹣（x+1）+m，∴m＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．【分析】根据图形给的数据计算平均数，再利用平均数计算方差即可．【解答】解：＝（9+9+8+10+8）＝8.8．＝（8+8+7+9+7）＝7.8．∵8.8＞7.8．∴＞．S2甲＝[（9﹣8.8）2+（9﹣8.8）2+（8﹣8.8）2+（10﹣8.8）2+（8﹣8.8）2]＝0.56．S2乙＝[（8﹣7.8）2+（8﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（7﹣7.8）2]＝0.56．∴S2甲＝S2乙．故答案为：＞；＝．【点评】本题考查了平均数和方差的应用，准确的计算和比较是解题关键．15．【分析】求出直线y＝﹣2x+4与坐标轴的交点坐标，再求出两种特殊情形b的值可得结论．【解答】解：设直线y＝﹣2x+4交y轴于点A，交x轴于点B，则A（0，4），B（2，0），当直线y＝x+b经过点A时，b＝4，当直线y＝x+b经过点B时，b＝﹣2，∵直线y＝x+b与直线y＝﹣2x+4的交点在第一象限，∴﹣2＜b＜4．故答案为：﹣2＜b＜4．【点评】本题考查两直线平行相交问题，一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】过点A作∠CAN＝30°，过点D作DM⊥AN于点M，利用∠CAB＝60°，求得∠CAD＝30°，∠DAM＝60°，利用勾股定理求得AC；推导出PA+PD＝DM，此时为最小值，进而得出答案．【解答】解：过点A作∠CAN＝30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，∴PM＝PA，∵AB＝2，∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴AC＝＝＝4；BC＝AD＝＝＝2，∴PA+PD＝PM+PD＝DM＝AD•sin60°＝2×＝3，∵点D到AN的垂线段最短，∴此时DM即PA+PD最小，∴PA+PD的最小值为3，故答案为：4；3．【点评】此题主要考查了胡不归问题，矩形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17．【分析】先根据二次根式的乘法法则计算乘法，再把各个二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝×﹣×+＝2﹣2+＝2﹣．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的化简．18．【分析】先去绝对值，算负整数指数幂，二次根式的乘法，化为最简二次根式，再合并即可．【解答】解：原式＝﹣5+2﹣3＝﹣5．【点评】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．19．【分析】先根据a与b的值得到a+b与ab的值，然后用a+b与ab表示a2+ab+b2，再利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab，∴a＝2+，b＝2﹣，∴a+b＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝﹣1，∴原式＝42+1＝17．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：（）2＝a（a≥0）．也考查了配方法．20．【分析】（1）根据待定系数法可以求得该函数的解析式；（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C的坐标，从而可以求得△COA的面积．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，一次函数的图象经过点A（﹣1，6），B（1，2），，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+4；（2）在一次函数y＝﹣2x+4中，当y＝0时，x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2，＝＝6．∴S△AOC【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．21．【分析】证出OE＝OF，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：连接AC交BD于点O，连接AF，CE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF即OE＝OF．∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，题目的综合性较强，证明四边形AECF是平行四边形是解决问题的关键．22．【分析】（1）把40m代入公式即可；（2）求出h，代入动能计算公式即可求出．【解答】解：（1）由题意知h＝45m，∴t＝＝＝3（s），故从45m高空抛物到落地时间为3s；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：当t＝4s时，4＝，∴h＝80m，这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J，∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．【点评】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．23．【分析】（1）先证四边形BECO是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠BOC＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）由菱形的性质得OA＝OC＝2，OB＝OD，AC⊥BD，由勾股定理得OB＝，则BD＝2OB＝2，然后由矩形的性质得BE＝OC＝2，由勾股定理求得DE即可．【解答】（1）证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形BECO是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴平行四边形BECO是矩形；（2）解：如图，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，∴OA＝OC＝2，OB＝OD，AC⊥BD，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2，∵四边形BECO是矩形，∴BE＝OC＝2，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，即DE的长为2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．24．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝，再将点A（﹣2，0）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）根据点（2，2）结合图象即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点A（﹣2，0）．∴k＝，将点A（﹣2，0）代入y＝x+b得：×（﹣2）+b＝0，∴b＝1，∴一次函数解析式为：y＝x+1；（2）当x＝2时，y＝×2+1＝2，即y＝x+1过点（2，2）；将（2，2）代入y＝nx﹣1得：2＝2n﹣1，解得n＝，当x＜2时，函数y＝nx﹣1的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，如图，∴≤n≤．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，运用数形结合思想解决问题是解答本题的关键．25．【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义解答即可；（2）分别用两个年级的人数乘各自样本中成绩在90≤x≤100的人数占比，再求和即可；（3）根据统计图数据解答即可．【解答】解：（1）把七年级20名学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是86，87，故中位数m＝＝86.5；出现次数最多的是87，故众数n＝87；（2）240×+260×＝126（人），估计七、八两个年级成绩在90≤x≤100的人数一共为126人．故答案为：126；（3）由题意可知，p1＝89，p2≥90，故p1＜p2．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和频数分布直方图．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数的一组数据中出现次数最多的数．26．【分析】（1）依据题意，当x＝1时，y＝m＝2﹣1＝3，即m＝3，进而可以判断得解；（2）依据题意，根据（1）列表，即可描点连线，即可得到函数的图象；（3）①依据题意，结合（2）的图象，由图象与x轴有两个交点，进而可以判断得解；②依据题意，由图象，当x＝2时，y＝1；当x＝5时，y＝3；当x＝3时，y＝﹣1，再结合当x＜3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，故可判断得解；（4）依据题意，结合（2）可得，对于函数图象，对称轴是直线x＝t，当x＜t时，y 随x的增大而减小，而x＞t时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线x＝t越近，函数值越小，又当1＜x1＜2，2＜x2＜3时，都有y1＜y2，从而M在左侧，N在右侧，MN的中点一定在对称轴直线x＝t的右侧，故t＜，又1＜x1＜2，2＜x2＜3，可得＜＜，进而可以判断得解．【解答】解：（1）由题意，当x＝1时，y＝m＝2﹣1＝3，即m＝3．故答案为：3．（2）由题意，根据（1）列表，即可描点连线，得到函数的图象．（3）①由题意，结合（2）的图象，∵图象与x轴有两个交点，∴方程有两个解．故答案为：两．②由图象，当x＝2时，y＝1；当x＝5时，y＝3；当x＝3时，y＝﹣1，又∵当x＜3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，∴当2＜x＜5时，﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．（4）由题意，结合（2）可得，对于函数图象，对称轴是直线x＝t，当x＜t时，y随x的增大而减小，而x＞t时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线x＝t越近，函数值越小．∵当1＜x1＜2，2＜x2＜3时，都有y1＜y2，∴M在左侧，N在右侧，MN的中点一定在对称轴直线x＝t的右侧．∴t＜．又1＜x1＜2，2＜x2＜3，∴＜＜．∴t≤．故答案为：t≤．【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．27．【分析】（1）根据题意补全即可；（2）由∠EFC+∠ECF＝90°，得EF＝EC，再根据等边对等角即可得解；（3）过点C作CH⊥FE，交FE的延长线于点H，连接BH，先证HE＝CE＝FE，得HF＝2FE，再证明△CBH≌△CDF（SAS），得BH＝DF，∠BHC＝∠DFC＝45°，从而∠BHF＝∠BHC+∠CHE＝90°，利用勾股定理即可作答．【解答】解：（1）如图所示，（2）解：∵DE⊥CP，∴∠EFC+∠ECF＝90°，∵EF＝EC，∠EFC＝∠ECF＝45°，故答案为：45°；（3）解：BF2＝4EF2+DF2，理由如下：过点C作CH⊥EF，交FE的延长线于点H，连接BH，∵四边形ABCD是正方形，CH⊥EF，∴∠BCD＝∠HCF＝90°，BC＝CD，∴∠BCH＝∠DCH，∵∠ECF＝∠EFC＝45°，∠HCF＝90°，∴∠HCE＝∠FCE＝45°，∵HE⊥CE，∴∠EHC＝90°﹣45°＝45°＝∠ECH，∴HE＝CE＝EF，∴HF＝2EF，∵CE⊥HF，∴CH＝CF，∴△CBH≌△CDF（SAS），∴BH＝DF，∠BHC＝∠DFC＝45°，∴∠BHF＝∠BHC+∠CHE＝90°，∴BF2＝BH2+HF2＝4EF2+DF2，∴BF2＝4EF2+DF2．【点评】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质．28．【分析】（1）①根据菱形的性质可知OM＝2，利用勾股定理逐一计算即可得到答案；②根据题意，N点由两种情况，作NF⊥y轴，根据菱形的性质和面积可知NF＝1，AN＝2，利用勾股定理求得AF＝，当点F在点A的上方，得到OF＝OA+AF，当点F在点A的上方，得到OF＝OA ﹣AF，即可得到N点坐标；（2）过点（2，0）作OA的平行线l，以A、O为圆心，OA长为半径作⊙A，⊙O，当⊙A，⊙O分别与直线l有两个交点，且线段MN、线段M′N′经过点（2，0）时，满足条件．根据菱形的性质、等腰三角形性质和三角形内角和可证明∠AOM＝∠OAN′，当线段MN与M′N′线段完全重叠时，点A只有一条“菱线段”符合题意，此时t取得最小值，可根据∠AOM＝∠OAN计算得到OA；当线段MN与M′N′线段的点N与点M′重叠时，此时t取得最大值，根据点N、M′在（2，0）可得到OA，即可得到答案．【解答】解：（1）①∵A的坐标是（0，2），∴AO＝2，∵四边形AOMN是菱形，∴OM＝AO＝2，∵点M1（1，﹣1），M2（，1），M3（2，0），M4（﹣2，1），∴OM1＝＝，OM2＝＝2，OM3＝2，OM4＝＝，∴点M2，M3点A的“菱点”，故答案为：M2，M3；②根据题意，N点有两种情况，∵四边形AOMN是菱形，∴NM∥OA，AN＝AO＝2，如图2所示，作NF⊥y轴交y轴于F，则∠AFN＝90°，∵菱形AOMN的面积是2，∴OA•NF＝2，即NF＝＝＝1，∴AF＝＝＝，∴当点F在点A的正上方，OF＝OA+AF＝2+，当点F在点A的正下方，OF＝OA﹣AF＝2﹣，∴点N的坐标为（1，2+）或（1，2﹣）；（2）如图3，过点（2，0）作OA的平行线l，以A、O为圆心，OA长为半径作⊙A，⊙O，当⊙A，⊙O分别与直线l有两个交点，且线段MN、线段M′N′经过点（2，0）时，满足条件．图3中，四边形AOMN、AOM′N′是菱形，∴AN∥OM，AN′∥OM′，OM＝OM′，AN＝AN'，∴∠OMM′＝∠ANN′，∠OM′M＝∠AN′N，∠OMM′＝∠OM′M，∠ANN′＝∠AN′N，∴∠OMM′＝∠OM′M＝∠ANN′＝∠AN′N，∵∠MOM′＝180°﹣2∠OMM′，∠NAN′＝180°﹣2∠ANN′，∴∠MOM′＝∠NAN′，∵OA∥l，∴∠AOM′＝∠OM′M，∠OAN＝∠ANN'，∴∠AOM′+∠MOM′＝∠OAN+∠NAN′，∴∠AOM＝∠OAN′，当线段MN与M′N′线段完全重叠时，点A只有一条“菱线段”，此时t取得最小值，如图4所示，∵四边形AOMN是菱形，∴AN∥OM，OA＝AN，∴∠AOM+∠OAN＝180°，又∵∠AOM＝∠OAN，∴∠AOM＝∠OAN＝＝90°，此时ON＝2，∴ON2＝OA2+AN2，解得：OA＝，当线段MN与M′N′线段的点N与点M′重叠时，点A有两条“菱线段”，此时t取得最大值，如图5所示，此时点N、M′在（2，0），∴OA＝OM'＝2，∴当＜t≤2时，满足条件．故答案为：＜t≤2．【点评】本题考查了理解“菱点”和“菱线段”的定义，菱形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解“菱线段”的定义和熟练掌握菱形的性质是解题的关键。
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17．已知图 1：线段 AB ， BC ， ABC 90 ． 求作：矩形 ABCD ． 以下是小林同学的作业：
小林：①以点 C 为圆心， AB 长为半径作弧： ②以点 A 为圆心， BC 长为半径作弧：
第 16 题图
③两弧在 BC 上方交于点 D ，连接 AD ， CD ．四边形 ABCD 即为所求矩形．（如图 2)
18．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(2,m) 绕坐标原点 O 顺时针旋转 90 后，恰好落在 图中阴影区域（包括边界）内，则 m 的取值范围是_______．
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北京二中教育集团初二数学周测（二）
班级：__________姓名：__________学号：__________成绩：__________
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
11．______________； 12．_______； 13．_______；_______；14．_______；
15．________；
16．___________；
17．______________________________；___________________________________．
18．_______．
三、解答题（第 19 每小题 5 分，20-22 每题 8 分，23-25 每题 7 分，共 54 分）
19．解一元二次方程
(1) 2x2 5x 1 0
第 12 题图
第 14 题图
第 15 题图
13．将方程 x2 2x 1 0 化成 (x a)2 b 的形式， a ， b 是常数，则 a ___， b ___．
14．甲、乙两地 6 月上旬的日平均气温如图所示，则这两地中 6 月上旬日平均气温的 方差较小的是_______．（填“甲”或“乙”）
A．3
B．5
C．2.5
D．4
9．如图，在 OAB 中， AOB 55 ，将 OAB 在平面内绕点 O 顺时针旋转到△ OAB 的位
置，使得 BB / / AO ，则旋转角的度数为
A． 125
B． 70
C． 55
D．15
10．众志成城，抗击疫情，救助重灾区．某校某小组 7 名同学积极捐出自己的零花钱
根据小林的作图过程，填写下面推理的依据： 证明： CD AB AD BC ．
四边形 ABCD 为平行四边形 ( __________________________________________ ) ．
又： ABC 90 平行四边形 ABCD 为矩形 ( _________________________________________________ ) ．
支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）:100 ，45，100，40，100，60，155．
下面有四个推断：
① 这 7 名同学所捐的零花钱的平均数是 150；
② 这 7 名同学所捐的零花钱的中位数是 100；
③ 这 7 名同学所捐的零花钱的众数是 100；
④ 由这 7 名同学所捐的零花钱的中位数是 100，可以推断该校全体同学所捐的
2020北京二中教育集团初二数学周测（二）
班级：__________姓名：__________学号：__________成绩：__________ 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1．下列图形是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
2．一元二次方程 3x2 2x 1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
C．2
D． 22
5．已知关于 x 的一元二次方程 (x 1)2 m 0 有两个实数根，则 m 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．如图，在 ABCD 中，BF 平分 ABC ，交 AD 于点 F ，CE 平分 BCD ，交 AD 于点 E ，
AB 6 ， EF 2 ，则 Βιβλιοθήκη C 长为A．8B．10
(2) (x 1)2 (2x 3)2
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点 B(4, 2) ， BA x 轴于 A ． (1) 画出将 OAB 绕原点逆时针旋转 90 后所得的△ OA1B1 ， 并写出点 A1 、 B1 的坐标； (2) 画出 OAB 关于原点 O 的中心对称图形， 并写出点 A 、 B 对称点的坐标．
C．12
D．14
第 6 题图
第 8 题图
第 9 题图
7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
第1页
8．如图，菱形 ABCD 的两条对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E 是 AB 的中点，若 AC 6 ，
BD 8 ，则 OE 长为
零花钱的中位数也一定是 100．
其中所有合理推断的序号是
A．①③
B．②③
C．②④
D．②③④
二、填空题（每题 2 分，共 16 分） 11．方程 (x 3)2 x 3 的根是______________．
12．如图，将平行四边形 ABCO 放置在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点， 若点 A 的坐标是 (8,0) ，点 C 的坐标是 (2,6) ，则点 B 的坐标是_______．
21．已知：关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 1 0 有两个不相等的实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）如果 m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值．
A．3，2，1
B．3，2，1
C．3， 2 ， 1 D． 3 ，2，1
3．平面直角坐标系内一点 P(2,3) 关于原点对称的点的坐标是
A． (3, 2)
B． (2,3)
C． (2, 3)
D． (2, 3)
4．若 m 是一元二次方程 x2 4x 1 0 的根，则代数式 4m m2 的值为
A．1
B． 1
15．如图，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 边上的点，连接 BE ，将 BCE 绕点 C 顺时针方向 旋转 90 得到 DCF ，连接 EF ，若 BEC 60 ，则 EFD 的度数为_______度．
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16．如图， BD 是平行四边形 ABCD的对角线， 点 E 、 F 在 BD 上，要使四边形 AECF 是 平行四边形，还需增加的一个条件是 ．