24.4.2圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积和全面积
124.4．2圆锥的侧面积和全面积【学习目标】1、经历探索圆锥侧面积计算公式的过程2、了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决圆锥的侧面积或全面积问题 【复习巩固】：1. 弧长的计算公式： . 2．扇形面积的计算公式： . 【自主学习】1. 母线 。
2．圆锥的侧面展开图是一个 . 圆锥的母线就是扇形的 . 圆锥底面圆的周长就是扇形的 . 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，根据弧长公式及扇形面积公式可推导： ①设圆锥的母线长为a ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ， 因此圆锥的侧面面积为 ，圆锥的全面积为 ②设圆锥的母线长为a ，侧面展开图的圆心角为n °，那么扇形的弧长为 ，扇形底面半径为 ， 因此圆锥的侧面面积为 ，圆锥的全面积为 总结：S侧= 或S 侧= ，S 全= .4．母线a ，底面半径r ，及圆锥的高h 之间的关系 。
【跟踪练习】1．若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则它的侧面积为 ( )． A ．2πcm 2 B ．3πcm 2 C ．6πcm 2 D ．12πcm 22．已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（ ） A ．180° B ．120° C ．90° D ．135°3．一个圆锥的母线长为5，底面半径长为3，则圆锥的高为 。
【课堂小结】 1、概念2、公式【自我检测】1．已知圆锥的高为5，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ）A ．25π B ．2π C ．5π D ．6π 2．若底面直径为6cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的母线a 及高是多少？3．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长3 m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为多少？【巩固提升】1．如图，一个圆柱的底面半径为40 cm ，高为60 cm ，从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥，得到一个几何体，求其全面积．2．一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角是多少？a a hr。
人教版 九年级上册 《24.4.2圆锥的侧面积和全面积》
3.蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想在某 个牧区搭建20个底面积为35m2,高为3.5m,外围高1.5m的蒙古包. 那么至少需要用多少m2的帆布?(结果取整数).
··
h
1
h2
r
4.如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周 长为32m，母线长7m，为了防雨，需要在它的顶部铺 上油毡，所需油毡的面积至少是多少？
(2) h =3, r=4 则 =__5_____
(3) l = 10, h = 8 则r=___6____
探究
将圆锥沿着母线剪开,观察圆锥的侧面展开图．
圆锥的侧面展开图 是一个扇形
探究二：
A
BO
C
圆锥的侧面展开图是 扇形
A
l
BO
C
其侧面展开图扇形的 半径=母线长l
侧面展开图扇形的弧长=底面周长2r
24.4.2圆锥的侧面积和全面积
人教版 九年级上册
请你欣赏
说说你对圆锥的一些认识。
学习目标：
1.知道圆锥各部分的名称。 2.理解圆锥的侧面积展开图是扇形，并能够计算圆锥的 侧面积和全面积。 3.通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧 面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一 些实际问题。 4.教给学生立体图形与平面图形的思维转换,讲清扇形各 元素与圆锥各元素之间的关系。
SS
AA
OO r
BB
归纳
圆锥的顶点→ 扇形的圆心 圆锥的母线长→ 扇形的半径=l 圆锥底面圆的周长→ 扇形的弧长=2π r 圆锥的侧面积→ 扇形的面积
圆
请推导出圆锥的侧面积公式.
锥1Biblioteka 面 积S侧 2 LR
人教版九年级数学上册圆锥的侧面积和全面积
∴圆锥的侧面积 S n R2 120 π 62 =12π (cm2 ).
360
360
24.4.2 圆锥的侧面积和全部面积
(2) 该圆锥的底面半径是多少？
解：(2) 该圆锥的底面半径为r cm，
根据题意得
2πr
120π 6 180
，解得
r=2．
即圆锥的底面半径为 2 cm．
24.4.2 圆锥的侧面积和全部面积
24.4.2 圆锥的侧面积和全部面积
3.（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪 出的最大的直角扇形的面积？
解：（1）连接BC，则BC=20，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AB=AC= 10 2.
2
90 10 2
S扇形
360
50；
A
①②BOC Nhomakorabea③
24.4.2 圆锥的侧面积和全部面积
二、圆锥面积的应用
例1 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建 20个 底面积为 12 m2，高为 3.2 m，外围高 1.8 m 的蒙古包，至少需要多少平 方米的毛毡 ( π取3.142，结果取整数 )?
24.4.2 圆锥的侧面积和全部面积
解：如图是一个蒙古包的示意图.
根据题意，下部圆柱的底面积为 12 m2，高 h2=1.8 m；
问题3 圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段
相等？
母线
24.4.2 圆锥的侧面积和全部面积
请推导出圆锥的侧面积公式.
S侧
S扇
1 2
2 r
l
rl
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积 ( 或表面
l
24.4.2圆锥的侧面积和全面积)
24.4.2 圆锥的侧面积和全面积5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.圆锥的底面积为 25 n ，母线长为13 cm ，这个圆锥的底面圆的半径为 2 cm ，侧面积为 cm . cm ,高为25；!思路解析：圆的面积为 S= n r 2,所以=5(cm);圆锥的高为J T3匸5^=12(cm);侧 1 2 面积为 一X 10 n • 13=65 n (cm 2)2答案：5 12 65 n 2.圆锥的轴截面是一个边长为 10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为 角为 __________ ，高为 ________ cm. 1 2 思路解析：S 侧面积=—X 10 n X 10=50 n (cm )；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高 2cm 2,锥答案：50 n 60° 5』3 3. 已知Rt △ ABC 的两直角边 AC=5 cm , BC=12 cm ，则以BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积 为 __________ cm 2,这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ______________ cm ，面积为 ___________ cm 2. 思路解析：以BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为 5 cm ，高为12 cm ,母线长为13 cm.利用 公式计算. 答案：65 n 10 n 65 n 4. 如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为 6，则它的全面积为 4,母线长为 图 24-4-2-1 一 1 一丄一思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积 . 答案：16 n 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是 部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为 (- 2 2 A.6 m B.6 n m 1 思路解析：侧面积 =-底面直径-n 24 m ， ) C.12 1 母线长为 m 2 -母线长=一 X 4 X n X 3=6 2 3 m ,为防雨需在粮仓的顶f XC 2D.12 n m2n (m ).答案：B 2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为(A.aB. 一a 3C.3aD. 一 a2a思路解析：展开图的弧长是a n，故底面半径是，这时母线长、底面半径和高构成直角三2答案：34. （河北模拟）如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是果保留根式）.答案：8迈5.—个圆锥的高为3屈cm，侧面展开图是半圆,求：（1）圆锥母线与底面半径的比；（2）锥角的大小；（3）圆锥的全面积.思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.解：如图，AO为圆锥的高，经过AO的截面是等腰△ ABC，则AB为圆锥母线l, BO为底面半径r.l（1）因圆锥的侧面展开图是半圆，所以 2 n r= n l，贝U =2.r⑵因-=2，则有AB=2OB , / BAO=30 °，所以/ BAC=60。
讲课用24.4.2_圆锥的侧面积和全面积(新)
五、小结升华
1、本节课所学：“一个图形、三个关系、两 个公式”，理解关系，牢记公式； 圆锥与侧面展开图之间的主要关系： 1、圆锥的母线长=扇形的半径 （a = R） 2、圆锥的底面周长=扇形的弧长 （C = l） 3、圆锥的侧面积=扇形的面积
n
S 侧 ra
na 360 r
2、立体图形的处理方式--转化为平面几何图形
3
例3.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁 要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回 到点B,问它爬行的最短路线是多少? 解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n° 连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线 B’ A 360 r 360 1
n
a
6
6
解得: n=60
5
2
圆锥的侧面积 2
S 扇形
na 360
S 侧 ra
2
na ra 360
n
na r 360 na 360 r
公式二：
na 360 r
根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心 角（ r 、h 、 l 分别是圆锥的底面半径、高线、 母线长） （1 ）
l=
l r
B
全面积公式为：
S全 S侧 S底
2 π r l ＋ π r =
例1.一个圆锥形零件的高4cm，底 面半径3cm，求这个圆锥形零件的侧 面积和全面积。
P
1 2 s侧 5 2 3 15（cm ） 2
l
h
A
O
r
B
s全 s侧 s 底 15 9 2 24 cm
r
r
能力提升
1 .圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥 180o 。 侧面展开图扇形的圆心角是_______ 2.圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开 o 。 图扇形的圆心角是 180 ____ 3 .一个扇形的半径为30cm，圆心角为120度，用它做成 一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ 10cm 。 4.圆锥的底面半径为10cm，母线长40cm，底面圆周上的 40 2cm 。 蚂蚁绕侧面一周的最短的长度是_______
24.4-2圆锥的侧面积和全面积.ppt
求: (1)圆锥的高;
A
(2)锥角∠CAB.
C OB
5、用圆心角为900，面积为16π的扇形卷成一个圆锥， 求这个圆锥的高线长.
谈谈你的收获、感受
ss圆 表锥 S侧rl圆SSSsss锥 侧 圆 圆 圆 圆 表侧3柱 锥 柱 锥 s6扇 侧 侧 侧 侧0rls形s底 侧r32ls26扇 3220r26s形 .h325r底 0rl2rr ·222332l626.2rr05r02l1 ·3rl33l·6r232r086280
解：由 l 2 h2 r 2 得 l 22 1.52 2.5cm
∴圆锥侧面展开图圆心角的度数为
r 360 2 360 288
l
2.5
s圆锥侧
s扇形
360
·l 2
r ·360·1 l 360
l 2
rl
s表 s侧 s底 rl r 2
练一练
4、已知: 圆锥的母线长AB=6cm, 底面半径OB=2cm.
课外拓展
3、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要
从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴
截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
A
将圆锥沿AB展开成扇形ABB’
它将为ABDBDB爬圆23A.，r行锥lDB63则的沿036A.点6最在00BC短R展,是tA路1开垂答 解BA2B线0成BBBB：：足CAD是B的扇3中它 将 B为.A23形中，DD爬 圆C23A点.3rB行 锥l.B，B63A的 沿0，3过垂D答 解垂答 解6A.最在则垂答 解0B点B：：B足BB：：足ABD短BR展B点A6：：足DBB它 将 B为A0A它 将 B为tDB作AC路1开它 将 B为DD爬 圆A,垂答 解AD2D是爬 圆23AB.23D线D0成 爬 圆Br行 锥lB.BB23：：D足Br行 锥l.6C3ADrB是 B行 锥l扇6的 沿03中3它 将 B为的 沿60A3的363A.3的 沿最0形 在A306.D，DA.爬 圆B最在中6230A.CA短最R展B在.03r行 锥lB短 ，R展tB点垂 答 解 .路1开短6R展B3BtA2的 沿路10开B，BtA：：3足线0成B路A1开，2AD6BA.DA线2过最 0成C在B它 将 B是为 0扇线0A成则B中BC点是扇短R展23DC形爬 圆中是，扇23点6D中tB23形A路01开 rl，行 锥 .233作形CAB2，6.3A,B线B0成 是30B的 沿AB3AB3A.6，CBBDBB..是 AB扇在 D最B0B中ABB则，A23DR形，短展，的D3点A6则tA1.则0路开 C32C中AB点6，.,0点是B6线 B0B成A点C0ACBBC,，是是扇中D,A，B是A则B23B形的3，过BBB.A点6B中3点的30B.的C3B.点B
24.4.2圆锥的侧面积和全面积
知识回顾
一、圆的周长公式 C=2πr
二、圆的面积公式 S=πr2
三、弧长的计算公式 l n 2扇形面积计算公式
s n r 2 或s 1 lr
360
24.4.2圆锥的侧面积 和全面积
生活中的圆锥
• 认识圆锥
圆锥的认识
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它 的底面是一个圆 侧面是一个曲面.
约为3023.1m2.
例2、已知：在RtΔABC,
C 900.AB 13cm, BC 5cm
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。 分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体是 由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此 求全面积就是求两个圆锥的侧面积。
A
C B
甘肃省副省长李沛兴，甘肃省委副秘书长郭耀庭，甘肃省政府副秘书长韩显明，金川集团有限董事长王永前，甘肃省工信厅副厅长王海峰，甘肃省国资委党委委员成平和，兰州大学络安全与信息化办公
2.根据圆锥的下面条件，求它的侧 面积和全面积 （ 1 ） r=12cm, a=20cm （ 2 ） h=12cm, r=5cm
图 23.3.6
思考： 你会计算展开图中 的圆心角的度数吗？
l na
180
l
ha
n 180l
a
r
3.填空、根据下列条件求圆锥侧面积展开图
的圆心角（r、h、a分别是圆锥的底面半径、
1 2
120
13
5
B
1020 (cm)2
13
答：这个几何体的全面积为 1020 (cm)2
13
1.填空、根据下列条件求值（其中r、h、a分 别是圆锥的底面半径、高线、母线长）
24.4 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 初中数学人教版九年级上册教学课件
请说明理由．
A
①
②
B
O
C
③
A
解：(1)连接BC，由已知得AB=AC.
①
②
∵∠BAC=90°，
∴BC=20，AB=AC= 10 2.
B
O
C
2
90π 10 2
③E
∴S扇形=
50π； 360
F
(2)圆锥侧面展开图的弧长为 90 10 2 π =5 2π=2πr，
r5 2;
180
2
(3)连接AO并延长交⊙O于点F，交扇形于点E，EF 20 10 2.
圆锥的侧面展开图是扇形
扇形
l
o
r
问题： 1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一 个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？ 2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中 的哪一条线段相等？
要点归纳
概念对比
r
扇 形 l nπr 180 l
l
侧面 展开图
C 2πr
r
o
✓其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
圆柱的侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10 (m2)，
圆锥的母线长为l 1.9542 1.42 2.404 m.
侧面展开扇形的弧长为21.954 12.28m，
圆锥的侧面积为 1 2.40412.28 14.76 m2 ， 2 搭建20个需要毛毡20×(22.10+14.76)≈738 (m2)．
填一填：
根据下列条件求值（其中r、h、l 分别是圆锥的底面 半径、高线、母线长）：
(1)l = 2，r=1，则 h=___3____；
(2) h =3，r=4，则 l =___5____； (3) l = 10，h = 8，则r=___6____.
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练一练 1. 圆 锥 的 底 面 半 径 为 2 cm ， 母 线 长 为 5 cm ， 则 这 个 圆 锥 側 面 积 _____________
2.圆锥的底面半径为 2 cm，高为 5 cm，则这个圆锥側面积_____________ 三 例 1：蒙古包可以类似的看成由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建 20 个 底面积为 35m2，高为 3.5m，外围高 1.5m 的蒙古包，至少需要多少平方米的 毛毡（结果取整数）？
D、16cm
C
A
批阅人
B
O
4.．如图已知圆锥的母线 AB=12，底面半径为 2.从 B 点绕其侧面一周回到 B 点的最短距离是多少？
5.已知扇形的圆心角为 120°，面积为 300 cm2． （1）求扇形的弧长； （2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
反思：
宁城第三中学 2014-2015 上学期初三数学导学案 主备人：王丽丽 执教人： 课 题 学 习 目 标 参备人：全体初三数学教师 学生姓名： 课型 审批人：赵彩琴 班级： 新授课
24.4.2 圆锥的侧面积和全面积
1. 了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应 用公式解决问题。 2. 通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应 用它解决现实生活中的一些实际问题。
创境 激趣 问案 立标 据案 自学
圆锥由一个__________面和一个曲面组成，侧面积和全面积如何计算呢？
探究一 自学教材 P122---P123，思考下列问题 1、什么是圆锥的母线？圆锥的母线长都 ；圆锥的高 于底面 圆。 2、圆锥的高？圆锥的高 于底面圆。 3、 如果用 r 表示圆锥底面的半径, h 表示圆锥的高, L 表示圆锥的母线长,
重 点 难 点 课前 展示
重点 ：圆锥侧面积和全面积的计算公式。 难点：探索两个公式的由来。 教学过程 1.圆的半径为 6cm，圆心角为 36°所对的弧长是_______cm； 2.扇形的半径是 4cm，圆心角为 10°，则这个扇形的面积是______ cm2 ； 3.半径是 3cm，弧长是 5 cm 的扇形的面积是______ cm2 4．圆柱由两个__________面和一个曲面组成，沿着它的母线剪开，侧面展 开 图 是 ________________ ， 若 底 面 圆 的 半 径 为 r ， 高 为 h ， 侧 面 积 为 _______________，全面积为_______________。 补案
例 2：已知扇形的圆心角为 120°，面积为 300 cm2． （1）求扇形的弧长； （2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
培优 补差
1.如果圆柱底面半径为 4cm，它的侧面积为 为_________.
，那么圆柱的母线长
2 一个扇形，半径为 30cm，圆心角为 120 度，用它做成一个圆锥的侧面，那 么这个圆锥的底面半径为_________________ 3.圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是 __________
分组 合作
h l r
那么 r、h、L, 之间有的数量关系是
。
展示 交流
练一练： 根据下列条件填空： ①已知 r=3 ②已知 l=13 ③已知 r=3 探究二 准备一个圆锥，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的 侧面展开图是一个_____________，设圆锥的母线长为 L，•底面圆的半径为 r，•如图所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________， •因此圆锥的侧面积为________， 圆锥的全面积为 ________． h=4,则 l=_____________ h=5,则 r=_____________ l=4, 则 h=_____________
清堂 巩固
1 如图， 已知圆锥的母线长 AB=8cm，轴截面的顶角为 60°，•求圆锥全面积． ．
得分
2．如图，一圆柱体的底面周长为 24cm，高 AB 为 4 cm，BC 是直径，一只蚂 蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程大约是
（ A、6cm
） B、12cm C、13cm
B A