【精品】2018年江苏省南通市高二上学期期中数学试卷带解析答案
2017-2018年江苏省南通市高二上学期期中数学试卷及答案
2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=．3．（5分）抛物线x2=2y的准线方程是．4．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为．7．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不整数n，a2n﹣1充分条件、即不充分也不必要条件”）8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n+1﹣a n}是等比数列，则=．i13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．（5分）设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n﹣1）b n﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB 的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n1）≥2（1﹣n）恒成立，求a+1的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=3．【解答】解：a4=8=﹣1+3d，解得d=3．故答案为：3．3．（5分）抛物线x2=2y的准线方程是．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=﹣．故答案为：y=﹣．4．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是真命题．（选填“真”或“假”之一）【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2＞4”∵a＞2∴a2＞4∴否命题为真命题故答案为：真5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF 1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为5．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，∴，∴（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，∴a3=1+2×2=5．故答案为：5．7．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的必要不充分条件．（填“充要条件、充分不必要条件、整数n，a2n﹣1必要不充分条件、即不充分也不必要条件”）【解答】解：∵{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，∴当a1=1，q=﹣时，满足q＜0，但此时a1+a2=1﹣=＞0，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0反之若a2n﹣1∵a1＞0，∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要不充分条件，﹣1故答案为：必要不充分8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为12．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，=2，S4=4，∴，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q），∴S8===12．故答案为：12．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n+1﹣a n}是等比数列，则i=3049．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，{a n+1﹣a n}是等比数列，∴a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴{a n+1∴a4﹣a3=12，a4=12+10=22，a5﹣a4=24，a5=24+22=46，a6﹣a5=48，a6=48+46=94，a7﹣a6=96，a7=96+94=190，a8﹣a7=192，a8=192+190=382，a9﹣a8=384，a9=384+382=766，a10﹣a9=768，a10=768+766=1534，∴i=1+4+10+22+46+94+190+382+766+1534=3049．故答案为：3049．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．（5分）设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．∴a2+a6=2a4=20，解得a4=10，S5=5a3=40，解得a3=8．∴d=a4﹣a3=10﹣8=2，a1=a3﹣2d=8﹣4=4，∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×2=2n+2．（2）∵等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．∴b2=8，b3=16，∴q=，∴b6=a k=2k+2=8×24=128，解得k=63．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．满足（2n﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．=2﹣a n+1，得到：S n+1则：a n=a n﹣a n+1，+1整理得：所以：数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），数列{b n}满足（2n﹣1）b n+1则：，所以：数列{}是常数列．则：{b n}的通项公式为：b n=2n﹣1．（2）由（1）得：c n=a n•b n=，则：+…+①所以：+…+②则：①﹣②得：）﹣，整理得：T n=．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB 的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．【解答】解：（1）由条件得：，解得a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得：+=0，即=﹣•=﹣•，∵k1=，k=，∴k1=﹣，即k1k=﹣．∵e==，∴==，∴k1k=﹣．（3）设Q（s，t）（s＞0，t＞0），则P（﹣s，﹣t），R（﹣s，0），∴k QR==，∵直线AB和直线QR倾斜角互补，∴=﹣k1，又k1k=﹣，且k＞0，∴k=，又S=st=2，=k=，△PQR∴s=2，t=，即Q（2，），∴=1，又，∴a=2，b=3，∴椭圆方程为．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；1）≥2（1﹣n）恒成立，求a ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n+1的取值范围．﹣b n=a n+2﹣a n=3，【解答】解：（1）由已知可得：b n+1∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．∴a1=1，a2=2．∴S2n=+=3n2．（2）①由T n=n2，n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．n=1时，b1=T1=1．∴b n=a n+a n+1=2n﹣1．﹣n=﹣[a n﹣（n﹣1）]，化为：a n+1∴数列{a n﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．∴a n﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n ﹣1）（a n +11）≥2（1﹣n ）化为：a n a n +1﹣（a n +a n +1）+1≥2（1﹣n ），由a n +a n +1=2n ﹣1．∴不等式化为：a n a n +1≥0．当n 为奇数时，a n =a +（n ﹣1），a n +1=﹣a +n ，∴a n a n +1=[a +（n ﹣1）]（﹣a +n ）=﹣a 2+a +n （n ﹣1）≥0，即﹣a 2+a ≥﹣n （n ﹣1）对∀n ∈N *，且n ≥2恒成立． ∴﹣a 2+a ≥﹣6，解得﹣2≤a ≤3．当n 为偶数时，a n =﹣a +（n ﹣1），a n +1=a +n ，∴a n a n +1≥0，即﹣a 2+a ≥﹣n （n ﹣1）对∀n ∈N *，且n ≥2恒成立． ∴﹣a 2+a ≥﹣2，解得﹣2≤a ≤1．又a ＞0，可得a 的取值范围为：0＜a ≤1．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
江苏省南通中学2018学年高二上学期期中考试数学试题 含答案
江苏省南通中学2018—2018学年度第一学期期中试卷高二数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1． 直线l 在平面α内，可以用符号“ ▲ ”表示．2． 若△ABC 在平面α 外，它的三条边所在的直线分别交α于P 、Q 、R ，则点Q ▲直线PR （用符号表示它们的位置关系）． 3． 直线y x m =+的倾斜角为 ▲ ．4． 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于 ▲ ． 5． 点2(,5)P m 与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是 ▲ ． 6． 棱长都是1的三棱锥的表面积为 ▲ ．7．已知{(x ，y )|ax ＋y ＋b ＝0}∩{(x ，y )|x ＋y ＋1＝0}＝∅，则a ，b 所满足的条件是 ▲ ． 8． 两直线l 1：ax ＋2y ＋b ＝0；l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.若l 1∥l 2，且l 1与l 2，则 a b ⋅= ▲ .9． 不论m 取什么实数，直线(21)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过定点 ▲ .10．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E F ，分别是AB ，1AC AA ，的 中点，设三棱锥F ADE -的体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积 为2V ，则12:V V = ▲ .11．光线从点M (－2,3)射到x 轴上一点P (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为▲ ．12．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是 ▲ ．①若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α∥β； ②若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n ； ④若m ∥n ，m ∥α，n ∥β，则α∥β．13．已知两点(1,0)A -、(0,2)B ，点P 是圆22(1)1x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅ 的最大值是 ▲ ．14．已知圆22:4O x y +=与曲线:3||C y x t =-，曲线C 上两点(,)A m n ，(,)B s p （m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k (1)k >，则s p m n -= ▲ ．（第10题）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l 的垂线，若垂足为A (－2,3)，求直线l 的方程；（2）三角形三个顶点是A (4,0)，B (6,7)，C (0,3)，求AB 边上的高所在的直线方程．16．求经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．17．如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A作AF SB ⊥，垂足为F ，点E G ，分别是棱SA ，SC 的中点. （1）求证：平面EFG ∥平面ABC ； （2）求证：BC SA ⊥.18．如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．经 测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)， tan ∠BCO ＝43.（1）当点M 与A 重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．当OM 多长时，点 M 到直线BC 的距离最小？（第17题）19．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11A D ∥平面1AB D ；（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160B BC ∠= ，求三棱锥1B ABC -的体积.D 1C 1B 1A 1DCBA20．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，P 为直线l ：x ＝43上一点．（1）若点P 在第一象限，且OP ＝53，求过点P 圆O 的切线方程；（2）若存在过点P 的直线交圆O 于点A ，B ，且B 恰为线段AP 的中点，求点P 纵坐标的取值范围；（3）设直线l 动点Q ，⊙Q 与⊙O 相外切，⊙Q 交l 于M 、N 两点，对于任意直径MN ，平面上是否存在不在直线l 上的定点A ，使得∠MAN 为定值？若存在，直接写出点A 的坐标；若不存在，请说明理由.（第18题） （第19题）2018—2018学年度第一学期高二数学期中参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. l α⊆2. ∈3.4π4.2π 5. 在圆外 67. 1a =且1b ≠ 8. 4- 9. (2,3) 10. 1:24 11. 10x y --= 12. ③13. 3+14. 0二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)解： （1）∵32OA k =-，且OA ⊥l ，∴l 的斜率为23k =. 于是l 的方程为23(2)3y x =－＋．整理得2x －3y ＋13＝0. （7分）（2）∵72AB k =，∴设所求直线方程 2x ＋7y ＋m ＝0， 代入点C 坐标得m ＝－21.(也可由点斜式求，由23(0)7y x =-－－，得2x ＋7y －21＝0.)∴AB 边上的高所在的直线方程为2x ＋7y －21＝0. （7分）16. (本小题满分14分)解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，①3D －E ＋F ＝－10.②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1、x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36.④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.17. (本小题满分14分)证明:（1）∵AS AB=,AF SB⊥∴F分别是SB的中点∵E，F分别是SA，SB的中点∴EF∥AB又∵EF⊄平面ABC，AB⊆平面ABC∴EF∥平面ABC同理：FG∥平面ABC又∵EF FG=F，EF⊆平面ABC，FG⊆平面ABC∴平面//EFG平面ABC（7分）（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB 平面SBC=BCAF⊆平面SAB，AF⊥SB∴AF⊥平面SBC又∵BC⊆平面SBC∴AF⊥BC又∵AB BC⊥, AB AF=A, AB⊆平面SAB，AF⊆平面SAB∴BC⊥平面SAB又∵SA⊆平面SAB，∴BC⊥SA.（14分）18. (本小题满分16分)解：（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率43 BCk=-又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率34 ABk=设点B的坐标为(a,b)，则041703BCbka-==--，60304ABbka-==-解得a＝80，b＝120所以圆形保护区半径100r AB===则圆形保护区面积为10000π2m.（8分）（2）设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(060d≤≤)由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －(60－d )≥80，解得10≤d ≤35则当d ＝10，即OM ＝10m 时，M 到直线BC 的距离最小．（16分）19. (本小题满分16分)证明：（1）如图，连结1DD ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点，所以11//B D BD ，且11B D BD =． 所以四边形11B BDD 为平行四边形， 所以11//BB DD ，且11BB DD = 又因为1111//,AA BB AA BB =， 所以1111//,AA DD AA DD =，所以四边形11AA D D 为平行四边形，所以11//A D AD又11A D ⊄平面1AB D ，AD ⊂平面1AB D ，故11//A D 平面1AB D （8分）解： （2）在ABC ∆中，因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面11B C CB ，即AD 是三棱锥1A B BC -的高．在ABC ∆中，因为4AB AC BC ===，得AD = 在1B BC ∆中，114,60B B BC B BC ==∠= ，所以1B BC ∆的面积124B BC S ∆== 所以三棱锥1B ABC -的体积，即三棱锥1A B BC -的体积，111833B BC V S AD ∆=⨯⋅=⨯．（16分） 20. (本小题满分16分)解：（1）设点P 的坐标为(43，y 0)．因OP ＝53，所以(43)＋y 18＝(53)2，解得y 0＝±1．又点P 在第一象限，所以y 0＝1，即P 的坐标为(43，1)． 易知过点P 圆O 的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k ， 则切线为y －1＝k (x －43)，即kx －y ＋1－43k ＝0，于是有|1－43k |k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝247．因此过点P 圆O 的切线为：y ＝1或24x －7y －25＝0．（5分） （2）设A (x ，y )，则043(,)22x y y B ++． 因为点A ，B 均在圆上，所以有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋432)2＋(y ＋y 02)2＝1．即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4． 该方程组有解，即圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4有公共点． 于是1≤169 ＋y 02≤3，解得－65 3≤y 0≤65 3，即点P 纵坐标的取值范围是[－65 3，653]．（10分） （3）存在，点A 的坐标为．（16分）（写出存在两字给2分）。
江苏省南通市高二上学期期中数学试卷(理科)
江苏省南通市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·晋江期末) 下列说法正确的是（）A . 命题“ ”的否定是“ ”B . “ 在上恒成立” “ 在上恒成立”C . 命题“已知，若，则或”是真命题D . 命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题2. （2分）某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大哩，原来这句话的等价命题是（）A . 不拥有的人们不一定幸福B . 不拥有的人们可能幸福C . 拥有的人们不一定幸福D . 不拥有的人们就不幸福3. （2分） (2016高二上·怀仁期中) 如图，在正方体AC1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A . 点H是△A1BD的垂心B . AH的延长线经过点C1C . AH垂直平面CB1D1D . 直线AH和BB1所成角为45°4. （2分）(2017·大庆模拟) 已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1]B . （﹣∞，9]C . [1，9]D . [9，+∞）5. （2分） (2016高一下·仁化期中) 已知a、b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：①a∥α，b∥α，则a∥b②α⊥β，β⊥γ，则α∥β③a∥α，a∥β，则α∥β④a∥b，b⊂α，则a∥α其中正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分）下列命题中正确的个数是（）①过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线异面；③若α∩β=l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b=P，则P∈l.A . 0B . 1C . 2D . 37. （2分）下列有关命题的说法错误的是（）A . 命题“若则”的逆否命题为：“若则”B . “x=1”是“”的充分不必要条件C . 若为假命题，则p、q均为假命题D . 对于命题使得，则，均有8. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A .B . 1C .D .9. （2分）表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A .B .C . 2D . 110. （2分）空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF＝，则异面直线AD,BC所成的角为（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°11. （2分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·南阳模拟) 已知平面截球的球面得圆，过圆心的平面与的夹角为，且平面截球的球面得圆，已知球的半径为5，圆的面积为，则圆的半径为（）A . 3B .C . 4D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）已知=(-3,2.1),=(-1,0,4)，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=________14. （1分） (2016高一上·镇海期末) 已知函数f（x）= （a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为________．15. （1分） (2016高二上·苏州期中) 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1 ， S2 ，体积分别为V1 ， V2 ，若它们的侧面积相等，且 = ，则的值是________．16. （3分） (2016高二上·余姚期末) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点（异于C点），过点A，P，Q的平面截面记为M．则当CQ∈________时（用区间或集合表示），M为四边形；当CQ=________时（用数值表示），M为等腰梯形；当CQ=4时，M的面积为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二上·阜阳月考) 已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是上的增函数.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围.18. （5分） (2017高一上·张掖期末) 已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．19. （10分） (2017高三上·山东开学考) 如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．（1）求证：PB=PD；（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．20. （10分）(2017·厦门模拟) 如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE= ，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．21. （15分） (2016高二上·宁波期中) 如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求点A到平面PBD的距离；（3）求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．22. （5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1﹣AC﹣B是直二面角，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且∠ABC=90°，O为AC的中点．（Ⅰ）若E是BC1的中点，求证：OE∥平面A1AB；（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C1的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、。
江苏省南通市2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(Word版 含答案解析)
2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=．3．抛物线x2=2y的准线方程是．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）5．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为．7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、﹣1即不充分也不必要条件”）8．设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M 为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为．10．已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n﹣a n}是等比数列，则+1=．i13．已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n ﹣1）b n﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．20．已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n（n∈N*）．+1（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；1）≥2（1﹣n）恒成立，求a ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n+1的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【考点】2J：命题的否定．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=3．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：a4=8=﹣1+3d，解得d=3．故答案为：3．3．抛物线x2=2y的准线方程是．【考点】K7：抛物线的标准方程．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=﹣．故答案为：y=﹣．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是真命题．（选填“真”或“假”之一）【考点】21：四种命题．【分析】利用否命题的形式写出否命题，判断出否命题是真命题．【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2＞4”∵a＞2∴a2＞4∴否命题为真命题故答案为：真5．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程求出a的值，结合双曲线的定义分析可得||PF1|﹣|PF2||=2a=6，解可得|PF2|的值，取舍即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为5．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式和等比中项性质列出方程，由此能求出a3的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，∴，∴（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，∴a3=1+2×2=5．故答案为：5．7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要不充分条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不﹣1充分条件、即不充分也不必要条件”）【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，∴当a1=1，q=﹣时，满足q＜0，但此时a1+a2=1﹣=＞0，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0反之若a2n﹣1∵a1＞0，∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，+a2n＜0”的必要不充分条件，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1故答案为：必要不充分8．设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由已知中M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，由等腰三角形三线合一可得△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，进而得到答案．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为12．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列{a n}的前n项和公式、通项公式求出q4=2，a1=﹣4（1﹣q），由此能求出S8．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，=2，S4=4，∴，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q），∴S8===12．故答案为：12．10．已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（3，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意列方程组求出a，b的值即可．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n﹣a n}是等比数列，则i=+13049．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，得{a n+1﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，从而依次求出数列的前10项，由此能求出i．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，{a n+1﹣a n}是等比数列，∴a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴{a n+1∴a4﹣a3=12，a4=12+10=22，a5﹣a4=24，a5=24+22=46，a6﹣a5=48，a6=48+46=94，a7﹣a6=96，a7=96+94=190，a8﹣a7=192，a8=192+190=382，a9﹣a8=384，a9=384+382=766，a10﹣a9=768，a10=768+766=1534，∴i=1+4+10+22+46+94+190+382+766+1534=3049．故答案为：3049．13．已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】令Q为MN中的中点，可得CQ=，结合C为椭圆+=1的焦点，|PC|∈[2，6]，可得PQ|的范围，结合|+|=|2|，可得答案．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【考点】8H：数列递推式．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，因此0∈{a n}，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据双曲线的性质求出p为真时m的范围，根据二次函数的性质求出￢q为真时的m的范围，取交集即可．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式求出a4=10，利用等差数列前n项和公式求出a3=8．由此能求出{a n}的通项公式．（2）求出等比数列{b n}中b2=8，b3=16，从而q=2，b6=a k=2k+2=128，由此能求出k．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．∴a2+a6=2a4=20，解得a4=10，S5=5a3=40，解得a3=8．∴d=a4﹣a3=10﹣8=2，a1=a3﹣2d=8﹣4=4，∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×2=2n+2．（2）∵等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．∴b2=8，b3=16，∴q=，∴b6=a k=2k+2=8×24=128，解得k=63．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的定义列出方程组求出a，b的值即可；（2）设M（x0，y0），根据抛物线的性质列方程组求出M点坐标，从而得出抛物线方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n ﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．得到：S n+1=2﹣a n+1，则：a n+1=a n﹣a n+1，整理得：所以：数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．数列{b n}满足（2n﹣1）b n+1﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），则：，所以：数列{}是常数列．则：{b n}的通项公式为：b n=2n﹣1．（2）由（1）得：c n=a n•b n=，则： +…+①所以： +…+②则：①﹣②得：）﹣，整理得：T n=．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）列方程组求出a，b的值即可得出椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程化简，从而得出k1，k关于A，B坐标的表达式，结合e=即可得出kk1的值；（3）设Q（s，t）（s＞0，t＞0），根据倾斜角互补和面积公式计算Q的坐标，从而得出椭圆方程．【解答】解：（1）由条件得：，解得a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得： +=0，即=﹣•=﹣•，∵k1=，k=，∴k1=﹣，即k1k=﹣．∵e==，∴==，∴k 1k=﹣． （3）设Q （s ，t ）（s ＞0，t ＞0），则P （﹣s ，﹣t ），R （﹣s ，0），∴k QR ==，∵直线AB 和直线QR 倾斜角互补，∴=﹣k 1，又k 1k=﹣，且k ＞0，∴k=，又S △PQR =st=2， =k=，∴s=2，t=，即Q （2，），∴=1，又，∴a=2，b=3，∴椭圆方程为．20．已知数列{a n }的首项a 1=a （a ＞0），其前n 项和为S n ，设b n =a n +a n +1（n ∈N*）．（1）若a 2=a +1，a 3=2a 2，且数列{b n }是公差为3的等差数列，求S 2n ； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，满足T n =n 2．①求数列{a n }的通项公式；②若对∀n ∈N*，且n ≥2，不等式（a n ﹣1）（a n +11）≥2（1﹣n ）恒成立，求a 的取值范围．【考点】8K ：数列与不等式的综合．【分析】（1）由已知可得：b n +1﹣b n =a n +2﹣a n =3，数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．利用a 3﹣a 1=2a 2﹣a=2（a +1）﹣a=3，解得a ．即可得出S 2n ．（2）①由T n =n 2，n ≥2时，b n =T n ﹣T n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2=2n ﹣1．n=1时，b 1=T 1=1．b n =a n +a n +1=2n ﹣1．化为：a n +1﹣n=﹣[a n ﹣（n ﹣1）]，利用等比数列的通项公式可得a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．不等式化为：a n a n+1≥0．对分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由已知可得：b n+1﹣b n=a n+2﹣a n=3，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．∴a1=1，a2=2．∴S2n=+=3n2．（2）①由T n=n2，n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．n=1时，b1=T1=1．∴b n=a n+a n+1=2n﹣1．化为：a n+1﹣n=﹣[a n﹣（n﹣1）]，∴数列{a n﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．∴a n﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．∴不等式化为：a n a n+1≥0．当n为奇数时，a n=a+（n﹣1），a n+1=﹣a+n，∴a n a n+1=[a+（n﹣1）]（﹣a+n）=﹣a2+a+n（n﹣1）≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣6，解得﹣2≤a≤3．当n为偶数时，a n=﹣a+（n﹣1），a n+1=a+n，∴a n a n+1≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣2，解得﹣2≤a≤1．又a＞0，可得a的取值范围为：0＜a≤1．。
【高二数学试题精选】2018年秋期高二数学上册期中试卷(附答案)
∴a=3 ,b2=a2-c2=45-36=9
∴所求椭圆的标准方程为
(2)点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）关于直线=x的对称点分别为P′(2,5)、F1′（0，-6）、F2′(0,6)
设所求双曲线的标准方程为
(a1 0,b1 0)
由题意知，半焦距c1=6,
2018年秋期高二数学上册期中试卷（附答案）
5江苏省扬州中学1 3 42 5 6（1,1）7 8 9 10 811 122 13 14
15解,或故命题p为真命题时,或又命题q方程在实数集内没解, ,故命题q为真命题时
=的取值范围是。
16．解（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为(a b 0),其半焦距c=6
所以曲线ABcD的方程为
x- +3=0（-3≤x≤- 1）及x2 +（-1）2=2（-1＜x≤2且0≤≤2+1）
（2）∵PB= PD =- 1，∴B、P、D三点共线，即BcD︵为半圆，
∴曲线ABcD和x轴围成的图形面积= 12×4×2+π= 4+π
解⑴，则有
①②
①－②得，
即，得
故直线的方程为，即
⑵设，且，
则有，即，
将点的坐标分别代入椭圆方程
①②
②×①得
易知，故约去得③
同理有④
由④－③得
由已知斜率为，有，
得，即，即，所以∥
5
2a1=||P′F1′|-|P′F2′||=| - |=
∴a1= ,b12=c12-a12=36-b）2=1+ b2，解得b=1，r2=2，
所以圆的方程为x2 +（-1） Nhomakorabea=2又设lAB=（x+3），则|3-1|2+1=2，2-6-1=0，=1或=-17（舍去），
江苏省南通市高二上学期期中数学试卷
江苏省南通市高二上学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016·襄阳模拟) 若 f（x）=ex+ae﹣x 为偶函数，则 f（x﹣1）＜的解集为（ ）A . （2，+∞）B . （0，2）C . （﹣∞，2）D . （﹣∞，0）∪（2，+∞）2. （2 分） 已知函数 f（x）是定义在（﹣6，6）上的偶函数，f（x）在[0，6）上是单调函数，且 f（﹣2） ＜f（1）则下列不等式成立的是（ ）A . f（﹣1）＜f（1）＜f（3）B . f（2）＜f（3）＜f（﹣4）C . f（﹣2）＜f（0）＜f（1）D . f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）3. （2 分） 运行下图框图输出的 S 是 254，则①应为（ ）.A. B.第 1 页 共 11 页C. D.4. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 焦点在 x 轴上的椭圆 （）A.3 B.6C.6 D.2的焦距为 4 ，则长轴长是5. （2 分） (2015 高二上·西宁期末) 已知椭圆 AB 过点 F1 ， 则△ABF2 的周长为（ ）A . 10 B . 20C.2D.4（a＞5）的两个焦点为 F1、F2 ， 且|F1F2|=8．弦6. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 如果方程 是（ ）A . 3＜m＜4表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围B. C.D.7. （2 分） (2016 高一下·双峰期中) 10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15，17，14，10，15，17，第 2 页 共 11 页17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有（ ）A . a＞b＞cB . b＞c＞aC . c＞a＞bD . c＞b＞a8. （2 分） 一组数据的平均数是 2.8，方差是 3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上 60，得到一组新数 据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）A . 57.2，3.6B . 57.2，56.4C . 62.8，63.6D . 62.8，3.69. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如下图所示：甲茎乙57 1 688822367设 s1 ， s2 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差， 均数，则有（ ）分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平A.，s1＜s2B.，s1＞s2C.，s1＞s2D.，s1=s210. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 已知具有线性相关的两个变量 x，y 之间的一组数据如下：第 3 页 共 11 页x01234y2.24.34.54.86.7回归方程是 =bx+a，其中 b=0.95，a= ﹣b ．则当 x=6 时，y 的预测值为（ ）A . 8.1B . 8.2C . 8.3D . 8.411. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 抛掷两次骰子，两个点的和不等于 8 的概率为（ ）A.B.C.D.12. （2 分） (2016 高二上·昌吉期中) 一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在 正方形中的豆子的总数为 N 粒，其中 m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率 π 为（ ）A. B. C. D.第 4 页 共 11 页二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 长为 2 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上滑动，则线段 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值是 ________．14. （1 分） 已知椭圆若分别为线段的左、右焦点分别为 ， ，点与的焦点不重合，的中点，线段的中点在 上，则________．15. （1 分） 如果对任何实数 k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0 都过一个定点 A，那么点 A 的坐标是________． 16. （1 分） 将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 ax－by=0 与圆(x－2)2＋y2＝2 相交的概率为 ________．三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） 在直角坐标系中，设椭圆上焦点 且与 轴垂直的直线 与椭圆 相交，其中一个交点为（1） 求椭圆 的方程；的上下两个焦点分别为 .，过（2） 设椭圆 的一个顶点为，直线交椭圆 于另一个点 ，求的面积.18. （5 分） (2018 高二上·宁夏期末) 已知圆，从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段，点在上，并且，求点 的轨迹19. （10 分） (2020 高一下·江西期中) 已知矩形 ABCD，，，M 是平面内一点.（1） 若点 M 满足，求的最小值；（2） 若点 M 在线段 AC 上，求的范围.20. （10 分） (2018 高一下·葫芦岛期末) 小明准备利用暑假时间去旅游，妈妈为小明提供四个景点，九寨沟、泰山、长白山、武夷山．小明决定用所学的数学知识制定一个方案来决定去哪个景点：（如图）曲线和直线交于点．以 为起点，再从曲线 上任取两个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 ．若去九寨沟；若去泰山；若去长白山；去武夷山．第 5 页 共 11 页（1） 若从 和不去泰山的概率；这六个点中任取两个点分别为终点得到两个向量，分别求小明去九寨沟的概率（2） 按上述方案，小明在曲线 上取点运动，若点 的坐标为，求作为向量的终点，则小明决定去武夷山．点 在曲线 上 的最大值．21. （15 分） (2016 高一下·抚顺期末) 设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m、n，令平面向量，．（1） 求使得事件“”发生的概率；（2） 求使得事件“”发生的概率；（3） 使得事件“直线与圆（x﹣3）2+y2=1 相交”发生的概率．22. （10 分） (2016 高二上·昌吉期中) 在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在 2015 年公务员考试 中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，按成绩分为 5 组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得 到的频率分布直方图如图所示．第 6 页 共 11 页（1） 求 a 值及这 100 名考生的平均成绩； （2） 若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取 6 名考生进入第二轮面试，现从这 6 名考 生中抽取 3 名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有 1 名考生接受领导面试的概率．第 7 页 共 11 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、第 9 页 共 11 页20-1、20-2、 21-1、第 10 页 共 11 页21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。
江苏省南通中学高二上学期期中考试数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1. 抛物线x 2= - 4y 的焦点坐标为 ▲ .2. 已知椭圆上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离 是 ▲ .3.（文）一个圆柱的底面直径．．和它的高相等，且圆柱的体积为，则圆柱的高是 ▲ . （理） 已知空间两点轴上存在一点，使得，则点坐标为 ▲ .4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为▲ .5. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ . 6．已知椭圆与双曲线（）有相同的焦点F 1、F 2，P 是 两曲线的一个交点，则等于 ▲ . 7.，，是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是 ▲ .（1），；（2）， （3），，共面 ；（4），，共点，，共面8. 设是椭圆上的一点,则的最大值是 ▲ .9. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ， 则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最 短路线的长为 ▲ cm.10. 直线y=kx-2与抛物线交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 ▲ . 11. 设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且AC+BD=a ，，则 ▲ .12.如图所示，等边的边长为a ，将它沿平行 于BC 的线段PQ 折起，使'A PQ BPQC ⊥平面平面 , 若折叠后的长为d ，则d 的最小值为 ▲ . 13. 已知P 是椭圆上任意一点，EF 是圆 M ：的直径，则的最 大值为 ▲ ．14.设短轴长为的椭圆C :和双曲线的离心率互为倒APBQCE FA ′数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求与双曲线：有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程.16.如图，在四棱锥中，,2,AB CD CD AB AB PAD =⊥平面,E 为PC 的中点.（1）求证：；（2）若,AD PB PA ABCD ⊥⊥求证：平面.17.设，两点在抛物线上，是的垂直平分线.（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论； （2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围.18．如图，在直三棱柱中，,，直线与平面ABC 成 角.（1）求证：111B AC ABB A ⊥平面平面； （2）求到的距离； （3）求三棱锥的体积.BCA DPE （第16题） B 1C 1A 1B C19．已知圆224O x y +=：，若椭圆22221x y a b+=过点(01)P -，，且其长轴长等于圆O 的直径．（1）求椭圆的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，1l 与圆O 交于A ，B 两点，2l 交椭圆于另一点C ，①设直线1l 的斜率为k ，求弦AB 的长；②求ABC ∆面积的最大值．20．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（1）求椭圆的方程；（2）若点D 为椭圆上不同于、的任意一点，，，求当内切圆的面积最大时内切圆圆心的坐标； （3）若直线：与椭圆交于、两点，证明直线与的交点在直线上．江苏南通中学2014-2015学年度第一学期期中考试高二数学答题纸一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 请注意文理科类，不需写出解答过程,把答案写在答题纸的指定位置上）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 请注意文理科类，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,把答案写在答题纸的指定区域内）.班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________装订线内请勿答题15. （本题满分14分）题满分14分）18. （本题满分16分）江苏省南通中学2014—2015学年度第一学期期中考试高二数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1.抛物线x 2=-4y 的焦点坐标为 (0,-1) .2.已知椭圆上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 7 .3.（文）一个圆柱的底面直径．．和它的高相等，且圆柱的体积为，则圆柱的高是4. （理） 已知空间两点轴上存在一点，使得，则点坐标为（1,0,0）.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为53. 5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为.6．已知椭圆与双曲线（）有相同的焦点F 1、F 2、P 是两曲线的一个交点，则等于. 7.，，是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是 1 .（1），；（2）， （3），，共面 ；（4），，共点，，共面 8.设是椭圆上的一点,则的最大值是.9.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ， 则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短 路线的长为13 cm.10.直线y=kx-2与抛物线交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是2. 11.设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且AC+BD=a ，，则.12.如图所示，等边的边长为a ，将它沿平行 于BC 的线段PQ 折起，使,若折叠后的长为d ，则d 的最小值为. 13. 已知P 是椭圆上任意一点，EF 是圆M ：的直径，则的最大值为23．14.设短轴长为的椭圆C :和双曲线的离心率互为倒数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共APBQCEFA ′点都只有一个的圆的方程为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求与双曲线：有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程. 解：由题意得， 222222201218418a b a b a b ⎧+=⎧=⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩解得 ，所求双曲线标准方程为：e .c a ±±=±顶点(）；焦点(离心率渐近线方程y=16.如图，在四棱锥中，,2,AB CD CD AB AB PAD =⊥平面,E 为PC 的中点.（1）求证：；（2）若,AD PB PA ABCD ⊥⊥求证：平面. 证明：（1）证法一：取PD 中点F ，连结EF ，AF . E 是PC 中点，F 是PD 中点，,2,,=,AB CD CD AB EFAB EF AB ABEF =∴∴又四边形是平行四边形.,,,BE AF AF PAD BE PAD BEPAD∴⊂⊄∴又平面平面平面证法二：延长DA ，CB ，交于点F ，连结PF . ,2,..,,.AB CD CD AB B CF E PC BEPF PF PAD BE PAD BEPAD =∴∴⊂⊄∴为的中点又为的中点，平面平面 平面(2),,,.,,,.,.,.AB PAD PA AD PAD AB AD AB PA AD AB AD PB AB PB B AD PAB PA PAB AD PA AB AD A PA ABCD ⊥⊂∴⊥⊥⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥⋂=∴⊥平面、平面平面又平面平面 17.设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
【高二数学】南通中学2018-2019年度第一学期期中考试(真题)
江苏省南通中学2018-2019学年第一学期期中考试高二数学试卷一、填空题（本题共14题，每小题3分，共42分.请把答案填写在答题卡相应位置上）1. 直线经过点(5,1)-和(7,3)-，则它的斜率是__________.2. 直线30x y a -+=（a 为常数）的倾斜角为___________.3. 命题“在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠，B ∠都是锐角”的否命题为__________.4. 命题“2[1,1],310x x x ∃∈--+<”的否定是__________.5. 过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-斜率的13的直线方程为__________. 6. 求经过两条直线1:40l x y +-=和2:20l x y -+=的交点，且与直线210x y --=垂直的直线方程为___________.7. 若命题:0{1,0,1}p ∈-，命题1:0{1,}q a a a∈-+，又“p q ∧”为真，则实数a 的值为____________. 8. 已知点(4,)P a 到直线4310x y --=的距离等于3，则a 的值是____________.9.不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是___________. 10. 下列说法：①给定命题p 和命题q ，若“p q ∨”是真命题，则非p 是假命题；②命题“2,20180x R x x ∀∈++>”的否定是“2,20180x R x x ∃∈++>”；③命题“函数1()f x x=在其定义域上是减函数”是真命题；④“0x ≠”是“||0x x +>”的必要不充分条件；其中正确的是________.（填序号）11. 已知两条平行直线1l ，2l 分别过点(1,1)P ，(0,1)Q -，当1l ，2l 间的距离最大时，直线1l 的方程为_________.12. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222:(6)(6)9C x y -++=.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是__________.13.已知0x >，0y >，2126x y x y+++=，则2x y +的最大值为__________.14. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:1O x y +=，圆221:(4)4O x y -+=，动点P 在直线30x y b +-=上，过P 分别作圆O ，圆1O 的切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是_________.二、解答题（本大题共6小题）15.（本小题满分8分）已知直线()0232:1=++-m y x m l ，06:2=++my x l（1）若直线1l 与2l 垂直，求实数m 的值；（2）若直线1l 与2l 平行，求实数m 的值.16. （本小题满分8分）设命题:p 实数x 满足31<<-x ，命题:q 实数x 满足()005422><--a a ax x .（1）若2=a ，且q p ∧⌝为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分8分）已知直线022=+-y x 与圆04:22=+-+m y y x C 相交，截得的弦长为552 （1）求圆C 的方程；（2）过点()0,1-M 作圆C 的切线，求切线的方程.18.如图,为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端点O 与A 到该圆上任意一点的距离均不少于m 80，经测量，点A 位于点O 正北方向m 60处，点C 位于点O 正东方向m 170处(OC为河岸)34tan =∠BCO . （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大.19.（本小题满分12分）已知函数()()032>+=k xx kx x f （1）若()m x f >的解集为{}23->-<x x x 或，求不等式03252>++x k mx 的解集； （2）若存在30>x ，使得()10>x f 成立，求k 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知圆4:22=+y x O 和圆()14:22=-+y x C（1）判断圆O 和圆C 的位置关系，并说明理由；（2）求圆C 和圆O 公切线方程； （3）过圆C 的圆心C 作动直线m 交于圆O 于B A ,两点，试问：在以AB 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点()0,2M ？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由.。
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2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=．3．（5分）抛物线x2=2y的准线方程是．4．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为．7．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件”）8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n+1﹣a n}是等比数列，则=．i13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．（5分）设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．满足（2n﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB 的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n1）≥2（1﹣n）恒成立，求a+1的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=3．【解答】解：a4=8=﹣1+3d，解得d=3．故答案为：3．3．（5分）抛物线x2=2y的准线方程是．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=﹣．故答案为：y=﹣．4．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是真命题．（选填“真”或“假”之一）【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2＞4”∵a＞2∴a2＞4∴否命题为真命题故答案为：真5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF 1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为5．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，∴，∴（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，∴a3=1+2×2=5．故答案为：5．7．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的必要不充分条件．（填“充要条件、充分不必要条件、整数n，a2n﹣1必要不充分条件、即不充分也不必要条件”）【解答】解：∵{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，∴当a1=1，q=﹣时，满足q＜0，但此时a1+a2=1﹣=＞0，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0反之若a2n﹣1∵a1＞0，∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，+a2n＜0”的必要不充分条件，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1故答案为：必要不充分8．（5分）设F 1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为12．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，=2，S4=4，∴，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q），∴S8===12．故答案为：12．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n+1﹣a n}是等比数列，则i=3049．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，{a n+1﹣a n}是等比数列，∴a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，∴{a n﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，+1∴a4﹣a3=12，a4=12+10=22，a5﹣a4=24，a5=24+22=46，a6﹣a5=48，a6=48+46=94，a7﹣a6=96，a7=96+94=190，a8﹣a7=192，a8=192+190=382，a9﹣a8=384，a9=384+382=766，a 10﹣a9=768，a10=768+766=1534，∴i=1+4+10+22+46+94+190+382+766+1534=3049．故答案为：3049．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．（5分）设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a 1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．∴a2+a6=2a4=20，解得a4=10，S5=5a3=40，解得a3=8．∴d=a4﹣a3=10﹣8=2，a1=a3﹣2d=8﹣4=4，∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×2=2n+2．（2）∵等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．∴b2=8，b3=16，∴q=，∴b6=a k=2k+2=8×24=128，解得k=63．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．满足（2n﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．得到：S n=2﹣a n+1，+1=a n﹣a n+1，则：a n+1整理得：所以：数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），数列{b n}满足（2n﹣1）b n+1则：，所以：数列{}是常数列．则：{b n}的通项公式为：b n=2n﹣1．（2）由（1）得：c n=a n•b n=，则：+…+①所以：+…+②则：①﹣②得：）﹣，整理得：T n=．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB 的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k 1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．【解答】解：（1）由条件得：，解得a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得：+=0，即=﹣•=﹣•，∵k1=，k=，∴k1=﹣，即k1k=﹣．∵e==，∴==，∴k1k=﹣．（3）设Q（s，t）（s＞0，t＞0），则P（﹣s，﹣t），R（﹣s，0），∴k QR==，∵直线AB和直线QR倾斜角互补，∴=﹣k1，又k1k=﹣，且k＞0，∴k=，=st=2，=k=，又S△PQR∴s=2，t=，即Q（2，），∴=1，又，∴a=2，b=3，∴椭圆方程为．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；1）≥2（1﹣n）恒成立，求a ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n+1的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得：b n﹣b n=a n+2﹣a n=3，+1∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．∴a1=1，a2=2．∴S2n=+=3n2．（2）①由T n=n2，n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．n=1时，b1=T1=1．∴b n=a n+a n+1=2n﹣1．化为：a n+1﹣n=﹣[a n﹣（n﹣1）]，∴数列{a n﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．∴a n﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．∴不等式化为：a n a n+1≥0．当n为奇数时，a n=a+（n﹣1），a n+1=﹣a+n，∴a n a n+1=[a+（n﹣1）]（﹣a+n）=﹣a2+a+n（n﹣1）≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣6，解得﹣2≤a≤3．当n为偶数时，a n=﹣a+（n﹣1），a n+1=a+n，∴a n a n+1≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣2，解得﹣2≤a≤1．又a＞0，可得a的取值范围为：0＜a≤1．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。