【配套K12】2017届高三数学二轮复习1.1.2向量运算与复数运算算法合情推理课时巩固过关练理新人
高考数学(理)二轮专题复习 课时巩固过关练(二)向量运算与复数运算、算法、合情推理 Word版含解析
→AC，D，NAB →＝a ，AD →→→A．1 B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23解析：当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.答案：D6．(2016·四川巴蜀中学月考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论应互换，错误；对于B，符合演绎推理过程等于()57＝t＝2，则第一次循环，M＝11×2＝2，8．(2016·江西赣州于都实验中学月考)阅读程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a，i分别是()＝3 B．＝3 D．a由程序框图得：第一次运行；第二次运行i＝＝12，满足第一次运行：S＝2×1＋2×时，此时S＝，故m≤56，(4a＋b)⊥河南南阳期中B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π418(40＋41＋44，S＝1 8(4解析：由题图可知z＝－2＋i，所以＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故A正确．答案：A福建厦门适应性考试AD →·BC →＝填一个数字)．由题意知判断框中的条件需9时执行此判断框后的3，即S＝815．(2016·湖北枣阳一中月考)定义一种运算如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝ad －bc ，则复数⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋i －1 2 3i 的共轭复数是__________． 解析：复数⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋i －1 2 3i ＝3i (1＋i )－(－1)×2＝－1＋3i ，其共轭复数为－1－3i .答案：－1－3i。
高三数学 向量运算与复数运算、算法、合情推理期末复习测试卷 文.pdf
A.-3B.-C.-D.
3.执行如图所示的程序框图(流程图),输出的结果是,则判断框内应填入的条件是( )
A.n≤5?B.n5?D.n≥5?
4.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为,那么下列结论中一定成立的是( )
A.|a|=|b|B.a=b
C.a⊥bD.a∥b
,这样的前n组一共有个整数对,注意到<60<,因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置,结合 题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个整数对是 (5,7),选B. 10.【解析】选B.第一次循环,n=2,x=2t,a=2-1=1;第二次循环,n=4,x=4t,a=4-1=3;第三次循环,n=6,x=8t,a=63=3;此时满足条件输出ax=38t,由题意知ax=38t≥3,解得8t≥1,即t≥. 11.【解析】|z|==. 答案: 12.【解析】S1=2+1,k=2,i=2,S2=22+2+1+2,k=3,i=3,当k=n时,Sn-1=2n-1+2n-2+…+22+2+1+2+…+(n-1)=2n-2+,当 k=5时,S4=40. 答案:5 13.【解析】由向量加法的平行四边形法则,得+=, 又O是AC的中点, 所以=2, 即+=2, 又+=λ, 所以λ=2. 答案:2 14.【解析】注意到第n个等式的左边有n项,右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和,即右边的结 果的绝对值等于1+2+3+…+n==,注意到右边的结果的符号的规律是:当n为奇数时,符号为正;当n为偶数时,符号为负,因此 所填的结果是(-1)n+1. 答案:(-1)n+1 B组 1.【解析】选B.由z=a+bi(a,b∈R)可知虚部为b,故1-i的虚部为-1. 2.【解析】选B.====-1+i. 3.【解析】选B.因为向量运算满足交换律、乘法分配律,向量没有除法,不能约分,所以①②正确,③错误.又因为 |a·b|=|a|·|b|·|cos|,所以④错误.故选B. 4.【解析】选B.由|a|=2,|b|=5,a·b=-6,得cosθ=-,所以sinθ=,所以 |a×b|=|a|·|b|·sinθ=2×5×=8. 5.【解析】选B.本程序计算的是S=1+2+22+…+2A, 即S==2A+1-1, 由2A+1-1=31得2A+1=32, 解得A=4,则A+1=5时,条件不成立,所以M=4. 6.【解析】选A.因为2++=0,易得△ABC是直角三角形,且∠A为直角,又||=||,故∠C=30°, 由此||=,||=2, ·=||·||·cos30°=3. 7.【解析】选A.循环体中的具体的算法,实际是求S=+++的值. S=+++=+++=. 8.【解析】选C.易知△ABC中,AB=,故△ABC是以∠B为直角的直角三角形,从而∠A=30°, 所以·=(+)·(+)=+·=3. 9.【解析】选B.当x≤2时,x2=x,解得:x=0或1. 当25时,=x,无解. 综上可得:x=0或1或3. 10.【解析】选D.由f(x)=0,解得x=4,即A(4,0),过点A的直线l与函数的图象交于B,C两点,根据对称性可知,A是BC的 中点,所以+=2,所以(+)·=2·=2||2=2×42=32. 11.【解析】===为纯虚数,可得a=. 答案: 12.【解析】因为=2, 所以=2,所以||=. 又知+=2, 所以·(+)=2·=-4||2=-.
【配套K12】高考数学二轮复习 限时训练2 平面向量与复数运算、算法、合情推理 理
【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练2 平面向量与复数运算、算法、合情推理 理(建议用时30分钟)1．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z z －1＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2解析：选B.z 2－2zz －1＝＋2－＋i＝－2i＝2i ，故选B. 2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：选C.因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C. 3．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 解析：选C.依题意得i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1＋－＋11－i ＝－i 1－i ＝－＋1－i 1＋i ＝1－i 2＝12－12i ，故选C.4．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：选D.由题意作图，设AB →＝b ，AD →＝a ，结合向量的几何意义可知∠ABD ＝∠CAB ＝π6，故向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角为2π3，故选D.5．如图，若f (x )＝log 3x ，g (x )＝log 2x ，输入x ＝0.25，则输出的h (x )＝( )A ．0.25B ．2log 32C ．－12log 23D ．－2解析：选D.本题以程序框图的形式，考查了对数运算．当x ＝0.25时，f (x )＝log 314∈(－2，－1)，g (x )＝log 214＝－2，∴f (x )>g (x )，故选D.6．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.先计算，并化为最简形式，再利用复数的几何意义求解． i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应点的坐标为(2,1)，位于第一象限，故选A. 7．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为2，则输入x 的最大值是( )A ．5B ．6C ．11D ．22解析：选D.执行该程序可知⎩⎪⎨⎪⎧x2－1>312⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >8x ≤22，即8<x ≤22，∴输入x 的最大值是22，故选D.8．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2得(BC →＋BA →－AC →)·AC →＝0，则BA →·AC →＝0，故BA ⊥AC ，故选C.9.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i解析：选D.将z ，z 看做两个未知数，利用方程思想求解．也可利用复数相等的条件求解． 法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.10．阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和解析：选A.先读出程序框图的功能，再结合等比数列的通项公式求解．S＝0，i＝1；S＝1＋2×0＝1＝20，i＝2；S＝1＋2×1＝1＋2＝20＋21，i＝3；S＝1＋2×3＝20＋21＋22，i＝4；……观察得到对应数列的通项公式为a n＝2n－1.k＝10时，i>10时输出，说明是求前10项的和．故选A.(速解法) 逐一排除．当S＝0，i＝1，可得S1＝1＝a1，排除C、D，当i＝11时，则输出S即输出的i＝10时的S值．故选A.11．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )A ．6B ．10C ．91D ．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.故选B.12．已知向量OA →，OB →为单位向量，且OA →·OB →＝14，点C 是向量OA →，OB →的夹角内一点，|OC →|＝4，OB →·OC →＝72.若数列{a n }满足OC →＝3a n ＋1a n ＋2a n OB →＋a 1OA →，则a 4＝( )A.1516B.1615 C ．16 D.87解析：选 B.因为OC →＝3a n ＋1a n ＋2a nOB →＋a 1OA →，所以OB →·OC →＝3a n ＋1a n ＋2a nOB →·OB →＋a 1OA →·OB →，即72＝3a n ＋1a n ＋2a n＋14a 1 ①，设OA →，OB →的夹角为θ，OB →，OC →的夹角为α，OA →，OC →的夹角为β，则OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos θ＝14，所以cos θ＝14，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝154，同理可得cos α＝78，sin α＝158，所以cos β＝cos(θ－α)＝1116，所以OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos β＝114，又OA →·OC →＝3a n ＋1a n ＋2a n OA →·OB →＋a 1OA →·OA →，所以114＝3a n ＋1a n ＋2a n×14＋a 1 ②，联立①②，解得a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋1，所以a 2＝2a 1a 1＋1＝43，a 3＝2a 2a 2＋1＝87，a 4＝2a 3a 3＋1＝1615.故选B. 13．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－1214．(2016·合肥市模拟)下列命题中真命题的编号是________．(填上所有正确的编号) ①向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a ＝λb (λ∈R ) ②a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |>1，则π3<θ≤π；③向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|－|BC →|，则AC →与BC →同向； ④若向量a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .⑤a ＝(2,1)，b ＝(－1，t )，若〈a ，b 〉为钝角，则t <2.解析：当a ≠0，b ＝0时；a 与b 共线，但不存在实数λ，使a ＝λb ，所以①为假命题；由|a －b |>1可得a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵a ，b 为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，a ·b ＝1×1×cos θ＝cos θ，所以1－2cos θ＋1>1，∴cos θ<12，∵0≤θ≤π，∴π3<θ≤π，∴②为真命题．根据向量加法的几何意义知③为真命题；当b＝0时，④为假命题；⑤中还需强调〈a ，b 〉≠180°，所以t <2且t ≠－12，所以⑤为假命题． 答案：②③15．(2016·浙江丽水模拟)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1外，则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)外，则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是________________． 解析：类比推理，找出规律．对于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，求其切点弦P 1P 2所在直线方程就是将x 2→x 0x ，y 2→y 0y 而得到的，据此类比可知过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点P 1，P 2所在直线方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 答案：x 0x a －y 0y b ＝116．(2016·浙江温州模拟)已知cos π3＝12，cos π5cos 25π＝14，cos π7cos 27πcos 37π＝18……根据以上等式可猜想出的一般结论是________．解析：第n 个式子有n 个余弦相乘，角度的分母为奇数2n ＋1，分子分别为π、2π、3π，…，n π，结果为12n .∴一般结论cosπ2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n . 答案：cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n。
配套K12年高考数学第二轮复习 复数教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：复数考纲指要：了解引进复数的必要性，理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．考点扫描：1.数的概念的发展;复数的有关概念.2.复数的向量表示.3.复数的加法与减法，乘法与除法.考题先知：例1 。
设1990=n ，求)333331(2119901990198899463422n n n n n nC C C C C -++-+- 的值。
分析：将所求式子变形为1990199019881988664422333331(21n n n n n n C C C C C A -++-+-=，显然它是 nni )31(21+-的展开式的部分之和，即复数的实部。
不妨取展开式的其余的项的和为A 的对偶式i C C C C C B n n n n n n )33333(21198919891987198755331-++-+-= 。
则i i B A n n n 2321)31(216633+-====+-=+⨯ωωωω，所以21=A . 例2．复平面内点A 对应的复数是1,过点A 作虚轴的平行线l ,设l 上的点对应的复数为z ,求z1所对应的点的轨迹. 分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A 的坐标为(1,0),l 过点A 且平行于虚轴,所以直线l 上的点对应的复数z 的实部为1,可设为z =1+b i(b ∈R ),然后再求z1所对应的点的集合.解:如下图.因为点A 对应的复数为1,直线l 过点A 且平行于虚轴,所以可设直线l 上的点对应的复数为z =1+b i(b ∈R).因此i b z +=111i 1111i 1222b b b b +-+=+-=. 设z1=x +y i(x 、y ∈R ),于是 x +y i=22111bbb +-+i.根据复数相等的条件,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1,1122b b y b x消去b ,有x 2+y 2=2222)1()1(1bb b +-++ =22222)1()1(1b b b +++=222211)1(1bb b +=++=x . 所以x 2+y 2=x (x ≠0), 即(x －21)2+y 2=41(x ≠0). 所以z 1所对应的点的集合是以(21,0)为圆心,21为半径的圆,但不包括原点O (0,0). 评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x ,y ).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x ,y )所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x 、y 的范围可由参数函数的值域来确定.复习智略：例3．对任意复数),(R y x yi x z ∈+=，定义)sin (cos 3)(y i y z g x+=。
【精编】高考数学二轮复习 第1部分 专题1 必考点2 平面向量与复数运算、算法、合情推理课件 文-精心整理
知识 回扣
必记知识
重要结论
1．平面向量概念与运算 (1)平面向量的加法，减法的三角形法则和平行四边形法则． (2)向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ， 使 b＝λa. (3)平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那 么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2， 其中 e1，e2 是一组基底．
∴aG→A＋bG→B＋ 33cG→C＝a－ 33cG→A＋b－ 33cG→B＝0 ∴a－ 33c＝0，b－ 33c＝0，
∴a＝ 33c，b＝ 33c， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝312c×2＋3c32c－×13cc2＝ 23， 又 A∈(0，π)，∴A＝π6.
A
自我挑战
知识 回扣
必记知识
重要结论
1．向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点共线的充要
条件是O→P＝λ1O→A＋λ2O→B(其中 λ1＋λ2＝1)． 2．三角形中线向量公式：若 P 为△OAB 的边 AB 的中点，则向量O→P与向
量O→A，O→B的关系是O→P＝21(O→A＋O→B)． 3．三角形重心坐标的求法：G 为△ABC
∴A→C＝34A→F－23A→E＋43A→E－23A→F＝23A→F＋32A→E
∴ 4 λ＝μ＝23 ∴λ＋μ＝43 3
小题 速解
类型一 平面向量概念及线性运算
以 AC 为对角线，以 AE、AF 所在直线为邻边作平行四边形来表示A→C＝λA→E
版高考数学专题辅导与训练配套课件12向量运算与复数运算算法合情推理湖北专供 数学文 优质课件
1.(角度新)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则 输入的数是( )
(A)2或 2 2 (C)-2或 2 2
(B) 2 2 或 2 2 (D)2或 2 2
【解析】选D.由程序框图知,
x 2 x3
8，或 8
x3
x
2
8，
8,
x
2或x
2
2.
2.(交汇新)在△ABC中,P是BC边中点，角A，B，C的对边分别是
的向量.
②求平面向量的模时,常把模的平方转化为向量的平方.
③求向量a在向量b方向上的投影时,转化为
ab |b|
来求.
热点考向 二 复数的概念与运算
【典例】1.(2012·新课标全国卷)下面是关于复数 z 2 的
1 i
四个命题：
p1:|z|=2； p3:z的共轭复数为1+i； 其中的真命题为( )
x， x2
f2(x)=f(f1(x))=
x 3x
4
4
x
1 x
4
x
，
22 1 x 22
f3(x)=f(f2(x))=
x 7x 8
8
x
1 x
8
x
，
23 1 x 23
f4
x
f
f3
x
x 15x
16
16
x
1
x
2.设函数f(x)= x (x>0),观察：
x2
f1(x)=f(x)=
【高考数学】1-2二轮复习讲义：向量运算与复数运算、算法、推理与证明
第二讲向量运算与复数运算、算法、推理与证明高考考点考点解读平面向量的运算及运用1.以平面图形为载体，借助向量考查数量关系与位置关系、向量的线性运算及几何意义2．以平面向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算、数量积交汇命题3．直接利用数量积运算公式进行运算，求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系复数的概念及运算1.复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等2．复数的几何意义及四则运算，重点考查复数的乘除运算程序框图1.主要考查程序框图的应用及基本算法语句，尤其是含循环结构的程序框图2．与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在一起综合考查合情推理1.主要考查合情推理和演绎推理，重点考查归纳推理和类比推理2．以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等数学知识相结合考查归纳推理本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式，掌握求模、夹角的方法．(2)掌握复数的基本概念及运算法则，在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解，同时注意“分母实数化”的运用．(3)关注程序框图和基本算法语句的应用与判别，尤其是含循环结构的程序框图要高度重视．(4)掌握各种推理的特点和推理过程，同时要区分不同的推理形式，对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类比推理要找到事物的相同点，做到类比合，对演绎推理要做到过程严密．预测2020年命题热点为：(1)利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题，与三角函数、解析几何交汇命题．(2)单独考查复数的四则运算，与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查． (3)程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全，与函数求值、方程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题．(4)推理问题考查归纳推理和类比推理，主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题．Z 知识整合hi shi zheng he1．重要公式(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0，λ∈R )⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)．2．重要性质及结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.. (3)平面向量的三个性质①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.③设θ为a 与b (a ≠0，b ≠0)的夹角，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(4)复数运算中常用的结论：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，其中n ∈N *3．推理与证明(1)归纳推理的思维过程实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 (3)(理)数学归纳法证题的步骤①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n ＝n 0(n 0∈N *)时，命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n ≥n 0的正整数都成立． Y 易错警示i cuo jing shi1．忽略复数的定义：在解决与复数概念有关的问题时，在运用复数的概念时忽略某一条件而致误． 2．不能准确把握循环次数解答循环结构的程序框图(流程图)问题，要注意循环次数，防止多一次或少一次的错误． 3．忽略特殊情况：两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价；两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于0不等价．1．(2018·全国卷Ⅰ，1)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( C ) A ．0 B ．12C ．1D ． 2[解析] ∵ z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴ |z |＝1. 故选C ．2．(2018·全国卷Ⅱ，1)1＋2i1－2i ＝( D )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i[解析] 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i. 故选D ．3．(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( B ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0[解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵ |a |＝1，a ·b ＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选B ．4．(2018·全国卷Ⅰ，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A ．5．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [解析]11－i ＝12＋i 2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限．故选D ．6．(2018·全国卷Ⅱ，7)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( B )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] 把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下. 循环 次数①②③ …○50 N0＋11 0＋11＋130＋11＋ 13＋15 …0＋11＋13＋ 15＋…＋199 T0＋12 0＋12＋140＋12＋ 14＋16 …0＋12＋14＋ 16＋…＋1100 S1－12 1－12＋13－141－12＋13－ 14＋15－16…1－12＋13－14 ＋…＋199－1100因为N ＝N ＋1i ，由上表知i 是1→3→5，…，所以i ＝i ＋2.故选B ．7．(2018·天津卷，3)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 输入N 的值为20，第一次执行条件语句，N ＝20，i ＝2，Ni ＝10是整数，∴ T ＝0＋1＝1，i ＝3<5；第二次执行条件语句，N ＝20，i ＝3，N i ＝203不是整数，∴ i ＝4<5；第三次执行条件语句，N ＝20，i ＝4，Ni ＝5是整数，∴ T ＝1＋1＝2，i ＝5，此时i ≥5成立，∴ 输出T ＝2. 故选B ．8．(2018·天津卷，9)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝4－i.[解析]6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.9．(2018·北京卷，9)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝－1. [解析] a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，则m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，得m ＝－1.10．(2018·全国卷Ⅲ，13)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝12.[解析] 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.命题方向1 平面向量的运算例1 (1)如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( B )A ．43B ．53C ．158D ．2[解析] 方法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B ．方法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋(12λ＋μ)AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B ．(2)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μDB →，则λμ＝29.[解析] 由图形可得：AM →＝AB →＋12AD →①，DB →＝AB →－AD →②，①×2＋②得：2AM →＋DB →＝3AB →，即AB →＝23AM →＋13DB →，所以λ＝23，μ＝13，所以λμ＝29.『规律总结』1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向． G 跟踪训练en zong xun lian1．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A ―→·PB ―→＝32.[解析] 圆心为O (0,0)，则3，∠OP A ＝∠OPB ＝π6，则∠APB＝π3，所以cos ∠APB ＝3·3·cos π3＝32.2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( A ) A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] 因为b －c ＝(x ，－4)，又a ⊥(b －c )，所以a ·(b －c )＝3x －4＝0，所以x ＝43.命题方向2 复数的概念与运算例2 (1)已知复数z 1＝3＋i1－i的实部为a ，复数z 2＝i(2＋i)的虚部为b ，复数z ＝b＋a i 的共轭复数在复平面内的对应点在( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[分析] 先计算z 1、z 2求出a 、b ，再由共轭复数的定义求得z －，最后写出对应点的坐标． [解析] z 1＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋2i ，z 2＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴a ＝1，b ＝2，∴z ＝2＋i ，∴z －＝2－i 在复平面内的对应点(2，－1)在第四象限． (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B ．(3)(2018·郑州质检二)设i 是虚数单位，复数z ＝2i1＋i ，则|z |＝( B )A ．1B ． 2C ． 3D ．2[解析] |z |＝⎪⎪⎪⎪2i 1＋i ＝22＝ 2.『规律总结』1．解决复数的概念与运算问题，一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解．一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列方程或方程组．2．熟记复数表示实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是解决复数问题的关键．G 跟踪训练en zong xun lian1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．2[解析] 因为1＋z 1－z ＝i ，所以z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝i ，故|z |＝1.2．若复数z 满足z1－i＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝( A )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i[解析] 由z1－i＝i ，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，z ＝1－i.3．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( A )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)[解析] 由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0m －1<0，解得－3<m <1，故选A ．命题方向3 程序框图例3 (1)执行下面的程序框图，若输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出的x ，y 的值满足( C )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x[解析] 运行程序，第1次循环得x ＝0，y ＝1，n ＝2.第2次循环得x ＝12，y ＝2，n ＝3，第3次循环得x ＝32，y ＝6，此时x 2＋y 2≥36，输出x ，y ，满足C 选项．(2)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( C )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524[解析] 第一次：k ＝2，s ＝12；第二次：k ＝4，s ＝34；第三次：k ＝6，s ＝1112；第四次：k ＝8，s ＝2524；输出k ＝8，s ≤1112.『规律总结』解答程序框图问题的关注点(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．易错提醒：解答循环结构的程序框图(流程图)问题要注意输出循环次数的情况，防止多一次或少一次的错误．G 跟踪训练en zong xun lian1．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( C )A．a n＝2n B．a n＝2(n－1)C．a n＝2n D．a n＝2n－1[解析]当S＝1，i＝1时，执行循环体，a1＝2，S＝2，i＝2，若不满足条件i>N，执行循环体，a2＝4，S＝4，i＝3，若不满足条件i>N，执行循环体，a3＝8，S＝8，i＝4，若不满足条件i>N，执行循环体，a4＝16，S＝16，i＝5.……所以a n＝2n.2．执行如图所示的程序框图．如果输入n＝3，则输出的S＝( B )A ．67B ．37C ．89D ．49[解析] 由题意得，输出的S 为数列{1(2n －1)(2n ＋1)}的前三项和，而1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以S n ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1，所以S 3＝37.命题方向4 合情推理例4 观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43n (n ＋1).[解析] 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为43n (n ＋1)．『规律总结』1．在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．2．在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．3．归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．G 跟踪训练en zong xun lian(2018·湖北八校联考)祖暅(公元前5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于4π3×b 2a .[解析] 椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(π×b 2×a －π3×b 2a )＝4π3×b 2a .A 组1．(2017·全国卷Ⅱ，1)3＋i1＋i ＝( D )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i[解析]3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.故选D ．2．(文)已知i 为虚数单位，则复数1－3i1＋i ＝( C )A ．2＋iB ．2－iC ．－1－2iD ．－1＋2i[解析]1－3i 1＋i＝(1－3i )(1－i )2＝－1－2i ，故选C ．(理)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a 、b ∈R ，则|a ＋b i|＝( C ) A ．12＋iB ． 5C ．52 D ． 54[解析] ∵(1＋2a i)i ＝－2a ＋i ＝1－b i ， ∴a ＝－12，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|－12－i |＝(－12)2＋(－1)2＝52. 3．(2018·济南二模)已知数列{a n }，观察如图所示的程序框图，若输入a 1＝1，d ＝2，k ＝7，则输出的结果为( C )A ．49B ．511C ．613D ．715[解析] 由题中程序框图知，输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋111×13＝12×(1－13＋13－15＋…＋111－113)＝613. 4．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝( C ) A ． 2 B ．2 3 C ．2D ． 6[解析] 向量的数量积．∵|a ＋b |＝20，a ·b ＝4， ∴|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝16，∴|a －b |＝2，故选C ．5．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( B ) A ． 5 B ．10 C ．2 5D ．10[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴x －2＝0，∴x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.6．(2018·大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( D )A ．21B ．34C ．52D ．55[解析] 由题意可得，这种树从第一年的分枝数分别是1,1,2,3,5，…则2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，即从第三项起，每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数是21＋34＝55.故选D ．7．下面框图所给的程序运行结果为S ＝28，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( D )A ．k ＝8?B ．k ≤7?C ．k <7?D ．k >7?[解析] 开始→k ＝10，S ＝1，满足条件→S ＝1＋10＝11，k ＝10－1＝9，满足条件→S ＝11＋9＝20，k ＝9－1＝8，满足条件→S ＝20＋8＝28，k ＝8－1＝7.由于输出S 的值为28，故k ＝7不再满足条件，故选D ．8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则EB →＋FC →＝( A ) A ．AD → B ．12AD → C ．BC →D ．12BC →[解析] 如图，EB →＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →)＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.选A ．9．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 [解析] 由|a ·b |＝||a |·|b |·cos θ|，因为－1≤cos θ≤1，所以|a ·b |≤|a ||b |恒成立；由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a －b |≥||a |－|b ||，故B 选项不成立； 根据向量数量积的运算律C ，D 选项恒成立．10．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为( C )A ．201B ．411C ．465D ．565[解析] 200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.11．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝－1. [解析] (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，所以a ＋1＝0，a ＝－1. 12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |等于4 5.[解析] 由a ∥b ⇒m ＋4＝0，解得m ＝－4，故2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，因此|2a ＋3b |＝(－4)2＋(－8)2＝4 5.13．已知△ABC 的面积为23，且B ＝2π3，则AB →·BC →＝4.[解析] 设△ABC 的三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 则S ＝12ac sin B ＝34ac ＝23，即ac ＝8，AB →·BC →＝|AB →||BC →|·cos(π－B )＝ca cos π3＝8×12＝4.14．执行下边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值为13.[解析] 第一次执行程序，满足条件x ＜2，x ＝1＋1＝2；第二次执行程序，不满足条件x ＜2，y ＝3×22＋1＝13，输出y ＝13，结束．答案为13.15．(2018·聊城一模)观察等式：f (13)＋f (23)＝1；f (14)＋f (24)＋f (34)＝32；f (15)＋f (25)＋f (35)＋f (45)＝2；f (16)＋f (26)＋f (36)＋f (46)＋f (56)＝52；…由以上几个等式的规律可猜想f (12 019)＋f (22 019)＋f (32 019)＋…＋f (2 0182 019)＝1_009.[解析] 从所给四个等式看：等式右边依次为1，32，2，52，将其变为22，32，42，52，可以得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，所以f (12 019)＋f (22 019)＋f (32 019)＋…＋f (2 0182 019)＝2 0182＝1 009.B 组1．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝2＋b i ，若z 2z 1为实数，则实数b 等于( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] z 2z 1＝2＋b i 1＋i ＝(1－i )(2＋b i )2＝(2＋b )＋(b －2)i2，若其为实数，则有b －22＝0，解得b ＝2.2．(文)(2018·石景山检测)已知复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i ，若z 是纯虚数，则实数a 等于( B )A ．2B ．1C ．0D ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，∴a ＝1.(理)已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝a ＋i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为( B ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2[解析] ∵z 1·z 2＝(a －1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0a ＋1≠0，∴a ＝1. 3．(2017·全国卷Ⅱ，4)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( A )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |[解析] 方法一：∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b . ∴a ·b ＝0. ∴a ⊥b . 故选A ．方法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，∴|AC |＝|DB | 从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A ．4．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 输入a ＝1，则b ＝1，第一次循环，a ＝－11＋1＝－12，k ＝1；第二次循环，a ＝－11－12＝－2，k ＝2；第三次循环，a ＝－11－2＝1，此时a ＝b ，结束循环，输出k ＝2.故选B ．5．(2018·潍坊一模)若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)(m －2)i 是纯虚数，其中m 是实数，i 2＝－1，则1z等于( D )A ．12B ．－12C ．i 2D ．－i 2[解析] 因为复数z ＝m (m －1)＋(m －1)·(m －2)i 是纯虚数，所以m (m －1)＝0且(m －1)(m －2)≠0，所以m ＝0，则1z ＝12i ＝－i 2.6．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a －t b |(t ∈R )的最小值为( A ) A ．32B ．12C ．1D ．2[解析] 由于|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，于是|a ＋b |2＝1，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1， 即a ·b ＝－12.|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝(1＋t 2)－2t a ·b ＝t 2＋t ＋1≥34，故|a －t b |的最小值为32.7．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 018a 2 019＝( C )A ．2 0152 016B ．2 0162 017C ．2 0172 018D ．2 0182 019[解析] 每条边有n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3，那么9a n a n ＋1＝9(3n －3)×3n ＝1(n －1)n ＝1n －1－1n，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 018a 2 019＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…(12 017－12 018)＝1－12 018＝2 0172 018.故选C ． 8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( C )A ．7B ．12C ．17D ．34[解析] 由程序框图知，第一次循环：x ＝2，n ＝2，a ＝2，s ＝0×2＋2＝2，k ＝1； 第二次循环：a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2；第三次循环：a ＝5，s ＝6×2＋5＝17，k ＝3.结束循环，输出s 的值为17，故选C ． 9．设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z＋z 2的虚部为－1.[解析] ∵z ＝1－i(i 为虚数单位)， ∴z z ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )－2i ＝2i 2－2i ＝－i ，故其虚部为－1.10．(文)(2018·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考得好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的乙，丙两人说对了．[解析] 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．(理)(2018·湖北七市联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)·(n ＋3)； ……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *).[解析] 根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) ＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *) 11．(2017·江苏卷，4)如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是－2.[解析] 输入x ＝116<1，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2，故输出y 的值为－2. 12．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是(－1,0).[解析] 根据题意知，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线的交点为D ，则OD →＝tOC →.∵D 在圆外，∴t <－1，又D 、A 、B 共线，∴存在λ、μ，使得OD →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，又由已知，OC →＝mOA →＋nOB →，∴tmOA →＋tnOB →＝λOA →＋μOB →，∴m ＋n ＝1t ，故m ＋n ∈(－1,0)．。
2017届高三数学二轮复习(通用版)第一部分课件 基础送分题题型专题(六) 算法、复数、推理与证明
答案：(16，13)
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2．(2016·贵阳模拟)已知不等式 1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19 ＋116<74，照此规律总结出第 n 个不等式为________________．
解析：由已知，三个不等式可以写成 1＋212<2×22－1，1＋212＋312 <2×33－1，1＋212＋312＋412<2×44－1，所以照此规律可得到第 n 个不 等式为 1＋212＋312＋…＋n12＋（n＋1 1）2<2（nn＋＋11）－1＝2nn＋＋11.
位，z 是 z 的共轭复数)，则 z 的虚部为( )
A．1
B．－1Biblioteka C．iD．－i解析：选 A 因为 z＝41＋＋32ii＝（（41＋＋32ii））（（11－－22ii））＝10－5 5i＝ 2－i，所以 z＝2＋i，故选 A.
第五页，编辑于星期六：一点 十四分。
4．(2016·河南六市联考)已知 i 为虚数单位，a∈R，若2a－ ＋ii为
第八页，编辑于星期六：一点 十四分。
[题组练透]
1．(2016·全国乙卷)执行如图所示的
程序框图，如果输入的 x＝0，y＝1，
n＝1，则输出 x，y 的值满足( )
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课时巩固过关练二向量运算与复数运算、算法、合情推理(40分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2016·襄阳一模)复数的值是( )A.-1B.1C.-iD.i【解析】选A.===-1.2.(2016·潍坊一模)下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人D.在数列{a n}中,a1=1,a n=(n≥2),计算a1,a2,a3,a4,由此推测通项a n 【解析】选A.演绎推理是由一般到特殊的推理,显然选项A符合;选项B属于类比推理;选项C是归纳推理;选项D是归纳推理.3.(2016·全国卷Ⅲ)若z=4+3i,则= ( )A.1B.-1C.+iD.-i【解析】选D.==5,=4-3i,则=-i.4.(2016·全国卷Ⅱ)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)【解析】选 A.z=(m+3)+(m-1)i对应点的坐标为(m+3,m-1),该点在第四象限,所以解得-3<m<1.5.(2016·漳州一模)已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为90°,向量d满足|d-a-b|=1,则|d|的最大值为( )A.2+1B.2-1C.4D.2【解析】选 A.|a|=|b|=2,a,b的夹角为90°,不妨设a=(2,0),b=(0,2),d=(x,y),所以d-a-b=(x-2,y-2),因为|d-a-b|=1,所以(x-2)2+(y-2)2=1,则d的轨迹是以(2,2)为圆心,以1为半径的圆,因为|d|2=x2+y2,所以当点在C处时,|d|有最大值,最大值为1+2,6.(2016·长沙一模)在如图所示的程序框图中,已知f0(x)=sinx,则输出的结果是( )A.sinxB.cosxC.-sinxD.-cosx【解析】选B.因为f0(x)=sinx,f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx.所以题目中的函数为周期函数,且周期T=4,所以f2005(x)=f1(x)=cosx.7.(2016·太原一模)执行如图所示的程序框图,若输出的S=,则判断框内填入的条件可以是( )A.k≥7?B.k>7?C.k≤8?D.k<8?【解题导引】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,S的值,当k=8时,退出循环,输出S的值为,故判断框内可填入的条件是k<8?或k≤6?.【解析】选D.模拟执行程序框图,可得:S=0,k=0,满足条件,k=2,S=,满足条件,k=4,S=+,满足条件,k=6,S=++,满足条件,k=8,S=+++=.由题意,此时应不满足条件,退出循环,输出S的值为.结合选项可得判断框内填入的条件可以是k<8或k≤6?.8.(2016·蚌埠一模)已知AC⊥BC,AC=BC,D满足=t+(1-t),若∠ACD=60°,则t的值为( )A. B.-C.-1D.【解题导引】根据条件可知点D在线段AB上,从而可作出图形,并过D分别作AC,BC的垂线DE,DF,可设AC=BC=a,从而可根据条件得到CE=ta,CF=(1-t)a,这样在Rt△CDE和Rt△CDF中,由余弦函数的定义即可得到=,从而可解出t的值.【解析】选A.根据题意知,D在线段AB上,过D作DE⊥AC,垂足为E,作DF⊥BC,垂足为F;若设AC=BC=a,则由=t+(1-t),得,CE=ta,CF=(1-t)a;根据题意,∠ACD=60°,∠DCF=30°;所以=,即=,解得t=.9.(2016·全国卷Ⅰ)执行如图的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x【解析】选C.如表所示:输出x=,y=6,满足y=4x.10.(2016·广州一模)已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},在集合A 中任取三个元素,分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数,记这个三位数为a,现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=219,则I(a)=129,D(a)=921),阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,则输出b 的值为 ( )A.792B.693C.594D.495【解题导引】利用验证法判断求解即可.【解析】选D.对于选项A,如果输出b 的值为792,则a=792, I(a)=279,D(a)=972,b=D(a)-I(a)=972-279=693,不满足题意. B,如果输出b 的值为693,则a=693,I(a)=369,D(a)=963,b=D(a)-I(a)=963-369=594,不满足题意.C,如果输出b的值为594,则a=594,I(a)=459,D(a)=954,b=D(a)-I(a)=954-459=495,不满足题意.D,如果输出b的值为495,则a=495,I(a)=459,D(a)=954,b=D(a)-I(a)=954-459=495,满足题意.11.(2016·唐山一模)△ABC是边长为1的等边三角形,已知向量a,b满足=a+b,=a-b,则下列结论错误的是( )A.|a|=B.|b|=C.(a+b)·a=-D.a⊥b【解题导引】可作图,取BC边的中点D,并连接AD,从而可以得出=a,=2b,从而有a ⊥b,这样即可求出|a|,|b|和(a+b)·a的值,从而便可找出错误的结论.【解析】选C.对于选项A,如图,设边BC的中点为D,则:+= 2a=2,||=,所以|a|=,所以该选项正确;对于选项B,因为-=2b=,||=1,所以|b|=,所以该选项正确;对于选项C,=a,=a+b,所以(a+b)·a=·=1××=,所以该选项错误;对于选项D,AD⊥BC,由前面=a,=2b,所以a⊥(2b),即a⊥b,所以该选项正确.12.(2016·株洲一模)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a,b,c,d∈N*),则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.14159…,若令<π<,则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( )A. B. C. D.【解析】选A.第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<,第二次用“调日法”后得是π的更为精确的不足近似值,即<π<;第三次用“调日法”后得是π的更为精确的不足近似值,即<π<,第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<.【加固训练】(2016·长春一模)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*),其中x k(k=1,2,…,n)称为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0),已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于( ) A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选B.由题意可得相同的数字经过运算后为0,不同数字运算后为1.由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判定后4个数字出错;由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判定后2个数字没错,即出错的是第4个或第5个;由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判断出错的是第5个.综上可知,第5位发生码元错误. 【一题多解】选B.依题意,二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,①若k=1,则x1=0,x2=1,x3=0,x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,从而由校验方程组,得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1,故k≠1;②若k=2,则x1=1,x2=0,x3=0,x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1,故k≠2;③若k=3,则x1=1,x2=1,x3=1,x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1,故k≠3;④若k=4,则x1=1,x2=1,x3=0,x4=0,x5=1,x6=0,x7=1,从而由校验方程组,得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1,故k≠4;⑤若k=5,则x1=1,x2=1,x3=0,x4=1,x5=0,x6=0,x7=1,从而由校验方程组,得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,故k=5符合题意;⑥若k=6,则x1=1,x2=1,x3=0,x4=1,x5=1,x6=1,x7=1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1,故k≠6;⑦若k=7,则x1=1,x2=1,x3=0,x4=1,x5=1,x6=0,x7=0,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1,故k≠7;综上,k等于5.二、填空题(每小题5分,共20分)13.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.【解题导引】丙拿的卡片上的数字不是“2和3”,只能是1和2,1和3,分类讨论.【解析】由题意得:丙不拿(2,3),若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足,若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足,故甲的卡片上的数字为1和3.答案:1和314.(2016·衡阳一模)已知||=1，||=，·=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m，n∈R)，则=________.【解析】因为·=0，所以⊥，以OA，OB为边作一个矩形，对角线为OD=2.因为点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，所以C在AD上，所以tan 30°==，所以AC=，所以==，即=.又=+=+，所以m=1，n=，所以=3.答案：3【加固练习】在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.【解析】将矩形放入平面直角坐标系,如图,因为AB=,BC=2,点E为BC的中点,所以B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1),设F(x,2),则=(x,2),=(,0),所以·=(,0)·(x,2)=x=,所以x=1.所以=(,1),=(x-,2)=(1-,2),所以·=(,1)·(1-,2)=.答案:15.(2016·银川二模)在平面直角坐标系xOy中,满足x2+y2≤1,x≥0,y≥0的点P(x,y)的集合对应的平面图形的面积为;类似地,在空间直角坐标系O-xyz中,满足x2+y2+z2≤1,x≥0,y ≥0,z≥0的点P(x,y)的集合对应的空间几何体的体积为________.【解析】类似地,在空间直角坐标系O-xyz中,满足x2+y2+z2≤1,x≥0,y≥0,z≥0的点P(x,y)的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的,即×π×13=.答案:【加固训练】(2016·南昌二模)如图,已知点O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO,并延长交对边于A1,B1,C1,则++=1,类比猜想:点O是空间四面体VBCD内的任意一点,连接VO,BO,CO,DO并延长分别交面BCD,VCD,VBD,VBC于点V1,B1,C1,D1,则有__________.【解析】若O是四面体ABCD内任意点,连接AO,BO,CO,DO并延长交对面于A′,B′,C′,D′,则+++=1.用“体积法”证明如下:+++=+++=1,故答案为:+++=1.答案:+++=116.(2016·长沙二模)如图所示,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标数字0,点(1,0)处标数字1,点(1,-1)处标数字2,点(0,-1)处标数字3,点(-1,-1)处标数字4,点(-1,0)处标数字5,点(-1,1)处标数字6,点(0,1)处标数字7,…以此类推:记格点坐标为(m,n)的点(m,n均为正整数)处所标的数字为f(m,n),若n>m,则f(m,n)=__________.【解析】从横轴上的点开始,从1开始计数第一周共9个格点,除了四个顶点外每一行每一列各有一个格点,外加一个延伸点;第二周从10开始计,除了四个顶点的四个格点外,每一行每一列有三个格点,外加一个延伸点共17个;第三周从27开始,除了四个顶点的格点外,每一行、每一列有五个格点,外加一个延伸点共25个.拐弯向下到达数轴前的格点以补足起始点所在列的个数,设周数为t,由此其规律是后一周的格点数加上8(t-1),各周的点数和为S t=9+8(t-1)=8t+1,每一行(或列)除了端点外的点数与周数的关系是b=2t-1,由于S1=9,S2=17,S3=25,S4=33,f(1,0)=12,f(2,1)=32,f(3,2)=52,…,f(n+1,n)=(2n+1)2,因为n>m,所以n≥m-1,所以,当n>m时,f(n+1,n)=(2n+1)2+m-n+1.答案:(2n+1)2+m-n+1(40分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.若复数z满足=i2016+i2017(i为虚数单位),则复数z= ( )A.1B.2C.iD.2i【解题导引】利用虚数单位i的运算性质化简,再由复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【解析】选D.由=i2016+i2017=(i4)504+(i4)504·i=1+i,得z=(1+i)2=2i.2.若θ∈,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选 B.取θ=π得,(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i=-1+i,则复数对应的点在第二象限.3.如果执行程序框图,且输入n=6,m=4,则输出的p= ( )A.240B.120C.720D.360【解题导引】根据题中的程序框图,模拟运行,依次计算k和p的值,利用条件k<m进行判断是否继续运行,直到k≥m则结束运行,输出p的值即为答案.【解析】选D.根据题中的程序框图,模拟运行如下:输入n=6,m=4,k=1,p=1,所以p=1×(6-4+1)=3,k=1<4,符合条件,所以k=1+1=2,p=3×(6-4+2)=12,k=2<4,符合条件,所以k=2+1=3,p=12×(6-4+3)=60,k=3<4,符合条件,所以k=3+1=4,p=60×(6-4+4)=360,k=4,不符合条件,故结束运行,输出p=360.4.设a,b是两个非零向量,则下列哪个描述是正确的( )A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ使得a=λbD.若存在实数λ使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|【解析】选C.不妨令a=(-3,0),b=(1,0),尽管满足|a+b|=|a|-|b|,但不满足a⊥b,故A不正确,若a⊥b,则a·b=0,则有|a+b|=|a-b|,即以a,b为邻边的矩形的对角线长相等,故|a+b|=|a|-|b|不正确,即B不正确,若|a+b|=|a|-|b|,则a,b是方向相反的向量,故这两个向量共线,故存在实数λ使得a=λb,故C正确,不妨令a=(3,0),b=(1,0),尽管满足存在实数λ,使得a=λb,但不满足|a+b|=|a|-|b|,故D 不正确.5.如图所示的流程图中,若输入a,b,c的值分别是2,4,5,则输出的x= ( )A.1B.2C.lg 2D.10【解析】选A.由题意可知a<b<c,所以x=lg 2+lg5=1.6.如图,在△ABC中,已知=3,则= ( )A.+B.-C.+D.-【解析】选C.因为=-,=-,所以由已知=3,得-=3(-),化简=+.7.若a为实数且(2+ai)(a-2i)=8,则a= ( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选D.由(2+ai)(a-2i)=8,得4a+(a2-4)i=8,所以解得a=2.8.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则如程序框图所示.例如:明文(1,2,3,4)对应的密文是(5,7,18,16).则当接收方收到密文(14,9,23,28)时,解密得到的明文是( )A.(4,6,1,7)B.(7,6,1,4)C.(6,4,1,7)D.(1,6,4,7)【解析】选C.由加密规则,得⇒9.设a=(,1),b=(x,-3),且a⊥b,则向量a-b与 b的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选D.因为a⊥b,所以a·b=x-3=0,解得x=,所以a-b=(0,4),所以(a-b)·b=-12,|a-b|=4,|b|==2,设向量a-b与b的夹角为θ,所以cosθ===-,所以θ=150°.10.已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P 满足||=1,则|++|的最小值是( )A.-1B.-1C.+1D.+1【解题导引】设点P(x,y),则动点P满足||=1可得x2+(y+2)2=1.根据|++|=,表示点P(x，y)与点Q(-,-1)之间的距离.显然点Q在圆C:x2+(y+2)2=1的外部,求得|QC|=,问题得以解决.【解析】选A.设点P(x,y),则动点P满足||=1可得x2+(y+2)2=1.根据++的坐标为(+x,y+1),可得|++|=,表示点P(x y)与点Q(-,-1)之间的距离.显然点Q在圆C:x2+(y+2)2=1的外部,求得|QC|=,|++|的最小值为|QC|-1=-1.11.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=( )A.2B.C.D.【解析】选D.因为=λ+μ=λ(+)+μ(+)=λ+μ=+，所以解得λ+μ=.12.将向量a1=(x1,y1),a2=(x2,y2),…,a n=(x n,y n)组成的数列称为向量列{a n},并定义向量列{a n}的前n项和S n=a1+a2+…+a n.如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量,那么称这样的向量列为等差向量列.若向量列{a n}是等差向量列,那么下述四个向量中,与S21一定平行的向量是( )A.a10B.a11C.a20D.a21【解题导引】可设每一项与前一项的差都等于向量d,运用类似等差数列的通项和求和公式,计算可得,S21=a1+a2+…+a21=21(a1+10d)=21a11,再由向量共线定理,即可得到所求结论.【解析】选B.由新定义可设每一项与前一项的差都等于向量d,S21=a1+a2+…+a21=a1+(a1+d)+…+(a1+20d)=21a1+(1+20)·20d=21(a1+10d)=21a11,即与S21平行的向量是a11.二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知程序框图如图所示,输出的y值为,则输入的实数x的值为________.【解题导引】算法的功能是求y=的值,分当x≥0时和当x<0时求得输出y=时的x值即可得解.【解析】由程序框图知:算法的功能是求y=的值,当x≥0时,y=(x+2)2=⇒x=-(舍去)或-(舍去);当x<0时,y=3x=⇒x=-2.答案:-214.如图，在矩形ABCD中，AB=AD，点Q为线段CD(含端点)上一个动点，且=λ，BQ交AC于P，且=μ，若AC⊥BP，则λ-μ=________.【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设AB=，则AD=1，B(，0)，C(，1).直线AC的方程为y=x，直线BP的方程为y=-x+3，直线DC的方程为y=1，由得Q，由得P，所以DQ=，QC=-DQ=，由=λ，得λ=2.由=μ，得=μ=μ，所以μ=3，所以λ-μ=-1.答案：-115.设函数f(x)=x+，A0为坐标原点，A n为函数y=f(x)图象上横坐标为n(n∈N*)的点，向量a n=，向量i=(1，0)，设θn为向量a n与向量i的夹角，则满足tanθk<的最大整数n是________.【解析】由题意知A n=(n，f(n))，又a n==，因为θn为向量a n与向量i的夹角，所以，tanθn==+，所以tanθ1=+=1，tanθ2=+=，tanθ3=+=，tanθ4=+=.因为1++=，1+++=，且<<，所以满足tanθk<的最大整数n是3.答案：316.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的n值为______.(参考数据:sin 15°=0.258 8,sin 7.5°=0.130 5)【解析】由程序框图可知:答案:24。