2017届全国高考大联考信息卷(2)理科数学试题

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合={|23,}B y y x x A =-∈，则AB =A ．{1,0,1}-B ．{1,1}-C ．{1,1,2}-D ．{0,1,2}2．已知复数1234,z i z t i =+=-,且21z z ⋅是实数,则实数t =A ．43 B ．34 C ．43-3-3．若(cos20,sin 20)a =，(cos10,sin190)b =, 则a b ⋅=A ．12B ．2C ．cos10D ．24．已知命题:p 存在,,a b 使得||||a b a b ⋅=⋅，命题:q 对任意的a c ，若a b a c ⋅=⋅，则b c =．则下列判断正确的是 A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∨⌝是假命题D ．命题()p q ∧⌝是真命题5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中 提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法． 如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的 一个实例，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为A ．66B ．33C ．16D ．86.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边 长为1，那么该四面体最长棱的棱长为A ．B ．．6 D ．7．在421)(1)x ⋅-的展开式中，x 项的系数为A ．－4B ．－2C ．2D ．48．已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列, 则3546a a a a ++的值是ACD9．有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为A ． 8B ．24C ．12D ．16 10．若将函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ最小时，tan ϕ= A．．11．已知双曲线Γ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为l ，圆C ：()228x a y -+=与l 交于A ，B 两点，若ABC V 是等腰直角三角形，且5OB OA =uu u r uu r（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为ABCD12． 若关于x 不等式xae x x x x ≤+-23ln 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．）+∞,[eB ．）+∞,0[C ．）+∞,1[eD ．）+∞,1[第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若目标函数2z kx y =+ 在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下仅在点()1,1处取得最小值，则实数k的取值范围____ __. 14．已知数列}{n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n n na +==∈++N ，若不等式2410n ta n n ++≥ 恒成立，则实数t 的取值范围是 ．15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F，(A ，抛物线C 上的点B 满足AB AF ⊥，且4BF =，则p = ．16．函数)2)(2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 的图像向左平移6π个单位长度后对应的函数是奇函数，函数()(2cos 2g x x =+．若关于x 的方程()()2f x g x +=-在）π,0[内有两个不同的解βα，，则()cos αβ-的值为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22a b ab λ+=．（Ⅰ）若λ=56B π=，求sin A ； （Ⅱ）若4λ=，AB，求角C ． 18. (本小题满分12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ； （Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ， 使得二面角C AF P --的余弦值是3．19．(本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．20．(本小题满分12分)已知1F 、2F 分别是双曲线1322=-y x 的左、右焦点，过1F 斜率为k 的直线1l 交双曲线的左、右两支分别于A 、C 两点，过2F 且与1l 垂直的直线2l 交双曲线的左、右两支分别于D 、B 两点．（Ⅰ）设点P ),00y x （是直线1l 、2l 的交点为，求证：32020y x +＞34；（Ⅱ）求四边形ABCD 面积的范围．21．(本小题满分12分) 已知函数()1xx f x e +=(e 为自然对数的底数)． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()()()1xx xf x tf x e ϕ'=++，存在实数1x ，[]20,1x ∈，使得()()122x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：33x t y t=-⎧⎨=+⎩ （t 为参数），曲线2C ：()2211x y +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线l ：()0θαρ=>分别交1C ，2C 于A ，B 两点，求OB OA的最大值．23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （Ⅰ）求证：22a b +=；（Ⅱ）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值．2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）理科数学答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C 7．D 8．A 9．C 10．B 11．D 12．B 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(4,2)- 14．[9,)-+∞ 15． 2或6 16．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由已知56B π=，22a b +=，结合正弦定理得：24sin 10A A -+=，于是sin A =．因为06A π<<，所以1sin 2A <，可得sin A =．（Ⅱ）由题意可知21sin 212ABC S ab C c ∆==，得：))221sin 2cos 42cos 2ab C a b ab C ab ab C =+-=-．cos 2C C +=，即sin 16C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为7666C πππ<+<，所以，3C π=． 18.（Ⅰ）证明：正三棱柱ADE BCF -中，AB ⊥平面ADE ， 所以AB AD ⊥，又AD AF ⊥，ABAF A =，所以AD ⊥平面ABFE ，AD ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面ABFE ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设正四棱锥P ABCD -的高为h ，2AE AD ==，则(0,0,0)A ，(2,2,0)F ，(2,0,2)C ，(1,,1)P h -，(2,2,0)AF =，(2,0,2)AC =，(1,,1)AP h =-．设平面ACF 的一个法向量111(,,)m x y z =， 则1111220,220,m AF x y m AC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取11x =，则111y z ==-，所以(1,1,1)m =--．设平面AFP 的一个法向量222(,,)n x y z =，则22222220,0,n AF x y n AP x hy z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取21x =，则21y =-，21z h =--，所以(1,1,1)n h =---． 二面角C AF P --所以cos ,3||||3m n m n m n ⋅<>===⋅，解得1h =．19．解：（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， ()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． （Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=， ∴平均保费与基本保费比值为1.23．20．解：（Ⅰ）由条件知，21PF PF ⊥，点P 在以21F F 为直径的圆上．所以42020=+y x ．因此32020y x +＞332020y x +＝34．…………………………………………4分（Ⅱ）由条件知，1l 、2l 的方程分别为)2(+=x k y 、)2(1--=x ky ．由⎩⎨⎧+==-)2(3322x k y y x ，得0344)3(2222=----k x k x k ． 由于1l 交双曲线的左、右两支分别于A 、C 两点，所以22334kk x x C A ---=⋅＜0，解得2k ＜3．……………………………………………………6分由⎪⎩⎪⎨⎧--==-)2(13322x k y y x ，得0344)13(222=--+-k x x k ． 由于2l 交双曲线的左、右两支分别于D 、B 两点，所以133422---=⋅k k x x D B ＜0，解得2k ＞31．因此，2133k <<，k 的取值范围是3,3⎛⎛ ⎝⎭⎝．………………………………8分 13)1(613344)134()1(1)1(122222222-+=---⨯---⋅-+=-⋅-+=k k k k k k x x k BD D B ．∴四边形ABCD 的面积)13)(3()1(18212222--+=⋅=k k k BD AC S [)18,∈+∞．所以，四边形A B面积的范围[)18,+∞．……………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R ，()xxf x e '=-， ∴当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，∴()f x 的单调递增区间为(),0-∞，单调递减区间为()0,+∞． （Ⅱ）假设存在1x ，[]20,1x ∈，使得使得()()122x x ϕϕ<成立， 则()()[]()min max 20,1x x x ϕϕ<∈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ． ∵()()()()211xxx t x x xf x tf x eeϕ-+-+'=++=，∴()()()()211x xx t x t x t x x e e ϕ-++---'==-． ①当1t ≥时，在[]0,1上()0x ϕ'≤，()x ϕ在[]0,1上单调递减， ∴()()210ϕϕ<，即312et >->. ②当0t ≤时，在[]0,1上()0x ϕ'≥，()x ϕ在[]0,1上单调递增， ∴()()201ϕϕ<，即320t e <-<.③当01t <<时，若[)0,x t ∈，()0x ϕ'<，()x ϕ在[)0,t 上单调递减；若(],1x t ∈，()0x ϕ'>，()x ϕ在(],1t 上单调递增，所以()()(){}2max 0,1t ϕϕϕ<，即132max 1,t t t e e +-⎧⎫⋅<⎨⎬⎩⎭，（＊） 由（Ⅰ）知，()12tt g t e +=⋅在[]0,1上单调递减， 故4122t t e e +≤⋅≤，而233t e e e-≤≤，所以不等式（＊）无解． 综上所述，t 的取值范围是(),323,2e e ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．22．解：（Ⅰ）曲线1C ：33x ty t=-⎧⎨=+⎩ （t 为参数），普通方程为6x y +=，极坐标方程为cos sin 6ρθρθ+=；曲线2C ：()2211x y +-=，即2220x y y +-=，∴2sin ρθ=； (4)分（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，304πα<< ， 则16cos sin ραα=+，22sin ρα=，…………………………………………………………………6分()()111sin cos sin sin 21cos 2213664OBOA παααααα⎤⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦………………8分当38πα=时，OB OA取得最大值)116．………………………………………………10分23．解：（Ⅰ）()222b bf x x a x b x a x x =++-=++-+-， ∵()222b b b x a x x a x a ⎛⎫++-≥+--=+ ⎪⎝⎭且02b x -≥，∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2ba +， ∴12ba +=，22a b +=； （Ⅱ）∵2a b tab +≥恒成立，∴()()222a a ta a +-≥-恒成立， ∴()223240ta t a -++≥恒成立，∴()232320t t +-≤，∴1922t ≤≤，实数t 的最大值为92．。