2018高考理科数学全国2卷_含答案解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(全国2卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.

31i

i

+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2.设集合{}1,2,4A =，{}

2

40x x x m B =-+=．若{}1A

B =，则B =（）

A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π

5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

，则2z x y =+的最小值是（）

A ．15-

B ．9-

C ．1

D ．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

9.若双曲线C:22221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2

224x y -+=所

截得的弦长为2，则C 的离心率为（）

A

．2 B

D ．

3

10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1

AB 与1C B 所成角的余弦值为（）

A

C

11.若2x =-是函数2

1`

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1 12.已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（） A.2- B.32-

C. 4

3

- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X =．

14.函数(

)23sin 4f x x x =+-

（0,2x π??

∈????

）的最大值是． 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

11

n

k k

S ==∑． 16.已知F 是抛物线C:2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17.（12分）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B A

C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）其频率分布直方图如下：

旧养殖法

/kg

O

/kg

新养殖法

O

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法

的箱产量不低于50kg ”,估计A 的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

19.（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠=E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求

二面角M -AB -D 的余弦值

20.（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，

过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =

.

(1) 求点P 的轨迹方程；

(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .

21.（12分）已知函数2

()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2

20()2e

f x --<<.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为

cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,

)3

π

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知3

3

0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）5

5()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)试题答案

一、选择题

1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

6.D

7.D

8.B

9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题

13. 1.96 14. 1 15. 2n

1

n + 16. 6 三、解答题 17.解：

（1）由题设及2

sin 8sin 2

A B C B π

π++==得，故

sin 4-cosB B =（1）

上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 17

1（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717==

得，故14

a sin 217

ABC S c B ac ?== 又17

=22

ABC S ac ?=，则

由余弦定理及a 6c +=得

2222

b 2cos a 2(1cosB)

1715362(1)

217

4

a c ac B

ac =+-=-+=-??+=（+c ）

所以b=2 18.解：

（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ” 由题意知()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为

0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++?（）

故()P B 的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为

0.0680.0460.0100.0085=0.66+++?（）

故()P C 的估计值为0.66

因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092?= （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

()2

2

2006266343815.705

10010096104

K ??-?=

≈???

由于15.705 6.635>

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为

()0.0040.0200.04450.340.5++?=<，

箱产量低于55kg 的直方图面积为

()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++?=>

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

0.5-0.34

50+

2.35kg 0.068

（）

≈5． 19.解：

（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．

因为E 为PD 的中点，所以EF AD ,12EF AD =

,由90BAD ABC ∠=∠=?得BC AD ∥，又1

2

B C A D

=

所以EF BC ∥．四边形BCEF 为平行四边形，CE BF ∥． 又BF PAB ?平面，CE PAB ?平面，故CE PAB ∥平面

（2）

由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

则(000)A ，，，(100)B ，，，(110)C ，，，(01P ，，

(10PC =，，,(100)AB =，，则

(x 1),(x 1BM y z PM y z =-=-，，，，

因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而(00)=n ，，1是底面ABCD 的法向量，所以

0cos ,sin 45BM =n

=

即（x-1）2+y 2-z 2=0

又M 在棱PC 上，设,PM PC λ=则

x ,1,y z λ===

由①，②得x x y y ????????????

??=-=????

=1+=1-22=1(舍去)，=1

z z 22

所以

M 1-,1? ??

，从而1-,1?= ??

AM

设()000,,x y z m =是平面ABM 的法向量，则

(

000020

0即00

??++

==???

?=??=??x y AM AB x m m

所以可取m =（0，

2）.于是cos 10=

=m n

m,n m n

因此二面角M-AB-D

20.解

（1）设P （x,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y

由2=

NP NM

得00=,=

x x y y 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22

122

+=x y

因此点P 的轨迹方程为222+=x y

（2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则

()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn ， ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n

由1=OP PQ 得22-31-+-=m m tn n ，又由（1）知22+=2m n ，故 3+3m-tn=0

所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解：

（1）()f x 的定义域为()0，

+∞ 设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1

1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x

若a =1，则()1

1-

g 'x =x

.当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0≥g x g 综上，a=1

（2）由（1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=-- 设()1

22ln ,则'()2h x x x h x x

=--=-

当10,2x ??∈ ??

?

时，()'＜0h x ；当1,+2

x ??∈∞ ???

时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2?? ??

?

单调递减，在1,+2

??∞ ???

单调递增

又()

()21＞0,＜0,102h e h h -??= ???

，所以()h x 在10,2?

? ??

?有唯一零点x 0，在1,+2

??

∞????

有唯一零点1，且当

()00,x x ∈时，()＞0h x ；当()0,1x x ∈时，()＜0h x ，当()1,+x ∈∞时，()＞0h x .

因为()()'f x h x =，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点 由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==-- 由()00,1x ∈得()01'＜

4

f x 因为x=x 0是f(x)在（0,1）的最大值点，由()()

110,1,'0e f e --∈≠得

()()

120＞f x f e e --=

所以()2-20＜＜2e f x - 22.解：

（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθ

ρ，M 的极坐标为()()1

1

，＞0ρθρ，由题设知

cos 14

=，=

ρρθ

OP OM = 由16OM OP =得2C 的极坐标方程()

cos =4＞0ρθρ 因此2C 的直角坐标方程为

()()2

2240x y x -+=≠

（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B B

ρα

ρ,由题设知

cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积

1

=

sin 2

4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρ

πααπα∠??

=-

?

????=--

???≤+

当=-12

π

α时，S 取得最大值

所以△OAB 面积的最大值为 23.解： （1）

()()

(

)

()

(

)

5

56556

2

33

3344

2

2

2

244

++=+++=+-++=+-≥a b a

b a ab a b b a b

a b ab a b ab a b

（2）因为

()()()()

()3

3223

2

3

3323+3+3+2+

+24

4

a +=+++=+≤=+

b a a b ab b ab a b a b a b a b

所以()3

+8≤a b ，因此a+b≤ .