高二数学直线与圆锥曲线同步测试2
直线与圆锥曲线测试题(含答案)
直线与圆锥曲线练习题一、选择题1.直线x =与椭圆2212y x +=的位置关系为 AA .相离B .相切C .相交D .不确定2.抛物线2y x =的切线中，与直线240x y -+=平行的是 D A .230x y -+= B .230x y --= C .210x y -+= D .210x y --=3.若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 CA .2B .3C .4D . 4.过椭圆22221(0)4x y a a a +=>的一个焦点F 作直线交椭圆于,P Q 两点，若线段FP 和FQ 的长分别为,p q ，则11p q+= AA .4a B .12aC .4aD .2a 5.若直线:1(0)l y kx k =+≠被椭圆22:14x y E m +=截得的弦长为d ，则下列被椭圆E 截得的弦长不是d 的直线是 DA .10kx y ++=B .10kx y --=C .10kx y +-=D .0kx y +=6.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 CA .(0,1]B .(0,5)C .[1,5)(5,)+∞D .[1,5)7.设1F ，2F ，为双曲线2214x y -=的两焦点，点P 在双曲线上，且满足12F PF π∠=，则△12F PF 的面积是 AA .1BC .2D 二、填空题8.AB 是抛物线2y x =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .结果：52.9．（08海南、宁夏）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 . 结果：3215.10.过椭圆22143x y +=的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于 . 结果：3.11.过抛物线24y x =的焦点F 做垂直于x 轴的直线，交抛物线,A B 两点，则以AB 为直径的圆的方程是 . 结果：22(1)4x y -+=.12.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围为 .结果：(23,23)-.13.已知P 是抛物线24y x =上一点，设P 到此抛物线准线的距离为1d ，P 到直线2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 .P 到抛物线准线的距离即为P 到焦点(1,0)F 的距离.过F 作直线2120x y +-=的垂线，其方程是2(1)y x =-，由2(1),2120.y x x y =-⎧⎨+-=⎩得垂足1622(,)55Q ，易知点Q 在抛物线外部，当P 点为线段FQ 和抛物线交点时，12d d +最小. 三、解答题14.过点(1,1)P -作直线与椭圆22142x y +=交于，两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和AB 线段的长度.结果：230x y -+=，||AB .15.设过椭圆2212516x y +=的左焦点的弦为AB ，是否存在弦长||6AB =的弦，试说明理由.16.设11(,)A x y ，22(,)B x y 为抛物线22(0)y px p =>上位于x 轴两侧的两点.（1）若122y y p =-，证明：直线AB 恒过一个定点； 结果：定点为(1,0).（2）若2p =，AOB ∠（O 是坐标原点）为钝角，求直线AB 在x 轴上的截距的取值范围． 结果：设直线:AB x my t =+，则04t <<.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为e ．直线:l y ex a=+与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，点M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM AB λ=.（1）证明：21e λ=-；（2）若34λ=，△12MF F 的周长为6，写出椭圆C 的方程. 结果：22143xy +=. 18.已知抛物线2:C y x =与直线:34l y kx =+，试问C 上能否存在关于直线l 对称的两点？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.解1：（利用点在抛物线内构造不等式）假设C 上否存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线l 对称，设线段AB 中点为00(,)M x y ，由点差法求得02y k =-，进而01234x k =--，因点M 在抛物线内，故020y x <，故实数k 存在，范围为10k -<<.解2：（利用判别式构造不等式）设AB 方程为1y x bx k=-+联立消元得20y ky kb +-=，240k kb ∆=+>，设线段AB 中点为00(,)M x y ，12022y y y k +==-，由点00(,)M x y 在直线:3l y kx =+上，001(34)x y k=-，又00(,)M x y 在直线AB 上，得00213224x k b y k k k =+=---，代入240k kb ∆=+>整理得2320k k++<，解得10k -<<.19．如图1，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上顶点为A，左顶点为B F，为右焦点，离心率e=，过F作平行于AB的直线交椭圆于C D，两点，作平行四边形OCED，求证：E在此椭圆上．解：椭圆焦点(0)F c，，ABbka=，直线CD的方程为()by x ca=-，代入椭圆方程22221x ya b+=，得22220x cx b--=．设1122()()C x yD x y，，，，则12x x c+=，CD中点G的坐标为22c bca⎛⎫-⎪⎝⎭，．bcE ca⎛⎫-⎪⎝⎭，∴．cea==∵，a=∴．将点E的坐标代入椭圆方程2222222221c b c ca ab a+==满足，∴点E在椭圆上．20.直线:1l y kx=+与双曲线22:21C x y-=的右支交于不同的两点A，B.（1）求实数k的取值范围；结果：2k-<<（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在求出k的值；若不存在，说明理由.存在k=.21．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>， 将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，， 这也是双曲线的一个焦点，则1c =． 又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，因此有229614a b -=． 又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，，因此，双曲线的方程为224413y x -=．。
高二必修数学同步训练题第二章圆锥曲线
高二必修数学同步训练题第二章圆锥曲线高中最重要的阶段，大家一定要掌握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了14年高二必修数学同步训练题，希望对大家有协助。
1.从球外一点引球的切线，那么()A.可以引有数条切线，一切切点组成球的一个大圆B.可以引有数条切线，一切切点组成球的一个小圆C.只可以引两条切线，两切点的连线过球心D.只可以引两条切线，两切点的连线不过球心【解析】依据球的切线性质知B正确.【答案】 B2.球的半径R=6，过球外一点P作球的切线长为8，那么P 点到球面上恣意一点Q的最短距离为()A.3B.4C.5D.6【解析】设点P到球心的距离为d，那么d=62+82=10.PQ的最短距离为10-6=4.【答案】 B3.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图2-1-4所示，那么截面图能够是()图2-1-4A.①③B.②③C.①④③D.①②③【解析】依据截面的位置不同，可失掉的截面外形能够是①②③，但不能够为④，应选D.【答案】 D4.三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=2r，那么球的体积与三棱锥体积之比是()A. B.2C.3D.4【解析】如下图，由题意知OA=OB=OS=r，易知△ACB为直角三角形，所以V球V锥=43r313122r2r=4.【答案】 D二、填空题5.假定三棱锥的三个正面两两垂直，且侧棱长均为3，那么其外接球的外表积是________.【解析】三棱锥的三个正面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，那么有(2R)2=(3)2+(3)2+(3)2=9，外接球的外表积为S=4.【答案】 96.如图2-1-5所示，球O的面上四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，那么球O的体积等于________. 图2-1-5【解析】∵DA平面ABC，BC平面ABC，AC平面ABC，DABC，DAAC.又BCAB，ABDA=A，BC平面ABD，BCDB，那么DC的中点即为球心O.又DA=AB=BC=3，AC=6，DC=3，球O的体积V球=43(32)3=92.【答案】 92查字典数学网小编为大家整理了14年高二必修数学同步训练题，希望对大家有所协助。
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案
圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.A. 2B. 12 C. 2 D.14．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条A. 1B.2C. 3D.45．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A 02=-y xB 042=-+y xC 01232=-+y xD 082=-+y x7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对8．方程02=+ny mx )0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）B 二、填空9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .10．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 11、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 。
沪教版高二下册数学圆锥曲线同步测试二级第二学期
高二数学同步测试：圆锥曲线综合一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为 （ ）A ．45B ．25C ．32D ．452．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82= B ．y x 82-= C ．y x 162= D ．y x 162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12 ,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是 （ ） A ．π22 B ．π C ．π)21(+ D ．π2)221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 （ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是 （ ）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y x D ．1622=+y x 7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为（ ）A ． 1B ．2C ．2D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值 （ ）A ．21B ．33C ．23 D ．39．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 （ ） A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________．12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有 个.13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F （1） 求△21PF F 的面积；（2） 求P 点的坐标．（12分）16．已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）17．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．（12分）y P O x A B18．如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P （）（），作两条直线分别交抛物线于A （），B （22,y x ）．（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.（12分）19．如图，给出定点A(a , 0) (a >0)和直线: x = –1 . B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C . 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.（14分）20．椭圆C 1：2222by a x +=1(a >b>0)的左右顶点分别为A 、B.点P 双曲线C 2：2222b y a x -=1在第一象限内的图象上一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于C 、D 点.若△ACD 与△PCD 的面积相等．（1）求P 点的坐标；（2）能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+y x 12．3022<+<n m , 2 13．)2,321( 14． 25三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P 16．（12分）[解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）yPO xAB∵M 是FQ 的中点，∴ 22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴221212y y x x ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y .17．（12分）[解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,41(的抛物线；（2）当10<<a 时，11)1()1(22222=-+---a a y aaa a x ，表示焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，11)1()1(22222=-----a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-a y a x ． 又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x .（2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此⎪⎩⎪⎨⎧>--<->∆012012022m mm且，解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22mm m --， ∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x m m y ． 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．18．（12分）[解析]：（I ）当时， 又抛物线的准线方程为由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258--=()（2）设直线PA 的斜率为，直线PB 的斜率为由，相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-,故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()同理可得k py y x x PB =+≠22020(),由PA ，PB 倾斜角互补知即221020p y y p y y +=-+,所以, 故y y y 1202+=- 设直线AB 的斜率为,由y px 2222=，y px 1212=,相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以ky y x x py y x x AB=--=+≠212112122(), 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以是非零常数.19．（14分）[解析]：设B （－1，b ），OA l ：y=0, OB l :y=－bx,设C （x ,y ），则有x ≤0<a ，由OC 平分∠BOA ，知点C 到OA ，OB 距离相等，21b bx y y ++=∴①及C 在直线AB: ()a x ab y -+-=1②上，由①②及a x ≠得，得[]0)1(2)1(222=++--y a ax x a y 若y=0,则b=0 满足0)1(2)1(22=++--y a ax x a .20．（14分）[解析]：（1）设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，又有点A(－a ,0),B(a ,0). ,PCD ACD S S ∆∆=).2,2(,00y a x C AP C -∴∴的中点为得点坐标代入椭圆方程将,C 4)(220220=+-b y a a x ， 又1220220=-by a x 5)(220220=+-⇒a x a a x ，b y a x a x 3),(2000=∴-==∴舍去，)3,2(b a P ∴. （2）,300a b a x y K K PB PD =-== :PD 直线)(3a x a b y -=代入12222=+b y a x 03222=+-⇒a ax x )(2舍去a x ax D D ==∴，)23,2(),2,2(00b a C y a x C 即-∴∴CD 垂直于x 轴.若CD 过椭圆C 1的右焦点，则.27,23,22222=+=∴=∴-=a b a e a b b a a 故可使CD 过椭圆C 1的右焦点，此时C 2的离心率为27.。
高二数学直线与圆锥曲线试题
高二数学直线与圆锥曲线试题1.已知集合（1）若，求的概率；（2）若，求的概率.【答案】（1） (2)【解析】（1）因为x，y∈Z，且x∈[0，2]，y∈[-1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率．（2）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x，y∈Z，求x+y≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率.试题解析：（1）设为事件，，即，即.则基本事件有：共个，其中满足的基本事件有个，所以.故的概率为.(2)设为事件，因为，则基本事件为如图四边形区域，事件包括的区域为其中的阴影部分.所以，故的概率为.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）求出抛物线的焦点和准线方程，设直线方程是，代入拋物线方程，运用韦达定理，结合拋物线方程，即可得证；（2）运用拋物线的定义和韦达定理，计算即可得到定值；（3）求出的中点坐标，以及的长，求得圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：即可得证.试题解析：(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y＝2px1，y＝2px2，所以y y＝4p2x1x2，所以x1x2＝＝＝.(2)＋＝＋＝.因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得＋＝＝ (定值).(3)设AB的中点为M(x0，y)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝ (|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切3.已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于两点，为原点.①求证：；②设、分别与椭圆相交于、两点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明:为定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）根据椭圆过定点以及椭圆的离心率可得，解得的值，由椭圆的定义可得的值，将的值代入椭圆方程即可得答案；（2）①设过椭圆的上顶点的直线的方程为，与抛物线方程联立，设出点的坐标，由根与系数的关系分析计算的值，由向量数量积的性质可得证明；②直线与抛物线联立，由韦达定理及平面向量数量积公式可得，的等量关系，结合点到直线距离公式可得结果.试题解析：(1) ，所以，又，解得，，所以椭圆的方程为（2）①证明：设、，依题意，直线一定有斜率，的方程为，联立方程消去得，，又，，②证明：设、，直线的方程为，，，，联立方程消去得，，，而由得，即. 所以为定值.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.4. 已知椭圆：，曲线上的动点满足：.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，第一象限的点分别在和上，，求线段的长.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)由已知，动点到点，的距离之和为，且，根据椭圆的定义求出曲线的方程;(2)两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为,分别联立直线AB 与曲线和,得出点A,B 的坐标,根据两点间的距离公式求出弦长即可. 试题解析: （1）由已知，动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，故椭圆的方程为.（2）解：两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以， 将代入中，得，所以，又由，得，即，解得，故.5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一个交点为D ，若，则直线CD 的斜率为_____． 【答案】 【解析】，可得，可设设D （m ，n ），即有，即为，即有k BD •k CD ==﹣，由即有．故答案为．【点睛】本题考查椭圆的方程的运用，同时考查直线的斜率公式的运用，对学生运算能力要求较高.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】设右焦点F（c，0），将直线方程代入椭圆方程可得，可得由可得，即有化简为，由，即有，由故答案为．7. AB为过椭圆的中心的弦，F（C,0）为一个焦点，则的最大面积是( ) A．ab B．bc C．ac D．【答案】B【解析】△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A到x轴的距离为 h，由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为 h，∴△AOF 和△BOF 的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故选B．8.已知中心在原点的椭圆，右焦点，且过．（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．【答案】(1);(2) .【解析】（1）根据题目条件右焦点，且过代入椭圆方程即可（2）设斜率为2的弦所在直线的方程为，联立直线与椭圆方程解得消去参量即可求出轨迹，注意取值范围解析：(1)设椭圆方程为=1，∵椭圆过（，0），∴=1，即=3，∴椭圆方程为=1．（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则y="2x+b" 且=1得，∴，即x=，y=，两式消掉b得 y=x．又弦的中点在椭圆内部，所以故平行弦中点轨迹方程为：y=x（）．9.已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点，在曲线上，若直线，的斜率分别是，，满足，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分析条件可得圆心满足条件>，从而可得曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程消去x整理得到关于y的方程，进一步可得，由可求得，从而，从而可得，从而可得三角形面积的最大值。
高二数学北师大选修同步精练：第二章 直线和圆锥曲线的参数方程
直线的参数方程练习1直线3sin20,cos20x ty t=+︒⎧⎨=︒⎩(t为参数)的倾斜角是( )．A．20° B．70°C．110° D．160°2直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x－y－2＝0于点M，则|MM0|等于( )．A＋1 B．＋1)C．6．＋13直线23,1x ty t=+⎧⎨=-+⎩(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )．A．1 B．10 D．4过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则弦AB的长是( )．A．16 B．3 C．163D．3165直线12,2112x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t为参数)与圆x2＋y2＝1有两个交点A，B，若点P的坐标为(2，－1)，则|PA|·|PB|＝__________.6过点(6,7)，倾斜角的余弦值是2的直线l的参数方程为__________．7已知直线l经过点P(1，-，倾斜角为π3，求直线l与直线l′：y＝x－的交点Q与点P的距离|PQ|.8已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角π6α=.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于点A和点B，求点P到A，B两点的距离之积．参考答案1答案：B 将=cos20y t ︒代入x ＝3＋t sin 20°，得x ＝3＋y tan 20°，即x －y tan 20°－3＝0.设直线的倾斜角为α，则tan α＝1tan20︒＝tan 70°. 又α∈[0，π)，∴α＝70°. 2答案：B 由题意可得直线l的参数方程为1=1,2=52x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩(t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t－5⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭－2＝0，解得t ＝－1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝＋1)．3 答案：B 将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点的坐标为(2，－1)和(5,0)，由两点4 答案：C 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，又倾斜角为π3，所以弦AB 所在直线的参数方程为1=1,2x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)．代入抛物线方程y 2＝4x得到21=4122t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得3t 2－8t －16＝0. 设方程的两个实根分别为t 1，t 2，则有12128=316=.3t t t t ⎧+⎪⎪⎨⎪⋅-⎪⎩，所以|t 1－t 2|163. 故弦AB 的长为163. 5答案：4 把直线的参数方程代入圆的方程， 得221121=122t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |，|PB |∴|PA |·|PB |4.6答案：=61=72x y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)∵cos =2α，∴1sin =2α.∴=621=72x y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)．7答案：分析：根据题意写出l 的参数方程，代入l ′的方程求出t 的值，再利用其几何意义求出距离．解：∵l 过点P (1，-，倾斜角为π3， ∴l的参数方程为π=1cos ,3π=sin 3x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(t 为参数)，即1=1,2=2x t y t ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩(t 为参数)．代入y ＝x－1=1+22t t -- 解得t ＝4＋即t＝4为直线l 与l ′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t |＝|PQ |，∴|PQ |＝4＋8 答案：分析：利用定义求出参数方程，再利用t 的几何意义求出距离之积．解： (1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角π=6α，所以直线l的参数方程为=121=12x y t ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，(t 为参数)． (2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得 (1)2＋(1＋12t )2＝4，整理，得t 2＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2.。
人教版数学高二B版选修2-1学业测评 直线与圆锥曲线
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝4，∴k ＝2(k ＝－1舍去)． 【答案】 C2．已知双曲线C ：x 2－y24＝1，过点P (1,2)的直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．【答案】 B3．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( )【导学号：15460053】A. 5 B ．4 2 C ．3D ．5【解析】 ∵抛物线y 2＝12x 的焦点为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.【答案】 A4．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1【解析】 C 1的焦点为(±m 2－1，0)，C 2的焦点为(±n 2＋1，0)， ∵C 1与C 2的焦点重合， ∴m 2－1＝n 2＋1，∴m 2＝n 2＋2，∴m 2>n 2.∵m >1，n >0，∴m >n . ∵C 1的离心率e 1＝m 2－1m ，C 2的离心率e 2＝n 2＋1n ，∴e 1e 2＝m 2－1m ·n 2＋1n＝(m 2－1)(n 2＋1)mn ＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2n 2＝(n 2＋1)2(n 2＋2)n2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n2>1＝1. 【答案】 A5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若FA ＝2FB ，则k 等于( )A.13 B ．23 C ．23D ．223【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4.①∵FA ＝x 1＋p 2＝x 1＋2，FB ＝x 2＋p2＝x 2＋2， 且FA ＝2FB ，∴x 1＝2x 2＋2.② 由①②得x 2＝1，∴B (1,22)， 代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223. 【答案】 D 二、填空题6．若直线x －y －m ＝0与椭圆x 29＋y 2＝1有且仅有一个公共点，则m ＝________.【导学号：15460054】【解析】 将直线方程代入椭圆方程，消去x ，得到10y 2＋2my ＋m 2－9＝0， 令Δ＝0，解得m ＝±10. 【答案】 ±107．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．【解析】 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0. ∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.∴|AB |＝423，∴|F 1A |＋|F 1B |＝4a －|AB |＝42－423＝823. 【答案】8238．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．【解析】 直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.【答案】 3三、解答题9．如图2-5-1所示，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .图2-5-1(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2. 将其代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1)． 因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 10．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. ∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0， ∴－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5.∵－52≤m ≤52， ∴0≤m 2≤54，∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.1．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，则PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2 【解析】 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|·h (h 为F 1F 2边上的高)， 所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值， 此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 故选D. 【答案】 D2．过椭圆x 26＋y 25＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y ＋13＝0B ．5x ＋3y ＋13＝0C ．5x －3y －13＝0D ．5x ＋3y －13＝0【解析】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x 21＋6y 21＝30，5x 22＋6y 22＝30，两式作差可得5(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－6(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，① 又弦的中点为(2，－1)， 可得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，② 将②代入①式可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝53，故直线的方程为y ＋1＝53(x －2)， 化为一般式为5x －3y －13＝0，故选C. 【答案】 C3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则AB 的最大值为________.【导学号：15460055】【解析】 法一 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋t )2＝1，整理得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. ∵Δ＝64t 2－80(t 2－1)>0， ∴－5<t < 5.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－8t5，x 1·x 2＝4(t 2－1)5. ∴AB ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤6425t 2－4×4(t 2－1)5 ＝－32t 2＋16025.当t ＝0时，AB 最大，即AB 最大值＝4105.法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y ＝x 代入x 24＋y 2＝1得交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫255，255和B ⎝⎛⎭⎪⎫－255，－255， 故AB ＝4105. 【答案】41054．(2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB→＝8，求k 的值． 【解】 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1， 解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433， 解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)， 所以AC →·DB →＋AD →·CB→＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝±2.。
高二数学人教B选修同步练习直线与圆锥曲线
2.5直线与圆锥曲线一、选择题1．若不论k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－2,2)D ．[－2,2][答案] B[解析] 由题意可知，直线所过的定点(2，b )应在双曲线上或内部，即y 2≤x 2－1，∴b 2≤3，∴－3≤b ≤ 3.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则|AB |的值为( ) A.837 B.163 C.83 D.1637 [答案] B[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F 为(1,0)，过F 且倾斜角为π3的直线方程为y ＝3(x －1)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)y 2＝4x 得关于x 的一元二次方程3x 2－10x ＋3＝0.①设交于A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)两点．则x 1x 2是①的两根．有x 1＋x 2＝103.|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.故选B.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2 [答案] B[解析] 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得 6sin 2θ＝12，∴sin θ＝22.∴θ＝π4或34π.故选B. 4．(2009·山东烟台4月)已知抛物线y 2＝4x 上一点P (x 0，y 0)，若y 0∈[1,2]，则|PF |的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤14，1B.⎣⎡⎦⎤54，2C ．[1,2]D ．[2,3][答案] B[解析] ∵y 0∈[1,2]，∴x 0∈⎣⎡⎦⎤14，1，由定义|PF |＝1＋x 0∈⎣⎡⎦⎤54，2.故选B.5．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1有两个不同的交点，则m 的范围是() A ．－5<m <5 B ．m <－5，或m > 5C ．m < 5D ．－5<m < 5[答案] D[解析] 将y ＝x ＋m 代入x 24＋y 2＝1，有5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，得m 2<5，∴－5<m < 5.6．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，43)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－43，－13)[答案] C[解析] 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧ x 214＋y 212＝1x 224＋y 222＝1，两式相减得14(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0y 1－y 2x 1－x 2＝－14(x 1＋x 2)12(y 1＋y 2)＝k ∴－x 02y 0＝1，又y 0＝x 0＋1 ∴x 0＝－23，y 0＝13. 7．以双曲线y 2－x 23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．x 2＋(y －2)2＝4[答案] D[解析] 双曲线焦点在y 轴上，离心率e ＝2，∴圆心在y 轴上，半径R ＝2.故选D.8．(2009·浙江)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C.5 D.10[答案] C[解析] 由已知，直线方程为x ＋y －a ＝0，两渐近线为x a ±y b ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －a ＝0bx －ay ＝0得x B ＝a 2a ＋b . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －a ＝0bx ＋ay ＝0得x C ＝a 2a －b . ∵AB →＝12BC →，∴2(x B －x A )＝x C －x B ， ∴3x B ＝2x A ＋x C ，∴3a 2a ＋b ＝a 2a －b＋2a ，解得b ＝2a ， ∴c 2＝a 2＋b 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 故选C.9．已知a >b >0，e 1与e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．一定是正值B ．一定是零C ．一定是负值D ．符号不确定[答案] C[解析] ∵e 1＝a 2－b 2a，e 2＝a 2＋b 2a， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b 2a 22<1.∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1·e 2)<0.故选C.10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( ) A.54B.52C.32D.54[答案] B [解析] 椭圆离心率e ＝32，即c a ＝32⇒a 2－b 2a 2＝34，∴b 2a 2＝14，则1＋b 2a 2＝54. ∴双曲线的离心率为e ′＝52.故选B. 二、填空题 11．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值等于______． [答案] 4 [解析] 由已知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0与F 2(2,0)重合，∴p 2＝2，∴p ＝4. 12．点M (5,3)到抛物线x 2＝ay (a >0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是______．[答案] x 2＝12y[解析] ∵抛物线x 2＝ay (a >0)的准线方程为y ＝－a 4，∴a 4＋3＝6，∴a ＝12， ∴抛物线方程为x 2＝12y .13．双曲线x 2－y 2＝9被直线x －2y ＋1＝0截得的弦长为________．[答案] 4335 [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝9x －2y ＋1＝0，3y 2－4y －8＝0 y 1·y 2＝－83，y 1＋y 2＝43. l ＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2＝5·169＋323 ＝4335. 14．(2008·全国Ⅰ)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．[答案] 2[解析] 把抛物线方程改写为x 2＝1a(y ＋1)得顶点(0，－1)，又原点为焦点， ∴1a＝4， ∴抛物线x 2＝4(y ＋1)与x 轴交于两点(2,0)，(－2,0)．∴所求面积为12×4×1＝2. 三、解答题15．直线l ：y ＝2x ＋1与抛物线y 2＝12x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求线段AB 的长．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1，y 2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0， 由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)(22－4×14)＝15. 16．过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点F 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，椭圆的中心为O ，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．[解析] 过椭圆焦点F (1,0)的直线l 垂直于x 轴时，可知此时△AOB 的面积等于22. 当l 不垂直x 轴时，可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．因为|OF |是定值1，所以△AOB 的面积可以用12×1×|y 1－y 2|(其中y 1，y 2是A ，B 的纵坐标)来计算． 将y ＝kx －k 代入x 22＋y 2＝1，消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －k 2＝0. 由根与系数的关系可得(y 1－y 2)2＝8k 4＋8k 2(2k 2＋1)2 ＝2－2(2k 2－1)2<2. 可以看出|y 1－y 2|<2，此时△AOB 的面积小于22，所以直线l 的方程为x ＝1或x ＝－1. 17．(2010·湖北文，20)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[分析] 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力．[解析] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)化简得y 2＝4x (x >0)(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，此时Δ＝16(t 2＋m )>0. 于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t y 1·y 2＝－4m ① 又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－(y 214＋y 224)＋1<0⇔(y 1y 2)26＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0， 即3－22<m <3＋2 2由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任意一直线，都有F A →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．18．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)，(O 为原点)(1)求双曲线C 的方程．(2)若直线l 1：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得 (1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， 即k 2≠13且k 2<1.① 设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而 x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0. 解此不等式得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1. 故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．。
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安陆一中高二数学同步测试 直线与圆锥曲线（二）一．选择题：(4*10=40)１、 6-=a 是直线()031:1=--+y a ax l 和直线()()02321:2=-++-y a x a l 垂直的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既非充分也非必要条件２、已知直线012:=+-y x l 与过点()()3,5,1,2B A -的直线交于P 点，则P 分有向线段AB 的比为 （ ）A 43±B 43C 43-D 23-3、直线1l 在x 轴、y 轴上的截距分别是3和1，直线2l 的方程是01=+-y ax ，若直线2l 到1l 的角是︒45，则a 的值为 （ ）A 1-B 2- C21 D 2-和214、若方程036=++-+k y x y x 仅表示一条直线，则k 的取值范围是（ ）A(]3,∞-B (]30,=∞-k 或C 3=kD ()30,=∞-k 或５．已知)62,5(),62,5(y x b y x a-==，双曲线1=⋅b a 上一点M 到F （7,0）的距离为11，N是MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜＝（ ）A 、211 B 、221 C 、21 D 、22121或6、已知)0,3(),0,3(21F F - 是椭圆122=+nymx的两个焦点，Ｐ是椭圆上的点，当2121,32PF F PF F ∆=∠π的面积最大，则有（ ）A 3,12==n mB 6,24==n mC 6,12==n mD 23,6==n m7、已知圆锥曲线4m 4y mx 22＝+的离心率e 为方程02522=+-x x 的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为 ( )A 1B 2C 3D 48、双曲线Ｃ的一个顶点到相应的准线的距离与这个顶点到另一个焦点的距离之比为m ，则m 的取值范围是（ ）A ()1,0B ()223,0- C ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ⎪⎭⎫⎝⎛-223,219、. 如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -的侧面1AB 内有一动点P 到直线11B A 和直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线形状为 （ ）C D10、过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于B A ,两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率等于 （ ）A32 B 22 C 21 D 3211、已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )ααββ==a b ，a 与b 的夹角为60 ，则直线 021sin cos =+-ααy x 与圆21)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置是（ ）A 相切B 相交C 相离D 随βα,的值而定12、已知点P 在双曲线1bya x2222＝－的右支上，21,F F 是双曲线两个焦点，则△21F PF 的内切圆的圆心的横坐标是（ ）A a c -B aC b c -D b 填空题：(4*5=20)13、与圆()2222=-+y x 相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 。
14、圆锥曲线C 的一个焦点是()1,0F ，相应的准线方程为01=+y ，且曲线C 经过点()3,2，则曲线C的形状是 。
15、13、Ｅ，Ｆ是椭圆12422=+yx的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点Ｐ在l 上，则角EPF ∠的最大值是 。
16、正三角形ABC 中，AC AB E D ,,分别是的中点，则以C B ,为焦点且过E D ,的双曲A 1 A 1 A 1 A 1 ABCD A 1B 1C 1D 1线的离心率是 。
三、解答题：(5*8=40)17、直线l 经过两条直线1l ：0852=+-y x 和2l 01232=-+y x 的交点，且分这两条直线与x 轴围成的面积为2:3两部分，求直线l 的一般式方程。
18、设直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于 直线0=+y x 对称，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示平面区域的面积。
19、如果探照灯的轴截面是抛物线x y =2（如图），表示平行于对称轴0=y 的光线经抛物线上的点Q P ,的反射情况，设点P 的纵坐标为a ，当a 取何值时，从入射点P 到反射点Q 的光线路程PQ 最短？20、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为22，21,F F 为其焦点，一直线过点1F 与椭圆相交于B A ,两点，且AB F 2 的最大面积为2，求椭圆的方程。
21、设抛物线x y 82，若椭圆C 的左焦点F 和相应的准线l 分别与抛物线的焦点和准线重合。
椭圆的短轴的一个端点为B ，且线段BF 的中点M 到定点)0,(m 的距离的最小值为3，试求实数m 的值以及此时的椭圆方程。
22、已知椭圆14222=+yx与射线y ＝x 2（x )0≥交于点A ，过A 作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B 和点C 。
（1）求证：直线BC 的斜率为定值，并求这个定值。
（2）求三角形ABC 的面积最大值。
直线与圆锥曲线（二）参考答案一、选择题：1、A2、C3、B4、D5、B6、A7、C8、B9、C 10、D 11、C 12、B 二、填空题：13、4,+-=±=x y x y 14、椭圆 15、6π16、31+三、解答题：17：解:由⎩⎨⎧=-+=+-012320852y x y x得两直线交点的坐标)25,49(P ， 又由题意知S 1：S 2=2：3或3：2所以2332或=MBAM 由A （－4,0），B （6,0M(0,0)或M （2,0），所以所求直线的方程就是经过P 和M 两点的直线方程所以所求直线的一般式方程是020100910=--=-y x y x 或18： 解：由题意直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于直线0=+y x 对称，则1+=kx y 与0=+y x 两直线垂直，可求出m k ,，又不等式组所表示的平面区域应用线线规划去求，易得面积为4119、解:设),(2a a P ，则直线PQ 方程为：)41(412--=x a a y ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=xy x a a y 22)41(41 得121161),41,161(222≥++=∴-a a PQ a a Q ，当且仅当21,16122==a aa当入射点)21,41(，反射点)21,41(-时PQ 最短。
20、解：由e ＝22得1:1:2::=c b a ，所以椭圆方程设为22222c yx =+设直线c my x AB -=:，由⎩⎨⎧=+-=22222cy x c my x 得：02)2(222=--+c mcy y m0)1(8)22(4)2(4422222222>+=+=++=∆m c m c m c c m设),(),,(2211y x B y x A ，则21,y y 是方程的两个根由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222221221m c y y m mc y y 所以21224)(222122121++=-+=-m m c y y y y y ycc y y F F S ABF 222121212∙=-=∆2122++m m ＝222222212211122c c m m c =∙≤+++当且仅当0=m 时，即x AB ⊥轴时取等号 1,222==∴c c所以，所求椭圆方程为1222=+yx21、解：已知焦点)0,2(F ，准线2-=x ，设椭圆半焦距为c ，半短轴长为b ，椭圆中心)2,22(),,2(),0,2(b c M b c B c ±+∴±++，又,42=-c ca即c b 42=[]52)3(241)22(4)22(22222-+--=+--=+--=m m c c c m bc m AM①当03>-m 即3>m 时，此时)3(2-=m c 3522min=-=m AM12,8,2,422====∴a b c m②当03≤-m 时，即3≤m ，此时由于0>c ，所以2AM 无最小值。
所以，所求,4=m 此时椭圆方程为1812)4(22=+-yx 。
22、解：（！）由题意得)2,1(A ，设AB 的斜率为k ，则AC 的斜率为－k所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-42)1(222y x x k y 代入得22212222k k k x x +-=+，又11=x ∴222222+--=kk kx B 同理222222+-+=kk kx C222=---++-=--=CB C B CB C B BC x x k kx k kx x x y y k 为定值（1）设BC 方程为m x y +=2 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y 得 0422422=-++m mx x 得2214.3mBC -=A到BC 的距离为3m d =所以2)8(42)214(21214212122222≤-=-=-=∙=∆m m m m mmd BC S当228m m -=时，即42=m 时“＝”成立，此时0>∆成立。