2013—2014学年(下期)期末考试高中二年级

2013—2014学年（下期）期末考试高中二年级（理科）数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
1.D （A ）
2.B
3.D
4.C
5.C
6.A
7.D
8.A
9.B 10.C 二、填空题：
11. 7 12．720
13．[0，π4]∪[3π
4，π) 14．[3，4] 15．[1，＋∞)
三、解答题： 16．解：（1）通项公式
T r ＋1＝C r n x
n －r 3(－12)r x －r 3＝C r n (－12)r x n －2r
3
，因为第6项为常数项，则r ＝5时， 有n －2r 3
＝0，所以n ＝10 (6)
分
（2）令n －2r 3＝2，得r ＝1
2
(n －6)＝2，
所以所求的系数为C 2
10(－12)2＝454
(12)
分
17．解：（1）∵f (x )为奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3
－bx －c ，∴c ＝0，
∵f ′(x )＝3ax 2
＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12，
又直线x －6y －7＝0的斜率为1
6
，因此，f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，
∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0 ……………………………6分 （2）单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2 ……………………………12分
18.解:（1）证明:因为90BAD ∠=,所以AD AB ⊥,又因为C B AD '⊥且AB
C B B '=,
所以AD ⊥平面C AB ',因为AC '⊂平面C AB ',所以AD AC '⊥ ……………………4分 （2）因为△是等边三角形,,90AB AD BAD =∠=,不防设1AB =,则
BC CD BD ===,又因为,M N 分别为,BD C B ' 的中点,由此以A 为原点,
,,AB AD AC '所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz - ……………………6分
则有()()()()11110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,,,0,,0,
2222A B D C M N ⎛⎫⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以1111(,,0),(,0,)2222
AM AN == 设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =.则
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅00m AN m AM 即1102211022
x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1, 1.x y z ===-则所以(1,1,1).m =--
又平面ABM 的一个法向量为=n (0,0,1) 所以, ,33
3
1),cos(-=-
n m 所以二面角N AM B --……12分
19.解:（1）ξ 的可能取值为0、1、2、3.
()()0312
013
341141120.155********
P C P C ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()2130
2333414841642.35512555125P C P C ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ξ∴的分布列为
……………………6分
（2）设所有满足条件60n m ≥+的事件为
A
①满足0m =且60n =的事件数为:11
21734A A =； ②满足0m =且90n =的事件数为:1121530A A =； ③满足30m =且90n =的事件数为:1161590A A =。

∴()2
4034309077
780
P A A ++=
=
所以满足条件60n m ≥+的事件的概率为77
780
…………………… 12分 20．解（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A B C D 中，
因为11A B ⊥面11A D DA ， 所以111A B AD ⊥．
在矩形11A D DA 中，因为12AA =AD=，
所以11AD A D ⊥． 所以1AD ⊥面11A B D ． …………………………6分 （Ⅱ）如图，在长方体1111ABCD-A B C D 中，以1D 为原点建立空间直角坐标系1D xyz -．依题意可知，
11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2)D A D ，(2,0,2)A ，
).2,2,0(),2,3,0(),0,3,2(),0,3,0(11E C B C 假设在棱1AA 上存
在点P ，使得DP ∥平面1B AE ．设点P (2,0,)y ，则
(2,0,-2)DP y =，(0,0,-2)AP y =．易知
)0,2,2(),2,1,2(1-=--=AE E B ．
设平面1B AE 的一个法向量为(,,)a b c =n ，则10
B E =AE =⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n n ，即
⎩⎨
⎧=+-=+--0
220
22b a c b a ．)3,2,2(=n ,因为DP ∥平面1B AE ，等价于0DP ⋅=n 且DP ⊄平面1B AE ．得0)2(34=-+y ，所以23y =
．所以4(0,0,-)3AP =，4
3
AP =，所以AP 的长为4
3
． ……………………13分
21.解（1）因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，
所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=， ……………………………2分
又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1
y
=． (4)
分
（2）由（1），()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， …………………8分
又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为
(0,)∞+,单调减区间为).0,(-∞ (10)
分
（3）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，
12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． (10)
分
又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：
所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为
11
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a
--=--=--+++，
令)10(ln 21)(≠>--
=a a a a
a a g 且，因为22121
()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以
1
()2ln g a a a a
=-
-在),1()10(+∞∈和，a 上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．所以，当1
a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在∈a (0,1)和(1,+∞)上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即
1
ln e 1a a
+-≥，函数1ln y a a =
+在(0,1)a ∈上是减函数，解得1
0e a <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1
(0,][e,)e a ∈∞+.......14分。