2.3.1双曲线及其标准方程1(公开课)

焦点
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a.b.c的 关系
a>b>0，a2=b2+c2
知识迁移 深化认知
例 1:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程. ∵ 解： F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
a b c
2 2
2
复习旧知 导入新知
椭圆的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 提出问题： 平面内与两定点F1、F2的距离的 的点的轨迹是什么呢？ 差 等于常数 和 等于常数
实验探究 生成定义
（一）用心观察，小组共探
（要求：请同学们认真观察图中动画，对比椭圆第一定义的生成，思考点M 在运动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？）
[1]取一条拉链； [2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的 轨迹是什么？
由①②可得： （差的绝对值）
| |MF1|-|MF2| | = 2a
上面 两条合起来叫做双曲线
根据以上分析，试给双曲线下一个 完整的定义？
实验探究 生成定义
双曲线的几何定义：平面内与两个定点F1，F2的 距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的 轨迹叫做双曲线.
∴由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 －3 =16. 2 2 x y 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
m 2 则m的取值范围_____________.
知识迁移 深化认知
x2 y2 1 1、a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是 16 9 2、焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标 y2 x2 准方程是 1 20 16
课堂练习
x y 1 3、设双曲线 上的点P到(5,0)的距离是15,则P到 16 9 (-5,0)的距离是 7或23 .
求点M轨迹方程。
F1
F2
x
理解概念 探求方程
（二）自我展示，大家共赏
（自由发言，其他小组仔细观察、听取推导 过程，如有不同见解及时补充。）
y
M
F1
_ P= {M ||MF1 | - | MF2| = + 2a }
o
(x c) y (x c) y 2a
2
2
2
2
再次平方，得： (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) 由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,故c2-a2>0, 令c2-a2=b2,其中b>0,代>0,b>0) 2 b a
理解概念 探求方程
（三）提炼精华，总结方程
y
M
F1
方程 叫做双曲线的标准方程
x2 - y2 = 1 (a>0,b>0) a2 b2
它表示的双曲线焦点在x轴上， 焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2 思考： 当双曲线的焦点在y轴上时,它的标准方程 是怎样的呢？
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. （0<2a<2c） 双曲线定义的符号表述：
F1
M
o F2
思考：
| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< |F1F2|)
定义中需要注意什么?
讨论：定义当中条件2a<|F1F2 |=2c如果去掉，那么点的
轨迹还是双曲线吗？
x2 y2 1 表示双曲线，则m的取值范围 4、如果方程 2 m m 1
m | m>－1或m< －2 是 __________
2
2
知识迁移 深化认知
双曲线:
(1)定义:| |MF1|-|MF2| | =2a（0<2a<|F1F2|） 2 2 x y 2 2 1 2标准方程 : a 2 b 2 (a 0, b 0) y x 1 2 2 (3)应用 a b
知识迁移 深化认知
变式训练： 已知B（-5，0），C（5，0）是三
3 角形ABC的两个顶点，且 sin B sin C sin A, 5
求顶点A的轨迹方程。
解：在△ABC中，|BC|=10， 3 sin B sin C sin A, 5 3 3 AC AB BC 10 6 10 5 5 故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支 又因c=5，a=3，则b=4 x2 y2 1 ( x 3) 则顶点A的轨迹方程为 9 16
知识迁移 深化认知
x y 例3:如果方程 1 表示双曲 2 m m 1 线，求m的取值范围. 解:由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1
2
2
思考： x2 y2 方程 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2 m m 1
∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
文 晋 文 晋
复习旧知 导入新知
1.椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离之 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|) 的点的轨迹.
2.椭圆的标准方程
2 2 2 2
x y y x 2 1, 2 2 1(a b 0) 2 a b a b
3.椭圆的标准方程中a,b,c的关系
[1]取一条拉链； 数学试验演示 [2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的 轨迹是什么？
[动画演示]
实验探究 生成定义
（一）用心观察，小组共探
观察AB两图探究双曲线的定义 ①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 数学试验演示
四、插入视频
例2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨 迹方程．
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根 据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2 的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：
知识迁移 深化认知
变式训练:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2 10 ,
PF1 PF2 10
∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y 0( x ≥ 5 或x ≤ 5) .
o
F2
x
理解概念 探求方程
（三）提炼精华，总结方程
（1）焦点在x轴上
y
（2）焦点在y轴上
y F2
F1
2
o
F2
2
x
o
x F1
2
c2=a2＋b2
(a>0, b>0)
F1（-c, 0）、F2（ c , 0）
x y － 2 2 =1 a b
F1（0, -c）、F2（ 0, c ）
y x － 2 2 =1 a b
群策群力 深化概念
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？
P Q
M F1
F2
M
M
F1 o F2
两条射线F1P、F2Q。 （2）若2a>2c,则轨迹是什么？
无轨迹。
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
F1 M F2
|MF1|=|MF2| 线段F1F2的垂直平分线。
生活中的双曲线
双曲线型自然通风冷却塔
迪拜双曲线建筑
2
根据系数正负来判断焦点位置。
归纳比较 强化新知 双 曲 线 与 椭 圆 区 别 与 联 系
椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
x2 y 2 x2 y 2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
Music
爱
Transcend State Diligent Glory Strength Spur
境 存于心 超 然应对 勇 争第一勉好学 勤 心 怀天下 界 自高远 起生命 越 奋 发图强 至金开 敢 为人先 诚 言而有 信
满人间
选修2-1
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
苍溪中学数学组 苍溪中学数学组
由方程定焦点：椭 圆看大小 双曲线看符号
生活中的双曲线
可口可乐的下半部
玉枕的形状
生活中的双曲线
生活中的双曲线
理解概念 探求方程
（一）齐思共想，推导方程
建系标准：简洁、对称
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的 中点为原点建立直角坐标系，设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)