双曲线及其标准方程练习题

课时作业(十)
[学业水平层次]
一、选择题
1．方程x 22＋m －y 2
2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( )
A ．－2＜m ＜2
B ．m ＞0
C ．m ≥0
D ．|m |≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A
2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )
A.x 29－y 2
16＝1 B.y 29－x 2
16＝1 C.x 29－y 2
16＝1(x ≤－3)
D.x 29－y 2
16＝1(x ≥3)
【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，
∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2
16＝1(x ≥3)． 【答案】 D
3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.x 22－y 2
3＝1 B.x 23－y 2
2＝1
C.x 24－y 2
＝1 D ．x 2－y
24＝1
【解析】
由⎩⎨
⎧
|PF 1|·
|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2
5)2
，
⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，
即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C
4．已知椭圆方程x 24＋y 2
3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )
A.2
B. 3 C ．2
D ．3
【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2
1＝2.
【答案】 C 二、填空题
5．设点P 是双曲线x 29－y 2
16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.
【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.
(1)若点P 在双曲线的左支上，
则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或4
6．(2014·河南省洛阳高一月考)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)
①2；②－1；③4；④－3.
【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，则
c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠1
2，∴①②满足条件．
【答案】 ①②
7．(2014·哈尔滨高二检测)已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．
【解析】 由方程x 216－y 2
9＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.
在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |
sin P
＝
||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.
【答案】 4
5 三、解答题
8．求与双曲线x 24－y 2
2＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线x 24－y 2
2＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)． 又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝
c 2＝4＋2＝6.
①
又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上， ∴4a 2－1
b 2＝1.
②
由①、②联立，得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x 23－y 2
3＝1.
9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；
(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2
－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；
(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 2
4＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；
(5)当k ＞1时，方程为x 24k
＋y 2
4＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．
[能力提升层次]
1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2＝1有相同的焦点，则a 的值为
( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．3
【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A
2．(2014·桂林高二期末)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解析】 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，
∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12， ∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B. 【答案】 B
3．(2014·福建省厦门一中期末考试)已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.
【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝1
2|PF ′|，
又|FN |＝
|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝
8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝1
2×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．已知双曲线x 216－y 2
4＝1的两焦点为F 1、F 2.
(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→
＝0，求点M 到x 轴的距离； (2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．
【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，
MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2， 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，
由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，
又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，
②
由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝1
2|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.
(2)设所求双曲线C 的方程为 x 216－λ－y 2
4＋λ
＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)， 所以1816－λ－44＋λ＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 2
8＝1.。