双曲线及其标准方程练习题一
(完整word版)双曲线及其标准方程练习题.doc
2.2.1 双曲线及其标准方程x 2 y 2 ）1.已知方程1表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是（9 kk 3A.3＜k ＜9B.k ＞3C.k ＞9D.k ＜32.方程 x 2 +(k-1)y 2=k+1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是 （ ）A.k ＜-1B.k ＞ 1C.-1＜ k ＜1D.k ＜ -1 或 k ＞ 13.方程x 2y 2 1表示焦点在坐标轴上的双曲线，则α是第几象限的角（）sincosA.二B.四C.二或四D.一或三4.已知双曲线的焦点 F 1（-4，0），F 2（ 4， 0），且经过点 M （2 6 ，2）的双曲线标准方程是 ______.5.双曲线的焦点在 x 轴上，且经过点 M （3，2）、N （-2，-1），则双曲线标准方程是 ______.双曲线x 2 y 2 1 上点 P 到左焦点的距离为 6，这样的点有 ______个.6.12437.双曲线 3x 2 -y 2=2 的右支上有一点 P ， P 到 x 轴、 y 轴的距离之比为，则点 P 的坐标是______.8.若双曲线 x 2 -4y 2 =4 的焦点是 F 1、F 2 过 F 1 的直线交左支于 A 、B ，若|AB|=5，则△ AF 2B 的周长是 ______.1 / 39.已知双曲线 x2y 2 1 ,过它的焦点且垂直于 x 轴的弦长是 ______. 25 2410.在双曲线 x 2-y 2 =4 上的一点，使该点与焦点的连线互相垂直，则这个点坐标是______.11. 已知 12 是双曲线 x 2 21 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足∠ F 1 PF2 F 、 F y4=90°，求△ F 1PF 2 的面积 .2 / 3参考答案1. C2. C3. C4. y 2 x 2 15. x 2y 2 16. 39 77 73 57.（2 6, 6 ） 8. 189.483510.（ 6 ， 2 ），（- 6 ， 2 ），（ 6 ，- 2 ），（- 6 ，- 2 ）∵ 为双曲线 x 2y 21 上的一个点且 F 1、2 为焦点. 11. P4F∴ ||PF 1|-|PF 2||=2a=4,|F 1 F 2|=2c=2 5∵∠ F 1PF 2=90°∴在 Rt △PF 1F 2 中 ,|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20∵（ |PF 1|-|PF 2|）2=|PF 1 |2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16∴20-2|PF 1||PF 2|=16∴ |PF 1| ·|PF 2|=2∴SF PF12|PF 1| |PF ·2|=1 12由此题可归纳出 S △ F1PF2=b 2cot ∠F 1PF223 / 3。
双曲线及其标准方程基础练习
双曲线及其标准方程基础练习一、选择题1．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是()A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±3x D．y＝±2x2．设F1、F2是双曲线x2－y224＝1的两焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．42B．83C．24 D．483.(2011·湖南高考)设双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4 B．3 C．2 D．14．若双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. 5 B．5 C. 2 D．25.(2011·山东高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1 C.x23－y26＝1 D.x26－y23＝16．(2012·江南十校联考)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝ ( )A．2 B．4 C．6 D．87．(2012·豫南九校联考)设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线r的离心率等于()A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或328．(2012·滨州模拟)已知F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是()A．(1,1＋2) B．(1＋2，＋∞)C．(1－2，1＋2) D．(2，2＋1)二、填空题9．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________．10．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为__________．11．(2012·泰安模拟)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，并且过点A(6,82)的双曲线的标准方程为________________________．12.(2011·江西高考)若双曲线y216－x2m＝1的离心率e＝2，则m＝________.三、解答题13.(2011·江西高考)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．14．(2012·南昌模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ •=.求1|OP |2＋1|OQ |2的值．15.(14分)(2011·广东高考)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．。
双曲线练习题(含答案)
双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
双曲线及其标准方程练习
∵0<a<c,∴令c2-a2=b2(b>0)
x 2 y2 2 1 (a 0,b 0, 2 a b a不一定大于b) y2 x 2 2 1 2 a b
【典例训练】
1.双曲线2x2-y2=k的焦距为6，则k的值为___________.
x2 y2 1 表示双曲线，则m的取值范围为_____. 2.方程 2m m 3 2 2 3.讨论方程 x y 1 表示何种圆锥曲线？它们有何共同特 25 k 9 k
（2）焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”：若x2项的系数为正，
则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
（3）当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，ຫໍສະໝຸດ 双曲线的方程才具有标准形式.
求双曲线的标准方程 【技法点拨】 1.求双曲线标准方程的三个关注点
x 2 y2 2.若方程 1 表示焦点在x轴上的双曲线，那么m,n的符 m n
号怎样？ 提示：m>0,n<0.
3.对双曲线标准方程的三点说明
x 2 y2 y2 x 2 双曲线的标准方程有两种不同类型： 2 2 1, 2 2(a>0,b>0)， 1 a b a b
分别表示焦点在x轴上和焦点在y轴上的双曲线. （1）标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2(a>b>0) 相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a、b大小不确定.
②
③
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利 解决.
焦点三角形SPF1F2 b cot 2
最新双曲线及其标准方程练习题
课时作业(十)[学业水平层次]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3)【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 【答案】 D3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1【解析】由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A.2B. 3 C ．2D ．3【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C 二、填空题5．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或46．(2014·河南省洛阳高一月考)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②7．(2014·哈尔滨高二检测)已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．【解析】 由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45 三、解答题8．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴4a 2－1b 2＝1.②由①、②联立，得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升层次]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．3【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．(2014·桂林高二期末)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12， ∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B. 【答案】 B3．(2014·福建省厦门一中期末考试)已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离； (2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。
2.3.1 双曲线及其标准方程
2.3.1 双曲线及其标准方程1.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( B )(A)(-1,3) (B)(-1,+∞)(C)(3,+∞) (D)(-∞,-1)解析:依题意应有m+1>0,即m>-1.故选B.2.已知M(-2,0),N(2,0),||PM|-|PN||=3,则动点P的轨迹是( D )(A)圆 (B)椭圆 (C)射线 (D)双曲线解析:因为||PM|-|PN||=3<|MN|=4,所以由双曲线定义可知,点P的轨迹是双曲线.故选D.3.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则|PF1|等于( A )(A)8 (B)6 (C)4 (D)2解析:依题意得解得|PF2|=6,|PF1|=8,故选A.4.双曲线-=1的焦距为10,则实数m的值为( C )(A)-16 (B)4 (C)16 (D)81解析:因为2c=10,所以c2=25,所以9+m=25,所以m=16.故选C.5.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是( D )(A)焦点在x轴上的椭圆(B)焦点在x轴上的双曲线(C)焦点在y轴上的椭圆(D)焦点在y轴上的双曲线解析:方程mx2-my2=n可化为-=1.因为mn<0,所以<0,->0.方程又可化为-=1,所以方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.6.已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则△ABF1的周长为( B )(A)2a+2m (B)4a+2m(C)a+m (D)2a+4m解析:由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,所以|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a.所以|AF1|+|BF1|=4a+m.所以△ABF1的周长是4a+2m.故选B.7.已知椭圆+=1与双曲线-=1有共同的焦点F 1,F 2,两曲线的一个交点为P,则·的值为( C )(A)3 (B)7 (C)11 (D)21解析:椭圆与双曲线同焦点,解得m=4, 设r 1=|PF 1|>r 2=|PF 2|,根据圆锥曲线定义 得r 1+r 2=10,r 1-r 2=4,解得r 1=7,r 2=3,而焦距为6,由余弦定理得cos ∠F 1PF 2==,因此·=3×7×=11.故选C.8.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( A )(A)x 2-=1 (B)-y 2=1 (C)y 2-=1 (D)-=1 解析:由双曲线定义知,2a=-=5-3=2,所以a=1.又c=2,所以b 2=c 2-a 2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x 2-=1.故选A.9.设m 是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m= .解析:由点F(0,5)可知双曲线-=1的焦点落在y轴上,所以m>0,且m+9=52,解得m=16.答案:1610.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为.解析:由题意可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由·=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.又根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a,两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1. 答案:-y2=111.已知椭圆+=1与双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,点P是两条曲线的一个公共点,则cos∠F1PF2的值为.解析:设P在第一象限,由椭圆与双曲线的定义可得⇒又|F1F2|=4,由余弦定理得cos∠F1PF2==.答案:12.从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M是线段PF的中点,O为原点,则|MO|-|MT|的值是.解析:如图所示,设双曲线的右焦点为F1,连接PF1,则|PF|-|PF1|=2a, 在Rt△FTO中,|OF|=c,|OT|=a,所以|FT|===b,又M是线段PF的中点,O为FF1中点,所以|PF|=2|MF|=2(|MT|+b),所以|MO|=|PF1|=(|PF|-2a)=(2|MT|+2b-2a)=|MT|+b-a即|MO|-|MT|=b-a.答案:b-a13.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=3,c=4,焦点在x轴上;(2)经过点(3,-4),(,5).解:(1)由题设知,a=3,c=4,由c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7.因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为-=1.(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),因为双曲线经过点(3,-4),(,5),所以解得故所求双曲线的标准方程为-=1.14.已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P 使得∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.解:由-=1,得a=3,b=4,c=5.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64.所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.15.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为左、右焦点,且|MF1|=2|MF2|,试求△MF1F2的面积.解:(1)椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c=,故设双曲线方程为-=1,则解得所以双曲线的标准方程为-=1.(2)因为点M在双曲线上,又|MF1|=2|MF2|,所以点M在双曲线的右支上,则有|MF1|-|MF2|=2,故解得|MF1|=4,|MF2|=2,又|F1F2|=2,因此在△MF1F2中,cos∠F1MF2==,所以sin∠F1MF2=,所以=|MF1|·|MF2|·sin∠F1MF2=×4×2×=2.16.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是( A )(A)-y2=1 (B)x2-=1(C)-=1 (D)-=1解析:因为·=0,所以⊥,即MF1⊥MF2,所以|MF1|2+|MF2|2=40.则(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36.所以||MF1|-|MF2||=6=2a,即a=3.因为c=,所以b2=c2-a2=1.所以该双曲线的方程是-y2=1.故选A.17.已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是( D )(A)x=0 (B)-=1(x≥)(C)-=1 (D)-=1或x=0解析:动圆M与两圆C1,C2都相切,有四种情况:①动圆M与两圆都外切;②动圆M与两圆都内切;③动圆M与圆C1外切,与圆C2内切;④动圆M与圆C1内切,与圆C2外切.在①②情况下,显然动圆圆心M的轨迹方程是x=0;在③的情况下,如图,设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+,|MC2|=r-,故得|MC1|-|MC2|=2;在④的情况下,同理,得|MC2|-|MC1|=2.由③④得||MC1|-|MC2||=2<8=|C1C2|,根据双曲线定义,可知点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,且a=,c=4,b2=c2-a2=14,所以此时动圆圆心M的轨迹方程为-=1.故选D.18.(2018·浙江衢州高三模拟)F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,☉A是△PF1F2的内切圆,☉A与x轴相切于点M(m,0),则m的值为.解析:如图所示,易知|PB|=|PC|,|BF1|=|MF1|,|CF2|=|MF2|,|PF1|-|PF2|=|BF1|-|CF2|=|MF1|-|MF2|=2a,所以点M在双曲线上,因为a=4,所以M(4,0),即m=4.答案:419.已知F是双曲线-=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:设右焦点为F′,依题意,|PF|=|PF′|+4,所以|PF|+|PA|=|PF′|+4+|PA|=|PF′|+|PA|+4≥|AF′|+4=5+4=9. 答案:920.已知△ABC的两个顶点A,B分别为椭圆x2+5y2=5的左焦点和右焦点,且三个内角A,B,C满足关系式sin B-sin A=sin C.(1)求线段AB的长度;(2)求顶点C的轨迹方程.解:(1)将椭圆方程化为标准形式为+y2=1.所以a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4,则A(-2,0),B(2,0),|AB|=4.(2)因为sin B-sin A=sin C,所以由正弦定理得|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|=4,即动点C到两定点A,B的距离之差为定值.所以动点C的轨迹是双曲线的右支,并且c′=2,a′=1,所以所求的点C的轨迹方程为x2-=1(x>1).。
2.2.1双曲线及其标准方程 高二上学期数学北师大版选择性必修第一册
2.1 双曲线及其标准方程1.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A.√22,0 B.√62,0C.√52,0D.(√3,0)2.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为( )A.x 24-y 2=1B.x 23−y 22=1 C.x 2-y 24=1D.x 22−y 23=13.已知双曲线x 2λ-3+y 22-λ=1,焦点在y 轴上,若焦距为4,则λ等于( )A.32B.5C.7D.124.已知双曲线x 24−y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7 B.6或14C.3D.75.如图,已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点A ,B 均在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m ,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2mC.a+mD.2a+4m 6.与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2-8x+12=0都外切的圆P 的圆心在( )A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上7.以椭圆x 2+y 2=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 .8.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 29−y 216=1的左、右焦点,若点P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 . 9.已知与双曲线x 216−y 29=1共焦点的双曲线过点P -√52,-√6,求该双曲线的标准方程.能力达标10.“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( ) A.x 216−y 29=1B.x 216−y 29=1(x ≥4)C.x 29−y 216=1 D.x 29−y 216=1(x ≥3)12.动圆与圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ) A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆D.双曲线13.若双曲线x 2n -y 2=1(n>1)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上,且满足|PF 1|+|PF 2|=2√n +2,则△PF 1F 2的面积为( ) A.1B.12C.2D.414.已知左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a 2-y 2=1(a>0)过点√15,-√63,点P 在双曲线C 上,若|PF 1|=3,则|PF 2|=( ) A.3B.6C.9D.1215.若曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 .16.焦点在x 轴上的双曲线经过点(4√2,-3),且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为 .17.已知双曲线E :x 2−y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2. (1)若点M 在双曲线上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点M 到x 轴的距离;(2)若双曲线C 与双曲线E 有相同的焦点,且过点(3√2,2),求双曲线C 的方程.18.已知△OFQ 的面积为2√6,且OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,其中O 为坐标原点. (1)设√6<m<4√6,求OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ的正切值的取值范围;(2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ,m=√64-1c 2,当|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.1.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A.√22,0 B.√62,0C.√52,0D.(√3,0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x 2-y 212=1,∴a 2=1,b 2=1,∴c 2=a 2+b 2=3,∴c=√6,故右焦点坐标为√62,0.2.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为( ) A.x 2-y 2=1 B.x 2−y 2=1 C.x 2-y 2=1 D.x 2−y 2=1答案C解析由题意得{|PF 1|-|PF 2|=2a =b ,c 2=a 2+b 2,2c =2√5,解得{a 2=1,b 2=4,则该双曲线的方程为x 2-y 24=1.3.已知双曲线x 2λ-3+y 22-λ=1,焦点在y 轴上,若焦距为4,则λ等于( ) A.32 B.5 C.7D.12答案D解析根据题意可知,双曲线的标准方程为y 22-λ−x 23-λ=1. 由其焦距为4,得c=2, 则有c 2=2-λ+3-λ=4,解得λ=12.4.已知双曲线x 24−y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7 B.6或14C.3D.7答案A解析连接ON ,ON 是△PF 1F 2的中位线,∴|ON|=12|PF 2|,∵||PF 1|-|PF 2||=4,|PF 1|=10, ∴|PF 2|=14或|PF 2|=6, ∴|ON|=7或|ON|=3.5.如图,已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点A ,B 均在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m ,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2mC.a+mD.2a+4m答案B解析由双曲线的定义,知|AF 1|-|AF 2|=2a ,|BF 1|-|BF 2|=2a.又|AF 2|+|BF 2|=|AB|,所以△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m. 6.与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2-8x+12=0都外切的圆P 的圆心在( ) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上答案D解析由x 2+y 2-8x+12=0, 得(x-4)2+y 2=4,画出圆x 2+y 2=1与(x-4)2+y 2=4的图象如图, 设圆P 的半径为r ,∵圆P 与圆O 和圆M 都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P 在以O ,M 为焦点的双曲线的左支上.7.以椭圆x 23+y 24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 . 答案y 2-x 23=1解析由题意知,双曲线的焦点在y 轴上,设双曲线的标准方程为y 2a2−x 2b2=1,则a=1,c=2,所以b 2=3,所以双曲线的标准方程为y 2-x 2=1.8.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点,若点P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 . 答案16解析因为P 是双曲线左支上的点, 所以|PF 2|-|PF 1|=6,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36,所以|PF 1|2+|PF 2|2=36+2|PF 1|·|PF 2|=36+2×32=100. 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=100-1002|PF 1|·|PF 2|=0,所以∠F 1PF 2=90°,所以S △F 1PF 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×32=16.9.已知与双曲线x 216−y 29=1共焦点的双曲线过点P -√52,-√6,求该双曲线的标准方程.解已知双曲线x 216−y 29=1, 则c 2=16+9=25,∴c=5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0).依题意知b 2=25-a 2,故所求双曲线方程可写为x 2a 2−y 225-a 2=1.∵点P -√52,-√6在所求双曲线上, ∴代入有(-√52) 2a 2−(-√6)225-a 2=1,化简得4a 4-129a 2+125=0, 解得a 2=1或a 2=1254. 当a 2=1254时,b 2=25-a 2=25-1254=-254<0, 不合题意,舍去,∴a 2=1,b 2=24,∴所求双曲线的标准方程为x 2-y 224=1.能力达标10.“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案C解析因为mn<0,所以m ,n 均不为0且异号,方程mx 2+ny 2=1,可化为x 21m+y 21n=1,因为1m 与1n异号,所以方程x 21m+y 21n=1表示双曲线,故“mn<0”是“方程mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx 2+ny 2=1表示双曲线,则其方程可化为x 21m+y 21n=1,可知1m 与1n异号,则必有mn<0,故“mn<0”是“方程mx 2+ny 2=1表示双曲线”的必要条件.综上可得,“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充要条件. 11.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( ) A.x 2−y 2=1B.x 2−y 2=1(x ≥4)C.x 29−y216=1 D.x29−y216=1(x≥3)答案D解析由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.故其轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支.所以点M的轨迹方程为x 29−y216=1(x≥3).12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线答案A解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).13.若双曲线x 2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2√n+2,则△PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.4答案A解析设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2√n,已知|PF1|+|PF2|=2√n+2,解得|PF1|=√n+2+√n,|PF2|=√n+2−√n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2√n+1,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2=1.14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x 2a2-y2=1(a>0)过点√15,-√63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.12答案C解析由左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a2-y 2=1(a>0)过点√15,-√63,可得15a 2−69=1,解得a=3,b=1,c=√10,a+c>3,点P 在双曲线C 上,若|PF 1|=3,可得P 在双曲线的左支上,则|PF 2|=2a+|PF 1|=6+3=9.故选C. 15.若曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 . 答案(2,+∞)解析由曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,可得x 21m−y 21m -2=1, 即有m>0,且m-2>0,解得m>2.16.焦点在x 轴上的双曲线经过点(4√2,-3),且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为 .答案x 216−y 29=1解析设焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c>0), 则由QF 1⊥QF 2,得k QF 1·k QF 2=-1,∴5c ·5-c =-1,∴c=5,设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),∵双曲线过点(4√2,-3),∴32a 2−9b2=1.又c 2=a 2+b 2=25,∴a 2=16,b 2=9,∴双曲线的标准方程为x 2−y 2=1. 17.已知双曲线E :x 2−y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2.(1)若点M 在双曲线上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点M 到x 轴的距离;(2)若双曲线C 与双曲线E 有相同的焦点,且过点(3√2,2),求双曲线C 的方程.解(1)如图所示,不妨设点M 在双曲线E 的右支上,点M 到x 轴的距离为h ,MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则MF 1⊥MF 2, 设|MF 1|=m ,|MF 2|=n , 由双曲线定义,知m-n=2a=8,①又m 2+n 2=(2c )2=80, ②由①②得mn=8,∴12mn=4=12|F 1F 2|·h , ∴h=2√55. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216-λ−y 24+λ=1(-4<λ<16), 由于双曲线C 过点(3√2,2),∴1816-λ−44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),∴所求双曲线C 的方程为x 212−y 28=1.18.已知△OFQ 的面积为2√6,且OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,其中O 为坐标原点. (1)设√6<m<4√6,求OF⃗⃗⃗⃗⃗ 与FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ的正切值的取值范围; (2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ,m=√64-1c 2,当|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.解(1)因为{12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗|sin (π-θ)=2√6,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FQ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=m ,所以tan θ=4√6. 又√6<m<4√6, 所以1<tan θ<4,即tan θ的取值范围为(1,4).(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),Q (x 1,y 1),则FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-c ,y 1), 所以S △OFQ =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗|·|y 1|=2√6,则y 1=±4√6.又OF⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m , 即(c ,0)·(x 1-c ,y 1)=√64-1c 2, 解得x 1=√64c ,所以|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 12+y 12=√38c 2+96c 2≥√12=2√3,当且仅当c=4时,取等号,此时|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小, 这时Q 的坐标为(√6,√6)或(√6,-√6).因为{6a 2-6b 2=1,a 2+b 2=16,所以{a 2=4,b 2=12.于是所求双曲线的标准方程为x 24−y 212=1.。
双曲线及其标准方程习题
5．若点 M 在双曲线错误!－错误!＝1 上,双曲线的焦点为 F1,F2,且|MF1|＝3|MF2|,则|MF2|
等于
A．2
B．4
C．8
D．12
解析：选 B.双曲线中 a2＝16,a＝4,2a＝8,由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8,又|MF1|＝
3|MF2|,所以 3|MF2|－|MF2|＝8,解得|MF2|＝4.
以对于所求双曲线 a＝1,c＝2,b2＝3,焦点在 y 轴上,双曲线的方程为 y2－错误!＝1.
4．在方程 mx2－my2＝n 中,若 mn＜0,则方程表示的曲线是 A．焦点在 x 轴上的椭圆 B．焦点在 x 轴上的双曲线 C．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的双曲线
解析：选 D.将方程化为错误!－错误!＝1.
A．5,10 C．10,＋∞
B．－∞,5 D．－∞,5∪10,＋∞
解析：选 A.由题意得 10－k5－k<0,解得 5<k<10.
3．以椭圆错误!＋错误!＝1 的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的 方程是
－y2＝1 －错误＝1
B．y2－错误!＝1 －错误!＝1
解析：选 B.椭圆错误!＋错误!＝1 的焦点为 F10,1,F20,－1,长轴的端点 A10,2,A20,－2,所
由错误!·错误!＝0,得 PF1⊥PF2.根据勾股定理得 |PF1|2＋|PF2|2＝2c2,即|PF1|2＋|PF2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a. 两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2 得 20－2×2＝4a2,解得 a2＝4,从而 b2＝5－4＝1, 所以双曲线方程为错误!－y2＝1. 答案：错误!－y2＝1 3．设圆 C 与两圆 x＋错误!2＋y2＝4,x－错误!2＋y2＝4 中的一个内切,另一个外切．求 C 的圆心轨迹 L 的方程． 解：设两圆 x＋错误!2＋y2＝4,x－错误!2＋y2＝4 的圆心分别为 F1－错误!,0,F2错误!,0, 两圆相离, 由题意得||CF1|－|CF2||＝4＜2错误!＝|F1F2|, 从而得动圆的圆心 C 的轨迹是双曲线, 且 a＝2,c＝错误!,所以 b＝错误!＝1, 所求轨迹 L 的方程为错误!－y2＝1. 4．如图,若 F1,F2 是双曲线错误!－错误!＝1 的两个焦点． 1 若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16,求点 M 到另一个焦点的距离； 2 若 P 是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|＝32,试求△F1PF2 的面积． 解：双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1, 故 a＝3,b＝4,c＝错误!＝5. 1 由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6,又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等 于 16,假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x,则|16－x|＝6,解得 x＝10 或 x＝22. 故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22. 2 将||PF2|－|PF1||＝2a＝6,两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36, ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中,由余弦定理得 cos∠F1PF2＝错误! ＝错误!＝0, ∴∠F1PF2＝90°, ∴S△F1PF2＝错误!|PF1|·|PF2|＝错误!×32＝16.
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《双曲线及其标准方程》练习题一
1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方
程是( ) －y 216＝1 －x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) －y 2
16＝1(x ≥3)
2．“ab<0”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )
－y 24＝1 －x 24＝1 C.x 23－y 22＝1 －y 2
16＝1
4．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
5．双曲线x 216－y 2
9＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距
离为( )
A ．7
B ．23
C ．5或25
D ．7或23
6．圆P 过点
，且与圆 外切，则动圆圆心P 的轨迹方程（ ）． A ．
； B ． C ．
D ． 7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2＝1有相同的焦点，则a 的值是( )
B ．1或－2
C ．1或12
D ．1
8. 已知ab<0，方程y= —2x+b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的（ ）
9．双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_______。
10．过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为_____。
11．已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．
12．过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程为________．
13．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．
14．已知方程x 22－k ＋y 2
k －1
＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k 的取值范围．
15.已知双曲线过点A （-2，4）、B （4，4），它的一个焦点是)0,1(1F ，求它的另 一个焦点2F 的轨迹方程。
16．如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足 2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．。