双曲线及其标准方程练习题一
双曲线及其标准方程(专题训练)
双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离 等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线. 如图所示：双曲线的概念注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准 线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．标准方程 )0,0(12222>>=-b a by ax)0,0(12222>>=-b a bx ay图形性 质焦点F 1（-)0,c ，F 2（)0,cF 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 x≤-a 与x ≥ay ≤-a 与y ≥a对称性 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴A 1A 2长2a ，虚轴B 1B 2长2b准线cax 2±= cay 2±=渐近线 x ab y ±=.a y x b=±共渐近线的双曲线系方程λ=-2222by ax （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.题型一：双曲线定义问题1.若+∈R a ，方程()()2222556x y x y-+-++=，表示什么曲线？若改成：()()2222556x y x y -+-++= ？2．已知ABC ∆的顶点()4,0-A 、()4,0B ，且()4sin sin 3sin B A C -=，则顶点C 的轨迹方程是 3．双曲线221169xy-=上一点P 到左焦点的距离为15，那么该点到右焦点的距离为变式：设12,F F 是双曲线2211620xy-=的焦点，点P 是双曲线上的点，点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到2F 的距离。
4..若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.题型二，利用标准方程确定参数1. 求双曲线22254100x y -=-的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标, 焦距 离心率 2．若方程22125xyk k-=+-表示x 型双曲线，则k 的取值范围是表示y 型双曲线，则k 是 表示双曲线，则k 的取值范围是 3.已知双曲线228y 8kx k -=的一个焦点为()3,0，k 为4．椭圆14222=+ay x与双曲线1222=-yax有相同的焦点，则a 的值是5变式：与椭圆224936x y +=有相同焦点，且过点()3,2的双曲线方程6．等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则它的标准方程是题型三。
双曲线及其标准方程(2)
双曲线及其标准方程（2）一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m2．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆3．(2010²安徽理，5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)4．k >9是方程x 29－k＋y 2k －4＝1表示双曲线的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23B ．1C ．2D ．4 6．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线7．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝18．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．12B ．16C ．24D ．32 二、填空题9．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________. 10．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．11．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|²|MF 2|等于________．12．已知双曲线x 2－y 2＝m 与椭圆2x 2＋3y 2＝72有相同的焦点，则m 的值为________． 三、解答题13．设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．14．已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求椭圆的另一焦点F 的轨迹方程．15．如图，已知双曲线的离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．双曲线及其标准方程（2）答案一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m[答案] C2．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆 [答案] C [解析] 方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故答案为C.3．(2010²安徽理，5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0) [答案] C [解析] 将方程化为标准方程x 2－y 212＝1∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝62，故选C.4．k >9是方程x 29－k＋y 2k －4＝1表示双曲线的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] k >9时，方程为y 2k －4－x 2k －9＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，方程表示双曲线时，(k －9)(k －4)<0，∴k <4或k >9，故选B.5．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.6．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线[答案] D [解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知ba <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D.7．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1[答案] B [解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴5a 2－16b 2＝1，又a 2＋b 2＝5，∴⎩⎨⎧a 2＝1b 2＝4，故选B.8．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．12B ．16C ．24D ．32[答案] B [解析] 由定义||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|²|PF 2|＝36，∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100， ∴|PF 1||PF 2|＝32，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|²|PF 2|＝16.二、填空题9．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________.[答案] 12 [解析] 由条件知，⎩⎨⎧a 2－b 2＝1|a －b |2＝2，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝12a －b ＝2或⎩⎨⎧a ＋b ＝－12a －b ＝－2，∵a >0，∴a ＋b ＝12.10．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．[答案]x 24－y 212＝1(x ≥2) [解析] 设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)，M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≥2)．11．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|²|MF 2|等于________．[答案] a －m [解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝±2m ① |MF 1|＋|MF 2|＝2a ② ②2－①2得，4|MF 1|²|MF 2|＝4a －4m ， ∴|MF 1|²|MF 2|＝a －m .12．已知双曲线x 2－y 2＝m 与椭圆2x 2＋3y 2＝72有相同的焦点，则m 的值为________． [答案] 6 [解析] 椭圆方程为x 236＋y 224＝1，c 2＝a 2－b 2＝36－24＝12，∴焦点F 1(－23，0)，F 2(23，0)， 双曲线x 2m －y 2m＝1与椭圆有相同焦点，∴2m ＝12，∴m ＝6.三、解答题13．设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．[解析] 以A 、B 两哨所所在直线为x 轴，它的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，得炮弹爆炸点的轨迹方程为x 29a 2－y 216a 2＝1.14．已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求椭圆的另一焦点F 的轨迹方程．[解析] 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，所以|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a ，(其中a 表示椭圆的长半轴长)， 所以|FA |＋|CA |＝|FB |＋|CB |，所以|FA |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋52＝2. 由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点的双曲线的下半支上，所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．15．如图，已知双曲线的离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1∵e ＝c a ＝2，∴a ＝c2由双曲线定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝c . 由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|²|PF 2|(1－cos60°)，∴4c 2＝c 2＋|PF 1|²|PF 2|又S △PF 1F 2＝12|PF 1|²|PF 2|²sin60°＝12 3得|PF 1|²|PF 2|＝48， 即c 2＝16，∴a 2＝4，b 2＝12， 所求方程为x 24－y 212＝1.。
2021_2022学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程练习(含解析)新人教A
2.2.1 双曲线及其标准方程[学生用书P105(单独成册)])[A 根底达标]1．平面内两定点A (－5，0)，B (5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，那么点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4)C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：选D.由|MA |－|MB |＝6，且6＜|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16. 故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支． 所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，那么它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B ．⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1， 所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，0. 3．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1C.x 23－y 24＝1 D ．y 23－x 24＝1解析：选B.由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1.4．(2021·绍兴高二检测)双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1上有一点M 到Γ的右焦点F 1(34，0)的距离为18，那么点M 到Γ的左焦点F 2的距离是( )A ．8B ．28C ．12D ．8或28解析：选D.因为双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1的右焦点F 1(34，0)，所以λ＝34－9＝25，所以双曲线Γ：x 225－y 29，可知||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝10，又|MF 1|＝18，那么|MF 2|D.5．(2021·邯郸高二检测)设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．0B ．1 C.12D ．2解析：选A.易知F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 不妨设P (x 0，y 0)(x 0，y 0>0)， 由12×2c ×y 0＝1，得y 0＝55， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2305，55，所以PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5－2305，－55，PF 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫5－2305，－55，所以PF 1→·PF 2→＝0.6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有一样的焦点，那么a 的值是________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.答案：17．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，那么点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：双曲线右焦点为(4，0)， 将x ＝3代入x 24－y 212＝1，得y ＝±15.所以点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，所以点M 到双曲线右焦点的距离为〔4－3〕2＋〔±15〕2＝4.答案：48．双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，假设PF 1⊥PF 2，那么|PF 1|＋|PF 2|的值为____________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2， 所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(22)2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2， 所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4， 可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，那么(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 39．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 解得c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.10．如图，假设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)假设双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)假设P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解：(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，那么|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 由于c －a ＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝ |PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12×32＝16.[B 能力提升]11．(2021·保定检测)双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，那么m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20解析：选B.由，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20.又|AB |＝4，那么|AF 2|＋|BF 2|，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9.12．(2021·西安高二检测)如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为点A ，B ，线段MN 的中点Q 在双曲线的右支上，假设|AN |－|BN |＝12，那么a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A.连接QF 1，QF 2.因为线段MN 的中点为Q ，点F 2为MB 的中点，所以|QF 2|＝12|BN |，同理可得|QF 1|＝12|AN |.因为点Q 在双曲线C 的右支上，所以|QF 1|－|QF 2|＝2a ，所以12(|AN |－|BN |)＝2a ，所以12×12＝2a ，解得a A.13．求与椭圆x 2＋4y 2＝8有公共焦点的双曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大．解：椭圆的方程可化为x 28＋y 22＝1，①所以c 2＝8－2＝6.因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以在双曲线中，a 2＋b 2＝c 2＝6，即b 2＝6－a 2.设双曲线的方程为x 2a 2－y 26－a2＝1(0＜a 2＜6)．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 23，y 2＝6－a 23.由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形， 其面积S ＝4|xy |＝4·4a 23·6－a 23＝83 a 2〔6－a 2〕≤83·a 2＋〔6－a 2〕2＝8， 当且仅当a 2＝6－a 2，即a 2＝3，b 2＝6－3＝3时，取等号． 所以双曲线的方程是x 23－y 23＝1. 14．(选做题)双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有一样的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)假设点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设点M 在双曲线的右支上，那么有|MF 1|－|MF 2|＝23，因为|MF 1|＋|MF 2|＝63，所以|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
双曲线练习题(含答案)
双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
2.3.1 双曲线及其标准方程
2.3.1 双曲线及其标准方程1.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( B )(A)(-1,3) (B)(-1,+∞)(C)(3,+∞) (D)(-∞,-1)解析:依题意应有m+1>0,即m>-1.故选B.2.已知M(-2,0),N(2,0),||PM|-|PN||=3,则动点P的轨迹是( D )(A)圆 (B)椭圆 (C)射线 (D)双曲线解析:因为||PM|-|PN||=3<|MN|=4,所以由双曲线定义可知,点P的轨迹是双曲线.故选D.3.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则|PF1|等于( A )(A)8 (B)6 (C)4 (D)2解析:依题意得解得|PF2|=6,|PF1|=8,故选A.4.双曲线-=1的焦距为10,则实数m的值为( C )(A)-16 (B)4 (C)16 (D)81解析:因为2c=10,所以c2=25,所以9+m=25,所以m=16.故选C.5.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是( D )(A)焦点在x轴上的椭圆(B)焦点在x轴上的双曲线(C)焦点在y轴上的椭圆(D)焦点在y轴上的双曲线解析:方程mx2-my2=n可化为-=1.因为mn<0,所以<0,->0.方程又可化为-=1,所以方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.6.已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则△ABF1的周长为( B )(A)2a+2m (B)4a+2m(C)a+m (D)2a+4m解析:由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,所以|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a.所以|AF1|+|BF1|=4a+m.所以△ABF1的周长是4a+2m.故选B.7.已知椭圆+=1与双曲线-=1有共同的焦点F 1,F 2,两曲线的一个交点为P,则·的值为( C )(A)3 (B)7 (C)11 (D)21解析:椭圆与双曲线同焦点,解得m=4, 设r 1=|PF 1|>r 2=|PF 2|,根据圆锥曲线定义 得r 1+r 2=10,r 1-r 2=4,解得r 1=7,r 2=3,而焦距为6,由余弦定理得cos ∠F 1PF 2==,因此·=3×7×=11.故选C.8.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( A )(A)x 2-=1 (B)-y 2=1 (C)y 2-=1 (D)-=1 解析:由双曲线定义知,2a=-=5-3=2,所以a=1.又c=2,所以b 2=c 2-a 2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x 2-=1.故选A.9.设m 是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m= .解析:由点F(0,5)可知双曲线-=1的焦点落在y轴上,所以m>0,且m+9=52,解得m=16.答案:1610.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为.解析:由题意可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由·=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.又根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a,两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1. 答案:-y2=111.已知椭圆+=1与双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,点P是两条曲线的一个公共点,则cos∠F1PF2的值为.解析:设P在第一象限,由椭圆与双曲线的定义可得⇒又|F1F2|=4,由余弦定理得cos∠F1PF2==.答案:12.从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M是线段PF的中点,O为原点,则|MO|-|MT|的值是.解析:如图所示,设双曲线的右焦点为F1,连接PF1,则|PF|-|PF1|=2a, 在Rt△FTO中,|OF|=c,|OT|=a,所以|FT|===b,又M是线段PF的中点,O为FF1中点,所以|PF|=2|MF|=2(|MT|+b),所以|MO|=|PF1|=(|PF|-2a)=(2|MT|+2b-2a)=|MT|+b-a即|MO|-|MT|=b-a.答案:b-a13.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=3,c=4,焦点在x轴上;(2)经过点(3,-4),(,5).解:(1)由题设知,a=3,c=4,由c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7.因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为-=1.(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),因为双曲线经过点(3,-4),(,5),所以解得故所求双曲线的标准方程为-=1.14.已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P 使得∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.解:由-=1,得a=3,b=4,c=5.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64.所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.15.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为左、右焦点,且|MF1|=2|MF2|,试求△MF1F2的面积.解:(1)椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c=,故设双曲线方程为-=1,则解得所以双曲线的标准方程为-=1.(2)因为点M在双曲线上,又|MF1|=2|MF2|,所以点M在双曲线的右支上,则有|MF1|-|MF2|=2,故解得|MF1|=4,|MF2|=2,又|F1F2|=2,因此在△MF1F2中,cos∠F1MF2==,所以sin∠F1MF2=,所以=|MF1|·|MF2|·sin∠F1MF2=×4×2×=2.16.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是( A )(A)-y2=1 (B)x2-=1(C)-=1 (D)-=1解析:因为·=0,所以⊥,即MF1⊥MF2,所以|MF1|2+|MF2|2=40.则(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36.所以||MF1|-|MF2||=6=2a,即a=3.因为c=,所以b2=c2-a2=1.所以该双曲线的方程是-y2=1.故选A.17.已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是( D )(A)x=0 (B)-=1(x≥)(C)-=1 (D)-=1或x=0解析:动圆M与两圆C1,C2都相切,有四种情况:①动圆M与两圆都外切;②动圆M与两圆都内切;③动圆M与圆C1外切,与圆C2内切;④动圆M与圆C1内切,与圆C2外切.在①②情况下,显然动圆圆心M的轨迹方程是x=0;在③的情况下,如图,设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+,|MC2|=r-,故得|MC1|-|MC2|=2;在④的情况下,同理,得|MC2|-|MC1|=2.由③④得||MC1|-|MC2||=2<8=|C1C2|,根据双曲线定义,可知点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,且a=,c=4,b2=c2-a2=14,所以此时动圆圆心M的轨迹方程为-=1.故选D.18.(2018·浙江衢州高三模拟)F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,☉A是△PF1F2的内切圆,☉A与x轴相切于点M(m,0),则m的值为.解析:如图所示,易知|PB|=|PC|,|BF1|=|MF1|,|CF2|=|MF2|,|PF1|-|PF2|=|BF1|-|CF2|=|MF1|-|MF2|=2a,所以点M在双曲线上,因为a=4,所以M(4,0),即m=4.答案:419.已知F是双曲线-=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:设右焦点为F′,依题意,|PF|=|PF′|+4,所以|PF|+|PA|=|PF′|+4+|PA|=|PF′|+|PA|+4≥|AF′|+4=5+4=9. 答案:920.已知△ABC的两个顶点A,B分别为椭圆x2+5y2=5的左焦点和右焦点,且三个内角A,B,C满足关系式sin B-sin A=sin C.(1)求线段AB的长度;(2)求顶点C的轨迹方程.解:(1)将椭圆方程化为标准形式为+y2=1.所以a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4,则A(-2,0),B(2,0),|AB|=4.(2)因为sin B-sin A=sin C,所以由正弦定理得|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|=4,即动点C到两定点A,B的距离之差为定值.所以动点C的轨迹是双曲线的右支,并且c′=2,a′=1,所以所求的点C的轨迹方程为x2-=1(x>1).。
双曲线及其标准方程练习题
课时作业(十)[学业水平层次]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值围( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．【答案】 D3．(2014·高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝252，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C 二、填空题5．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或46．(2014·省高一月考)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②7．(2014·高二检测)已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．【解析】 由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|PA |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45三、解答题8．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上．依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴4a 2－1b2＝1. ②由①、②联立，得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升层次]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．3【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．(2014·高二期末)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12，∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B.【答案】 B3．(2014·省一中期末考试)已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离； (2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ， 由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)， 所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。
双曲线及其标准方程习题
5．若点 M 在双曲线错误!－错误!＝1 上,双曲线的焦点为 F1,F2,且|MF1|＝3|MF2|,则|MF2|
等于
A．2
B．4
C．8
D．12
解析：选 B.双曲线中 a2＝16,a＝4,2a＝8,由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8,又|MF1|＝
3|MF2|,所以 3|MF2|－|MF2|＝8,解得|MF2|＝4.
以对于所求双曲线 a＝1,c＝2,b2＝3,焦点在 y 轴上,双曲线的方程为 y2－错误!＝1.
4．在方程 mx2－my2＝n 中,若 mn＜0,则方程表示的曲线是 A．焦点在 x 轴上的椭圆 B．焦点在 x 轴上的双曲线 C．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的双曲线
解析：选 D.将方程化为错误!－错误!＝1.
A．5,10 C．10,＋∞
B．－∞,5 D．－∞,5∪10,＋∞
解析：选 A.由题意得 10－k5－k<0,解得 5<k<10.
3．以椭圆错误!＋错误!＝1 的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的 方程是
－y2＝1 －错误＝1
B．y2－错误!＝1 －错误!＝1
解析：选 B.椭圆错误!＋错误!＝1 的焦点为 F10,1,F20,－1,长轴的端点 A10,2,A20,－2,所
由错误!·错误!＝0,得 PF1⊥PF2.根据勾股定理得 |PF1|2＋|PF2|2＝2c2,即|PF1|2＋|PF2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a. 两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2 得 20－2×2＝4a2,解得 a2＝4,从而 b2＝5－4＝1, 所以双曲线方程为错误!－y2＝1. 答案：错误!－y2＝1 3．设圆 C 与两圆 x＋错误!2＋y2＝4,x－错误!2＋y2＝4 中的一个内切,另一个外切．求 C 的圆心轨迹 L 的方程． 解：设两圆 x＋错误!2＋y2＝4,x－错误!2＋y2＝4 的圆心分别为 F1－错误!,0,F2错误!,0, 两圆相离, 由题意得||CF1|－|CF2||＝4＜2错误!＝|F1F2|, 从而得动圆的圆心 C 的轨迹是双曲线, 且 a＝2,c＝错误!,所以 b＝错误!＝1, 所求轨迹 L 的方程为错误!－y2＝1. 4．如图,若 F1,F2 是双曲线错误!－错误!＝1 的两个焦点． 1 若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16,求点 M 到另一个焦点的距离； 2 若 P 是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|＝32,试求△F1PF2 的面积． 解：双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1, 故 a＝3,b＝4,c＝错误!＝5. 1 由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6,又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等 于 16,假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x,则|16－x|＝6,解得 x＝10 或 x＝22. 故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22. 2 将||PF2|－|PF1||＝2a＝6,两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36, ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中,由余弦定理得 cos∠F1PF2＝错误! ＝错误!＝0, ∴∠F1PF2＝90°, ∴S△F1PF2＝错误!|PF1|·|PF2|＝错误!×32＝16.
双曲线及其标准方程(作业)
①曲线 C 不可能是圆； ②若 1＜k＜4，则曲线 C 为椭圆； ③若曲线 C 为双曲线，则 k＜1 或 k＞4； ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜k＜52. 其中正确命题的序号是________(写出所有正确的命题的序号)
三、解答题 9．求与双曲线x42－y22＝1 有相同焦点且过点 P(2,1)的双曲线的方程．
10．已知方程 kx2＋y2＝4，其中 k 为实数，对于不同范围的 k 值分别指出方 程所表示的曲线类型．
11．某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三 个观测点 A，B，C 的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声， 正东观测点听到爆炸声的时间比其他两观测点晚 4 s，已知各观测点到该中心的 距离都是 1 020 m，试确定该枚炮弹的袭击位置．(声音的传播速度为 340 m/s， 相关各点均在同一平面内)．
A.x22－y32＝1
B.x32－y22＝1
C．x2－y42＝1 D.x42－y2＝1
二、填空题 6．双曲线m2＋x2 12－4－y2m2＝1 的焦距为________．
7．(2013·郑州高二检测)设点 P 是双曲线x92－1y26＝1 上任意一点，F1，F2 分 别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.
双曲线及其标准方程
一、选择题
1．(2013·东营高二检测)方程2＋x2m－2－y2m＝1 表示双曲线，则 m 的取值范
围( )
A．－2＜m＜2
B．m＞0
C．m≥P 到 A(－5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6，则 P 点的轨
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《双曲线及其标准方程》练习题一
1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方
程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 2
16
＝1(x ≥3) 2．“ab<0”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )
A.x 25－y 24＝1
B.y 25－x 24＝1
C.x 23－y 22＝1
D.x 29－y 2
16
＝1 4．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
5．双曲线x 216－y 2
9
＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距 离为( )
A ．7
B ．23
C ．5或25
D ．7或23
6．圆P 过点
，且与圆 外切，则动圆圆心P 的轨迹方程（ ）．
A ．
； B ． C ． D ． 7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2
＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12 B ．1或－2 C ．1或12
D ．1 8. 已知ab<0，方程y= —2x+b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的（ ）
9．双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_______。
10．过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为_____。
11．已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．
12．过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程为________．
13．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．
14．已知方程x 22－k ＋y 2
k －1
＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k 的取值范围．
15.已知双曲线过点A （-2，4）、B （4，4），它的一个焦点是)0,1(1F ，求它的另 一个焦点2F 的轨迹方程。
16．如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足 2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．。