2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第74讲 直线、圆的方程的应用题的解法
高中数学：直线与圆的方程应用题解题技巧
高中数学：直线与圆的方程应用题解题技
巧
高中数学应用题大致可分四类：纯文型、图文型、表文型、改错型。
无论哪种类型高中数学应用题，只要掌握其解题技巧，再难的题都可以攻破。
下面为大家整理的高中数学：直线与圆的方程应用题解题技巧，供大家参考和学习，希望对大家的数学学习和数学成绩的提高有所帮助。
数学直线与圆的方程应用题解题技巧
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1。
高考数学直线和圆的方程专题复习 专题训练
高考数学直线和圆的方程专题复习专题训练----8ce23688-7166-11ec-986e-7cb59b590d7d高考数学直线和圆的方程专题复习专题训练高考中直线和圆的数学方程专题复习&LPAR；特殊培训和rPar；专题六、解析几何（一）1.线性方程：y=KX+T或ax+by+C=02.点关于特殊直线的对称点坐标：（1）关于线性方程y=x的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：m=Y0，n=x0；（2）关于线性方程y=x+B的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：m=Y0-B，n=x0+B；（3）关于线性方程y=-X的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：m=-Y0，n=-x0；（4）关于线性方程y=-x+B的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：n=-x0+B；m=-y0+b3.圆的方程：。
(x-a)+(y-b)=r或x2+y2+dx+ey+f=0d2+e2-4f>024.直线与圆的交点：l=2r2-d2（d为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。
若直线方程和圆的方程联立后，化简为：ax+bx+c=0，其判别式为∆，则=+k2--4=+k2注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可，它广泛应用于解析几何。
5.圆的切线方程：（1）点在圆外：如定点p(x0,y0)，圆：(x-a)+(y-b)=r，[(x0-a)+(y0-b)>r]第一步：设置切线l方程y-y0=K（x-x0）；第二步：求K到d=R，从而得到切线方程。
这里有两个切线方程。
特别说明：当K不存在时，应单独讨论。
（2）圆上的点：若点p(x0，y0)在圆(x-a)+(y-b)=r2（x-x0）（x0-a）+（y-y0）（y0-b）=0⇒（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。
直线与圆的方程例题及解析
直线与圆的方程例题及解析1. 直线方程的求解例题一已知直线上两点坐标分别为 A（2，3）和 B（-1，4），求直线 AB 的方程。
解析：设直线的方程为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为 y 轴截距。
首先，求解斜率 m：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)根据题意，A（2，3），B（-1，4），带入公式计算斜率：m = (4 - 3) / (-1 - 2) = 1 / (-3) = -1/3将斜率 m 替换到直线方程中：y = -1/3x + c接下来，我们需要求解截距 c。
将点 A（2，3）代入上式，得到：3 = -1/3 * 2 + c解得 c = 4/3。
将 c 替换到直线方程中，得到直线 AB 的方程：y = -1/3x + 4/32. 圆的方程的求解例题二已知圆心坐标为 O（2，-1），半径为 r = 3 的圆，求圆的方程。
解析：圆的方程一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，（h，k）为圆心坐标，r 为半径。
根据题意，圆心坐标为 O（2，-1），半径为 r = 3。
代入上式，得到圆的方程：(x - 2)² + (y + 1)² = 3²化简得：(x - 2)² + (y + 1)² = 9总结本文介绍了直线与圆的方程的求解方法，并给出了两个例题的解析过程。
在求解直线方程时，通过已知的两个点的坐标计算斜率，然后带入截距公式得到直线方程。
在求解圆的方程时，根据圆的一般形式，将圆心坐标和半径代入方程中得到圆的方程。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解直线与圆的方程。
高中数学直线与圆的解题方法
直线与圆是高中数学中常见的几何图形，它们之间的位置关系和相关问题也是高考的重点。
下面是一些常见的解题方法：
1.代数法：通过建立直线和圆的方程，利用代数方法求解交点、距
离等问题。
这种方法需要熟练掌握方程组的解法、不等式的性质等代数知识。
2.几何法：利用几何图形的性质，如角度、长度、面积等，通过直
观的图形分析解决问题。
这种方法需要有一定的几何基础，能够根据图形特点进行分析。
3.参数方程法：对于一些特殊的问题，可以通过引入参数方程，将
问题转化为参数的取值范围或最值问题，从而简化计算。
这种方法需要掌握参数方程的建立和求解方法。
4.向量法：利用向量的性质和运算规则，将几何问题转化为向量问
题，通过向量的运算和性质求解。
这种方法需要掌握向量的基本性质和运算方法。
5.解析几何法：通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，利
用代数方法进行求解。
这种方法需要掌握解析几何的基本知识和方法。
以上是高中数学中直线与圆的一些常见解题方法，不同的方法适用于不同的问题类型和难度，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
同时，也需要多做练习题，加深对问题的理解和掌握各种方法的运用技巧。
2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第74讲 直线、圆的方程的应用题的解法
第74讲 直线、圆的方程的应用题的解法【知识要点】一、圆的定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆.二、圆的标准方程：圆心在),(b a c 、半径为r 的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-三、圆的一般方程：当0422>-+F E D 时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.由220x y Dx Ey F ++++=得22224()()224D E D E F x y +-+++=（1）当0422>-+F E D 时，220x y Dx Ey F ++++=表示圆心为(,)22D E--，半径为2的圆；（2）当2240D E F +-=时，220x y Dx Ey F ++++=表示点(,)22D E --；（3）当2240D E F +-<时，220x y Dx Ey F ++++=不表示任何图形.四、求圆的方程的方法：待定系数法，先定式，后定量.如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式.五、用坐标法解决直线、圆的方程的几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；/第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 【方法讲评】【例1】某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m.现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？【解析】【点评】（1）解决此类问题的一般步骤是：先根据对称性建立恰当的直角坐标系→求出圆拱桥所在的圆的方程→求出船刚好通过的高度h→比较船的高度0h和h的关系得出结论.（2）图中点G的纵坐标就是船刚好通过的高度h.【反馈检测1】一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？23【例2】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km 处，受到影响的范围是半径长为30km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？方法二：几何法圆心（0，0）到直线05=-+y x 的距离225251150101d 22==+-⨯+⨯=r d 3r ＞∴=所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.【点评】（1）这类问题实质就是圆和直线位置关系的判断，此题实际上就是判断直线05=-+y x 和4圆922=+y x 的位置关系.（2）直线和圆的位置关系的判断有代数和几何问题两种方法.【反馈检测2】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km 处，受影响的范围是半径长为r （r ＞0）km 的圆形区域．轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线，假设台风中心不移动．试问：（1）r 在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？ （2）当r=60km 时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少km ？【例3】下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m ，拱高OP = 4m ，建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01m).【点评】这类问题的实质就是求圆的方程，一般利用待定系数法.【反馈检测3】赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.【反馈检测4】有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B相距10km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)5高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第74讲：直线、圆的方程的应用题的解法参考答案【反馈检测1答案】船不能从桥下通过.【反馈检测1详细解析】【反馈检测2答案】（1）0＜r＜（2）40km.【反馈检测2详细解析】如图，以台风中心为原点建立直角坐标系．（1）轮船在直线l：x+y-80=0上移动，原点到l的距离d=∴0＜r＜（2）60＞67航程为40=km【反馈检测3答案】x 2 + (y + 20.7)2 = 27.92(0≤y ≤7.2) 【反馈检测3详细解析】【反馈检测4答案】见解析 【反馈检测4详细解析】以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系. |AB | = 10，所以A (–5，0)，B (5，0)设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则运住A地的运费|PA|·3a当运费相等时，就是|PB|·a = 3a·|PA| ，所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.8本文档仅供文库使用。
直线与圆的方程典型例题剖析
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ①0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
高考数学常见题型解法归纳反馈训练第72讲直线和圆的位置关系的判断方法(2021学年)
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第７2讲 直线和圆的位置关系的判断方法【知识要点】一、设直线:0l Ax By C ++=圆222:()()C x a y b r -+-=,圆心到直线的距离d =二、判断直线与圆的位置关系的方法方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系 ①d r <⇔直线与圆相交； ②d r =⇔直线与圆相切； ③d r >⇔直线与圆相离：方法二（代数法）:通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况,从而确定直线和圆的位置关系。
①0∆>⇒方程组有两个不同的实数解⇒直线与圆相交; ②0∆=⇒方程组有两个相等的实数解⇒直线与圆相切; ③0∆<⇒方程组没有实数解⇒直线与圆相离。
方法三(顶定点分析法):先证明直线过某个定点，再证明该定点在圆内，则该直线和圆相交。
【方法讲评】【例１】已知圆C :0822=-+x y x 与直线l :m x y +-=， （1)1=m 时,判断直线l 与圆C 的位置关系； (2)若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.【点评】(1）利用几何的方法判断直线和圆的位置关系，先求直线到圆心的距离d ，再比较d 和圆的半径r 的大小关系,得出结论。
(完整版)直线与圆题型总结
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 2、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2; (2)被x 轴分成两段弧, 求圆心到直线I : x 2y 0的距离最小的圆的方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1已知圆O : x 2 y 2 4，求过点P 2,4与圆0相切的切线.2两圆C 1: x 2 y 2D 1xE 1 yF 1 0与C 2: x 2 y 2 D 2x E 2y F 2 0相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程.3、过圆x 2 y 2 1外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线 MA 、MB ，切点分别是 A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：2 2 1•求过点 M(3,1)，且与圆(x 1) y4相切的直线I 的方程 __________________ 2 2 52、 过坐标原点且与圆 x y 4x 2y 0相切的直线的方程为 _________22 2 3、 已知直线5x 12y a 0与圆x 2x y 0相切，则a 的值为 _________________________ .类型三：弦长、弧问题2 21、 求直线I : 3x y 6 0被圆C : x y 2x 4y 0截得的弦AB 的长 ________________________________2、 直线 3x y 2 3 0截圆x 2 y 2 4得的劣弧所对的圆心角为 _________________________3、求两圆x 2 y 2 x y 2 0和x 2 y 2 5的公共弦长 __________________________类型四：直线与圆的位置关系 I1、若直线y x m 与曲线y 4 x 2有且只有一个公共点，实数 m 的取值范围 _________________________________4、 若直线y kx 2与圆(x 2)2 (y 3)2 1有两个不同的交点，贝U k 的取值范围是 ________________________ .5、 圆x 2 y 2 2x 4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为 2的点共有().(A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个(D ) 4 个2 2 6、 过点P 3, 4作直线l ，当斜率为何值时，直线I 与圆C: x 1 y 24有公共点 类型五：圆与圆的位置关系2 2 2 2 1、判断圆C 1 : xy 2x 6y 26 0与圆C 2 : x y 4x 2y 4 0的位置关系 ___________________________________2 2 2 2 P(2,4)与圆的其弧长的比为3:1 ,在满足条件(1)(2)的所有圆中,2 圆(x 3)2 (y 3)29上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有_________ 个？ 2 2 3、直线 x y 1 与圆 x y 2ay 0 (a 0)没有公共点，则a 的取值范围是 __________2圆x y 2x 0和圆x y 4y 0的公切线共有___________________________条。
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第74讲 直线、圆的方程的应用题的解法
【知识要点】
一、圆的定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆.
二、圆的标准方程：圆心在),(b a c 、半径为r 的圆的标准方程是2
2
2
)()(r b y a x =-+-
三、圆的一般方程：当0422>-+F E D 时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.
由220x y Dx Ey F ++++=得22
22
4()()224
D E D E F x y +-+++=
（1）当0422>-+F E D 时，220x y Dx Ey F ++++=表示圆心为(,)22
D E
-
-，半径为
2
的圆；
（2）当2240D E F +-=时，220x y Dx Ey F ++++=表示点(,)22
D E --；
（3）当2240D E F +-<时，220x y Dx Ey F ++++=不表示任何图形.
四、求圆的方程的方法：待定系数法，先定式，后定量.如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式.
五、用坐标法解决直线、圆的方程的几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；/第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 【方法讲评】
【例1】某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m.现有一船，宽10m ，水面以
上高3m ，这条船能否从桥下通过？
【解析】
【点评】（1）解决此类问题的一般步骤是：先根据对称性建立恰当的直角坐标系→求出圆拱桥所在的圆的方程→求出船刚好通过的高度h→比较船的高度0h和h的关系得出结论.（2）图中点G的纵坐标就是船刚好通过的高度h.
【反馈检测1】一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？
2
3
【例2】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km 处，受到影响的范围是半径长为30km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
方法二：几何法
圆心（0，0）到直线05=-+y x 的距离2
2
52
5115
0101d 2
2=
=
+-⨯+⨯=
r d 3r ＞∴=
所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.
【点评】（1）这类问题实质就是圆和直线位置关系的判断，此题实际上就是判断直线05=-+y x 和
4
圆92
2=+y x 的位置关系.（2）直线和圆的位置关系的判断有代数和几何问题两种方法.
【反馈检测2】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km 处，受影响的范围是半径长为r （r ＞0）km 的圆形区域．轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线，假设台风中心不移动．试问：
（1）r 在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？ （2）当r=60km 时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少km ？
【例3】下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m ，拱高OP = 4m ，建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01m).
【点评】这类问题的实质就是求圆的方程，一般利用待定系数法.
【反馈检测3】赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.
【反馈检测4】有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B相距10km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)
5
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第74讲：
直线、圆的方程的应用题的解法参考答案
【反馈检测1答案】船不能从桥下通过.
【反馈检测1详细解析】
【反馈检测2答案】（1）0＜r
＜（2）40km.
【反馈检测2详细解析】如图，
以台风中心为原点建立直角坐标系．（1）轮船在直线l：x+y-80=0上移动，
原点到l的距离
d=
∴0＜r
＜
（2）60
＞
6
7
航程为40=km
【反馈检测3答案】x 2 + (y + 20.7)2 = 27.92
(0≤y ≤7.2) 【反馈检测3详细解析】
【反馈检测4答案】见解析 【反馈检测4详细解析】
以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系. |AB | = 10，所以A (–5，0)，B (5，
0)
设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则运住A地的运费|PA|·3a
当运费相等时，就是|PB|·a = 3a·|PA| ，
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.
8。