双曲线及其标准方程习题

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新高考数学总复习双曲线的定义标准方程及其几何性质课件教案练习题

则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
2 2
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为 .

2 2
2 2
4.与双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2 - 2 =t(t≠0).

5.双曲线的离心率公式可表示为e= 1 +
9 7
返回 27
[例3](1)(2024·成都模拟)已知直线y=
2 2
2x是双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线,

且点(2 3,2 3)在双曲线C上,则双曲线C的方程为(
2 2
A. - =1
3 4
2 2
B. - =1
3 6
2 2
C. - =1
6 12
2 2
D. - =1
12 24
)
2 2

【解析】选C.由双曲线C: 2 - 2 =1,则其渐近线方程为y=± x,由题意可得: =

可得b= 2a,将(2 3,2
12 12
3)代入双曲线方程可得 2 - 2 =1,解得a2=6,b2=12,
3.了解双曲线几何性质的简单应用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
返回 3
【命题说明】
考向
考法
高考对双曲线的考查形式有两种:(1)根据题设条件求双曲线的标准
方程;(2)通过双曲线的标准方程研究双曲线的基本性质,常以选择题
或填空题形式出现.
预计2025年高考在双曲线的标准方程、几何性质仍会出题,一般在
A. 37+4

双曲线练习题(含答案)

双曲线及其标准方程习题一、单选题(每道小题 4分共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于．．．．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是．．．．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的．既非充分又非必要条件．充要条件．必要而非充分条件．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是．．．．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为．．．．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是．．．．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是．．．．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是．或．或．或．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是　．．．．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是．．．．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、填空题(每道小题 4分共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。

双曲线及其性质

双曲线及其性质例1：（求双曲线方程）（1）已知双曲线与椭圆2212736x y+=有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．（2）已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．练习：（1）方程(m＋2)x2＋(m－1)y2＝1表示双曲线的充要条件为________（2）如果双曲线的两个焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，离心率e则该双曲线的方程为________．（3）已知焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)的双曲线方程为________．（4）k>1，则关于x、y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的双曲线（5）已知双曲线2221 (0)16x ybb-=>的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是( )A.2211625x y-= B.2211625x y-=- C.221169x y-= D.221169x y-=-例2：（双曲线的离心率）（1）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为．（2）双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________（3）双曲线22221x ya b-= (a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________（4）双曲线22221x ya b-=(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A．(1,3) B．(1,3]C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)例3：若F1，F2是双曲线221916x y-=的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|²|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．练习：在△ABC中，|BC|＝2且sin C－sin B＝12sin A，求点A的轨迹方程．【巩固练习】一、选择题1.(南昌)已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( )(A)13(B)63(C)33(D)2332.双曲线x 2n-y2=1(n>1)的左、右两个焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则△PF1F2的面积为( )(A)12(B)1 (C)2 (D)43.(汉中模拟)设双曲线x 2a2-y29=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)14.已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )(A)x 236-y2108=1 (B)x29-y227=1(C)x2108-y236=1 (D)x227-y29=15.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )(A)2(B)3(C)3+12(D)5+126.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4则C的实轴长为( )(A)2(B)22(C)4 (D)87.设F1,F2分别为双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )(A)3x±4y=0 (B)3x±5y=0(C)4x±3y=0 (D)5x±4y=08.设F1,F2分别是双曲线x2-y 29=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且PF1→²PF2→=0,则|PF1→+PF2→|= ( )(A)(B)2(C)(D)2二、填空题9.(西安)若椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,则双曲线y2a2-x2b2=1的离心率为.10.(天津)已知双曲线C1:x 2a -y2b=1(a>0,b>0)与双曲线C2:x24-y216=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(则a= ,b= .11.过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为.三、解答题12.(井冈山)已知A,B,P是双曲线x 2a2-y2b2=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积k PA²k PB=23,求双曲线的离心率.13.(马鞍山)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为 2,且过点P(4,- 10). (1)求双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF 1→²MF 2→=0.(3)求△F 1MF 2的面积.14.P(x 0,y 0)(x 0≠±a)是双曲线E:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点,M,N 分别是双曲线E 的左,右顶点,直线PM,PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OC →=λOA →+OB →,求λ的值.练习题答案解析1.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:1m+1n1m=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,∴m>n,即1n >1m,故由椭圆mx2+ny2=1得y21n+x21m=1.∴所求椭圆的离心率为:e=1n−1m1n=1n−13n1n=63.【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本原因是由于将椭圆mx2+ny2=1焦点所在位置弄错,从而把a求错造成.2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2n,又|PF1|+|PF2|=2n+2,∴|PF1|=n+2+n,|PF2|=n+2-n, 又c=n+1,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1||PF2|=1.3.【解析】选C.双曲线x 2a2-y29=1的渐近线方程为3x±ay=0与已知方程比较系数得a=2.4.【解析】选B.由题意可知c=6,a2+b2=c2,ba=3,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为x29-y227=1.5.【解析】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率k=±ba ,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以k FB=-bc,又因为直线FB与双曲线的一条渐近线垂直,所以k²k FB=ba (-bc)=-1(k=-ba显然不符合),即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,即e2-e-1=0,解得e=1+52(负值舍去).【变式备选】双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则b2+13a的最小值为( )(A)233(B)33(C)2 (D)1【解析】选A.因为双曲线的离心率为2,所以ca=2,即c=2a,c2=4a2;又因为c2=a2+b2,所以a2+b2=4a2,即b=3a,因此b 2+13a=3a2+13a=a+13a≥213=233,当且仅当a=13a,即a=33时等号成立.故b 2+13a的最小值为233.6.【解析】选C.不妨设点A的纵坐标大于零.设C:x 2a2-y2a2=1(a>0),∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立得方程组x2a2−y2a2=1,x=−4,解得:A(-4,16−a2),B(-4,-16−a2),∴|AB|=216−a2=43,解得a=2,∴2a=4.∴C的实轴长为4. 7.【解析】选C.设PF1的中点为M,因为|PF2|=|F1F2|,所以F2M⊥PF1,因为|F2M|=2a,在直角三角形F1F2M中, |F1M|=(2c)2−(2a)2=2b,故|PF1|=4b,根据双曲线的定义得4b-2c=2a,即2b-c=a,因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,即3b2-4ab=0,即3b=4a,故双曲线的渐近线方程是y=±43x,即4x±3y=0.8. 【解析】选B.如图,由PF 1→²PF 2→=0可得PF 1→⊥PF 2→,又由向量加法的平行四边形法则可知□PF 1QF 2为矩形,因为矩形的对角线相等,故有|PF 1→+PF 2→|=|PQ →|=2c=2 10. 9.【解析】由已知椭圆离心率为 32, 所以有a 2−b 2a= 1−(b a )2= 32,得(b a )2=14,而双曲线的离心率为a 2+b 2a= 1+(b a )2= 1+14= 52.答案: 5210.【解析】由题意可得 ba =42,a 2+b 2=5,解得:a=1,b=2.答案:1 211.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B 的坐标,由点M 在圆内部列不等式求解. 【解析】设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),右焦点F 坐标为F(c,0),令A(c,b 2a ),B(c,-b 2a ), 所以以AB 为直径的圆的方程为(x-c)2+y 2=b 4a .又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<b 4a , 即a+c<b 2a ⇒a 2+ac<c 2-a 2,⇒e 2-e-2>0(e=ca ),解得:e>2或e<-1.又e>1,∴e>2. 答案:(2,+∞)12.【解析】设A(m,n),P(x 0,y 0),则B(-m,-n),∵A,B,P 在双曲线上,∴m 2a -n 2b =1,(1)x 02a -y 02b =1,(2) (2)-(1)得:x 02−m 2a =y 02−n 2b ⇒y 02−n 2x 02−m =b 2a ,k PA ²k PB =y 0−nx 0−m ²y 0+n x 0+m =y 02−n 2x 02−m =b 2a =23⇒e=c a = 1+b 2a = 1+23= 153. 13.【解析】(1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). ∵过点P(4,- 10),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x 2-y 2=6.(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b= ∴c=2 ,∴F 1(-2 2(2 ∴k MF 1=3+2 3,k MF 2=3−2 3,k MF 1²k MF 2=m 29−12=-m 23.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m 2=6,m 2=3.故k MF 1²k MF 2=-1,∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→²MF 2→=0.方法二:∵MF 1→=(-3-2 3,-m),MF 2→=(2 3-3,-m),∴MF 1→²MF 2→=(3+2 3)³(3-2 3)+m 2=-3+m 2. ∵M(3,m)在双曲线上, ∴9-m 2=6,即m 2-3=0.∴MF 1→²MF 2→=0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|=4 3,△F 1MF 2的边F 1F 2上的高h=|m|= 3,∴S △F 1MF 2=6. 14.【思路点拨】(1)代入P 点坐标,利用斜率之积为15列方程求解. (2)联立方程,设出A,B,OC →的坐标,代入OC →=λOA →+OB →求解.【解析】(1)由点P(x 0,y 0)(x 0≠±a)在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上,有x 02a 2-y 02b 2=1.由题意又有y 0x 0−a²y 0x 0+a =15,可得a 2=5b 2,c 2=a 2+b 2=6b 2, 则e=c a =305. (2)联立方程得 x 2−5y 2=5b 2,y =x −c,得4x 2-10cx+35b 2=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则 x 1+x 2=5c2,x 1x 2=35b 24.设OC →=(x 3,y 3),OC →=λOA →+OB →, 即 x 3=λx 1+x 2,y 3=λy 1+y 2.又C 为双曲线E 上一点,即x 32-5y 32=5b 2,有(λx 1+x 2)2-5(λy 1+y 2)2=5b 2,化简得:λ2(x 12-5y 12)+(x 22-5y 22)+2λ(x 1x 2-5y 1y 2)=5b 2,又A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在双曲线E 上,所以x 12-5y 12=5b 2,x 22-5y 22=5b 2.又x 1x 2-5y 1y 2=x 1x 2-5(x 1-c)(x 2-c)=-4x 1x 2+5c(x 1+x 2)-5c 2=10b 2, 得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.。

双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)ppt文档

M
2、|MF2| － | MF 1| =2a (2a< |F1F2| )
F1
F2
3、若常数2a=0
F1
F2
4、若常数2a = | F1F2 |
F1
F2
5、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
变式１已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P，｜PF1|－|PF2|= 6，求点P的轨迹方程.
解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支，
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)
1、复习
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是椭圆 .
动
画
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
走进高考
x2 y2
1.若双曲线 16 9 1 上的点P 到点
(5,0) 的距离是15，则点P 到点(5,0) 的
距离是（ D ） A.7 B. 23 C. 5或25 D. 7或23
所以所求双曲线的标准方程为：
x2 y2 1 或
y2 x2 1
9 16
9 16
课堂练习

高二数学双曲线标的准方程

所以所求双曲线的标准方程为：
添加标题
解:
x2
y2
1
9 16
2
2
2x5 7y5 例2、若P是以F1、F2为焦点的双曲线
上的点,且P到F1的距离是12,求点P到F2的
距离。
1
x2 y2
01
1 练习1:如果方程
2 m m 1 表示双曲线,求m的取值范围.
02
分析:
由 (2 m)(m 1) 0
y
M
o F2 x
3.列式|MF1| - |MF2|=
2a
即(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y
4.化简.
F1
M
o
F2 x
(c2 a2) x2 a2 y2 a2(c2 a2)
令：c2-a2=b2 代入上
式得：b2x2-a2y2=a2b2y
x2 y2
即：a2 b2 1 （a>0，b>0） F 1 o
添加标题单击此处输入你的正文，文字是
c, 0 您思想的提炼，请尽量言简意赅
1 2 的阐述观点
c, 0
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两个定义定: 点F1，
动画
F2的距离的差
M
的绝对值
添加标题
单击此处输入你的正文，文字是
等于常数
您思想的提炼，请尽量言简意赅
的阐述观点
F oF
的点的轨迹叫做双曲线. 添加标题单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点
M
x
F2
•想一想
焦点在y轴上的双
曲线的标准方程
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b

双曲线新课习题集

双曲线及其方程（第一课时）一、教学目标：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导。

二、重点：双曲线的定义和标准方程。

难点：标准方程的推导。

三、基本概念：1、双曲线的定义：叫做双曲线的焦点。

叫做双曲线的焦距。

2、注意：0〈2a<21F F =2c3、思考：当2a=2c 时轨迹如何？，当2a>2c 时又如何？四、双曲线的标准方程及其推导。

（一）双曲线的标准方程的推导： 1.建立直角坐标系：2.写出适合条件的动点M 的集合：3.列方程：4.化简方程：（二）双曲线的标准方程：1、焦点在X 轴上时： 2、焦点在Y 轴上时： 3、a 、 b 、 c 的关系五、典型例题：例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（-5,0）,(5,0), 双曲线上的点与两个焦点的距离的差的绝对值等于8；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-6），（0，6），且双曲线经过点A （-5，6）.思考：如果已知点M （x,y ）与点F 1（-5，0）的距离比它与点F 2（5，0）的距离大8，求M 点的轨迹方程。

并与例1（1）比较有什么联系和区别？例2、已知双曲线1453622=-y x （1）求此双曲线的左、右焦点F 1，F 2的坐标；（2）如果此双曲线上一点P 与焦点F 1的距离等于16，求点P 与焦点F 2的距离六、基本练习：1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）a=3,b=4, 焦点在X 轴上；（2）两个焦点的坐标分别是F 1（0，-6）, F 2 (0，6), 经过点A （2，-5）.（3）焦点在X 轴上，经过点P （4，-2）和点Q （2,622）；（4） a=5,c=8;2、已知双曲线方程1201622=-x y （1）求双曲线的焦点F 1，F 2的坐标。

（2）如果此双曲线上一点P 与焦点F 1的距离等于8，求点P 与焦点F 2的距离。

七、巩固提高：1、若11222=+++λλy x 表示双曲线，则λ的取值范围2、求中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且经过P （3，415）和Q （,3165）两点的双曲线方程。

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】关于t的方程的不同的两根为0，，不妨取=0，=，直线AB 过原点，斜率为==，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为0，故选D.【考点】直线的方程，双曲线的渐近线，2.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线右支上的一点，满足，且，则该双曲线离心率为．【答案】.【解析】，在中，设，则，.【考点】双曲线的离心率.3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．【答案】B.【解析】由题意可知双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因此顶点到渐近线的距离为.【考点】双曲线的标准方程与渐近线方程.5.已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F, 点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若, 则此双曲线的离心率等于( )．A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵抛物线的焦点F（，0），∴由题意知双曲线的一个焦点为F（c，0），>a,（1）即p>2a．∴双曲线方程为，∵点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若,∴p点横坐标x=，代入抛物线y2=8x得P，把P代入双曲线P，得，解得或因为p>2a．所以舍去，故（2）联立（1）（2）两式得c=2a,即e=2．故选A．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的离心率的求法．6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率的值是．【答案】【解析】根据渐近线方程有,可知其渐近线的斜率的绝对值小于1,所以两条渐近线的倾斜角分别是与,则根据,得,根据双曲线中有则离心率为.【考点】双曲线渐近线,离心率.7.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可得，所以，所以该双曲线的离心率，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其几何性质.8.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以【考点】双曲线渐近线方程9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程10.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以三角形为等腰三角形，因此到直线的距离等于底边上的高线长，从而因此又所以该双曲线的渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线11.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，，，因为，所以，故选C．【考点】双曲线的离心率．12.若双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为．【答案】.【解析】由双曲线的渐近线方程为及性质可知，两边平方得，即.【考点】双曲线的几何性质.13.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 .【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为，∴；双曲线的焦点到其渐近线的距离.【考点】双曲线的定义、抛物线的定义.14.已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在曲线上,∠=,则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题中唯一的条件是，为了充分利用此条件，我们设，且不妨设，则根据双曲线定义有，对利用余弦定理有，即，因此可求得，下面最简单的方法是利用面积法求得到轴的距离，，可得。

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[学业水平训练]
1．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( )
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线
解析：选D.依题意|PM |－|PN |＝2＝|MN |，
所以点P 的轨迹不是双曲线，而是一条射线．
2．若方程x 210－k ＋y 2
5－k
＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．(5,10) B ．(－∞，5)
C ．(10，＋∞)
D ．(－∞，5)∪(10，＋∞) 解析：选A.由题意得(10－k )(5－k )<0，解得5<k <10.
3．以椭圆x 23＋y 24
＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23
＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24
＝1 解析：选B.椭圆x 23＋y 24
＝1的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，长轴的端点A 1(0,2)，A 2(0，－2)，所以对于所求双曲线a ＝1，c ＝2，b 2＝3，焦点在y 轴上，双曲线的方程为y 2－x 23
＝1.
4．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn ＜0，则方程表示的曲线是( )
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在x 轴上的双曲线
C ．焦点在y 轴上的椭圆
D ．焦点在y 轴上的双曲线
解析：选D.将方程化为y 2－n m －x 2
－n m
＝1. 5．若点M 在双曲线x 216－y 24
＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．12
解析：选B.双曲线中a 2＝16，a ＝4,2a ＝8，由双曲线定义知||MF 1|－|MF 2||＝8，又|MF 1|＝3|MF 2|，所以3|MF 2|－|MF 2|＝8，解得|MF 2|＝4.
6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29
＝1的一个焦点，则m ＝________. 解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29
＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.
答案：16
7．已知双曲线的焦点分别为(0，－2)、(0,2)，且经过点P (－3，2)，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题知c ＝2，又点P 到(0，－2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a ，
2a ＝|(－3－0)2＋[2－(－2)]2－(－3－0)2＋(2－2)2|＝2，∴a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3.又焦点在y 轴上，
∴双曲线的方程为y 2
－x 23
＝1. 答案：y 2－x 23＝1 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 2
12
＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94
，5)． (2)与双曲线x 216－y 2
4
＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎨⎧ 32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝16，
b 2＝9，所以双曲线的方程为y 216－x 29
＝1. (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知c ＝2 5. 因为双曲线过点(32，2)，所以(32)2a 2－4b
2＝1. 又因为a 2＋b 2＝(25)2，
所以a 2＝12，b 2＝8.
故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1. 10．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
解：因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．
因为双曲线过点P (42，－3)，
所以32a 2－9b
2＝1.① 又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，
所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0.
解得c 2＝25.②
又c 2＝a 2＋b 2，③
所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. [高考水平训练] 1．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )
A.365
B.566
C.65
D.56
解析：选C.
不妨设点F 1(－3,0)，
容易计算得出
|MF 1|＝36＝62
， |MF 2|－|MF 1|＝2 6.
解得|MF 2|＝52
6. 而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中，
由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12
|MF 2|·d ，求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65
. 2．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝
0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意可设双曲线方程为
x 2a 2－y 2b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得
|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.
根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a .
两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得
20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为x 24
－y 2＝1. 答案：x 24
－y 2＝1 3．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求C 的圆心轨迹L 的方程．
解：设两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，两圆相离，
由题意得||CF 1|－|CF 2||＝4＜25＝|F 1F 2|，
从而得动圆的圆心C 的轨迹是双曲线，
且a ＝2，c ＝5，所以b ＝(5)2－22＝1，
所求轨迹L 的方程为x 24
－y 2＝1.
4．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 2
16
＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；
(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．
解：双曲线的标准方程为x 29－y 216
＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.
故点M 到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得
|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，
∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.
在△F 1PF 2中，由余弦定理得
cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|
＝100－1002|PF 1|·|PF 2|
＝0， ∴∠F 1PF 2＝90°，
∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12
×32＝16.。