【配套K12】2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形第17讲全等三角形练习

第17讲 全等三角形重难点 全等三角形的性质与判定如图，已知AC ＝BD ，AB ＝DC ，求证：△ABO≌△DCO.【思路点拨】 先由“SSS ”证△ABC≌△DCB，再由“AAS ”证△ABO≌△DCO. 【自主解答】 证明：∵AB＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴△ABC≌△DCB(SSS )． ∴∠A＝∠D.又∵∠AOB＝∠DOC，AB ＝DC, ∴△ABO≌△DCO(AAS )． 方法指导1．三角形全等的证明思路：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS找直角→HL 或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一角的对边→AAS2．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．3．证明两条线段相等或两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的两个三角形全等．当所证的线段或角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形．它的步骤是：先证全等，再利用全等的性质求解．4．探究两条线段的位置关系时，一般也是先利用全等的性质证明角相等，进而利用平行线的判定和直角的定义来判断线段的位置关系．易错提示“SSA ”和“AAA ”不能判定三角形全等．【变式1】 如图，已知AB ＝CD ，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DCB.【思路点拨】 先证△AEB≌△DEC，再根据全等三角形的性质得到相等的边和角，从而使问题得证． 【自主解答】 证明：∵AB＝CD ，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，∴△AEB≌△DEC(AAS )． ∴BE＝CE ，∠ABE＝∠DCE.∴∠EBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠DCB. 又∵BC＝CB ，∴△ABC≌△DCB(ASA )．【变式2】 如图，已知点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，OB ＝OC ，∠ABE＝∠ACD.求证：△ABE≌△ACD.【思路点拨】 已知△ABE 和△ACD 的两组对应角相等，则只需找到一组对应边相等即可． 【自主解答】 证明：∵OB＝OC ， ∴∠OBC＝∠OCB. 又∵∠ABE＝∠ACD， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC.在△ABE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠A，AB ＝AC ，∠ABE＝∠ACD， ∴△ABE≌△ACD(ASA )．【变式3】 如图，已知AC ，BD 相交于点O ，∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，求证：∠CDA＝∠DCB.【思路点拨】 要证∠C DA ＝∠DCB，观察发现∠CDA 与∠CAB 分别在△ADC 与△BCD 中，故只需证明△ADC≌△BCD，由全等三角形的性质即可使问题得证．【自主解答】 证明：∵∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，AB ＝BA ， ∴△DAB≌△CBA(AAS )． ∴AC＝BD ，AD ＝BC. 又∵CD＝DC ，∴△ADC≌△BCD(SSS )． ∴∠CDA＝∠DCB.考点1 全等三角形的概念及性质1．(2016·厦门)如图，点E ，F 在线段BC 上，△ABF 与△DCE 全等，点A 与点D ，点B 与点C 是对应点，AF 与DE 相交于点M ，则∠DCE＝(A )A ．∠B B ．∠AC ．∠EMFD ．∠AFB2．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．考点2 全等三角形的判定3．(2018·成都)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是(C )A ．∠A＝∠DB ．∠ACB＝∠DBC C ．AC ＝DBD ．AB ＝DC4．(2018·黔东南)在下列各图中，a ，b ，c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是(B )A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙5．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC ＝BC ，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D ，E ，AD ＝3，BE ＝1.则DE 的长是(B )A .32B ．2C ．2 2D .106．如图，在等边△ABC 中，M ，N 分别在BC ，AC 上移动，且BM ＝CN ，AM 与BN 相交于点Q ，则∠BAM＋∠ABN 的度数是(A )A ．60°B ．55°C ．45°D ．不能确定7．(2018·南京)如图，AB⊥CD，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为(D )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c8．(2018·衢州)如图，在△ABC 和△DEF 中，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF ＝CE ，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是答案不唯一，如：AB ＝DE 或∠A＝∠D 或∠ACB＝∠DFE(或AC∥DF)．(只需写一个，不添加辅助线)9．(2018·荆州)已知：∠AOB ，求作：∠AOB 的平分线．作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C ；③画射线OC.射线OC 即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是SSS ．10．(2018·娄底)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BF⊥AC 于点F ，DE ＝3 cm ，则BF ＝6__cm ．11．(2018·南充)如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE－∠CAE＝∠DAC－∠CAE. ∴∠BAC＝∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC＝∠DAE，AC ＝AE ，∴△ABC≌△ADE(SAS )． ∴∠C＝∠E.12．(2018·桂林)如图，点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AD ＝CF ，AB ＝DE ，BC ＝EF.(1)求证：△ABC ≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F 的度数．解：(1)证明：∵AD＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS )．(2)∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB . ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝37°. ∴∠F＝∠ACB＝37°.13．(2018·泰州)如图，∠A＝∠D＝90°，AC ＝DB ，AC ，DB 相交于点O ，求证：OB ＝OC.证明：在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴Rt △ABC≌Rt △DCB(HL )． ∴∠ACB＝∠DBC. ∴OB＝OC.14．(2018·怀化T 19，10分)如图，点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB∥CD，AB ＝CD ，∠B＝∠D.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG ＝5，求AB 的长．解：(1)证明：∵AB∥DC， ∴∠A＝∠C.2分在△ABE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠C，AB ＝CD ，∠B＝∠D，∴△ABE≌△CDF(ASA ).4分(2)∵点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点， ∴EG＝12CD.6分∵EG＝5， ∴CD＝10.8分 ∵△ABE≌△CDF， ∴AB＝CD ＝10.10分15．(2017·哈尔滨)已知△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE ，BD 相交于点O.AE 与DC 相交于点M ，BD 与AC 相交于点N.(1)如图1，求证：AE ＝BD ；(2)如图2，若AC ＝DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．图1 图2解：(1)证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC ＝BC ，DC ＝EC.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE. 在△ACE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ，∴△ACE≌△BCD(SAS )． ∴AE＝BD.(2)答案不唯一，如：△ACB ≌△DCE，△EMC≌△BNC，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE.16．(2017·滨州)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M ，N 两点，则以下结论：①PM＝PN 恒成立；②OM＋ON 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④MN 的长不变．其中正确的个数为(B )A ．4B ．3C ．2D ．117．(2018·青岛)如图，正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 218．(2018·滨州)在△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点．(1)如图1，若点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE⊥DF，求证：BE ＝AF ；(2)若点E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE ＝AF 吗？请利用图2说明理由．图1 图2解：(1)证明：连接AD. ∵∠A＝90°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD＝45°. ∵点D 为BC 的中点， ∴AD＝12BC ＝BD ，∠FAD＝45°.∵∠BDE＋∠ED A ＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠FAD，BD ＝AD ，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF(ASA )．∴BE＝AF.(2)BE ＝AF.理由如下：连接AD.由(1)知，∠ABD＝∠BAD＝45°， ∴∠EBD＝∠FAD＝135°.∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA. 在△EDB 和△FDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠FAD，BD ＝AD ，∠EDB＝∠FDA，∴△EDB≌△FDA(ASA )．∴BE＝AF.。