天津市高二数学必修5导学案：数列求和
人教A版高二数学必修五导学案及答案全套高二数学必修五导学案：课程整合《数列求和》第1课时
第二章数列课程整合1数列乞降共两课时** 学习目标 **1．掌握数列乞降的方法；2．能依照和式的特点采纳相应的方法乞降．** 要点精讲 **1．公式法：等差、等比数列乞降公式；nk2 12 22 32 n 2 1n( n 1)(2n 1) ，公式：k 1 6n2 k3 13 23 n 31n( n 1) 等。
k 122．错位相减法：若a n 是等差数列，b n是等比数列，则求数列a n b n的前 n 项和 S n，常用错位相减法。
3．裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项。
4．分组乞降法：把一个数列分成几个可以直接乞降的数列。
5．并项乞降法：特点是数列的前后两项和或差可以组成一个我们熟悉的数列形式6．倒序相加法：近似于等差数列前 n 项和公式的推导方法．** 模范解析 **例 1．乞降：S 1 (1 q) (1 q q2 ) (1 q q2 q n ) ．n例 2．（ 1）已知数列a n 满足 a n1，求 S n。
n n 1( n 1 n)（ 2）已知数列 a 的通项公式 a1 ，求 S 。
n2n n 2n n（ 3）已知数列 a 的通项公式 a4n2 ，求 S 。
n n (2n 1)(2n 1) n（ 4）乞降：S n 11 1 1。
1 2 1 2 3 1 2 3 n例 3 ．（ 1）乞降：1 2 2 33 4(1)n nS n（ 2）乞降： S 1 3 57 9( 1)n (2n1)n（ 3）已知函数对所有 x R ， f (x)f (1 x) 1 。
新 课 标第一 网乞降： Sf (0) f ( 1 ) f ( 2 )f (n2 )f (n 1) f (1) 。
n n nn例 4．在等差数列 { a n } 中 ,首项 a 11，数列 { b n } 满足 b n(1) a n ，且 b 1b 2 b 3 1 。
264（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（ 2）求证： a 1b 1 a 2b 2a nb n 2 。
高二数学必修5导学案：数列求和
常用公式：（1）等差数列的前n 项和：（2）等比数列的前n 项和：（3）常用结论：1+2+3+⋅⋅⋅+n==+⋅⋅⋅+++2222321n=+⋅⋅⋅+++3333321n1．倒序相加法：等差数列前n 项和公式的推导方法：（1）)(211121n n n n nn n a a n S a a a S a a a S +=⇒⎩⎨⎧+++=+++=-例1．求和：222222222222110108339221011++++++++2．分组法求和例2求数列 1614,813,412,211的前n 项和；练习2．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .3.裂项相消法例3求和...1)(2n 1)-2n 1...751531311，（+⨯++⨯+⨯+⨯练习3（1）求和：n ++++++++++21132112111（1）求数列 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.4.错位相减法例4．求和：)0()12(5332≠-++++x x n x x x n练习4....21)12(...815413211，，，，，n n ⨯-⨯⨯⨯小结：对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差 数列，{}n b 为等比数列，均用此法. 错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比； ②将两个等式错一位相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和.◆ 当堂检测1.数列{}n a 的通项公式是n a =，若前n 项和为10，则项数n 为（ ） A ．11B ．99C ．120D ．1212.求：.1616814412 项的和前数列：n +++3.已知函数()f x 是一次函数，且(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列，设()n a f n =，（ n N *∈） （1）求T n ；（2）设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S 。
人教版高中数学必修五教案：数列求和
课题数列求和课型复习课课时： 1 授课时间：教学目标知识与技能：数列求和方法．过程与方法：求和方法及其获取思路．情感态度与价值观：通过学生对数列的观察能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点数列求和方法及其获取思路．教学难点数列求和方法及其获取思路．教学手段多媒体辅助教学教学方法先学后教，讲练结合教学过程1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：（1）)(211121nnnnnnn aanSaaaSaaaS+=⇒⎩⎨⎧+++=+++=-例1．求和：222222222222110108339221011++++++++分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：（2）11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=nnnnnnn aaSqaaaaqSaaaaS例2．求和：)0()12(5332≠-++++xxnxxx n3．分组法求和二次备课例3求数列 1614,813,412,211的前n 项和； 例4．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。
例5．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .)1(11 111,1 ;2)1(21 ,111,1:1n n n n n n a aa a aa a a n n n S n a a --=--=++=≠+=+++==+++==- 则若于是则若解]1)1([11)]([11 11111122aa a n a a a a n a a a a a a a S n nn n ----=+++--=--++--+--= 于是4．裂项法求和 例6．求和：n++++++++++21132112111 解：设数列的通项为a n ，则)111(2)1(2+-=+=n n n n a n ,12)111(2)]111()3121()211[(221+=+-=+-++-+-=+++=∴n nn n n a a a S n n 例7．求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n三、课堂小结1．常用数列求和方法有：(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和； (4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和； (5) 并项求和法: 将相邻n 项合并为一项求和； (6) 分部求和法：将一个数列分成n 部分求和；(7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、作业（.1616814412).1项的和前求数列：n +++ （2）．在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.（3）．在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10板书设计数列求和倒序相加法：二、例题讲解 三、总结 四、作业布置教学反思。
人教A版高中数学必修五天津武清区杨村第四人教数列求和学案
数列求和一 知识要点（一）、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：（二）、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.（三）、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.（四）、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=（3）．n n nn -+=++111 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.二 例题讲解例1求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…练习 求数列: 1223131311,,31311,311,1n +++++++ 的前n 项的和.例2求和：S n ＝)1(1321211+++×+×n n练习 （1） 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.（2）求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例3 求和S n =nn n n 212232252321132-+-++++-练习 已知132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ，求n S。
人教A版高中数学必修五第二章复习课《数列求和》的教学设计
人教A版高中数学必修五第二章《数列求和》的教学设计数列是高考的重点内容，也是一个难点，那么如何才能做到有效复习呢？很多老师可能用最短的时间讲完知识点，然后对学生进行题海式的专题训练，但是一轮复习后没有达到预期的效果。
笔者认为高三的课堂教学要达到预期的效果，重要的是理清主线，变式推进，注重反思。
理清主线能让学生知识框架清晰，能认清知识的本质；变式推进能让学生从多重角度理解知识；注重反思能让学生从错误中理解知识。
下面是笔者在“一师一优课”视频公开课中的教学设计：一、课前热身，唤醒记忆（1）等差数列的通项公式是什么？（2）等差数列的求和公式是什么？（3）等差数列前n项和的公式推导过程是怎样的？用了什么方法？（4）等比数列的通项公式是什么？（5）等比数列的求和公式是什么？（6）等比数列前n项和的公式推导过程是怎样的？用了什么方法？设计意图：在学习本节课之前，学生已经系统的学习了求数列通项的方法，特别是等差数列与等比数列的通项推导，因此，笔者想通过这几个问题唤醒学生对等差数列、等比数列求和公式中的一些基本概念，方法。
其实，在公式的推导过程成就已经蕴含了几种数列求和的方法，例如，在推导等差数列求和公式时用了倒序相加法；在推导等比数列公式时使用的是错位相减法等。
这些问题书本上都有提到，只要课前翻看书本是能够解决的，也为后面的学习做铺垫。
二、课前测试，查漏补缺)0(124211n 253199975312≠++++++++-+++++++++a a a a n n ④③②①、求下列数列的和设计意图：这几组题主要让学生熟悉等差数列与等比数列求和公式，并针对其中几个易错点设计：项数问题，应用等比数列求和公式时对公比的讨论等等。
2、你所知道的求和方法有那些？设计意图：引导学生归纳回忆所学过的求和方法有哪些，主要也是理清求和方法的主线，让学生的复习不要偏离轨道。
学生归纳出的数列的求和方法有以下几种：（1）公式法：当数列是等差或等比数列的时候，可以直接使用这两种数列的求和公式；（2）错位相减法：这种方法是在推导等比数列求和公式时应用到的，不过却难倒了很多学生，因为他们认识不到错位的目的是什么，因此这是复习的难点；（3）裂项相消法：这个方法主要是把数列的项裂开，使得求和时可以有些项抵消，以达到求和的目的；（4）分组求和：这里实际上与公式法一致，当数列是等差数列与等比数列之和时，可以分开来用公式法求和。
高中数学必修五学案 数列求和
数列求和可分为特殊数列与一般数列求和，所谓特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称之为一般数列。
对于特殊数列的求和，要恰当地选择、准确地应用求和公式，采用直接求和的方法。
对于一般数列的求和，可采用下面介绍的几种化归策略。
1、 公式法：⑴ 等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=， 2)1(1d n n na S n -+=⑵ 等比数列的求和公式 当1≠q 时，1(1)1n n a q S q -=- ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时1n S na = ⑶ (1)122n n n ++++=， 2135(21)n n ++++-=， 2135(21)(1)n n +++++=+，22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ 23333]2)1([321+=++++n n n 2、 倒序相加法： 如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
特征：a n +a 1=a n-1+a 2例1、 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值例2、已知)10011000()10012()10011(,244)(f f f S x f x x +++=+= 求的值。
3、 错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。
特征：所给数列｛a n ｝，其中a n =c n ·b n 而｛c n ｝是一个等差数列，且｛b n ｝则是一个等比数列。
（“等比数列”的求和）例3、已知数列｛a n ｝，a 1=2， a n =（n+1）x n －1(n ≥2，n ∈N *)，求S n 。
例4、求数列}21{n n ⨯前n 项和4、裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。
《数列求和》教学设计
人教版必修5高三年级复习课《数列求和》教学设计一、设计思想：本课教学能够充分培养学生的动手观察能力，及数学中的类比和转化思想。
二、教材分析：本节课的教学内容在教材中所占的篇幅比较小，但其重要性却不容忽视。
关于数列求和经常会遇到非等差、等比数列的求和问题。
三、学情分析：所任教的班级是文科班，学生的基础不够扎实，理解能力还有待提高。
因此本节课所设计的题目在难度和容量上较为侧重基础，难度不大但是具有典型代表性，题量不大但是精炼，能适应学生的认知水平，使学生在教学过程中能灵活应用，思维得到提高。
四、教学目标：知识目标：掌握数列求和的几种常用方法,能将一些特殊数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题。
能力目标：培养学生的观察能力、运算﹑化归意识；培养学生的数学思维能力和问题转化的思想。
情感目标：激发学生学习数学的兴趣。
五、教学重点：将一般数列转化为等差,等比数列的几种方法,学会如何转化。
解决方法：观察、分析；找特征，抓关键。
六、教学难点：不同的数列采用不同的方法,运用转化的思想方法分析问题和解决问题.解决方法:分析﹑鉴别。
七、教学过程：1、引入新课：（直接导入）关于数列，我们主要研究了两类特殊的数列——等差数列、等比数列。
其中一项重要的内容就是数列的求和。
它往往是数列知识的综合体现，求和题在高考试题中非常常见，它常常考查我们的基础知识，分析问题和解决问题的能力。
这节课我们就来研究一下数列的求和的问题。
2、知识回顾：（1）等差数列的前n 项和公式：___________________;（2）等比数列的前n 项和公式：①___________________;②___________________提出问题：这两个公式分别是什么方法推导得到的？等差数列求和公式的推导方法是利用倒序相加法，等比数列求和公式的推导是利用错位相减法。
计算：=++++n 321___________________;=-++++12531n __ ___________;=++++n 2842 ________ ____;教师引导学生回忆这些常用的等差数列、等比数列的求和公式，学生进一步掌握这些公式，为下面的学习做好铺垫。
天津市南开中学高二数学必修5导学案：2.1 数列的概念与简单表示法(1)
一、相关复习 复习1：函数3x y =，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学◆ 学习探究探究任务：数列的概念⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列吗？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关系，是什么关系？5．数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列，数列， 数列和 数列.◆ 典型例题例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴ 1，－12，13，－14；⑵ 1， －1， 1， －1；（3）-1, 1，-1，1；（4）1 ，0， 1， 0；（5）12，45，910，1617； （6）211⨯，-321⨯， 431⨯，-541⨯； （7）1524354863,,,,,,25101726小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.例2 已知数列2，74，2，…的通项公式为2n an b a cn +=，求这个数列的第四项和第五项.变式，…，则是它的第 项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.例3 在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)88是否是数列{a n }中的项.◆ 动手试试练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1） 1， 13，15， 17；（2）1 2 . （3）－１，２，－３，４；（4）２，４，６，８；（5）１，４，９，１６；（6）211-，3121-，4131-，5141-练2 写出数列2{}n n -的第20项，第n ＋1项.练3已知数列｛n a ｝的通项公式582+-=n n a n ．（１）写出这个数列的前５项，并作出前５项的图象；（２）这个数列所有项中有没有最小的项？三、学习小结1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；2. 会用通项公式写出数列的任意一项.◆当堂检测1.下列说法正确的是（ ）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列C. 1，1，1，1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同2.下列四个数中，哪个是数列{(1)}n n +中的一项（ ）.A. 380B. 392C. 321D. 2323.已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第（）项.A. 9B. 10C. 11D. 124.在横线上填上适当的数：（1）3，8，15， ，35，48.（2） ，14 ， ，116 ，132 ；（3）32 ，54 ， ，1716 ，3332 ，5.写出数列121-⨯，122⨯，123-⨯，124⨯的一个通项公式 .。
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常用公式：
（1）等差数列的前n 项和：
（2）等比数列的前n 项和：
（3）常用结论：
1+2+3+⋅⋅⋅+n=
=+⋅⋅⋅+++2222321n
=+⋅⋅⋅+++3333321n
1．倒序相加法：等差数列前n 项和公式的推导方法：
（1）)(211121n n n n n
n n a a n S a a a S a a a S +=⇒⎩⎨⎧+++=+++=-
例1．求和：222
222222222110108339221011++++++++
2．分组法求和
3.例2求数列 16
14,813,412,211的前n 项和；
练习2．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .
裂项相消法
例3求和
...1)
(2n 1)-2n 1...751531311，（+⨯++⨯+⨯+⨯
练习3
（1）（1）求和：n ++++++++++
21132112111
求数列 4.⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11
,,321
,211
n n 的前n 项和.
错位相减法
例4．求和：)0()12(5332≠-++++x x n x x x n
练习4.
...2
1)12(...815413211，，，，，n n ⨯-⨯⨯⨯
小结：
对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差 数列，{}n b 为等比数列，均用此法. 错位相减法的步骤是：
①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比； ②将两个等式错一位相减；
③利用等比数列的前n 项和公式求和. ◆ 当堂检测
1.数列{}
n a 的通项公式是n a =
，若前n 项和为10，则项数n 为
（ ）
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121 求：.16
16814412 项的和前数列：n +++ 3.已知函数()f x 是一次函数，且(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列，设
()n a f n =，
（ n N *∈） （1）求T n ；
（2）设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S 。