人教新课标版数学高二数学必修五练习2-5数列求和

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新整理高二数学人教A必修5练习：2.5.2 数列求和 Word版含解析

课时训练14 数列求和一、分组求和1.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n-2),则a 1+a 2+…+a 10=( )A.15B.12C.-12D.-15 答案:A解析:∵a n =(-1)n (3n-2),则a 1+a 2+…+a 10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=a n +n+2n (n ∈N *),则a n 为( )A.n (n -1)2+2n-1-1 B.n (n -1)2+2n -1 C.n (n+1)2+2n+1-1 D.n (n -1)2+2n+1-1 答案:B解析:∵a n+1=a n +n+2n ,∴a n+1-a n =n+2n .∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)=1+(n -1)n 2+2(1-2n -1)1-2=n (n -1)2+2n -1. 3.(2015广东湛江高二期末,19)已知数列{a n }为等差数列,a 5=5,d=1;数列{b n }为等比数列,b 4=16,q=2.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n ;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .解:(1)∵数列{a n }为等差数列,a 5=5,d=1,∴a 1+4=5,解得a 1=1,∴a n =1+(n-1)×1=n.∵数列{b n }为等比数列,b 4=16,q=2,∴b 1·23=16,解得b 1=2,∴b n =2×2n-1=2n .(2)∵c n =a n +b n =n+2n ,∴T n =(1+2+3+…+n )+(2+22+23+…+2n )=n (n+1)+2(1-2n )=n 2+n +2n+1-2. 二、裂项相消法求和4.数列{a n }的通项公式a n =11+2+3+…+n ,则其前n 项和S n =( )A.2n n+1B.n+12nC.(n+1)n 2D.n 2+n+2n+1答案:A解析:∵a n =11+2+3+…+n =2n (n+1)=2(1n -1n+1), ∴S n =a 1+a 2+…+a n=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=2(1-1n+1)=2n n+1.5.11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n+1)= . 答案:n 2n+1解析:∵1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1), ∴11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n+1)=12(1-13+13-15+15-17+…+12n -1-12n+1) =12(1-12n+1)=n 2n+1. 6.(2015山东省潍坊四县联考,17)等差数列{a n }中,a 1=3,其前n 项和为S n .等比数列{b n }的各项均为正数,b 1=1,且b 2+S 2=12,a 3=b 3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)求数列{1S n }的前n 项和T n . 解:(1)设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q ,由已知可得{q +3+3+d =12,q 2=3+2d ,又q>0,∴{d =3,q =3, ∴a n =3+3(n-1)=3n ,b n =3n-1.(2)由(1)知数列{a n }中,a 1=3,a n =3n ,∴S n =n (3+3n )2,∴1S n=2n (3+3n )=23(1n -1n+1), ∴T n =23(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=23(1-1n+1)=2n 3(n+1). 三、错位相减法求和7.数列22,422,623, (2)2n ,…前n 项的和为 .答案:4-n+22n -1解析:设S n =22+422+623+ (2)2n ,① 12S n =222+423+624+ (2)2n+1,② ①-②得(1-12)S n =22+222+223+224+…+22n −2n2n+1=2-12n -1−2n2n+1.∴S n =4-n+22n -1.8.(2015湖北高考,文19)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q=d ,S 10=100.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d>1时,记c n =a nb n ,求数列{c n }的前n 项和T n .解:(1)由题意有,{10a 1+45d =100,a 1d =2,即{2a 1+9d =20,a 1d =2,解得{a 1=1,d =2,或{a 1=9,d =29.故{a n =2n -1,b n =2n -1,或{a n =19(2n +79),b n =9·(29)n -1.(2)由d>1,知a n =2n-1,b n =2n-1,故c n =2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,① 12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .②①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2−2n -12n =3-2n+32n ,故T n =6-2n+32n -1.(建议用时:30分钟)1.数列{a n }的通项公式是a n =√n+√n+1,若前n 项和为10,则项数为( )A .11B .99C .120D .121答案:C解析:∵a n =√n+√n+1=√n +1−√n ,∴S n =a 1+a 2+…+a n =(√2-1)+(√3−√2)+…+(√n +1−√n )=√n +1-1,令√n +1-1=10,得n=120.2.已知数列{a n }的通项公式a n =2n -12n ,其前n 项和S n =32164,则项数n 等于( ) A .13B .10C .9D .6 答案:D解析:a n =2n -12n =1-(12)n . ∴S n =n-12(1-12n )1-12=n-1+12n =32164=5+164,∴n=6. 3.数列{a n }的通项公式a n =n cos nπ2,其前n 项和为S n ,则S 2 012等于( )A.1 006B.2 012C.503D.0 答案:A 解析:∵函数y=cos nπ2的周期T=2ππ2=4,∴可分四组求和:a 1+a 5+…+a 2 009=0,a 2+a 6+…+a 2 010=-2-6-…-2 010=503×(-2-2 010)2=-503×1 006, a 3+a 7+…+a 2 011=0,a 4+a 8+…+a 2 012=4+8+…+2 012=503×(4+2 012)2=503×1 008. 故S 2 012=0-503×1 006+0+503×1 008=503×(-1 006+1 008)=1 006.4.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 12+a 22+…+a n 2等于( ) A.(2n-1)2B.13(2n -1) C.4n -1D.13(4n -1) 答案:D 解析:根据前n 项和S n =2n -1,可求出a n =2n-1,由等比数列的性质可得{a n 2}仍为等比数列,且首项为a 12,公比为q 2,∴a 12+a 22+…+a n 2=1+22+24+…+22n-2=13(4n -1).5.已知数列{a n }:1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…,那么数列{b n }={1n n+1}前n 项的和为( ) A .4(1-1n+1)B .4(12-1n+1)C .1-1n+1D .12−1n+1 答案:A解析:∵a n =1+2+3+…+n n+1=n (n+1)2n+1=n 2,∴b n =1n n+1=4=4(1-1). ∴S n =4(1-12+12-13+13-14+…+1n -1n+1) =4(1-1n+1). 6.如果lg x+lg x 2+lg x 10=110,那么lg x+lg 2x+…+lg 10x= .答案:2 046解析:由已知(1+2+…+10)lg x=110,∴55lg x=110.∴lg x=2.∴lg x+lg 2x+…+lg 10x=2+22+…+210=211-2=2 046.7.已知等比数列{a n }中,a 1=3,a 4=81.若数列{b n }满足b n =log 3a n ,则数列{1b n b n+1}的前2 013项的和为 .答案:2 0132 014解析:a41=q 3=27,∴q=3.∴a n =a 1·q n-1=3×3n-1=3n .∴b n =log 3a n =n.∴1b n ·b n+1=1n (n+1)=1n −1n+1, ∴数列{1bn ·b n+1}的前2 013项的和为: (1-12)+(12-13)+…+(12 013-12 014)=1-12 014=2 0132 014.8.已知等比数列{a n}的各项都为正数,且当n≥3时,a4·a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg a n的前n项和S n等于.答案:1+(n-1)·2n解析:∵{a n}是等比数列,∴a4a2n-4=a n2=102n.∴a n=10n,∴2n-1lg a n=n·2n-1.利用错位相减法求得S n=1+(n-1)2n.9.正项数列{a n}满足:a n2-(2n-1)a n-2n=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=1(n+1)a n,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由a n2-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0.由于{a n}是正项数列,所以a n=2n.(2)由a n=2n,b n=1(n+1)a n,则b n=12n(n+1)=12(1n-1n+1),T n=12(1-12+12−13+…+1n-1−1n+1n−1n+1)=12(1-1n+1)=n2(n+1).10.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N*,数列{b n}满足a n=4log2b n+3,n∈N*.(1)求a n,b n;(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.解:(1)由S n=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-1.当n=1时,4×1-1=3.所以a n=4n-1,n∈N*.由4n-1=a n=4log2b n+3,得b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)知a n b n=(4n-1)·2n-1,n∈N*.所以T n=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2T n=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2T n-T n=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.故T n=(4n-5)2n+5,n∈N*.。

人教新课标版数学高二B必修5课件2.3.2习题课数列求和

C.12(n2－n＋2)－21n
D.12n(n＋1)＋2(1－21n)
明目标、知重点
1234
解析 121＋214＋318＋…＋(n＋21n) ＝(1＋2＋…＋n)＋(21＋41＋…＋21n) ＝nn2＋1＋2111－－1221n＝12(n2＋n)＋1－21n＝12(n2＋n＋2)－21n. 答案 A
明目标、知重点
当n为奇数时，令n＝2k＋1 (k∈N＋).
－3n＋1 Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝ 2 .
－3n＋1
∴Sn＝
2
n为奇数，
3n 2
n为偶数.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于( B )
明目标、知重点
跟踪训练1 求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋ an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0). 解当a＝1时，则an＝n，
nn＋1 于是 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ 2 . 当 a≠1 时，an＝11－－aan＝1－1 a(1－an).
明目标、知重点
∴Sn＝1－1 a[n－(a＋a2＋…＋an)]
x＝±1， x≠±1.
明目标、知重点
呈重点、现规律
求数列前n项和，一般有下列几种方法. 1.错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
明目标、知重点
3.裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. 4.奇偶并项当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论. 5.倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法.

人教新课标版数学高二-人教数学必修五练习2.5.1等比数列的前n项和

课后巩固作业（十四）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.等比数列2，4，8，16，…的前n 项和S n 等于（）（A ）2n+1-1 （B ）2n -2 （C ）2n （D ）2n+1-22.等比数列{a n }的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）（A ）-2 （B ）1 （C ）-2或1 （D ）2或-13.等比数列{a n }的首项为1，公比为q （q ≠1），前n 项和为S n ，则11a +21a +31a +…+n1a 等于（）（A ）n 1S （B ）n 1n Sq- （C ）S n （D ）n 1n 1q S -4.已知等比数列{a n }中,公比q =12,且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60,则a 1+a 2+a 3+…+a 100=（）(A)100 (B)90 (C)120 (D)30 二、填空题(每小题4分，共8分)5.若等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，则它的前n 项和S n 可以用n ，q 表示成S n =_____.6.（2011·北京高考）在等比数列{a n }中，若11a 2=，a 4=-4，则公比q=_____；|a 1|+|a 2|+…+|a n |=______．三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=1，S 8=4,求a 13+a 14+a 15+a 16的值.8.若等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ,S 2n ,S 3n ,求证：()22n 2n n 2n 3n S S S S S +=+.【挑战能力】（10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1=1，S 2=2，且S n+1-3S n +2S n-1=0(n ≥2且*n N ∈),试判断数列{a n }是不是等比数列?答案解析1.【解析】选D.由已知条件可得此等比数列的首项a 1=2，公比4q 22==，故前n 项和n n 1n 212S 2212+⨯-==--（）. 2.【解析】选C.由已知可得S 3=3a 1，即a 1+a 1q+a 1q 2=3a 1,又a 1≠0，∴q 2+q-2=0，解得q=1或q=-2.3.【解题提示】构成的新数列11a ，21a ，31a ，…，n a 1是首项为1，公比为1q的等比数列.【解析】选B.∵n nn 11q 1q S 1q 1q⨯--==--（）, ∴nn 123n1111111q T 1a a a a 1q⨯-=+++⋯+=-（） =n n n 1n 1S 1q 11q q q---=-·. 4.【解析】选B.由题意,S 奇=60,∴S 偶=q ·S 奇12=×60=30,∴S 100=S 奇+S 偶=60+30= 90.5.【解析】当q=1时，此数列是各项为1的常数列，故S n =n.当q ≠1时，则n n 1q S 1q-=-.故n n n q 1S 1q q 11q =⎧⎪=-⎨ ≠⎪-⎩（），（）..答案：n n q 11q q 11q =⎧⎪-⎨ ≠⎪-⎩（）（）6.【解析】∵341a q 42==-，∴q=-2， ∴()n 1n 1a 22-=⨯-，∴|a n |=2n-2，∴|a 1|+|a 2|+…+|a n |()n n 1112122122--==--.答案：-2 2n-1-21[]7.【解题提示】利用等比数列前n 项和的性质，若数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ，…仍构成等比数列，其公比为q n （q ≠-1）.【解析】∵数列{a n }为等比数列，∴S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12也构成等比数列，故（S 8-S 4）2=S 4(S 12-S 8),即（4-1）2=1×（S 12-4），解得S 12=13.同理可解得S 16=40，∴a 13+a 14+a 15+a 16=S 16-S 12=40-13=27. 8.【证明】方法一：根据等比数列的性质，有 S 2n =S n +q n S n =S n (1+q n ), S 3n =S n +q n S n +q 2n S n ,所以222n 2n n S S S +=+［S n (1+q n )］2=2n S (2+2q n +q2n ), S n (S 2n +S 3n )=2n S (2+2q n +q2n ). 所以22n 2n S S +=S n (S 2n +S 3n ).方法二：依题意可得S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列，所以（S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),整理得22n 2n S S +=S n (S 2n +S 3n ).【方法技巧】巧用等比数列的前n 项和的性质.(1)“片段和”性质：等比数列{a n }中，公比为q(q ≠-1),前m 项和为S m (S m ≠0),则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…,S km -S (k-1)m ,…构成公比为q m 的等比数列，即等比数列的前m 项和与以后依次m 项的和构成等比数列. (2)“相关和”性质：n n n m n m S S q S q +=+⇔=n m nmS S S +- (q 为公比).【挑战能力】【解析】∵S n+1-3S n +2S n-1=0（n ≥2，*n N ∈）, ∴（S n+1-S n ）-2(S n -S n-1)=0, ∴a n+1-2a n =0，即*n 1na 2(n 2,n N )a +=≥∈. ∴a 2,a 3,a 4,…,a n ,…构成公比为2的等比数列. 又a 1=S 1=1,a 2=S 2-S 1=1,∴21a 12a =≠. ∴数列{a n }不是等比数列.。

人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)

②指出 S1， S2，， S12 中哪一个值最大，并说明理由．解：① S12 6(a1 a12 ) 6(a3 a10 ) 6(2 a3 7 d ) 0
24 7d 0 24 8d 0
d
24
又 S13 13( a1 a13 )
13
Hale Waihona Puke 13(a3 a11)(2 a3 8d ) 0
7
2
2
2
d3
从而 24 d 3 7
三、等比数列
知识要点
1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为
q，q 0 ．
2. 递推关系与通项公式
递推关系： an 1 qan 通项公式： an a1 q n 1 推广： an am q n m
3. 等比中项：若三个数 a, b,c 成等比数列，则称 b 为 a 与 c 的等比中项，且 b
故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟
28(舍去）
1 10．已知数列 an 中， a1 3，前 n 和 Sn (n 1)( an 1) 1．
2
①求证：数列 an 是等差数列；
②求数列 an 的通项公式；
③设数列
1 的前 n 项和为 Tn ，是否存在实数 M ，使得 Tn
an an 1
M 对一切正整数 n 都成立 ?
② Q S12 6( a6 a7) 0 S13 13a7 0 a7 0， a6 0
S6 最大。
1．已知等差数列 an 中， a7 a9 16， a 4 1，则 a12 等于 ( )
A ． 15
B． 30
C． 31
D ． 64

2019年人教A版高中数学必修五练习：2.5 第二课时数列求和习题课 Word版含解析

姓名，年级：时间：第二课时数列求和习题课1.已知数列{a n｝的通项公式为a n=2n+1,则{a n}的前n项和S n等于（ B ）(A)n2 (B）n2+2n (C）2n2+n (D）n+2解析：a1=2×1+1=3，S n===n2+2n.故选B.2.已知数列｛a n}的前n项和为S n，并满足:a n+2=2a n+1-a n，a5=4—a3，则S7等于（ C ）（A)7 (B）12 （C)14 （D）21解析:由a n+2=2a n+1-a n知数列{a n}为等差数列,由a5=4—a3得a5+a3=4=a1+a7，所以S7==14。

故选C.3。

已知数列｛a n｝的通项公式是a n=2n—3（）n,则其前20项和为（ C ）(A）380-(1—) (B)400-(1-)（C）420—(1-）(D)440—(1-）解析：令数列{a n｝的前n项和为S n,则S20=a1+a2+...+a20=2(1+2+ (20)-3(++…+)=2×—3×=420-（1—)。

故选C.4。

已知数列a n=（n∈N＊）,则数列{a n｝的前10项和为（ C ）（A）（B)(C）（D)解析：a n===（—),所以S10=（—+—+…+—）=.故选C。

5.数列｛a n}满足a n+a n+1=（n∈N＊）,且a1=1，S n是数列{a n｝的前n项和，则S21等于（ B ）（A）(B）6 （C)10 (D）11解析：依题意得a n+a n+1=a n+1+a n+2=，则a n+2=a n,即数列｛a n｝中的奇数项,偶数项分别相等，则a21=a1=1，S21=（a1+a2）+（a3+a4)+…+(a19+a20）+a21=10(a1+a2）+a21=10×+1=6,故选B.6。

数列{n·2n}的前n项和等于（ B ）(A）n·2n-2n+2 (B)n·2n+1-2n+1+2（C)n·2n+1-2n（D）n·2n+1—2n+1解析:设{n·2n}的前n项和为S n,则S n=1×21+2×22+3×23+…+n·2n, ①所以2S n=1×22+2×23+…+(n-1）·2n+n·2n+1，②①—②得-S n=2+22+23+…+2n—n·2n+1=—n·2n+1,所以S n=n·2n+1—2n+1+2,故选B.7。

人教新课标版数学高二数学必修五练习2-5等比数列的前n项和

2.5 等比数列的前n 项和双基达标(限时20分钟)1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为 ( )．A ．63B ．64C ．127D ．128解析设公比为q (q >0)，由a 5＝a 1q 4及题设，知16＝q 4. ∴q ＝2.∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.答案 C2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )．A ．2B ．4C.152D.172解析 S 4a 2＝a 1(1－q 4)1－q a 1q ＝a 1(1－16)－a 1·2＝152.答案 C3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )． A ．33B ．72C ．84D ．189解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84. 答案 C4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析由a 1＝1，S 6＝4S 3， ∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，∴1－q 6＝4(1－q 3)．得q 3＝3，故a 4＝a 1q 3＝1×3＝3.答案 35．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2.则该数列前15项的和S 15＝________.解析由性质知：a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…成等比数列，其公比q ＝－21＝－2，首项为a 1＋a 2＋a 3＝1，其前5项和就是数列{a n }的前15项的和S 15＝1·[1－(－2)5]1－(－2)＝11. 答案 116．已知数列{a n }是等比数列，其中a 7＝1，且a 4，a 5＋1，a 6成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和记为S n ，证明：S n <128(n ＝1,2,3，…)． (1)解设等比数列{a n }的公比为q (q ∈R )，由a 7＝a 1q 6＝1，得a 1＝q －6，从而a 4＝a 1q 3＝q －3，a 5＝a 1q 4＝q －2， a 6＝a 1q 5＝q －1.因为a 4，a 5＋1，a 6成等差数列，所以a 4＋a 6＝2(a 5＋1)，即q －3＋q －1＝2(q －2＋1)，q －1(q －2＋1)＝2(q －2＋1)．所以q ＝12.故a n ＝a 1q n －1＝q －6·q n －1＝64⎝⎛⎭⎫12n －1. (2)证明 S n ＝a 1(1－q n )1－q＝64⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝128⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n <128. 综合提高(限时25分钟)7．在等比数列{a n }中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为 ( )．A ．2B ．－2C ．2或－2D ．2或－1解析已知⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝1，S 8＝17，即S 4＝1，S 8－S 4＝16.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝16，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·q 4＝16.两式相除得q 4＝16，∴q ＝±2. 答案 C8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2等于 ( )． A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2C ．4n －1 D.13(4n －1)解析设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝2n －1.易知等比数列{a n }的公比q ＝2，首项a 1＝1，∴a n ＝2n －1，于是a n 2＝4n －1，∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝13(4n－1)．故选D. 答案 D9．S n ＝112＋314＋518＋…＋⎣⎡⎦⎤(2n －1)＋12n ＝________. 解析 S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋ (12)＝n [1＋(2n －1)]2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n .答案 n 2＋1－12n10．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于________．解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1. 答案 2n －111．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，在数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解 (1)由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＝2n . ∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列，∵b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1② ①－②得：－T n ＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6 ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.12．(创新拓展)n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列： a 11 a 12 a 13 a 14 … a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 … a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 … a 3n … … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 … a n n其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24＝1，a 42＝18，a 43＝316，求a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n .解设第1行的公差为d ，各列公比为q ，则得 a 1k ＝a 11＋(k －1)d ，a 24＝a 14q ＝(a 11＋3d )q ＝1① a 42＝a 12q 3＝(a 11＋d )q 3＝18②a 43＝a 13q 3＝(a 11＋2d )q 3＝316③由①②③，解得a 11＝d ＝q ＝12.∴a kk ＝a 1k q k －1＝[a 11＋(k －1)d ]q k －1＝k 2k .设S n ＝a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ，则 S n ＝12＋222＋323＋…n 2n ④12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1⑤ ④－⑤得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1. ∴S n ＝2－n ＋22n .即a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝2－n ＋22n .。

2020版人教A版高中数学必修五导练课件：2.5 第二课时数列求和

在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
第二十六页，编辑于星期日：一点十三分。
即时训练3-1:(2019·青岛高二检测)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13. (1)求{an},{bn}的通项公式;
2 1 22n
则 A=
=22n+1-2,
1 2
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.
故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n+1+n-2.
第十页，编辑于星期日：一点十三分。
(2)在数列{an}中,an=
32nn求(n为其1(n偶前为数n奇项)，数和)，Sn.
所以an=2n(n∈N*).
第十五页，编辑于星期日：一点十三分。
(2)设{ }的S1n前n项和为Tn,求证Tn<1.
(2)证明:因为 Sn=n2+n=n(n+1), 所以 1 = 1 = 1 - 1 ,
Sn nn 1 n n 1
所以 Tn=(1- 1 )+( 1 - 1 )+…+( 1 - 1 )=1- 1 .
(2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n, Sn )在直线 y= 1 x+ 11 上.数列{bn}
n
22
满足 bn+2-2bn+1+bn=0,b3=11,且其前 9 项和为 153. ①求数列{an},{bn}的通项公式;
解:(2)①由已知得 Sn = 1 n+ 11 , n2 2

人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案第二章习题课数列求和

习题课数列求和1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法．1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .2．数列{a n }的a n 与S n 的关系数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一分组分解求和例1 求和：S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2.解当x ≠±1时，S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2＝(x 2＋2＋1x 2)＋(x 4＋2＋1x 4)＋…＋(x 2n ＋2＋1x 2n )＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n )＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n(x 2－1)＋2n ，x ≠±1.规律方法某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1 求数列{a n }：1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a (1－a n )．∴S n ＝11－a ＝11－a ＝n1－a －a (1－a n )(1－a )2.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，a ＝1，n1－a －a (1－a n )(1－a )2，a ≠1.要点二错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n ＝1－q n 1－q－n ·q n . ∴S n ＝1－q n(1－q )2－n ·q n 1－q＝n ·qn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2(q ≠1).规律方法用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴S n ＝3n －1(n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2， ① ∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N ＋)．要点三裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴原式＝12＝12(1＋12－1n －1n ＋1)＝34－2n ＋12n (n ＋1). 规律方法如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法．跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2nn ＋1.要点四奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)．解当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋＋(－2n ＋1) ＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n ·n (n ∈N ＋)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N ＋)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k (6k －2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)． S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12(n 为奇数)，3n 2 (n 为偶数).1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12(1－12n )1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n .3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、基础达标1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2答案 B解析由数列通项公式，得1(3n －1)·(3n ＋2)＝13(13n －1－13n ＋2)，所以S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13(12－13n ＋2)＝n6n ＋4.2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( ) A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.3．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．－76 C ．46 D ．76答案 B解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61，S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.故选B.4．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n－1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 ∵b n ＝a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )，∴b n ＋1b n ＝a nm (q ＋q 2＋…＋q m )a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )＝a nm a m (n －1)＝q m (常数)． ∴{b n }是等比数列，公比为q m . 又∵c n ＝(a m (n －1))m q1＋2＋…＋m＝(a m (n －1)21+m q)m∴c n ＋1c n ＝(a mn a m (n －1))m ＝(q m )m ＝2m q (常数)． ∴{c n }是等比数列，公比为2m q .5．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________. 答案－25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25. 6．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 答案109(10n－1)＋n 2 解析数列的通项公式a n ＝10n ＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋…＋10n )＋＝10(1－10n )1－10＋n (1＋2n －1)2＝109(10n －1)＋n 2. 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)，所以T n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).8．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ， S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1， ∴b n ＝3n －1－2n ＋21， T n ＝S n＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12. 二、能力提升9．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n答案 A解析由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .10．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后相邻两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( ) A ．2 008 B ．2 010 C ．1 D ． 0答案 B解析由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009. 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4 ＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.11．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝______.答案 2n －12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －12.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19．三、探究与创新13．已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式以及S n .(1)证明由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋，可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，所以a 2＋a 1＝2a 1＋6，又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N ＋，又a 1＝5，a 1＋1＝6≠0，则a n ＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.。

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习题课数列求和
双基达标
(限时20分钟) 1．数列12·5，15·8，18·11，…，
1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为 ( )． A.
n 3n ＋2 B.n 6n ＋4 C.3n 6n ＋4 D.
n ＋1n ＋2 答案 B
2．数列{a n }的通项公式a n ＝
1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为 ( )． A ．11 B ．99
C ．120
D ．121 解析 ∵a n ＝1
n ＋n ＋1＝n ＋1－n ， ∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.
答案 C
3．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的
前n 项和S n ＝
( )． A.n 24＋7n 4
B.n 23＋5n 3
C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n
解析由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，
a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝
0.∵d ≠0，
∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .
答案 A
4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 50＝________.
解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50
＝(－1)×25＝－25
答案－25
5．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为
3的等比数列，则数列的通项公式为________．
解析 a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)
＝a n ＝1×(1－3n )1－3
＝3n －12. 答案 a n ＝3n －12
6．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解 (1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.
所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)
(2)S n ＝2(1－2n )1－2
＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2. 综合提高 (限时25分钟)
7．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为 ( )．
A ．1－14n
B ．1－12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n D.23⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n 解析 a n ＝2n －1，设b n ＝
1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14
＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 答案 C
8．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前5项和为
( )． A.158或5
B.3116或5
C.3116
D.158
解析设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9(1－q 3)1－q ＝1－q 6
1－q
，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5
＝3116.
答案 C
9．数列1，11＋2，11＋2＋3
，…的前n 项和S n ＝________. 解析由于数列的通项a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1
. 答案 2n n ＋1
10．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________.
解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，
∴q 3＝a 4a 1
＝－8，∴q ＝－2， ∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，
∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |
＝12(1－2n )1－2
＝2n －12. 答案 2n －12
11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1
＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.
(1)求a n 与b n ；
(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n
. 解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.
依题意有⎩⎨⎧ S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960，
解得⎩⎨⎧ d ＝2，q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－65，q ＝403.(舍去)
故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.
(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，
所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)
.
12．(创新拓展)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1. 而a 1＝2，符合上式，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.
(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知
S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，
即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．。