七年级数学上册34一元一次方程模型的应用典型例题素材2湘教版!
七级数学上册3.3一元一次方程的解法典型例题素材(新版)湘教版
《一元一次方程的解法》典型例题例 1 解方程：例 2解方程：10x 29x 82(x 3) 3(x2)例 3x 22x 解方程： 17217例 4解方程：x 4( x 5)x 3x 253 6例 5解方程： 0.4x 2.10.5 0.2x30.50.035例 6 下边解题过程正确吗？假如正确，请指出每一步的依照；假如不正确，请指犯错在哪里，并给出正确的解答．(1) 解方程 x 1 x34两边都乘以 12，得4x 3x 1 ∴ x 1(2) 解方程 21x 3 2 3x2 4 8去分母，得 20 2x6 2 3x 移项，得3x 2x6 2 20归并同类项，得x16例 7 假如一个正整数的 2 倍加上 18 等于这个正整数与 3 之和的 n 倍，试求正整数 n 的值．例 8 解方程x 4 x 3 2例 9 解方程x 2 x 3 1.参照答案例 1剖析这个方程能够先移项，再归并同类项．解移项，得10x 9x 8 2.归并同类项，得x6把系数化为1，得x6说明：初学解方程者应当进行查验，就是把求得的方程的解代入原方程中，看方程的左右两边能否相等，假如相等则是方程的解，不然就不是方程的解．则说明我们的解题过程有误．当娴熟以后能够不进行查验，此后我们会知道一元二次方程不会产生增根．例 2剖析这个方程含有括号，我们应先去掉括号，而后再进行归并同类项等．解去括号，得 2x 6 3x 6.移项，得 2x 3x 66归并同类项，得x12把系数化为1，得x12.说明：在去括号时要注意符号的变化，同时还应当注意要用括号前的数去乘括号内的每一项，防止出现漏乘的现象．例 3剖析该方程中含有分母，一般我们是要先去掉分母，而后再按其余步骤进行．解去分母，得 21 ( x 2) 3 ( 2x) 7 21去括号，得 21 x 2 6x147移项，得x 6x147 212归并同类项，得把系数化为1，得7x170 x242 .7说明：初学者在去括号时，假如分子是两项的，应当用括号把分子括上以防止出现符号的错误．例 4剖析在这个方程中既有括号又有分母，先做哪一步这应因题而定．解去分母，得6(x 4) 30( x5)10( x3)5( x 2)去括号，得 6x2430x15010x305x10移项，得 6x30x10x5x301024150归并同类项，得29x134把系数化为1，得x 4 18. 29说明：要灵巧应用解方程的步骤，在娴熟以后这些解方程的步骤能够省略不写．例 5剖析在这个方程中既有小数又有分数，一般是先把分子分母中的小数都化成整数再进行计算．解原方程可化为：4x 215020x3 535去分母，得 3(4x21)5(5020 x) 9去括号，得 12x63250 100x9移项并归并同类项，得112x196把系数化为1，得x134说明：在解方程时解方程的步骤能够灵巧使用，如在去括号后发现项比许多时，并有同类项能够归并，也能够先归并一次同类项而后再移项．例 6剖析第(1)小题方程中有两项有分母，另一项没有分母，在去分母时应注意不要漏乘没有分母的项．第 (2) 小题的各项，特别是右侧两项比较复杂，去分母时一定当心慎重，防备犯错．解 (1) 错，错在去分母时漏乘了方程中间的“ 1”，正确解答以下：去分母，得 4 x 12 3x移项4x 3x 12 x12(2) 错，错在将方程的两边乘以8 后，23x这一项应化为( 23x) 而不是 2 3x，8正确解答以下：去分母，得20 2( x 3) ( 2 3x)去括号，得20 2x 6 23x移项，得5x16 x 16 5说明：关于比较复杂的方程，求出解后要查验一下看能否是原方程的解，这样有益于减少解方程的错误．在解方程的过程中，仔细、仔细是解题的重点．例 7解设已知的正整数为 a ，依题意得2a18 n(a3) ，即 (n2)a183n ，∴ a3(6n) .n2由于 a 和 n 都是正整数，因此 2 n 6.当 n 3 时， a9 ，2 9 183 (9 3) 36；当 n 4 时， a 3 ，2 3 18 4 (3 3) 24；当 n 5 时， a 1 ，21185(13)20.答： n3，或 n4，或 n 5.说明：本例的解法用到了分类议论．例 8剖析关于 x 4 来说，当 x 4 时， x 4x4 ，当 x 4 时， x 4 4x ，这两者之间的差别明显是很大的，不可以混作一谈．相同，x 3 这个式子在 x 3 时与在 x3时也有很大差别．注意到以上状况，是由于我们感觉只有把题目中的绝对值符号去掉，才能解出方程．因此，对此题，能够分为x 4、3 x4和 x 3 三种状况去掉绝对值符号来解．解当 x 4 时，原方程可化为(x4)( x 3)2，9解得 x.当 3 x 4 时，原方程可化为(4 x) ( x 3) 2 ，这个方程无解．当 x 3 时，原方程可化为(4 x) (3 x)2解得 x5 .29 5因此，原方程的解是x，或 x.22说明：①从上边解题过程能够看出，带绝对值符号的方程，能够转变为不带绝对值符号的方程来解，而分类思想是实现这样的转变的法宝．②上边解题过程有读者不易觉察的一步，这就是查验．此题查验的详细做法是：在以x4 为前提，求得 x9 以后，要看一看9能否与 x 4 符合．在以 x 3 为前提，解出2 2x5 以后，再看一看 5与 x 3 能否符合．2 2③解带有绝对值符号的方程，查验一步不要求书写，但不可以认为这一步无关紧要．例 9剖析 对这种方程的惯例解法，用分类议论去绝对值．从绝对值的几何意义出发，x 2 和 x 3 分别表示数轴上表示 x 的点到表示 2 的点与表示 3 的点之间的距离．以下图，设数轴上表示2 的点为 A ，表示3 的点为 B ，那么示 x 的点不会在点A 的左边或点 B 的右侧．解方程 x 2x 31 的几何意义是数轴上表示x的点到表示 2 的点的距离与表示 3 的点的距离之和为1．设数轴上表示2 的点为A ，表示3 的点为B ，则线段AB 上的点都切合要求，线段AB 之外的点均不切合要求．因此，这个方程的解是2 x3 ．说明：从解方程来说，上边解法其实不很重要，但从领会数学中的数形联合思想来说，则值得同学们赞不绝口．这也是解不定方程的实例．。
湘教版数学七年级上册 3.4 一元一次方程模型的应用
等量关系：售价 - 进价 = 利润.
设每台彩电标价为x元，那么彩电的售价、 利润就可以表示来，
彩电售价 – 彩电进价 = 彩电的利润
0.8x
4 000
4 000×5%
标价：x元 现售价：0.8x元
进价：4 000元 利润：(4 000×5%)元 0.8x – 4 000 = 4 000×5% 解得 x =___5_2_5_0__. 因此，彩电标价为每台___5_2_5_0__元.
答：这个队共胜了5场.
3.有一些分别标有4、8、12、16、20、…… 的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数 大4，小李拿了相邻3张卡片，且这些卡片上的数 之和为348。
（1）猜猜小李拿到哪3张卡片？ （2）小李能否拿到相邻的3张卡片，使得这 三张卡片上的数之和等于93？如果能拿到，请求 出这三张卡片上的数各是多少？如果不能拿到请 说明理由。
小明先走的路程 小红出发后小明走的路程 小红走的路程
解（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，
则根据等量关系，得
13(0.5 + t )+12t = 20 .
解得
t = 0.54 .
答：小红骑车走0.54h后与小明相遇。
练习
1. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发， 相向而行。已知A，B两地的距离为480km，且 甲车以65km/ h的速度行驶。若两车4h后相遇， 则乙车的行驶速度是多少？
还需检验解的合理性.
检验：当有12张椅子，4条凳子时， 椅子腿数和凳子腿数的和是： 12×4 + 4×3 = 60（条） 是合理的.
议一议
运用一元一次方程模型解决实际问题的 步骤有哪些？
分析等量关系
实际问题
初中数学湘教版七年级上册3.4一元一次方程模型的应用(3)
三、精例讲解
例3 小明与小红的家相距20㎞，小明从家里出发骑自 行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自 行车去接小明。已知小明骑车的速度为13㎞/h，小红 骑车的速度为12㎞/h. （1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇? （2）如果小明先走30min,那么小红骑车要走多少小时 才能与小明相遇?
一小时共行（ 9 ）千米，y小时共行（ 9y )千米.
4、某一段路程 x 千米，如果火车以49千米/时的
速度行驶，那么火车行完全程需要（ x ）
小时.
49
动脑筋：挑战实际应用 星期天早晨，小斌和小强分别 骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆。已知他俩 的家到雷锋纪念馆的路程相等，小斌每小时骑10 ㎞ ， 他在上午10时到达；小强每小时骑15 ㎞，他在上午9时 30分到达。求他们的家到雷锋纪念馆的路程。
例3 小明与小红的家相距20㎞，小明从家里出发骑自 行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自 行车去接小明。已知小明骑车的速度为13㎞/h，小红 骑车的速度为12㎞/h. （2）如果小明先走30min,那么小红骑车要走多少小时 才能与小明相遇?
小明走30min的路程
小明后走的路程
小红走的路程
用方程解决实际问题中最关键的步骤是什么？
审清题意
设未知数
找出等量关系
检验解的合理性
解方程
列方程
作答
动解脑筋：：设挑他战们实家际到应雷用锋 纪星期念天馆晨的，路小程斌都和为小x强㎞分, 则别骑
自 家行 到车雷从锋家 纪里 念同 馆_1x_时 的0_ 出路_ _发程_1X_去相5 参等=观，0.5雷小锋斌纪每念小馆 时。 骑已10知㎞他俩，的他 在上午解10得时到达x ；=1小5 强每小时15 ㎞，他在上午9时30分
(湘教版)秋七年级上学期数学课件：3.4 一元一次方程模型的应用 (共11张PPT)
相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.不管
两人是同时出发，还是有一人先走走的的路程路程=两小家红之走间的的路距程离(20km).
小明家
小红家
解（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇，
则根据等量关系，得 13x + 12x = 20 .
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多
解得 s = ＿15＿＿＿. 答：小斌和小强的家到雷锋纪念馆的 路程为15km．
例2 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自 行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行
车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车 （的1）速如度果是两12人km同/h时. 出发，那么他们经过多少小时相遇？ 分析 由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以
若甲先出发2小时呢？ 可列方程：30x-20x=150-30×2
x=9
星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同 时出发去参观雷锋纪念馆. 已知他俩的家到雷锋纪念 馆的路程相等，小斌每小时骑10km，他在上午10时 到达；小强每小时骑15km，他在上午9时30分到达. 由于求小分他斌析们的：家速我到度们雷较知锋慢道纪，,速念因度馆此×的他时路花间程的=.时路间程比小强花的时间多 等量关系有：小 斌 路 的 程 速 度 - 小 强 路 的 程 速 度 = 他 们 到 达 的 时 间 差 . 解：设他俩的家到雷锋s 纪念s 馆的路程均为s km， 根据等量关系 得：10 - 15 =0.5
少小时才能与小明相遇？
小明走的路程
小红走的路程
小明家 先走30min
小红出发后
小红家
的路程
小明走的路程
解（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，
秋七年级数学上册 第三章《3.4 一元一次方程模型的应用-分段计费问题和方案问题》同步练习 (新版)湘教版
第4课时 分段计费问题和方案问题要点感知1 分段计费问题：总费用=未超标部分的费用_______超标部分的费用.预习练习1-1 根据规定，稿费收入一次超过800元的部分，以14%的税率纳税.张老师编写了一本《数学童话》，缴纳税款420元，则这本书原来的稿费是_______元.1-2 某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a 度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，求a 的值.要点感知2 方案问题：方案一的数量=方案二的数量.预习练习2-1 “地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中，设座位有x 排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位.则下列方程正确的是( )A.30x-8=31x+26B.30x+8=31x+26C.30x-8=31x-26D.30x+8=31x-262-2 下表是某地移动公司推出的两种话费收费方式：本地通话________分钟时，两种收费方式一样.知识点1 分段计费问题1.某种出租车的车费是这样计算的：路程在4千米以内(含4千米)为10元，到达4千米以后，每增加一公里加1元5角，某人乘坐出租车交了16元，则这个乘客乘坐该出租车行驶的路程为( )A.5千米B.6千米C.7千米D.8千米2.某市按以下标准收取水费：用量不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨则超过部分按每吨1.5元收费.某家庭五月份的水费是平均每吨1.25元，那么这个家庭五月份应交水费( )A.20元B.24元C.30元D.36元3.某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过15立方米，每立方米按1.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米2.3元收费，其余仍按每立方米1.8元计算.另外，每立方米加收污水处理费1元.若某户一月份共支付水费58.5元，求该户一月份用水量.知识点2 方案问题4.(2013·绵阳)朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？( )A.4个B.5个C.10个D.12个5.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网所用时间计费.当上网所用时间为多少分钟时，两种上网方式的费用一样？6.用一根绳子绕一个圆柱形油桶.若环绕油桶3周，则绳子还多4尺；若环绕油桶4周，则绳子又少了3尺.这根绳子有多长？环绕油桶一周需要多少尺？7.为鼓励节约用电，某地对用户用电收费标准作如下规定：如果每月每户用电不超过100度，那么每度电价按0.55元收费；如果超过100度，那么超过部分每度按1元收费.某户居民在三月需缴纳电费105元，则他共用电( )A.105度B.125度C.150度D.160度8.小聪从家到学校，如果每分钟走100米，就会迟到3分钟；如果每分钟走150米，就会早到3分钟，问小聪每分钟走多少米才能按时到校？设小聪按时到校要x分钟，则可列方程为________________.9.(2013·济南)某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人.该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍.求大、小宿舍各有多少间.10.新的工资分配方案规定：每位销售人员的工资总额＝基本工资+奖励工资，每位销售人员的月销售定额为10 000元，在销售定额内，得基本工资200元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如下表所示：11.某班要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需要8元；若班内自己刻录，除租用刻录机需要120元外，每张还需要成本4元.(1)刻录多少张光盘时，到电脑公司刻录与班内自己刻录所需费用一样？(2)刻录多少张光盘时，到电脑公司刻录较合算？(3)刻录多少张光盘时，班内自己刻录较合算？挑战自我12.为体现党和政府对农民健康的关心，解决农民看病难问题，某县于今年4月1日开始全面实行新型农村合作医疗，对住院农民的医疗费实行分段报销制.下面是该县医疗机构住院病人累计分段报销表：［例：某住院病人花去医疗费900元，报销金额为500×20%+400×30%＝220(元)］(1)农民刘老汉在4月份因脑中风住院花去医疗费2 200元，他可以报销多少元？(2)刘老汉在6月份因脑中风复发再次住院，这次报销医疗费4 790.25元，刘老汉这次住院花去医疗费多少元？参考答案课前预习要点感知1 +预习练习1-1 3 8001-2 根据题意得：0.50a+(100-a)×(1+20%)×0.5=56.解得a=40.答：a的值为40.预习练习2-1 D 2-2 200当堂训练1.D2.C3.若该用户每月用水量为15立方米，则需支付水费为15×(1.8+1)＝42(元)＜58.5元，所以该户一月份用水量超过了15立方米.设该户一月份用水量为x立方米，根据题意，得42+(x-15)×(2.3+1)＝58.5.解得x＝20.答：该户一月份用水量为20立方米.4.B5.设上网所用时间为x分钟时，两种上网方式的费用一样，根据题意，列方程得0.1x=0.05x+20.解得x=400.答：上网所用时间为400分钟时，两种上网方式的费用一样.6.设环绕油桶一周需x尺，由题意，得3x+4=4x-3.解得x=7.3x+4=25.答：这根绳子长为25尺，环绕油桶一周需7尺.课后作业7.C 8.100(x+3)=150(x-3)9.设大宿舍有x间，则小宿舍有(50-x)间，根据题意，得8x+6(50-x)=360. 解得x=30.所以50-x=20答：大宿舍有30间，小宿舍有20间.10.工资为800元，则销售额超过15 000元不超过20 000元.设本月的销售额为x元，由题意，有200+5 000×5%+(x-15 000)×8%=800. 解得x=19 375.答：销售员本月的销售额为19 375元.11.(1)设刻录x张光盘时，两种方式所需费用一样.则有8x=120+4x.解得x=30.答：刻录30张光盘时，到电脑公司刻录与学校自己刻录所需费用一样.(2)刻录小于30张光盘时，到电脑公司刻录较合算.(3)刻录大于30张光盘时，班内自己刻录较合算.12.(1)报销数额为500×20%+(2 000-500)×30%+(2 200-2 000)×35%＝620(元).(2)设刘老汉这次住院的医疗费为x元，则根据题意，得500×20%+(2 000-500)×30%+(5 000-2 000)×35%+(10 000-5 000)×40%+(x-10 000)×45%＝4 790.25.解得x＝12 645.答：刘老汉这次住院花去医疗费12 645元.。
七年级数学上册 3.3 一元一次方程的解法典型例题素材
《一元一次方程的解法》典型例题例1 解方程：89210+-=+-x x例2 解方程：)2(3)3(2+=-x x例3 解方程：7722121-=--x x例4 解方程：6233)5(54--+=--+x x x x例5 解方程：5303.02.05.05.01.24.0=--+x x例6 下面解题过程正确吗？如果正确，请指出每一步的依据；如果不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解答．(1)解方程413x x += 两边都乘以12，得 134=-x x ∴1=x (2)解方程83243212x x --+= 去分母，得 x x 326220--+=移项，得 202623--=-x x合并同类项，得 16-=x例7 如果一个正整数的2倍加上18等于这个正整数与3之和的n 倍，试求正整数n 的值．例8 解方程234=-+-x x例9 解方程.132=-+-x x参考答案例1 分析 这个方程可以先移项，再合并同类项．解 移项，得.28910-=+-x x合并同类项，得6=-x把系数化为1，得6-=x说明：初学解方程者应该进行检验，就是把求得的方程的解代入原方程中，看方程的左右两边是否相等，如果相等则是方程的解，否则就不是方程的解．则说明我们的解题过程有误．当熟练之后可以不进行检验，以后我们会知道一元二次方程不会产生增根．例2 分析 这个方程含有括号，我们应先去掉括号，然后再进行合并同类项等．解 去括号，得.6362+=-x x移项，得6632+=-x x合并同类项，得12=-x把系数化为1，得.12-=x说明：在去括号时要注意符号的变化，同时还应该注意要用括号前的数去乘括号内的每一项，避免出现漏乘的现象．例3 分析 该方程中含有分母，一般我们是要先去掉分母，然后再按其他步骤进行．解 去分母，得217)2(3)2(21⨯-⨯=--x x去括号，得1476221-=+-x x移项，得2211476---=--x x合并同类项，得1707-=-x把系数化为1，得.7224=x说明：初学者在去括号时，如果分子是两项的，应该用括号把分子括上以避免出现符号的错误．例4 分析 在这个方程中既有括号又有分母，先做哪一步这应因题而定．解 去分母，得)2(5)3(10)5(30)4(6--+=--+x x x x去括号，得105301015030246+-+=+-+x x x x移项，得150241*********--+=+--x x x x合并同类项，得13429-=-x把系数化为1，得.29184=x 说明：要灵活应用解方程的步骤，在熟练之后这些解方程的步骤可以省略不写．例5 分析 在这个方程中既有小数又有分数，一般是先把分子分母中的小数都化成整数再进行计算．解 原方程可化为：53320505214=--+x x 去分母，得9)2050(5)214(3=--+x x去括号，得91002506312=+-+x x移项并合并同类项，得196112=x把系数化为1，得431=x说明：在解方程时解方程的步骤可以灵活使用，如在去括号后发现项比较多时，并有同类项可以合并，也可以先合并一次同类项然后再移项．例6 分析 第(1)小题方程中有两项有分母，另一项没有分母，在去分母时应注意不要漏乘没有分母的项．第(2)小题的各项，尤其是右边两项比较复杂，去分母时必须小心谨慎，防止出错． 解 (1)错，错在去分母时漏乘了方程中间的“1”，正确解答如下：去分母，得 x x 3124+=移项 12 1234==-x x x(2)错，错在将方程的两边乘以8后，832x --这一项应化为)32(x --而不是x 32--，正确解答如下：去分母，得 )32()3(220x x --+=去括号，得 x x 326220+-+=移项，得 516 165=-=-x x 说明：对于比较复杂的方程，求出解后要检验一下看是不是原方程的解，这样有利于减少解方程的错误．在解方程的过程中，认真、细致是解题的关键．例7 解 设已知的正整数为a ，依题意得)3(182+=+a n a ，即n a n 318)2(-=-， ∴.2)6(3--=n n a 因为a 和n 都是正整数，所以.62<<n当3=n 时，9=a ，36)39(31892=+⨯=+⨯；当4=n 时，3=a ，24)33(41832=+⨯=+⨯；当5=n 时，1=a ，.20)31(51812=+⨯=+⨯答：3=n ，或4=n ，或.5=n说明：本例的解法用到了分类讨论．例8 分析 对于4-x 来说，当4>x 时，44-=-x x ，当4<x 时，x x -=-44，这二者之间的区别显然是很大的，不能混为一谈．同样，3-x 这个式子在3>x 时与在3<x 时也有很大区别．注意到以上情况，是因为我们感到只有把题目中的绝对值符号去掉，才能解出方程．因此，对本题，可以分为434≤≤>x x 、和3<x 三种情况去掉绝对值符号来解．解 当4>x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x ， 解得.29=x 当43≤≤x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x ，这个方程无解．当3<x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x解得.25=x 所以，原方程的解是29=x ，或.25=x 说明：①从上面解题过程可以看出，带绝对值符号的方程，可以转化为不带绝对值符号的方程来解，而分类思想是实现这样的转化的法宝．②上面解题过程有读者不易察觉的一步，这就是检验．本题检验的具体做法是：在以4>x 为前提，求得29=x 之后，要看一看29是否与4>x 相符．在以3<x 为前提，解出25=x 之后，再看一看25与3<x 是否相符． ③解带有绝对值符号的方程，检验一步不要求书写，但不能以为这一步可有可无．例9 分析 对这类方程的常规解法，用分类讨论去绝对值． 从绝对值的几何意义出发，2-x 和3-x 分别表示数轴上表示x 的点到表示2的点与表示3的点之间的距离．如图所示，设数轴上表示2的点为A ，表示3的点为B ，那么示x 的点不会在点A 的左边或点B 的右边．解 方程132=-+-x x 的几何意义是数轴上表示x 的点到表示2的点的距离与表示3的点的距离之和为1．设数轴上表示2的点为A ，表示3的点为B ，则线段AB 上的点都符合要求，线段AB 之外的点均不符合要求．所以，这个方程的解是32≤≤x ．说明：从解方程来说，上面解法并不很重要，但从体会数学中的数形结合思想来说，则值得同学们拍案叫绝．这也是解不定方程的实例．。
【金榜学案】2014秋七年级数学上册 3.4 一元一次方程模型的应用课时作业2 (新版)湘教版
3.4 一元一次方程模型的应用课时作业(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.李宽同学需买一副羽毛球拍和若干个羽毛球,正赶上甲乙两家超市搞促销,甲超市的方案是全部商品一律打九折.乙超市的方案是买一副球拍赠3个羽毛球,李宽在心里算了算,在两家超市花钱一样多,已知羽毛球拍20元/副,羽毛球1元/个,则李宽计划买羽毛球的个数为( )A.8B.9C.102.中百超市推出如下优惠方案:(1)一次性购物不超过100元,不享受优惠;(2)一次性购物超过100元,但不超过300元一律9折;(3)一次性购物超过300元一律8折.某人两次购物分别付款80元、252元,如果他将这两次所购商品一次性购买,则应付款( )A.288元C.288元或316元3.小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下:则12:00时看到的两位数是( )A.24B.42二、填空题(每小题4分,共12分)4.某公司销售A,B,C三种产品,在去年的销售中,高新产品C的销售金额占总销售金额的40%.由于受国际金融危机的影响,今年A,B两种产品的销售金额都年的总销售金额与去年持平,那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加%.5.某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成任务,实际上该班组每天比计划多生产6个零件,结果比规定时间提前3天并超额生产120个零件,则该班组在规定时间内需完成的零件是个.6.某县县城经旧城改造后,开通了一条由县城直通莲花湖湿地旅游区的公路,在公路两侧装上路灯,要求路的两端每侧各装一盏路灯,且路灯间距相等,如果每侧每隔40m装一盏路灯,则还缺22盏灯,若每侧每隔50m 装一盏路灯,则多余8盏灯,则路灯有盏,路的长度为米.三、解答题(共26分)∶2配套,应分别安排多少工人生产螺栓?多少工人生产螺母?8.(8分)某市出租车收费标准,起步价7.5元(即乘车不超过2km均收费7.5元),多于2km不超过4km,每千米收费1.5元,4km以上每千米收费2元,X舒从住处乘出租车去车站送同学,到车站时计费表显示9.75元,X 舒立即按原路返回住处,那么他乘坐原车和换乘另外出租车相比,哪种方案省钱?省多少元?【拓展延伸】9.(10分)某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售,现有三家运输公司可供选择,这三家运输公司提供的信息如下:根据表格提供的信息回答下列问题:(1)若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍,求A,B两市间的距离(精确到个位);(2)在(1)的条件下,如果这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元/时,那么要使果品公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费及损耗三项之和)最少,应选择哪家运输公司?答案解析1.【解析】选C.设李宽计划买x个羽毛球,则(20+x)×0.9=20+(x-3)×1,得x=10.2.【解析】选C.(1)若第二次购物超过100元,但不超过300元,设此时所购物品价值为x元,则90%x=252,解得x=280,两次所购物价值为80+280=360>300,所以享受8折优惠,因此他应付360×80%=288(元).(2)若第二次购物超过300元,设此时购物价值为y元,则80%y=252,解得y=315,两次所购物价值为80+315=395,因此他应付395×80%=316(元).3.【解析】选D.设12:00时看到的两位数,十位数字为x,则个位数字为(6-x),里程数为10x+(6-x);13:00时的里程数为10(6-x)+x;14:30时的里程数为100x+(6-x).由题意,得100x+(6-x)-[10x+(6-x)]=[10(6-x)+x-10x-(6-x)]×2.5.解得x=1.经检验,x=1符合题意.6-x=5.所以这个两位数为15.4.【解析】设今年高新产品C的销售金额应比去年增加x,根据题意得:40%(1+x)+(1-40%)(1-20%)=1,解得x=30%.答案：305.【解析】设该班组在规定时间内需完成的零件是x个,根据题意,得-=3.解得x=2400.经检验,x=2400符合题意.答案：24006.【解析】设有x盏灯,则40(-1)=50(-1),解得x=130,所以40(-1)=3000.答案：130 30007.【解析】设安排x名工人生产螺栓,则2×12x=18(28-x),解得x=12,28-x=28-12=16(人),答:应安排12人生产螺栓,16人生产螺母.8.【解析】因为7.5+2×1.5=10.5>9.75,所以从住处到车站的路程一定少于4km.设从住处到车站的路程为xkm,则7.5+1.5(x-2)=9.75,所以x=3.5,若坐原车返回需另加车费:7.5+2××2-4)×2-9.75=6.75,而换乘另一辆车仍需付9.75元.故乘原车省钱,9.75-6.75=3(元).答:乘原车省钱,省3元.9.【解析】(1)设A,B两市间的距离为xkm,则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别为: 甲公司:(6x+1500)元;乙公司:(8x+1000)元;丙公司:(10x+700)元.根据题意,得(8x+1000)+(10x+700)=2(6x+1500),18x+1700=12x+3000,6x=1300,x≈217.答:A,B两市间的距离约为217km.(2)甲公司所需总费用为:6×217+1500+(+4)×300=5087(元).乙公司所需总费用为:8×217+1000+(+2)×300=4638(元).丙公司所需总费用为:10×217+700+(+3)×300=4421(元).因为5087>4638>4421,所以丙公司所需总费用最少. 答:应选择丙运输公司.。
《3.4 一元一次方程模型的应用》同步练习2020-2021学年数学湘教版七年级上册
《3.4 一元一次方程模型的应用》同步练习2020-2021年数学湘教版七（上）一．选择题（共6小题）1．我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布（）尺．A．B．C．D．2．《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100的同时，不善于走路的人只能走60步．现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？根据题意，可以求得答案为（）A．250步B．200步C．160步D．320步3．为大力发展现代农业，山西省连续多年整合各项相关资金设立了农田建设补助专项资金，用于支持高标准农田建设．2020年省级财政在许多支出大幅压减的情况下，仍下达农田建设补助资金约14.5亿元，与2019年相比增长率约为16%，则2020年比2019年农田建设补助资金增加了（）A．2亿元B．2.5亿元C．3亿元D．3.5亿元4．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（）人．A．38B．40C．42D．455．甲、乙、丙三人按如下步骤摆放硬币：第一步：每个人都发若干枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）；第二步：甲拿出2枚硬币给丙；第三步：乙拿出1枚硬币给丙；第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲．此时，若甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，则此时（）A．乙有4枚硬币B．乙有5枚硬币C．乙有6枚硬币D．乙的硬币无法确定6．“津南”幼儿园的小朋友正在玩搭积木的游戏，小南的城堡已经有26cm高，小开拿了一些A正方体木块和B正方体木块过来帮忙，已知A正方体木块高2cm，B正方体木块高bcm，且A、B两种正方体木块数量相同，小开将所有的木块一块接一块的依次叠加上去，现在量得小南的城堡有40cm高，则所有满足要求的整数b的值的和为（）A．12B．15C．16D．17二．解答题（共17小题）7．新冠病毒爆发期间，武汉某医院住院部有27个重症病房和若干个普通病房，其中一个重症病房需要1名医生，1名护士，5个普通病房需要1名医生，2名护士，某省第三批援鄂医疗队126名医护人员刚好接管该医院住院部所有病房．（1）该批援鄂医疗队中医生、护士各有多少人？（2）该医院住院部普通病房有多少个？8．小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．9．阅读理解题阅读下列材料：若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如521．（1）已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”；（2）若一个“倍尾数”的各位数字之和是17，求出所有符合要求的“倍尾数”．10．现有一块质量为10kg的甲、乙两种金属的合金．用甲种金属若干与这块合金重新熔炼，所得的新合金中甲种金属占3份，乙种金属占2份．如果再用相同数量的甲种金属与新合金重新熔炼，那么所得合金中甲种金属占7份，乙种金属占3份．求每次所用的甲种金属的质量．11．某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲，乙两个垃圾处理厂处理．已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，每吨需费用10元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，每吨需费用11元．（1）甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需多少时间完成？（2）如果该城市每天用于处理垃圾的费用为7300元，那么甲厂每天处理垃圾多少吨？12．中国宝武马鞍山钢铁集团第二炼铁厂接到一批原料加工任务425吨，现打算调用甲、乙两条生产线完成．已知甲生产线平均每天比乙生产线多加工5吨．若甲生产线独立加工20天后，乙生产线加入，两条生产线又联合加工5天，刚好全部加工完毕．甲生产线加工一吨需用电40度，乙生产线加工一吨需用电25度．求完成这批加工任务需用电多少度？13．今年开学，由于疫情防控的需要，某学校统一购置口罩，本周该学校给（1）班全体学生配备了一定数量的口罩，若每个学生发3个口罩，则多30个口罩，若给每个学生发5个口罩，则少50个口罩，请问该班有多少名学生？14．列方程解应用题：某工厂有中、乙两车间各生产不同型号的产品，原计划乙车间人数比甲车间少100人，产品上市后，甲车间的产品成为爆款，于是又从乙车间调50人支援甲车间，这时甲车间的人数是乙车间剩余人数的3倍，求原来甲乙车间各有多少人？15．在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．（1）七年级2班有男生、女生各多少人？（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．16．某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在18天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？17．我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示：分档水量年用水量水价（元/吨）第1级180吨以下（含180吨）5第2级180﹣260吨（含260吨）7第3级260吨以上9例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：180×5+80×7+（270﹣260）×9＝1550（元）．（1）如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？（2）如果小明家2020年的用水量为a吨（a＞260），求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简）（3）如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？18．“水是生命之源”，某自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：月用水量/吨单价（元/吨）不超过20吨的部分2超过20吨的部分 2.5另：每吨水加收0.3元的城市污水处理费（1）若某用户11月份共用水25吨，他应缴水费多少元？（2）若该用户的水表有故障，每次用水只有60%计入用水量，在这样的情况下12月份共缴水费41.4元，则该用户12月份实际用水多少吨？19．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决问题．20．某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？21．现有面值为5元和2元的人民币共32张，币值共计100元，问：这两种人民币各有多少张？22．六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？23．用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥90千克，就少3000千克，若每亩施肥75千克，就余4500千克，那么共有多少亩麦田？参考答案一．选择题（共6小题）1．解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：x＝，即该女子第一天织布尺．故选：C．2．解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意得（100﹣60）t═100，40t═100，t＝2.5，则100t＝100×2.5═250（步）．答：善于走路的人追他，需要走250步才能追上他．故选：A．3．解：设2019年的补助资金为x亿元，则可列方程：（1+16%）x＝14.5，解得：x＝12.5，∴14.5﹣12.5＝2（亿元），故选：A．4．解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：（1）得分不足7分的平均得分为3分，xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），xy﹣3x＝13①，（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），4.5x﹣xy＝21.5②，①+②得1.5x＝34.5，解得x＝23，故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．故选：A．5．解：设每个人都发x枚硬币，由题意知，第一步中，甲有x枚硬币、乙有x枚硬币，丙有x枚硬币，第二、三步后，甲有（x﹣2）枚硬币，乙有（x﹣1）枚硬币，丙有（x+3）枚硬币，第四步后，甲有2（x﹣2）枚硬币，丙的硬币有x+3﹣（x﹣2）＝5（枚），依题意有2（x﹣2）＝5×2，解得x＝7，此时乙有x﹣1＝7﹣1＝6．故选：C．6．解：设A、B两种正方体木块分别为x块，依题意有2x+bx+26＝40，解得x＝，∵x，b为正整数，∴2+b＝1，2，7，14，∴b＝﹣1，0，5，12，∵b＝5，12，则所有满足要求的整数b的值的和为5+12＝17．故选：D．二．解答题（共17小题）7．解：（1）设该批援鄂医疗队中医生有x人，则护士有（126﹣x）人，根据题意得：2（x﹣27＝126﹣x﹣27），解得x＝51，则126﹣x＝75．答：该批援鄂医疗队中医生有51人，护士有75人；（2）∵负责普通病房的医生有51﹣27＝24人，而5个普通病房需要1名医生，∴普通病房有24×5＝120（个），答：该医院住院部普通病房有120个．8．解：（1）250﹣75÷15×10＝250﹣50＝200（毫升）．故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升；（2）设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟，依题意有（t﹣20）＝160，解得t＝60．故小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．9．解：（1）设这个“倍尾数”的个位数为x，则十位数字为2x，百位数字为2x+1，由题意可得，（2x+1）+2x+x＝16，解得x＝3，∴2x＝6，2x+1＝7，即这个“倍尾数”是763，答：这个“倍尾数”是763；（2）设这个“倍尾数”的个位数为a，百位数字为b，由题意可得，b+2a+a＝17，化简，得3a+b＝17，∵a、2a、b均为不大于9的非负整数，∴或，即满足条件的“倍尾数”是863、584，答：所有符合要求的“倍尾数”是863、584．10．解：设每次所用的甲种金属有xkg，依题意得：.，解得：x＝5，答：每次所用的甲种金属有5kg．11．解：（1）设每天需要m小时完成，根据题意得：（55+45）m＝700，解得：m＝7，则甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需7小时完成；（2）设甲厂每天处理x吨垃圾，乙厂处理（700﹣x）吨，根据题意得：10x+11（700﹣x）＝7300，解得：x＝400．则甲厂每天处理垃圾400吨．12．解：设甲生产线每天生产x吨，则乙生产线每天生产（x﹣5）吨，由题意得20x+5（x+x﹣5）＝425，解得x＝15，所以x﹣5＝10，甲生产线每天生产15吨，乙生产线每天生产10吨，需用电：（20+5）×15×40+5×10×25＝16250（度），答：完成这批加工任务需用电16250度．13．解：设该班有x名学生，3x+30＝5x﹣50，解得：x＝40，答：该班有40名学生．14．解：设乙车间x人，则甲车间（x+100）人，由题意得，x+100+50＝3（x﹣50），解得x＝150．故甲车间：150+100＝250（人），答：乙车间150人，甲车间250人．15．解：（1）设七年级2班男生有x人，则女生有（x+2）人，由题意得：x+x+2＝50，解得：x＝24，女生：24+2＝26（人），答：七年级2班男生有24人，则女生有26人；（2）设男生应向女生支援y人，由题意得：120（24﹣y）＝（26+y）×40×2，解得：y＝4，答：男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．16．解：设甲种零件生产x天，由题意得：2×120x＝3×100（18﹣x），解得：x＝10，答：甲种零件生产10天，乙种零件生产8天．17．解：（1）根据题意得：180×5+（200﹣180）×7＝1040（元），∴小丽家全年需缴水费1040元；（2）根据题意得：180×5+80×7+（a﹣260）×9＝9a﹣880（元），答：小明家全年应缴水费（9a﹣880）元；（3）∵用水量为260吨，需缴水费：180×5+80×7＝1460（元），∴全年缴水费2000元，用水量大于260吨，设该年的用水量为x吨，根据题意可得：9x﹣880＝2000，解得：x＝320，∴该年的用水量为320吨．18．解：（1）20×2+（25﹣20）×2.5+0.3×25＝60（元），答：他应缴水费60元．（2）∵20×2+0.3×20＝46＞41.4，故水表有故障时，计入用水量不超过20吨，设该用户12月份实际用水x吨，由题意，得2×60%x+0.3×60%x＝41.4，解得x＝30，答：该用户12月份实际用水30吨．19．解：设木头长x尺，则绳子长（x+4）尺，根据题意得：x﹣（x+4）＝1，解得x＝6．答：木头长6尺．20．解：设安排x名工人制作甲配件，安排（7﹣x）名工人制作乙配件，900x＝1200（7﹣x），解得：x＝4，7﹣4＝3（名），答：安排4名工人制作甲配件，安排3名工人制作乙配件，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等．21．解：设面值为5元得人民币由x张，面值为2元得人民币由（32﹣x）张，根据题意得：5x+2（32﹣x）＝100，解得：x＝12（张），∴32﹣x＝20（张）．答：面值为5元得人民币由12张，面值为2元得人民币由20张．22．解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133﹣x），由题意得：（192﹣x）：[133﹣（133﹣x）]＝2：1，即（192﹣x）：x＝2：1，解得：x＝64，∴133﹣64＝69（人）．答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人．23．解：设共有x亩麦田，90x﹣3000＝75x+4500，解得x＝500．故共有500亩麦田．。
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《一元一次方程模型的应用》典型例题
例1一群由医生和律师组成的人的平均（算术平均）年龄是40岁，若医生的平均年龄是35岁，律师的平均年龄是50岁，那么医生和律师的人数比是（）A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．1:2
例2 某施工队上午施工时，由于天气不好，每小时比原计划少挖土3立方米，只挖了51立方米；下午天气好，并且采用了新的操作方法，每小时比原计划多挖6立方米，所以在同样的时间内，比上午多挖了27立方米．问原计划每小时挖土多少立方米？
例3某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
参考答案
例1 解 设医生有m 人，律师有n 人，依题意
,
105,40405035),
(405035n m n m n m n m n m -=-+=++=+
∴.1:2:=n m
说明：解题中，若把)(n m 看成未知数，而把)(m n 看成已知数，这也是解一元一次方程的问题．
例2 解 设该施工队原计划每小时挖土x 立方米，上、下午均挖了t 小时（0>t ），依题意得 51)3(=-t x ， ①
.2751)6(+=+t x ②
①÷②得 27
5151)6()3(+=+-t x t x ， 即.26
1763=+-x x 由比例的性质得 )6(17)3(26+=-x x ，
解得.20=x
答：原计划每小时挖土20立方米．
说明：此例是通过设辅助未知量来列出方程并化简成一元一次方程的．题设中没有给出上、下午的工作时间，题目中也不要求出这个量，解题中却假设了上、下午的工作时间t ，这样便于找出等量关系，列出方程．在解题过程中又把这个未知数t 消去，像这样的未知量，叫做辅助未知量．
例3 分析 分三种情况进行讨论．
解 方案一：获利为4 500×140＝630 000（元）．
方案二：15天可精加16×15＝90（吨），说明还有50吨需要在市场直接销售，故可获利7 500×90＋1000×50＝725 000（元）．
方案三：可设将x 吨蔬菜进行精加工，将（140－x ）吨进行粗加工，依题意得 1516
1406=-+x x ， 解得 60=x ．
故获利7 500×60＋4 500×80＝810 000（元）．
综上，选择方案三获利最多．
说明：如何获取最大的利润，是生产经营者一直思考的问题，学习数学的目的是为了应用，故应多一些实践常识，遇到问题应多方位思考，多制定几条方案供自己选择．这里是方案开放，探究最佳方案．。