辽宁省葫芦岛市第八高级中学高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算(一)导学案(无答案)新人教A版选修2-1
辽宁省葫芦岛市第八高级中学高中数学1.1.2集合的运算(
课题：1.2.2集合的运算（第1课时）【学习目标】1．理解交集、并集的概念和意义2．掌握有关集合的术语和符号预习案【使用说明及学法指导】1.先仔细阅读教材两遍，完成交集，并集概念的理解，；2.限时15分钟独立、规范完成基础知识梳理部分，并能说出交、并集的概念。
3.具体要求：（1）认真阅读，记忆交集，并集定义；（2）给定简单的两个集合，能写出它们的交集和并集。
一、基础知识梳理：1、交集：一般地，对于给定的两个集合A，B，由属于A又属于B的所有元素所组成的集合,叫做A,B 的．记作 ,2、并集：一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B 的．记作【预习自测】1．已知M={x|x是平行四边形}，P={x|x是梯形}，则M∩P等于（）A、MB、PC、{x|x是矩形}D、2．已知集合M={(x，y)|x+y=2}，N={(x，y)|x—y=4}，那么集合M∩N为（）A、x=3，y= —1B、(3，—1)C、(3，—1) D\{(3，—1)}3．设M={0，1，2，4，5，7}，N={1，4，6，8，9}，P={4，7，9}，则(M∩N)∪(M∩P)=___ __。
探究案1、用韦恩图表示两个集合的交集与并集。
2、思考交集与并集的性质有哪些？如交集的性质（1）A∩B=（2） A∩A=（3）A∩∅= ∅∩A=，则A∩B=（4）如果A B并集的性质：例1. 求下列每对集合的交集和并集（1）A=｛x|x2+2x-3=0｝, B={x|x2+4x+3=0}（2）C=｛1，3，5，7｝， D=｛2，4，6，8｝例2.已知A=｛（x,y）|4x+y=6｝,B={(x,y)|3x+2y=7} 求A∩B.例3.设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A∪B.例4.已知集合M＝｛x|x+y=2｝,N={y|y= x2},那么M∩N为训练案1.若集合Ａ、Ｂ满足Ａ∪Ｂ＝Ａ∩Ｂ，则集合Ａ，Ｂ的关系是_________________________．2．设A={x|—2<x≤2}，B={x|1≤x<3}，求A∪B，A∩B。
高中数学第三章 3.1.2空间向量的数乘运算学案含解析新人教A版选修2_1
3.1.2 空间向量的数乘运算内容标准学科素养1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律．2.理解向量共线、向量共面的定义．3.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.提升逻辑推理发展直观想象授课提示：对应学生用书第54页[基础认识]知识点一空间向量的数乘运算预习教材P86－87，思考并完成以下问题平面向量的数乘运算是什么？满足哪些运算律？提示：(1)实数λ和向量a的乘积仍是一个向量．(2)|λa|＝|λ||a|.(3)λa的方向．当λ>0时，λa的方向与a方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．(4)数乘运算的运算律λ(μa)＝(λμ)a；λ(a＋b)＝λa＋λb.知识梳理空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0方向相同λa的模是a的模的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向相反若λ，μ是实数，a，b是空间向量，则有①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(λ＋μ)a＝λa＋μa；②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.知识点二共线向量与共面向量思考并完成以下问题(1)在学习平面向量时，共线向量是怎样定义的？如何规定0与任何向量的关系？提示：方向相同或相反的两向量称为共线向量；0与任何向量是共线向量．(2)对空间任意两个向量a与b，如果a＝λb，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb?提示：类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb(b≠0)．(3)对空间任意两个不共线的向量a，b，如果p＝x a＋y b，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝x a＋y b?提示：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.知识梳理共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b推论如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋t a①，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取AB→＝a，则①式可化为OP→＝OA→＋tAB→如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O来说，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB →1．已知空间四边形ABCD ，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，连接AM ，AG ，MG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( ) A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 答案：A2．满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 答案：C3．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量 答案：A授课提示：对应学生用书第55页 探究一 空间向量的数乘运算[教材P 89练习2]如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E ，F 分别是上底面A ′C ′和侧面CD ′的中心．求下列各式中x ，y 的值：(1)AC ′→＝x (AB →＋BC →＋CC ′→)； (2)AE →＝AA ′→＋xAB →＋yAD →；(3)AF →＝AD →＋xAB →＋yAA ′→.解析：(1)在正方体中，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， ∴x ＝1.(2)AE →＝AA ′→＋12A ′C ′＝AA ′→＋12AC →＝AA ′→＋12(AB →＋AD →)∴x ＝y ＝12.(3)AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12DC ′→＝AD →＋12(DD ′→＋DC →)＝AD →＋12AA ′→＋12AB →，∴x ＝y ＝12.[例1] 已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[解析] (1)如图所示，OQ →＝PQ →＋OP →，由向量加法的平行四边形法则可得PO →＝12(PC →＋P A →)，∴OP →＝－12PC →－12P A →，∴OQ →＝PQ →＋OP →＝PQ →－12PC →－12P A →.∴x ＝－12，y ＝－12.(2)∵P A →＝PD →＋DA →＝PD →＋2QO → ＝PD →＋2(PO →－PQ →)＝PD →＋2PO →－2PQ →. ∴x ＝2，y ＝－2.方法技巧 1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要准确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟悉数乘向量运算的几何意义，同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化．2．在△ABC 中，若D 为BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)，这一结论可视为向量形式的中点公式，应用非常广泛，应熟练掌握．跟踪探究 1.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．解析：(1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→， 所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.探究二 空间共线向量定理及其应用[教材P 99习题3.1B 组2题改编]如图，已知空间四边形OABC 中，OA ＝OB ，CA ＝CB ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 证明：∵E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，BC ，CA 的中点， ∴OE →＝12OA →，OF →＝12OB →，CG →＝12CB →，CH →＝12CA →.∵AB →＝OB →－OA →＝2OF →－2OE → ＝2(OF →－OE →)＝2EF →， ∴AB ∥EF ，且|AB →|＝2|EF →|. 同理HG ∥AB ，且|AB →|＝2|HG →|，∴四边形EFGH 是平行四边形．[例2] 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，点F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c .所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →.因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．方法技巧 1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．2．判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．跟踪探究 2.如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解析：∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴2MN →＝12CA →＋AF →＋12FB →－12CA →＋CE →－AF →－12FB →＝CE →，即CE →＝2MN →.∴CE →与MN →共线．探究三 空间共面向量定理及其应用[阅读教材P 88例1]如图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．题型：空间四点共面的判定方法步骤：(1)由数乘运算表示出向量OE →，OF →，OG →，OH →. (2)由向量减法运算得出EG →.(3)由AB →、AC →、AD →的关系得出EG →、EF →、EH →的关系，从而判定E ，F ，G ，H 四点共面． [例3] 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解析] (1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →，所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →，所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)， 因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →. 故向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．方法技巧 1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则向量a ，b ，c 共面；(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．2．对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →； (3)PM →∥AB →(或P A →∥MB →，或PB →∥AM →)．跟踪探究 3.已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．(1)OM →＋OB →＝3OP →－OA →；(2)OP →＝4OA →－OB →－OM →. 解析：(1)∵OM →＋OB →＝3OP →－OA →， ∴OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋P A →＋PB →， ∴OP →－OM →＝P A →＋PB →， ∴MP →＝P A →＋PB →，∴MP →，P A →，PB →为共面向量， ∴P 与A ，B ，M 共面．(2)OP →＝2OA →＋(OA →－OB →)＋(OA →－OM →)＝2OA →＋BA →＋MA →，根据空间向量共面的推论，点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP →＝OA →＋xBA →＋yMA →， ∴P 与A ，B ，M 不共面．授课提示：对应学生用书第56页[课后小结]利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题．[素养培优]混淆共面向量与共线向量的相关结论致误已知e 1，e 2是两个非零空间向量，如果AB →＝e 1－2e 2，AC →＝3e 1＋4e 2，AD →＝－e 1－8e 2，则下列结论正确的是( )A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．A ，B ，C ，D 四点共面C ．A ，B ，C ，D 不一定共面D ．无法确定A ，B ，C ，D 四点的位置关系易错分析 由已知条件，AC →与AD →不共线，且AC →＋AD →＝2e 1－4e 2＝2(e 1－2e 2)＝2AB →，由此得(AC →＋AD →)∥AB →.若设AC →＋AD →＝AE →，则A ，B ，E 三点共线，并不是A ，B ，C ，D 四点共线．考查逻辑推理的学科素养．自我纠正 因为AC →＋AD →＝2e 1－4e 2＝2(e 1－2e 2)＝2AB →，即AB →＝12AC →＋12AD →，所以由共面向量定理可知AB →，AC →，AD →三个向量共面．又因为A 是公共点，所以A ，B ，C ，D 四点共面，故选B. 答案：B。
高中数学《空间向量的数乘运算》导学案
3.1.2空间向量的数乘运算1．空间向量的数乘运算(1)定义：□01实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0方向□02相同λ＝0λa＝0，其方向是任意的λa的模是a的模的□04|λ|倍λ<0方向□03相反(3)空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，则有：①分配律：λ(a＋b)＝□05λa＋λb.②结合律：λ(μa)＝□06(λμ)a.2．共线向量与共面向量(1)共线(平行)向量(2)共面向量1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．()(3)如果OP→＝OA→＋t AB→，则P，A，B共线．()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.(2)已知b＝－5a(|a|＝2)，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________．(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E→＝14A1C1→，若AE→＝x AA1→＋y(AB→＋AD→)，则x＝______，y＝______.(4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12( BD→＋BC→)等于________．答案(1)－57(2)10相反(3)114(4)AG→解析(4)AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋12×(2BG→)＝AB→＋BG→＝AG→.探究1空间向量的数乘运算例1已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．(1)OQ→＝PQ→＋y PC→＋z PA→；(2)PA→＝x PO→＋y PQ→＋PD→.[解] (1)如图，∵OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PC→－12PA→，∴y＝z＝－12.(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴PA→＋PC→＝2PO→，PC→＋PD→＝2PQ→，∴PA→＝2PO→－PC→，PC→＝2PQ→－PD→，∴PA→＝2PO→－2PQ→＋PD→，∴x＝2，y＝－2.拓展提升利用向量的线性运算求参数的技巧利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．【跟踪训练1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC 的中点．(1)化简：A1O→－12AB→－12AD→；(2)设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，若EO→＝x AB→＋y AD→＋z AA1→，试求实数x，y ，z 的值．解 (1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)连接AE ，则EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.探究2 共线向量例2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 连接EF ，EB ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， ∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →. ∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→) ＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， ∴EF →＝25EB →，∴E ，F ，B 三点共线．[条件探究] 将例2的条件改为“O为A1C上一点，且A1O→＝23A1C→，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线．证明连接AO，AC1，A1C1.∵A1O→＝23A1C →，∴AO→＝AA1→＋A1O→＝AA1→＋23A1C→＝AA1→＋23(A1A→＋AC→)＝13AA1→＋23AC→.∵AC→＝2AM→，AA1→＝AC1→＋C1A1→＝AC1→－AC→＝AC1→－2AM→，∴AO→＝13(AC1→－2AM→)＋43AM→＝13AC1→＋23AM→.∵1 3＋23＝1，∴C1，O，M三点共线．拓展提升1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使PA→＝λPB→成立．(2)对空间任一点O，有OP→＝OA→＋t AB→(t∈R)．(3)对空间任一点O ，有OP →＝x OA →＋y OB →(x ＋y ＝1)．【跟踪训练2】 已知向量e 1，e 2不共线，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－3e 1＋8e 2，判断a 与b 是否共线．解 设a ＝λb ，即3e 1＋4e 2＝λ(－3e 1＋8e 2)， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝3，8λ＝4无解．∴不存在λ，使a ＝λb ，即a 与b 不共线． 探究3 共面向量例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．[证明] 因为OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ， 所以OE →＝k OA →，OF →＝k OB →，OG →＝k OC →，OH →＝k OD →. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，因此EG →＝OG →－OE →＝k OC →－k OA →＝k AC →＝k (AB →＋AD →)＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →.由向量共面的充要条件知E ，F ，G ，H 四点共面． 拓展提升证明向量共面、点共面的常用方法(1)证明空间三个向量共面，常用如下方法①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c，则向量a，b，c共面；②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．(2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面①MP→＝x MA→＋y MB→；②对空间任一点O，OP→＝OM→＋x MA→＋y MB→；③对空间任一点O，OP→＝x OA→＋y OB→＋z OC→(x＋y＋z＝1)；④PM→∥AB→(或PA→∥MB→，或PB→∥AM→)．【跟踪训练3】(1)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.答案2 15解析∵点P与A，B，C三点共面，∴1 5＋23＋λ＝1，解得λ＝215.(2)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.①判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；②判断点M是否在平面ABC内．解①∵OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)＝BM→＋CM→，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴向量MA→，MB→，MC→共面．②由①知向量MA→，MB→，MC→共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．1.四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有OP→＝x OA→＋y OB→＋z OC→，且x＋y＋z＝1.2.OP→＝OA→＋x AB→＋y AC→称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.3.证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB→＝λBC→(或AB→＝λAC→)即可，也可用“对空间任意一点O，有OC→＝t OA→＋(1－t)OB→”来证明A，B，C三点共线.4.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP→＝x MA→＋y MB→，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面.1．给出下列命题：①a＝“从上海往正北平移9 km”，b＝“从北京往正北平移3 km”，那么a ＝3b；②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③把正方形ABCD平移向量m到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；④有直线l，且l∥a，在l上有点B，若AB→＋CA→＝2a，则C∈l.其中正确的命题是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③答案C解析由向量相等与起点无关易知①正确；由向量的数乘运算满足分配律及向量的加减运算满足交换律和结合律易知②正确；③中轨迹形成的几何体是平行六面体，不一定是正方体，③错误；由AB→＋CA→＝CA→＋AB→＝CB→＝2a知CB→与l直线平行，又B在l上，所以C∈l，故④正确．故选C.2．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D答案A解析由已知可得AB→＝a＋2b，BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b，所以BD→＝2AB→，即BD→，AB→是共线向量，所以A，B，D三点共线．3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝x OA →＋12OB →＋16OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13 答案 D解析 ∵OM →＝x OA →＋12OB →＋16OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋12＋16＝1，x ＝13.4．在平行六面体ABCD －EFGH 中，若AG →＝x AB →－2y BC →＋3z DH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56 D ．1 答案 C解析 由于AG →＝AB →＋AD →＋CG →＝AB →＋BC →＋DH →，对照已知式子可得x ＝1，－2y ＝1,3z ＝1，故x ＝1，y ＝－12，z ＝13，从而x ＋y ＋z ＝56.5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的有( ) ①平面内的任意两个向量都共线；②若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )； ③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； ④空间中的任意三个向量都共面． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 A解析 ①显然不正确．②不正确，由p ，a ，b 共面的充要条件知，当p ，a ，b 共面时才满足p ＝λa ＋μb .③正确，a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/a ＝b .④不正确，由共面向量的充要条件知可以化成p ＝x a ＋y b 的三个向量共面． 2．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝m OA →＋n OB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈直线ABB ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对答案 A解析 因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋n OB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝n AB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .3．若a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线 D ．m ，n ，p 共面 答案 D解析 由于(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，即m ＋n ＝2p ，即p ＝12m ＋12n ，又m 与n 不共线，所以m ，n ，p 共面．4. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c . 5．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，且平面ABC 中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－2AC →D.OA →＋2AB →－3AC → 答案 C解析 连接AP ，∵A ，B ，C ，P 四点共面，∴可设AP →＝x AB →＋y AC →，即OP →＝OA →＋x AB →＋y AC →，由题图可知x ＝3，y ＝－2.6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A →，D 1C →，A 1C 1→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 答案 C解析 如图所示，因为D 1C →－D 1A →＝AC →，而AC →＝A 1C 1→， 所以D 1C →－D 1A →＝A 1C 1→，即D 1C →＝D 1A →＋A 1C 1→.而D 1A →与A 1C 1→不共线，所以D 1C →，D 1A →，A 1C 1→三向量共面． 二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝________.答案 －13i ＋2j ＋7k解析 4a －3b ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12i －j ＋k －3(5i －2j －k )＝2i －4j ＋4k －15i ＋6j ＋3k ＝－13i ＋2j ＋7k .8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.三、解答题9．在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．解∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴GE→＝1BE→.3又1AC→＝12(DC→－DA→)＝12DC→－12DA→＝DE→－DF→＝FE→，2∴AG→＋1BE→－12AC→＝AG→＋GE→－FE→＝AF→(如图所示)．3B级：能力提升练如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD 的中点，证明：PB∥平面ACM(用向量法)．证明∵M是PD的中点，∴PM→＝MD→.又∵PB→＝PM→＋MA→＋AB→＝PM→＋MA→＋AC→＋CB→＝PM→＋MA→＋AC→＋DA→＝PM→＋MA→＋AC→＋MA→－MD→.∴PB→＝2MA→＋AC→.∴PB→，MA→，AC→共面．又∵PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM.。
辽宁省葫芦岛市第八高级中学高中数学3.1.2空间向量的数乘运算(一)导学案(无答案)新人教A版选修21
§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．8687）复习1：化简：⑴ 5（32a b -）+4（23b a -）；⑵ ()()63a b c a b c -+--+-.复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线. ※ 典型例题例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得：⑴22OP OA AB AC =++⑵32OQ OA AB AC =--⑶32OR OA AB AC =+-23OS OA AB AC =+-.⑷小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.※ 动手试试练1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面'''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则OP OA + OB.4. 平行六面体''''ABCD A B C D-, O为A1C与B1D的交点,则'()3AB AD AA++=AO5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D-，M是AC与BD交点，若',,AB a AD b AA c===，则与'B M相等的向量是（）A.1122a b c-++； B.1122a b c++；C. 11a b c-+； D.1122a b c--+.。
辽宁省葫芦岛市第八高级中学高中数学 3.2立体几何中的向量方法(3)导学案(无答案)新人教A版选修2-1
§3.2立体几何中的向量方法（3）1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.)()1,2,0,0,1,1,A B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n,且AP 与n不共线,能否用AP 与n 表示d ?分析:过P 作PO ⊥α于O ,连结OA ,则 d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠∵PO⊥α,,n α⊥∴PO ∥n .∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉|∴D. =|PA||cos ,PA n 〈〉 |=|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉 =||||PA n n ⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n，则D. = ||||PA n n ∙试试：在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中， 求点'C 到平面''A BCD 的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.※ 典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,PD DC a ==,AD =,M N 、分别是AD PB 、的中点,求点A 到平面MNC 的距离.小结：求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离. 探究任务二：两条异面直线间的距离的求法APD C BMN例 2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=,E 是AB 的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n ABd n∙= 求解.三、总结提升 ※ 学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式※ 知识拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ； 2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ； 3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''A B C DA B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''A CDB 的距离是 .1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.2. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE .⑴ 计算DE 的长；⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.§第三章 空间向量（复习）2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.115－116复习1：如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且OM=2MA , N为BC 中点，则MN =复习2：平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB a = ',AD b AA c ==，点P,M,N 分别是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且':4:1CQ QA =,用基底 {},,a b c表示下列向量： ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .※主要知识点：1. 空间向量的运算及其坐标运算：空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算※ 典型例题例1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg ，在它的顶点处分别受力1F 、2F 、3F，每个力与同它相邻的三角形的两123200F F F kg === .这块钢板在这边之间的夹角都是60，且些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例2 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2,ABC CB CA AA ∠=︒===点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.变式：正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，棱长为2，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使MN AB ⊥.例3 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点E ,F 分别在11,BB DD 上，且1AE A B ⊥,1AF A D ⊥. ⑴ 求证：1AC ⊥平面AEF ; ⑵ 当14,3,5AB AD AA ===时，求平面AEF 与平面11D B BD 所成的角的余弦值.※ 动手试试练1. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a. ⑴试建立适当的坐标系，写出点11,,,A B A C 的坐标⑵求1AC 的侧面11ABB A 所成的角.练2. 已知点A (1,-2,0),向量()3,4,12a =- ，求点B 的坐标，使得//AB a ，且2AB a =.三、总结提升 ※ 学习小结1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同；2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.※ 知识拓展若二面角两个面的法向量分别是12,n n，二面角为θ则12cos cos ,n n θ=-，而 ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.已知()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且()(2)ka b a b +⊥- ，则k ＝；2. 已知()()1,21,0,2,,a t tb t t =--= ，则b a -的最小值是（ ）3.空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p == 与()1,1,1OC = 的夹角都等于4π，则c o s A O B ∠=4.将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，异面直线,AB CD 所成角的余弦值为 .121212cos ,.||||n n n n n n ∙<>=5. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，113AM AC =,N 是1BB 的中点，则MN ＝（ ）1. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别为11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥;⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦值； ⑶ 求CE 的长.。
高二数学选修2《空间向量的数乘运算》导学案
第三章 空间向量与立体几何3.1.2 空间向量的数乘运算一、学习目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立体几何问题.【重点、难点】重点：空间向量的数乘运算及运算律；难点：用向量解决立体几何问题.二、学习过程【复习回顾】(1)平面向量有加减运算，空间向量也有；平面向量有数乘运算，那空间向量有吗？它们相同吗？(2)向量经加法以后仍然是向量，经减法运算以后也是向量，那经数乘运算以后呢?【探究新知】1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个 ，称为向量的数乘运算．(2)向量a 与λa 的关系.λ的范围 方向关系 模的关系λ>0 方向λa 的模是a 的模的 倍λ＝0 λa ＝0，其方向是任意的 λ<0 方向 (3)空间向量的数乘运算律设λ、μ是实数，则有①分配律：λ(a ＋b )＝ ; ②结合律：λ(μa )＝ .2．共线向量与共面向量共线(平行)向量 共面向量定义 表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于 的向量叫做共面向量充要 条件 对于空间任意两个向量a ，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb 若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p ＝xa ＋yb推论 如果l 为经过点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋ta①，其中a 叫做直线l 的方向向量如图所示． 若在l 上取AB →＝a ，则①式可化为OP →＝OA →＋tAB →如图，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y)，使AP →＝xAB →＋yAC →，或对空间任意一点O 来说，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.【典型例题】例1． 已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.例2．如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.利用向量法求证四边形EFGH 是梯形．例3. 如图所示，P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别是△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，分别延长PE ，PF ，PG ，PH ，交对边于M ，N ，Q ，R ，并顺次连结MN ，NQ ，QR ，RM .应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．例4.已知在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是对角线AC ，A 1D 的三等分点，且满足AM →＝12MC →，A 1N →＝2ND →.记AB →＝a, AD →＝b ，AA1→＝c ，试用a ，b ，c 来表示向量MN →.【变式拓展】1. 在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )．A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 2. 设两非零向量e 1、e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．试问：A 、B 、D 是否共线，请说明理由．3. 已知平行四边形ABCD (如图)，从平面AC 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →，求证：(1)四点E 、F 、G 、H 共面； (2)平面EG ∥平面AC .三、总结反思1．向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a ，b 共线时，表示a ，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a ∥b 时，也具有同样的意义．(2)“共线”这个概念具有自反性a ∥a ，也具有对称性，即若a ∥b ，则b ∥a .(3)如果应用上述结论判断a ，b 所在的直线平行，还需说明a (或b )上有一点不在b (或a )上．AB ＝λBC →或AB ＝μAC →即可．也可用“对空间任意一点O ，有OB →＝tOA →＋(1－t )OC →”来证明三点共线．2．向量共面的充要条件的理解MP ＝xMA →＋yMB →.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．四、随堂检测1．设空间四点O ，A ，B ，P 满足,OP mOA nOB =+其中m+n=1，则（ ）A ．点P 一定在直线AB 上B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D. AB 与AP →与AP →的方向一定相同2．如图所示,平行六面体A 1B 1C 1D 1- ABCD ，M 分AC 成的比为12，N 分A 1D →成的比为12，N 分A 1D →成的比为2，设AB ＝ a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a 、b 、c 表示MN .3. 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .。
高中数学导学案精品
§ 空间向量的数乘运算（一） 班级：二年级 组名：数学 设计人： 审核人： 领导审批： 学习目标1. 驾驭空间向量的数乘运算律，能进行简洁的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面对量定理与它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义与运算律解决简洁的立体几何中的问题．学习过程一、课前打算（由学生完成）（预习教材P 86~ P 87，找出怀疑之处）复习1：化简：⑴ 5（32a b -）+4（23b a -）；⑵ ()()63a b c a b c -+--+-.2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是二、新课导学 学习探究（由学生完成）一：空间向量的共线问题：空间随意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 假如表示空间向量的 所在的直线相互 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间随意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的随意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，留反思：充分理解两个向量意零向量与任何向量共线.学问应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =- ，求证: 三点共线.精讲例题 例1 已知直线，点O 是直线外一点，若OP xOA yOB =+，且＝1，试推断三点是否共线？变式：已知三点共线，点O 是直线外一点，若12OP OA tOB =+，则t ＝ 例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱'的中点，点G 在对角线'上，且'2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线'中点，化简下列表达式：⑴'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得：⑴22OP OA AB AC =++⑵32OQ OA AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+-⑷23OS OA AB AC =+-.小结（由学生完成）空间向量的化简与平面对量的化简一样，加法留意向量的首尾相接，减法留意向量要共起点，并且要留意向量的方向.※ 动手试试（由学生完成）练1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；B. 随意两个共线向量不肯定是共线向量；C. 随意两个共线向量相等；D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则与它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件与推论.学问拓展平面对量仅限于探讨平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量探讨的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上全部点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的状况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 随意两个相等向量不肯定共线C. 随意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD y AB z AA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P 是线段的中点，点O 在直线外，则OP = OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为1与1的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是与交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ） A. 1122a b c -++； B. 1122a b c ++； C. 11a b c -+； D. 1122a b c --+.。
辽宁省葫芦岛市第八高级中学高中数学 1.1.2集合的运算(第2课时)导学案 新人教版必修1
课题：1.2.2集合的运算（第2课时）（补集及其综合应用）【学习目标】1．理解补集的概念和意义。
2．掌握有关集合的术语和符号。
预习案【使用说明及学法指导】1.先仔细阅读教材两遍，完成补集概念的理解，；2.限时15分钟独立、规范完成基础知识梳理部分，并能说出补集的概念。
3.具体要求：（1）认真阅读，记忆补集定义；（2）给定简单的两个集合，能写出它们的交集和并集，补集。
一、基础知识梳理：1、如果所要研究的集合________________________________，那么称这个给定的集合为全集，通常用_____表示．2、如果A是全集U的一个子集，由_______________________________构成的集合，叫做Ａ在Ｕ中的补集，记作________，读作_________．3、请你用veen图来表示补集。
【预习自测】A等于：（）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，4}，则CuA、{1，2，3，4，5}B、{1，4}C、{1，2，4}D、{3，5}B等于：（）2．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，4}，B={2}，则A∩CuA、{1，2，3，4，5}B、{1，4}C、{1，2，4}D、{3，5}3．已知U=R，A={x|x>5},求C u A=我的疑问：探究案读记教材交流：问题1：什么是全集？全集是实数集R吗？问题2：什么叫补集？它该怎样表示（用符号和图形）？问题3：补集有什么运算性质？例1.已知U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，求CuA, A ∩CuA, A ∪CuA例2.（1）设U={1,2,3,4,5,6,}，A={5,2,1}，B={5,4,3,2,}，求CuA, CuB, CuA ∩CuB,CuA ∪CuB.（2）通过观察（1）总结 CuA ∩CuB=Cu( )CuA ∪CuB=Cu( )例3. 设Ｕ＝｛２，４，３－a 2｝,Ｐ＝｛２，a 2＋２－a ｝，ＣU Ｐ＝｛－１｝，求a训练案1、选择题（1）已知ＣZ Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜ｘ＞５｝，ＣZ Ｂ＝｛ｘ∈Ｚ｜ｘ＞２｝，则有（ ） Ａ．Ａ⊆Ｂ Ｂ．Ｂ⊆Ａ Ｃ．Ａ＝Ｂ Ｄ．以上都不对（2）设R U =，}1|{≥=x x A ，}50|{<<=x x B ，则()U C A B ∩=（ ）Ａ．}10|{<<x x Ｂ．}51|{<≤x xＣ．}10|{<≤x x Ｄ．}51|{<≤x x（3）设全集Ｕ＝｛２，３，a 2＋２a －３｝，Ａ＝｛｜a ＋１｜，２｝，ＣU Ａ＝｛５｝，则a 的值为（ ）Ａ．２或－４ Ｂ．２ Ｃ．－３或１ Ｄ．４2、填空题（4）设Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛b x a x ≤≤|｝，ＣU Ａ＝｛ｘ｜ｘ＞４或ｘ＜３｝，则a ＝________，b ＝_________．（5）设Ｕ＝Ｒ,Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－ｘ－２＝０｝,Ｂ＝｛ｘ｜|ｘ|＝ｙ＋１，ｙ∈Ａ｝,则ＣU Ｂ＝______________．3、解答题（6）已知全集Ｓ＝｛不大于20的质数｝，Ａ、Ｂ是Ｓ的两个子集，且满足Ａ∩（ＣS Ｂ）＝｛３，５｝，（ＣS Ａ）∩Ｂ＝｛７，19｝，（ＣS Ａ）∩（ＣS Ｂ）＝｛２，17｝，求集合Ａ和集合Ｂ．(7) 设全集U 为R ，{}{}22120,50A x x px B x x x q =++==-+=，若 {}{}()2,()4U U C A B A C B ⋂=⋂=，求A B ⋃。
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§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
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复习1：化简：
⑴ 5（32a b -）+4（23b a -）；
⑵ ()()63a b c a b c -+--+-.
复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量,a b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得
推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，
点P 在直线l 上的充要条件是
试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+
()
3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线.
反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线. ※ 典型例题
例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12
OP OA tOB =+，那么t ＝
例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .
变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB -;
⑵ '''''AB B C C D ++
⑶ '111222
AD AB A A +-
变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得：
⑴22OP OA AB AC =++
⑵32OQ OA AB AC =--
⑶32OR OA AB AC =+-
23OS OA AB AC =+-.
⑷
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试
练1. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；
B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；
C. 任意两个共线向量相等；
D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.
2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x
三、总结提升
※ 学习小结
1.空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；
2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法正确的是（ ）
A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线
B. 任意两个相等向量不一定共线
C. 任意两个共线向量相等
D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=
2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,
则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则OP OA + OB.
4. 平行六面体''''
ABCD A B C D
-, O为A
1C与B
1
D的交点,则'
()
3
AB AD AA
++=AO
5. 已知平行六面体''''
ABCD A B C D
-，M是AC与BD交点，若'
,,
AB a AD b AA c
===，则与'B M相等的向量是（）
A.
11
22
a b c
-++； B.
11
22
a b c
++；
C. 11
a b c
-+； D.
11
22
a b c
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