苏教版高中数学必修4-1.3《正余弦函数的图象与性质(第2课时)》参考教案1

三角函数的性质
教学目标：
理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.
教学重点：
正、余弦函数的性质
教学难点：
正、余弦函数性质的理解与应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sin x，x∈R
y＝cos x，x∈R
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x｜≤1，｜cos x｜≤1，即
－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.
其中正弦函数y=sin x，x∈R
①当且仅当x＝π
2＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝－π
2＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
而余弦函数y＝cos x，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
(3)周期性
由⎩⎨⎧=+=+x
k x x k x cos )2cos(sin )2sin(ππ (k ∈Z ) 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(4)奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
(5)单调性
从y ＝sin x ，x ∈［－π2 ，3π2 ］的图象上可看出：
当x ∈［－π2 ，π2 ］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1.
当x ∈［π2 ，3π2 ］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－π2 ＋2kπ，π2 ＋2kπ］(k ∈Z )上都是增函数，其
值从－1增大到1；在每一个闭区间［π2 ＋2kπ，3π2 ＋2kπ］(k ∈Z )上都是减函数，
其值从1减小到
－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2kπ］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.
［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.。