河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学(文)试

2017~2018学年度高三年级十七模考试数学试卷(文) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一个项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 设集合{041}x A x =<,集合()2{|lg 2}B x y x x ==--,则集合()R AC B =（ ）A ． (]02，B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．()(),10,∞-+∞2. 已知复数3a i z a i +=+- (a R ∈为虚数单位),若复数z 的共轭复数的虚部为12-, 则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 3. 若1x ,2x ,，2018x 的平均数为3，方差为4,且()22i i y x =--,1i x = ,2x ,，2018x ，则新数据1y ,2y 的平均数和标准差分别为（ ）A ． -4 -4B ． -4 16C ． 2 8D ． -2 44. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为抛物线212y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为y =,则实数a =（ ）A ． 3B ．．5. 运行如图所示程序,则输出的S 的值为（ ） A ． 1442 B ． 1452 C. 45 D ．14626. 已知sin α=(0,)2a π∈，则cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10 B．10C. 410- D．410 7. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ）A ．6B ． 9 C. 12 D ．188. 已知2OA OB ==,点C 在线段AB 上,且OC 的最小值为1,则OA tOB - (t R ∈)的最小值为（）A9. 函数22sin 33y ([,0)(0,])1441xx xππ=∈-+的图像大致是（ ） A ． B ．C. D ．10. 若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,点()4M m 是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共（ ）A ． 0个B ．1个 C. 2个 D ．4个 11. 设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若120x x <,且()()120f x f x +=，则21x x -的取值范围为（ ） A ． (,)6π+∞ B ． (,)3π+∞ C. 2(,)3π+∞ D ．4(,)3π+∞ 12. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}/0x f x α∈=;(){/0}B x g x ∈=,若所有的α,β，都有1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”.1 ()2x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+与互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是（ ） A ． []2,4 B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（每题5分，共20分，把每小题的答案填在答卷纸的相应位置） 13. 若数列{}n a 是等差数列，对于121()n n b a a a n=+++，则数列{}n b 也是等差数列.类比上述性质,若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列,对于0n d >时，数列{}n d 也是等比数列 ．14. 函数()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程是28y x =-,则(2)(2)f f ' ． 15. 已知a 是区间[]1,7上的任意实数,直线1:220l ax y a ---=与不等式组830x m x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域总有公共点，则直线:30(,)l mx y n m n R -+=∈的倾斜角α的取值范围为 ．16. 设锐角ABC ∆三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,若)cos cos 2sin ,1a B b A c C b +==,则c 的取值范围为 ．三、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，23a =，且21log a ,23log a ，27log a 成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. 在测试中,客观题难题的计算公式为ii R P N=,其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错)：（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （3）定义统计量()()()22211221]n n S P P P P P P n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中1P 为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,i n =).规定：若0.05S =，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.19. 四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且2PD DA ==，60CDA ∠=︒，过点B 作直线//l PD ，Q 为直线l 上一动点.（1）求证：QP AC ⊥；（2）当面PAC ⊥面QAC 时，求三棱锥Q ACP -的体积.20. 设点A 、B 的坐标分别为()2,0(2,0)-,直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是12-. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）直线:1l y kx =+与曲线C 相交于,D E 两点，若(0,2)Q 是否存在实数k ，使得DEQ ∆的面积为43？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()ln ,f x x ax a a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≥时，函数()()()1ln g x x f x x =+-的图象恒不在x 轴的上方，求实数a 的取值范围.二选一：请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为11x y αα⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩ (α为参数，2a <)（Ⅰ）当2a =-时，若曲线C 上存在,A B 两点关于点(0,2)M 成中心对称，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的直线l 与曲线C 相交于,C D 两点,若4CD =，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()5f x x =-，()523g x x =-- （Ⅰ）解不等式()()f x g x <；（Ⅱ）设()()22-312F f x y g y =++，求证：2F ≥.试卷答案一、选择题1-5: CADCB 6-10: ABBAD 11、12：BB 二、填空题12- 15.[0,](,)42πππ16.2⎛⎝三、解答题17.（1）设数列{}n a的公差为d由23a=，且21log a,23log a，27log a成等差数列，得23 2 1272log log loga a a=+，即()()()2222log3103log35d g d d+=-++，得()()2222log3log3(35)d d d+=-+，得()()()23335d d d+=-+，解得1d=或0d=(舍去)所以数列{}n a的通项公式为()()223211na a n d n n=+-⋅=+-⋅=+.（2）因为11111(1)(2)12nn nba a n n n n+===-++++所以1111111111112334451112nSn n n n n n=-+-+-++-+-+--+++11222(2)nn n=-=++18.（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：所以,估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题.（2）记编号为i的学生为()1,2,3,4,5iA i=，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种.其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A，13(,)A A，24(,)A A，25(,)A A，25(,)A A ，45(,)A A ，共6种.所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==. （3）1P 为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P 作为这120名学生第i 题的实测难度.()()()()222221S (0.80.9)0.80.80.70.70.70.60.20.40.0125⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦因为0.0120.05S =<,所以,该次测试的难度预估是合理的.19. （1）由题意知直线QP 在面ABCD 上的射影为DB ，又菱形ABCD 中DB AC ⊥，由三垂线定理知QP AC ⊥.（2）PAC ∆和QAC ∆都是以AC 为底的等腰三角形，设AC 和BD 的交点为O ，连接OP 、OQ ，则OP AC ⊥，OQ AC ⊥，∴AC ⊥面POQ ，面PAC ⊥面QAC 知：OP OQ ⊥.在Rt POD ∆中，OP =，设QB x =，则Rt OBQ ∆中，OQ =直角梯形PDBQ 中，PQ ==POQ ∆中，PQ ==解得32x =，即32QB =.同时2OQ =1224POQ S ∆==∴13Q ACP A POQ C POQ POQ V V V S AC ---∆=+=⋅=20.（1）设点M 的坐标为(),x y ，因为点A 的坐标是()2,0，所以直线AM 的斜率(2)2AM y k x x =≠-+同理，直线BM 的斜率(2)2BM yk x x =≠-所以1222y y x x ⋅=-+-化简得点M 的轨迹方程C 为()221242x y x +=≠± （2）设()11,D x y ，()22,E x y 联立22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩，化为：()2212420k x kx ++-= 0∆>，∴122412k x x k -+=+，122212x x k -=+， ∴DE ===Q到直线l 的距离d =1122QAB S d DE ∆==43==，解得：214k =，解得12k =±，因为当12k =时直线l 过点()2,0-， 当12k =-时直线l 过点()2,0，因此不存在实数k ，使得DEQ ∆的面积为43. 21.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，()11axf x a x x-'=-=①当0a ≤时，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，则由()0f x '>知10x a <<，由()0f x '<知1x a>， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由题意知：()()1ln 0x f x x +-≤恒成立,而()()()()()21ln 01ln ln 0ln 10x f x x x x ax a x x x a x +-≤⇔+-+-≤⇔--≤， 由()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，得：()'ln 12g x x ax =+-.令()ln 12h x x ax =+-，则112()2ax h x a x x-'=-=， ①若0a ≤，()0h x '>，() g x '在[1,)+∞上单调递增，故()'(1)120g x g a '≥=-≥， 所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g x g ≥=，从而()2ln 10x x a x --≥，不符合题意；②若102a <<，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()0g x '>在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 从而()(1)120g x g a '>=->，所以()g x 在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以()(1)0g x g ≥=, 从而在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上()2ln 10x x a x --≥，不符合题意； ③若12a ≥，()0h x '≤在[1,)+∞上恒成立， 所以()g x '在[1,)+∞上单调递减，()(1)120g x g a ''≤=-≤， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，所以2ln (1)0x x a x --≤恒成立，综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.（Ⅰ）由题意，得曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩(α为参数)，消去参数，得()()22114x y ++-=，圆心C 的坐标为()1,1-，因为曲线C 上存在,A B 两点关于点()0,2M 成中心对称，所以CM AB ⊥，则由2110(1)CM k -==--，得直线AB 的斜率11AB CMk k =-=-.（Ⅱ）消去参数，得曲线C 的普通方程为()()22112x y a ++-=-，圆心C 的坐标为()1,1-l 的极坐标方程可化为sin cos 20ρθρθ++=，其直角坐标方程为20x y ++=，所以，2222a +=-，∴4a =-.23.（Ⅰ）原不等式即5235x x -+-<，∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩， 所以x φ∈或332x ≤<或312x <<，即13x <<，原不等式的解集为()1,3. （Ⅱ）()2222523123556215F x y y x y y =+-++--=+-++-()()22222256215375322x y y x y x y ≥+-++-=+++-=+++≥。