多元函数微分学--偏导数与全微分
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
多元函数的偏导数与全微分计算
多元函数的偏导数与全微分计算多元函数在数学领域中起着重要的作用，研究多元函数的性质和变化趋势需要借助于偏导数和全微分的概念和计算方法。
本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的定义、性质及其计算方法。
一、偏导数的定义与计算方法偏导数是多元函数对于某个变量的导数，其定义如下：对于函数 $z = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是自变量，$z$ 是函数的因变量。
函数 $f$ 在某一点处对于自变量$x_i$ 的偏导数定义为：$\frac{\partial z}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_n)}{\Delta x_i}$计算偏导数时，可以将多元函数看作其他变量不变，只对某一变量求导的单变量函数。
常用的计算方法有以下几种：1. 隐函数求导法当多元函数以隐式形式给出时，可以使用隐函数求导法计算偏导数。
通过对方程两边同时求导，并利用链式法则可以得到偏导数的表达式。
2. 显函数求导法当多元函数以显式形式给出时，可以直接对每个变量求导，其他自变量视作常数。
逐个变量求导后得到各个偏导数。
3. 参数方程法对于由参数方程表示的多元函数，在参数的每个分量上分别求导，并利用链式法则计算出各个偏导数。
二、偏导数的性质偏导数具有以下一些性质：1. 交换性对于偏导数来说，次序并不重要，即换序后得到的偏导数结果相同。
$\frac{\partial^2 z}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 z}{\partialx_j \partial x_i}$2. 连续性如果多元函数 $f$ 的偏导函数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 在某一点连续，那么该点处的偏导数存在。
多元函数微积分学 6.3偏导数与全微分
=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08.
24
2. 全微分的运算公式 设二元函数 u(x,y) , v(x,y) 均可微 , 则 ((v(x,y) ≠0)), 也可微 且 也可微,
d( ku)
(k为常数 为常数), 为常数
(k为常数), (k为常数), 为常数
= du ± dv, = vdu + udv,
26
f (x, y),
处连续. 即 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
17
定理4 (充分条件) 若函数
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂u =− sin( x2 − y2 − ez ) ⋅ (−2 y) = 2 y sin( x2 − y2 − ez ) ∂y
∂z 2 2 z z z 2 2 z u = −sin( x − y − e ) ⋅ (−e ) = e sin( x − y − e ) ∂z
10
2. 二元函数偏导数的几何意义
∂f ; z′ x ∂ x (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
;
f1′(x0, y0 ) .
2
同样可定义对 y 的偏导数
f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0 ) f y′(x0, y0 ) = lim ∆ y→0 ∆y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数, 偏导数 , 记为
偏导数和全微分的概念
全增量的概念 如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)的某邻域内有定义，
设 P( x x, y y)为这邻域内的任意一点，则称 这两点的函数值之差 f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增量， 记为 z ，即
z f (x x, y y) f (x, y).
定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0处有增量x时，
相应地函数有增量
z f (x0 x, y0) f (x0, y0)
如果
lim z lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x x0
x0
x
存在，则称此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )
处对 x的偏导数，记为
把 x 看成常量
z x
x1
y2
21 328,
z y
x1
y2
31 227.
例2 求z x2 sin 2 y的偏导数.
解
z x
2xsin2 y;
z y
2x2cos2 y .
把 y 看成常量 把 x 看成常量
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8
例3 设f x, y xy x2 y3,求 f , f ,
x y
27
lim f ( x, y)
( x, y)(0,0)
lim
( x, y)(0,0)
(x2
x2 y2 y2 )3
2
lim sin2 cos2 0 f (0,0),
0
故函数 f ( x, y)在点(0, 0)连续。 (再证偏导数存在)
f x (0,0)
lim
x0
f (x,0) x
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导多元函数是指含有多个自变量的函数，偏导数是研究这类函数时常用的工具，而全微分则是近似表示函数的变化率。
本文将介绍多元函数的偏导数与全微分的概念，并进行相应的推导。
一、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对于含有多个自变量的函数，我们在求解函数变化率时，只关注一个自变量的变化而将其他自变量视为常数。
具体而言，对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其关于自变量$x_i$的偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partialx_i}$，表示$f$对$x_i$的变化率。
对于二元函数$z=f(x,y)$，其偏导数分为偏导数和混合偏导数两种情况。
偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$表示$z$对$x$的变化率，$\frac{\partial z}{\partialy}$表示$z$对$y$的变化率。
混合偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$表示先对$x$求偏导再对$y$求偏导。
对于多元函数的偏导数计算，可以通过求偏导的方式逐个计算。
具体而言，对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，求关于$x_i$的偏导数时，将其他自变量视为常数，对$x_i$进行求导即可。
重复这个过程，可以得到所有的偏导数。
二、多元函数的全微分多元函数的全微分是函数的微小变化量。
对于二元函数$z=f(x,y)$，其全微分$\mathrm{d}z$表示$z$的微小变化量。
全微分可以通过偏导数来表示，即$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partialy}\mathrm{d}y$。
全微分的求解可以用来计算函数的变化率及其对应的方向，通过对全微分展开可以得到函数的线性逼近形式。
因此，全微分在数学分析和物理学中有着广泛的应用。
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分多元函数是指含有多个自变量的函数。
在研究多元函数时，我们经常需要考虑函数在各个自变量上的变化情况。
而偏导数就是用来描述多元函数在某个自变量上的变化率。
偏导数的定义如下：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在某个点P(x1,x2, ..., xn)处，对第i个自变量求导得到的导数称为偏导数，记作∂f/∂xi。
偏导数表示了函数在某一方向上的变化率。
如果函数f是可微的，那么全微分df可以表示为df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn是自变量的微小变化量。
偏导数与方向导数之间存在一定的联系。
方向导数表示了函数在某一特定方向上的变化率，偏导数是方向导数在坐标轴方向上的特例。
具体来说，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点P(x1, x2, ..., xn)处的方向向量为d，则方向导数可以表示为Df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... +∂f/∂xn * dxn。
当d为坐标轴方向(例如d = (1, 0, 0, ..., 0))时，方向向量的每个分量只有一个非零分量，其他分量为0，此时方向导数就变成了偏导数。
在求解多元函数的偏导数时，常常使用链式法则和求导法则。
链式法则用于求解复合函数的导数，求导法则则是求解一些特定函数的导数公式。
多元函数偏导数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常研究生产函数来描述生产过程中的变化率；在物理学中，偏导数可以用来表示速度、加速度等物理量的变化率。
总结一下，多元函数的偏导数是用来描述函数在某个自变量上的变化率。
全微分则是将多个自变量的偏导数通过线性组合得到的。
偏导数与方向导数密切相关，是方向导数在坐标轴方向上的特例。
在实际问题中，偏导数有着重要的应用价值。
以上就是关于多元函数的偏导数与全微分的相关内容，希望能够帮助你更好地理解和应用多元函数的求导方法。
偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系
偏导数及全微分是高等数学中重要的概念，用来描述一元函数、多元函数曲线特性及变化趋势。
而两者又有着密不可分的关系。
首先，偏导数是全微分的一部分，是全微分的基础。
它代表函数曲线在某一点的斜率，又叫函数的切线斜率，是函数曲线在某一点的变化率。
而全微分定义为函数在某一点的函数值及其方向对点中的变化率，所以它的意义是偏导数的概括，反映了函数曲线在某一点的斜率及方向的变化率，其值比偏导数更能体现函数曲线在该点的变化趋势。
其次，计算偏导数和全微分是有联系的。
若给定一个多元函数，要求偏导数则需要使用偏微分概念，因为偏微分是多元函数的偏导数。
而要计算全微分，首先要确定函数的偏导数，然后再求出全微分的求值。
最后，偏导数与全微分是相互联系的，彼此之间又有着千丝万缕的联系。
一般来说，计算多元函数的极值是依赖于偏导数的，而全微分是为了更全面地反映函数曲线的变化趋势。
所以，偏导数与全微分虽然各有不同的定义，但它们之间仍有密不可分的关系。
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类似的定义三阶以上偏导数
定理
若 z=f(x,y)的二阶混合偏导数 f xy , f yx 在(x,y)连续, 则 f xy = f yx (适用于三阶以上)
Байду номын сангаас
例5.
y z = arctan x
∂z ∂x ∂z ∂y
∂2z ∂2z , 求 ∂y∂x ∂x∂y 1 y − y = ⋅ (− 2 ) = 2 , 2 y 2 x x + y 1+ ( ) x 1 1 x = ⋅ = 2 , 2 y 2 x x + y 1+ ( ) x
∂ ∂z ∂2z ( ) = = z xx = f xx ; 2 ∂x ∂x ∂x
∂ ∂z ∂2z ( ) = = z xy = f xy ; ∂y ∂x ∂x∂y ∂ ∂z ∂ z ( ) = = z yx = f yx ; ∂x ∂y ∂y∂x
2
混合偏导数
∂ ∂z ∂2z ( ) = = z yy = f yy . 2 ∂y ∂y ∂y
z −1
z −1
z −1
∂u x x = ln . ∂z y y x zx xz x x ∴ dz = dx − 2 dy + ln dz. y y y y y y
z −1 z −1 z
x 3. z = , 求dz y
x ∂u = z y ∂x x ∂u = z y ∂y
z z −1
z
1 zx = , y y y x xz x − 2 = − 2 , y y y
∆z − [ f x (0,0)∆x + f y (0,0)∆y ] =
∆x∆y (∆x) + (∆y )
2 2
≠ ο ( ρ ).( ρ → 0)
定理2(可微的充分条件) 若函数 z=f(x,y) 的偏导数在点 (x,y) 连续,则函数在该点可微. 注意:反之不然. 例如:
1 2 2 ( x + y ) sin 2 , x2 + y2 ≠ 0 f ( x, y ) = x + y2 0, x2 + y 2 = 0
(证明略)
在点(0,0)处可微,但偏导数不连续.
以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上
例6.求 z = e xy 在(2,1)点的全微分
∂z = ye xy , ∂x ∂z = e2 , 2 ∂x x =1 y=
∂z = xe xy ∂y
∂z ∂y
x =2 y =1
= 2e 2 ,
∴ dz = e 2 dx + 2e 2 dy
可微
偏导数连续
可偏导
连续
练习
x2 + y2 ∂u ∂u ∂u 2 3 1. u = xy z sin ,求 , , 2 z ∂x ∂y ∂z
x2 + y2 x2 + y2 ∂u , = y 2 z 3 sin + 2 x 2 y 2 z cos 2 2 z z ∂x ∂u x2 + y2 x2 + y2 3 3 = 2 xyz sin + 2 xy z cos , 2 2 ∂y z z ∂u x2 + y2 x2 + y2 = 3 xy 2 z 2 sin − 2 xy 2 ( x 2 + y 2 ) cos ∂z z2 z2
例4. f ( x, y ) =| x | + | y |
y →0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0) 故在(0,0)点连续. x →0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在. 注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y = y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan α
求 f x (0,1)
y x2 + y2
f y (0,2)
fx = 1−
x x2 + y2
f y = 1−
∴ f x (0,1) = 1,
f y (0,2) = 0
例2.
u = z xy 求偏导数 ∂u ∂u ∂u xy xy = z (ln z ) y = z (ln z ) x = xyz xy −1 ∂x ∂z ∂y xy , x2 + y2 ≠ 0 f ( x, y ) = x 2 + y 2 例3. 求 f x (0,0) f y (0,0) 0, x2 + y2 = 0 f (0 + ∆x,0) − f (0,0) 分段点处偏导 f x (0,0) = lim =0 ∆x →0 ∆x 数要用定义求 f (0,0 + ∆y ) − f (0,0) f y (0,0) = lim =0 ∆y →0 ∆y
f ( x0 + ∆x, y0 , z0 ) − f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) = lim ∆x → 0 ∆x
(3).由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数. 例如:求 f x 时,只要将y视为常数,求 f(x,y)关于 x 的导数.
f ( x, y ) = x + y − x 2 + y 2 例1.
ρ = (∆x) 2 + (∆y ) 2
dz = A ⋅ ∆x + B ⋅ ∆y 称为 z=f(x,y) 在点(x,y) 的全微分
注: (1).若函数在区域D内处处可微分,则称它在D内可微分. (2).可微分一定连续.
∆x →0 ∆y →0
lim ∆z = lim [ A ⋅ ∆x + B ⋅ ∆y + ο ( ρ )] = 0
注: (1).与一元函数类似: dz =
∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y
(2).此定理反之不然,这是与一元函数的区别.
xy , x2 + y2 ≠ 0 例如: f ( x, y ) = x 2 + y 2 0, x2 + y2 = 0 f x (0,0) = f y (0,0) = 0 但是函数在(0,0)不可微.
∂2z y2 − x2 ∂2z = = 2 2 2 ∂y∂x (x + y ) ∂x∂y
例6. z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z ∂3z , , , 求 2 , 2 ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x 3
∂z = 3x 2 y 2 − 3 y3 − y, ∂x
∆x →0 ∆y →0
(3).全微分特征: 全微分是自变量增量的线性函数; 全微分与全增量之差是比 ρ 高阶的无穷小 ( ρ → 0 )
四. 全微分与偏导数的关系 定理1(可微的必要条件) 若函数 z=f(x,y) 在点(x,y)可微分,则称它在该点的偏导数必 存在,且 ∂z ∂z
dz = ∂x ∆x + ∂y ∆y
( x0 , y 0 )
注:(1).若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数,则此偏 导数也是 x,y 的函数--------偏导函数. ∂z ∂f ∂z ∂f f x , f y , z x , z y ,...... , , , ,...... ∂x ∂x ∂y ∂y (2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元. 例如: u=f(x,y,z)
y y ∂2 z ∂2 z 2. z = x sin + cos , 求 2 , x x ∂y ∂x∂y
∂z y 1 y = cos − sin , ∂y x x x ∂2z 1 y 1 y = − sin − 2 cos , 2 ∂y x x x x ∂z y y y y y = sin − cos + 2 sin , ∂x x x x x x ∂2z y y 1 y y y = 2 sin + 2 sin + 3 cos . ∂x∂y x x x x x x
∂z = 2 x 3 y − 9 xy ∂y
∂2z = 2 x 3 − 18 xy ∂y 2
2
− x
∂2z = 6 xy 2 ∂x
2
∂2z ∂2z 2 2 = 6x y − 9y −1 = ∂y∂x ∂x∂y
∂3z = 6y2 ∂x 3
三. 全微分的概念 1.全增量: 设 z=f(x,y) 在点P(x,y) 的某邻域内有定义,
∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y )
全增量
2.定义:
如果 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的全增量
∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) 可以表示为 ∆z = A ⋅ ∆x + B ⋅ ∆y + ο ( ρ )
仅与x,y有关 则称 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分
f y ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 x = x0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Ty 对y 轴的斜率tan β
二.高阶偏导数 高阶偏导数 二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f x , f y 仍为 x, y 的函数. 它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数.
第二节 偏导数与全微分
第二节 偏导数与全微分
一.偏导数 偏导数 1.偏导数的定义 定义 设z=f(x,y) 在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义,当y固定在 y0 时, 得一元函数 f ( x, y0 ) , ∂z ∂f f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = = f x ( x0 , y0 ) = lim ∆x →0 ∂x ( x0 , y0 ) ∂x ( x0 , y0 ) ∆x z=f(x,y)在点 ( x0 , y0 )处对x的偏导数 类似的, z=f(x,y)在点( x0 , y0 )处对y的偏导数 ∂z ∂f f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = lim = ∆y →0 ∆y ∂y ( x0 , y0 )∂y