2012年江苏高中数学竞赛扬州夏令营函数讲稿

2. 已知正数a、b、c满足：
5c 3a b 4c a , c ln b a c ln c ,
b [ e, 7 ] 则 的取值范围是________. a
化简
b y a x
a b a 5c 3a b 4c a 5 3 4 5 3x y 4 x , c c c a b b a e c y ex , c ln b a c ln c ln c c c y 5 3x y y 5 3x 1 7 y ex b P( , ) 7 y 4 x 2 2 a max y 4 x
函
数
—— 2012 扬州
x 1 1. 函数 f ( x) x 1
2
2 ( , ] (1, ) 的值域为______________. 2
t 2 2t 2 解1： x 1 t f ( x) g (t ) (t 0) t 1 2 1 h( s ) 1 2( s ) , s 0 1 2 2 s f ( x ) h( s ) t 2 2( s 1 ) 2 1 , s 0 h( s ) 2 2 2 解2： x tan , ( , ) 2 2 sec 1 1 f ( x) F ( ) tan 1 cos sin 2 sin( ) 4 3 ( , ) ( , ) 2 2 4 4 4 2 ] (1, ) 2 2 sin 1 f ( x) ( , 2
9. 设 f（x）、g（x）分别是定义在 R 上的奇函
数、偶函数，当x < 0 时，F（x）= f（x）g（x）
在（－∞，0）上是增函数，且 g（2）= 0.则不
( , 2) (0 , 2) 等式 f（x）g（x）< 0 的解集是_____________.
y
F (x) 是奇函数
g (2) 0 g (2) 0
y ex y ' ex
P
x0
y e x e e x0 x0 1 b Q(1, e) e a min
x0 x0
B A Q
O
x
x 1 3. 设函数 f ( x) x px q 与 g ( x) 2 在区间 4 x [ 1, 4 ]的同一点上取相同的最小值，试求 f (x)在该区
2
6. 设 p , q R , f ( x) x 2 p | x | q . 当函数f (x)的零点多 于一个时， 求f (x)在以其最小零点与最大零点为端点的 y y 闭区间上的最大值 .
由题意，f (x)是偶函数 . 1. 当函数f (x)的零点为2个时，
o
x
o
f (x) 的最大值为 0 (此时q < 0)
b 3
x
2
0 +
1
0 + 所以，g（x）的 极值点为－2.
g ' ( x) g (x)
y f (x) （3）设 f（x）= t , 2 当| t | = 2 时，f（x）= t 的零点 x = 2 数为2 (零点为x = -1、x = 2或x = -2 -2、x = 1）； x o 3 3 2 当| t | < 2 时，f（x）= t 的零点 -2 x=- 2 数为3且零点| x | < 2 . 所以，当| c | = 2时，y = h（x）= f ( f (x)) – c 的零点数为5 ( 2+3 )； 当| c | < 2时，y=h（x）的零点数为9（3+3+3 ).
1 f ( x) |max f ( ) . 2
4. 设函数f (x) = |lg (x+1)|，实数 a, b (a < b)满足
b 1 f (a) f ( ) , f (10a 6b 21) 4 lg 2 . b2
b 1 ) | lg( a 1) || lg( b 2) | 解：f (a) f ( b2 （舍去）或 (a 1)(b 2) 1 a 1 b 2
∴ M=N .
11. 设 f (x) 是定义在 R 上的函数 ， a 是大于
1 0的实数，满足 ： f ( x a) 2 f ( x) [ f ( x)]2 .
试证明： f (x) 是周期函数。
证明： f ( x 2a) 1 f ( x a) [ f ( x a)]2
（2）证明：当 1 x 1 时，g ( x) 2 ;
（3）设 a 0 ，当 1 x 1时，g (x)
的最大值为2，求 f (x) 。
f (0) c , f (1) a b c , 5（ ） c f (0) 1 1 .
(2)
f (1) a b c
2
1 1 2 2
2 1 f ( x) [ f ( x)] 2
探索
f ( x) [ f ( x)]2
2
f ( x a)
1 2
1 1 1 1 f ( x) [ f ( x)]2 | f ( x) | 化简 2 4 2 2 1 1 f ( x) [ f ( x)]2 f ( x) f ( x a) [ f ( x a)]2 f ( x) 2 2 1 1 f ( x 2a ) f ( x ) f ( x ) T 2a . 2 2
8. f ( x 4) f (2 x) x 1是二次函数 f(x)对称轴
f ( x) a( x 1) 2 f min ( x) 0 f (1) 0 2 x 1 2 ( x 1) x f ( x) ( ) f (1) 1 f ( x) . 4 2 f ( x t ) x 2 (2 t ) 4 4 t 0. — 必要条件 x 1
f ( x t ) x 2 (m t 1) 4m xm 1 t 4t m 1 t 4t
m 9 ( t 4 )
— m 的可能值
经验算 t 4 x [1, 9] , 恒有 f ( x t ) x . m 9 .
q (此时q >0) ； 2. 当函数f (x)的零点为3个时， f (x) 的最大值为 0 (此时q = 0) ； 3. 当函数f (x)的零点为4个时， f (x) 的最大值为q (此时q > 0) .
q
y y
q
x
q q
o
x y
o
x
q
o
x
7. 若函数y = f（x）在 x x0 处取得极大值或极小
g (1) a b f (1) f (0) f (1) f (0) g (1) a b f (1) f (0) f (1) f (0)

1 x 1 ,
f ( x) 1 .
g (1) 2 , g (1) 2 . g ( x) 2 .
x M f ( x) x 或 f ( x) x
M N
f (x) 在 R 上是增函数 f ( f ( x)) f ( x) x x N f ( x) x f (x) 在 R 上是增函数 f ( f ( x)) f ( x) x x N f ( x) x
g ( x) x 1
若在区间[ 1, 2 ]的同一点上取相同的最小值呢？
1 3 [ , ] 的同一点上取相同的最小值呢？ 若在区间 2 2 3
f ( x) |min g ( x) |min g ( ) . 2
9 f ( x) |max f (1) p . ( p 4) 4
-2
O
2
x
10. 设 f (x) 是定义在 R 上的函数 ：
M { x | f ( x) x } , N { x | f ( f ( x)) x }
（1）求证 ： N ; M
（2）若 f (x) 在 R 上是增函数，判断 M = N 是 否成立，并证明你的结论。
(1) (2)
x M f ( x) x f ( f ( x)) f ( x) x x N M N ;
(a 1)(b 2) 1, 5(a 1) 3(b 2) 8 .
5. 已知 a, b, c 是实数，函数
f ( x) ax bx c , g ( x) ax b ,
2
当 1 x 1时， f ( x) 1,
（1）证明： c 1 ;
12. 函数 f (x) 在[ 0,1 ]上有定义， (0) f (1) . 如果对 f 于不同的, x2 [ 0 , 1] ，都有 ( x2 ) f ( x1) | | x2 x1 | . x1 |f 求证： f ( x2 ) f ( x1 ) | 1 . |
求 a, b 的值 .
f (10a 6b 21) 4 lg 2 | 5a 3b 11 | 8
a 1 0, b 2 0
| 5a 3b 11 | 8 5(a 1) 3(b 2) 8
2 a 5 , b 1 . 3
y
8．设二次函( x) ax2 bx c (a 0) f 数 ，满足条件： （1）当 且 f时，) f (2 x) (x 4 f ( x) x xR x 1 2 f ( x) ( ) ； x (0,2) 2 f (x) （2）当 时， ； 求最大的 m(m 在R上的最小值为0. （3） 1)，使得存在t R，只要 x [1, m] ，就有 f ( x t ) x .