东方数学讲义电子版高等数学考研讲义第七章

2010新东方数学讲义电子版高等数学考研讲义第七章 多元函数积分学§7.1 二重积分(甲) 内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题模型I ：设有界闭区域{})()(,),(21x y x b x a y x D ϕϕ≤≤≤≤=其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Dbax x Ddy y x f dx dxdy y x f d y x f )()(21),(),(),(ϕϕσ模型II ：设有界闭区域{})()(,),(21y x y d y c y x D ϕϕ≤≤≤≤=其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则21()()(,)(,)(,)y dDDcy f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰关于二重积分的计算主要根据模型I 或模型II ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合模型I 中关于D 的要求，又不符合模型II 中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I 或模型II 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。

则21()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )DDf x y d f d d d f d ϕθβαϕθσγθγθγγθθγθγθγγ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰模型II 设有界闭区域{})(0,),(θϕγβθαθγ≤≤≤≤=D 其中()ϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。

则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd f d d d f d y x f βαθϕγγθγθγθθγγθγθγσ)(0)sin ,cos ()sin ,cos (),(（乙）典型例题一、二重积分的计算 例1 计算2y Dedxdy -⎰⎰，其中D 由y =x ,y =1和y 轴所围区域解： 如果2211y y D xedxdy dx e dy --=⎰⎰⎰⎰那么先对2y e-求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。

2210yy y Dedxdy dy e dx --=⎰⎰⎰⎰这时先对x 积分，2y e-当作常数处理就可以了。

原式=[])11(212110122eedy yey y -=-=--⎰例2 计算2||102||x y y x dxdy≤≤≤-⎰⎰解：原式=⎰⎰⎰-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-11022222x x dy x y dy y x dx222331122222113113221122()()33225||(2)3332y y x y y x x y dx y x dxx dx x dx π==--==--=--+-=+-=+⎰⎰⎰⎰例3 求 22()DI x y y d σ=+⎰⎰1)1(4:2222≥++≤+y x y x D解一：⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=DD D 大圆小圆22222220()163D Dx y y d x y d d r dr πσσθπ⎤+=++⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰大圆大圆对称性⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==++=θππθσcos 202232D 229320dr r d d y x D 小圆小圆())23(91622-=++∴⎰⎰πσd y y x D解二： 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知⎰⎰=D0σyd⎰⎰⎰⎰+=+DD d y x d y x 上σσ222221222222002cos 2224416162()(32)3399D D d r d d r dr πππθσσθγθπππ-⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰上上原式二、交换积分的顺序例1 交换⎰⎰-aaxx ax dy y x f dx20222),(的积分顺序解 原式=⎰⎰Ddxdy y x f ),(其中D 由22y ax x =-和2y ax =以及2x a =所围的区域321UD UD D D =由2222222y a a x x ax y a y x ax y -±=-===解出解出因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=-+-aay aaay a a ay a a ay adx y x f dy dx y x f dydx y x f dy2222020222222),(),(),(例2 设证明连续，y f )('[()(0)]()()axI dx dy f a f a x x y π'==---⎰⎰证明：交换积分次序⎰⎰+---'=ayay a x y a dxy f dy I 220)2()2()(令 ,cos 2,sin 22tdt ya dx t y a y a x -=-=+-则2002cos 2()()[()(0)]cos 2a a a yt I f y dy dt f y dy f a f a y t ππππ--''===--⎰⎰⎰三、二重积分在几何上的应用 1、求空间物体的体积例1 求两个底半径为R 的正交圆柱面所围立体的体积解 设两正交圆柱面的方程为222222x y R x z R +=+=和，它们所围立体在第一卦限中的那部分体积dxdy x R V D⎰⎰-=221其中D 为 220,0x R y R x -≤≤≤≤因此 3022220132)(22R dx x R dy x R dxV Rx R R=-=-=⎰⎰⎰- 而整个立体体积由对称性可知313168R V V == 例2 求球面)0(24222222>=+=++R Rx y x R z y x 和圆柱面所围（包含原点那一部分）的体积 解 dxdy y x R V D⎰⎰--=222144其中D 为xy 平面上22x Rx y -=与x 轴所围平面区域用极坐标系进行计算2cos 22222032330444432322(1sin )()3323R DV R r rdrd d R r rdrR d R πθπθθπθ=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰2、求曲面的面积（数学一）§7.2 三重积分（数学一）(甲) 内容要点一、三重积分的计算方法1、直角坐标系中三重积分化为累次积分 （1）设Ω是空间的有界闭区域{}D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(),,(),(),,(21其中D 是xy 平面上的有界闭区域，),(),,(21y x z y x z 在D 上连续函数Ω在),,(z y x f 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=dzz y x f dxdy dv z y x f y x z y x z D),,(),,(),(),(21（2）设{})(),(,),,(z D y x z z y x ∈≤≤=Ωβα 其中D (z )为竖坐标为z 的平面上的有界闭区域，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=dxdy z y x f dz dv z y x f z D ),,(),,()(βα2、柱坐标系中三重积分的计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz rdrd z r r f dxdydz z y x f θθθ),sin ,cos (),,(相当于把(x,y )化为极坐标（θ,r ）而z 保持不变3、球坐标系中三重积分的计算sin cos 0sin sin 0cos 02x y z ρθϕρρθϕθπρθϕπ=≥⎧⎛⎫⎪⎪=≤≤⎨ ⎪⎪ ⎪=≤≤⎩⎝⎭2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin f x y z dxdydz f d d d ρθϕρθϕρθρθρθϕΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（乙） 典型例题一、有关三重积分的计算例1 计算dxdydz z xy ⎰⎰⎰Ω32，其中Ω由曲面0,1,,====z x x y xy z 所围的区域 解⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωxyxdz z xy dy dx dxdydz z xy 0320132 36412814111206510⎰⎰⎰===dx x dy y x dx x例2 计算222222()x y z dxdydz a b c Ω++⎰⎰⎰,其中Ω由曲面2222221x y z a b c ++=所围的区域解 令 sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρθϕρθϕρθ===则 2122242220004()sin 5x y z dxdydz abc d d d abc a b c ππϕθθρρπΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例3 计算由曲面其中Ω++⎰⎰⎰Ω,222dxdydz z y x z z y x =++222所围的区域解 用球坐标105cos 2sin cos 412sin 025204cos 03220222πθπθθθπρθρθϕππθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωd d d d dxdydz z y x例4 计算所围的区域由曲面其中2,2,)(2222==+Ω+⎰⎰⎰Ωz z y x dxdydz y x解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==+Ω22320220320222)22(2)(r dr r r dz dr r d dxdydz y x πϕπ31612220264ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r二、在物理上的应用例1 求 椭圆锥面)1(222222设密度均匀恒为围成物体的重心和平面c z cz b y a x ==+解 设重心坐标（z y x ,,）物体所占空间区域为Ω由对称性可知0,0==y xzdxdydzz dxdydzΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰由锥体体积公式可知3abcdxdydz π=⎰⎰⎰Ω令 ct z br y ar x ===,sin ,cos θθ而⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=11202rtdt rdr d abc zdxdydz πθ42)1(22122abc dr r r abc ππ=-=⎰ 因此，重心坐标43,0,0cz y x ===例2 设有一半径为R 的球体，o P 是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到o P 的距离平方成正比（比例系数k >0）,求球体重心的位置解一：设球面方程为,2222R z y x =++o P 为 (R, 0,0)，球体Ω的重心坐标为（z y x ,,）由对称性可知0,0==z ydvz y R x k dv z y R x k x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++-++-⋅=])[(])[(222222由区域的对称性和函数的奇偶性，则有⎰⎰⎰Ω=-02xdv R0][2222=+++⎰⎰⎰Ωdv z y R x x 于是()2222222[()]x R y z dv x y z dv R dv ΩΩΩ-++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5324020153234sin R R R d d d Rππρθρθϕππ=⋅+=⎰⎰⎰dv x R dv z y R x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=++-22222])[(6222158)(32R dv z y x R π-=++-=⎰⎰⎰Ω 因此 )0,0,4(,4R R x --=重心坐标为解二： 设球面坐标2222)(R R z y x =-++，o P (0,0,0)，重心坐标（z y x ,,）由对称性可知 0,0==y xdvz y xk dvz y xk z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++++⋅=][][222222620765cos 202222238sin cos 364sin cos 4][R d R d d d dv z y x z R πθθθπρθθρθϕπθππ===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω54cos 20222221532sin 4)(R d d d dv z y x R πρθρθϕθππ==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω于是 )45,0,0(45R R ，z 重心坐标=§7.3 曲线积分（数学一）(甲) 内容要点一、第一类 曲线积分（对弧长的曲线积分） 参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间曲线L 的参数方程 )(),(),(),(βα≤≤===t t z z t y y t x x则[][][][]⎰⎰'+'+'=Ldt ds z y x f βα222(t)z (t)y )t (x )t (z ),t (y ),t (x f ),,(（假设()(,,)(),,()f x y z x t y t z t '''和皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算 二、第二类 曲线积分（对坐标的曲线积分） 参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间有向曲线L 的参数方程对应参数为起点A t z z t y y t x x ),(),(),(===[]{[][]},(:)(,,),(,,),(,,),(),(),(),(,,)(,,)(,,)(),(),()()(),(),()()(),(),()()L ABB P x y z Q x y z R x y z x t y t z t P x y z dx Q x y z dy R x y z dzP x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dtβααβαβαβ=<'''++'''=++⎰⎰始点对应参数为注意现在和的大小不一定如果皆连续又也都连续则这样把曲线积分化为定积分来计算。