考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤
第一讲 极限与连续主要内容概括（略） 重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n Λ； （2）11lim 332+-=∞→k k nk n π；（3）∑=∞→+nk n n k k 1])1(1[lim ； 2．求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241241141lim Λ； 3．求下列极限： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n Λ； （2）nn nn !lim∞→； （3）∑=∞→++ni n ni n 1211lim。
类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：（1）)0(2cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x xx x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+；2．求下列极限： （1）()xx xcos 1120sin 1lim -→+；（3）)21ln(103sin 1tan 1lim x x x x x +→⎪⎭⎫⎝⎛++； （4）21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：（1）)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x xx x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；（3）]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x ； （4）)tan 11(lim 220xx x -→；（5）203)3(lim x x xx x -+→；（6）设A a x x f x x =-+→1)sin )(1ln(lim，求20)(lim x x f x →。
2．求下列极限：xx ex x x sin cos lim3202-→-类型四：极限存在性问题：1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。
2．设)(x f 在),0[+∞上单调减少、非负、连续，),2,1()()(11Λ=-=⎰∑=n dx x f k f a nnk n ，证明：n n a ∞→lim 存在。
类型五：夹逼定理求极限问题：1．求⎰+∞→101sin lim dx xxn n ； 2．),,()(lim 1非负c b a c b a nn nn n ++∞→；3．)0(21lim 2≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x n nnn 。
类型六：含参数的极限问题： 1．设0)3sin (lim 23=++--→b axx x x ，求b a ,；2．设3)11lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++∞→b ax x x x ，求b a ,； 类型七：中值定理法求极限： 1、)1arctan(arctanlim 2+-∞→n nn n ππ； 2、)(lim 1211212+-+∞→-x x x e ex 。
类型八：变积分限函数求极限：1、)11)(tan (2cos lim 200-+---⎰→x x x x x tdt e x tx 。
2、设)(x f 连续，且1)1(=f ，则1)(lim3111-⎰→x dt xt f x x 。
二、连续与间断的判断1．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x x x x x x x x f ，讨论函数)(x f 在0=x 处的连续性。
2．讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,10,)12()12()(11x x x f x x 在0=x 处的连续性。
三、连续性命题的证明1．设),[)(+∞∈a C x f 且)(lim x f x +∞→存在，证明)(x f 在),[+∞a 上有界。
2．设)(x f 在],[b a 上连续，任取0,0>>q p ，证明：存在),(b a ∈ξ，使得)())()()(ξf q p b qf a pf +=+。
第二讲 微分学第一部分 一元函数微分学内容复习（略） 重点题型讲解（一）与导数定义相关的问题1．设)(0x f '存在，求)0()()(lim000≠--+→αβαβhh x f h x f h 。
2．设)(x f 在1=x 处连续，且21)(lim 21=-→x x f x ，求)1(f '。
3．设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，对任意的y x ,有)()()(y f x f y x f =+，且1)0(='f ，求)(x f 。
4．设)(x f 二阶连续可导，且1)(lim 0=→xx f x ，e f ='')0(，则______lim2)(0=-→x e e x x f x 。
5．设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任意的x 有)(2)1(x f x f =+，又当]1,0[∈x 时，有)1()(2x x x f -=，讨论)(x f 在0=x 处的可导性。
（二）各类求导数的问题 1．设xxe xx ey +-+=111sin ，求y '； 2．设xx ey +-=11arctan，求y '；3．)100()2)(1(+++=x x x x y Λ，求)101(),0(yy '；4．设)(x f y =由⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 确定，求22dx yd ； 5．设xy y x =，求dxdy； 6．设y xy exy=+)tan(，求=x dxdy ；7．设)(x y y =由⎪⎩⎪⎨⎧=++=5sin 3tan 22y t ty tex t确定，求dx dy ；8．设⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<+=0,)1(2arctan 90,2sin )(3x x b x x ae x x f x在0=x 处可导，求b a ,；9．求下列函数的导数：（1）设dt t x y x ⎰=22cos ，求dx dy；（2）设⎰-=x dt x t tf y 022)(，求dxdy ；10．设)(x f 连续，⎰=1)()(dt xt f x ϕ，且A xx f x =→)(lim，求)(x ϕ'，并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性。
11．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos )()(x a x xxx g x f ，其中)(x g 二阶可导且1)0(=g 。
（1）当a 为何值时，)(x f 在0=x 处连续；（2）求)(x f '；（3）研究)(x f '在0=x 处的连续性。
解答：（1）]cos )0()0()([lim cos )(lim)(lim 000x xg x g x g x x x g x f x x x -+-=-=→→→)0(]cos 1)0()([lim 0g xx x g x g x '=-+-=→， 于是当)0(g a '=时，)(x f 在0=x 处连续。
（2）当0=x 时，xg x xx g x f x f x x )0(cos )(lim )0()(lim 00'--=-→→ )]0(1[212sin )0()(lim )0(cos )(lim 020g x x g x g xx g x x g x x ''+=+'-'='--=→→， 即)]0(1[21)0(g f ''+='；当0≠x 时，2cos )(]sin )([)(x xx g x x g x x f +-+'='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+-+'=''+='0,cos )(]sin )([0),0(1[21)(2x x x x g x x g x x g x f 。
（3）因为200cos )(]sin )([lim)(lim x xx g x x g x x f x x +-+'='→→)0()]0(1[21]cos )(sin )([lim 20f g xx x g x x x g x '=''+=--+'=→， 所以)(x f '在0=x 处连续。
12．设)(x f 在]1,1[-上可导，)(x f 在0=x 处二阶可导，且4)0(,0)0(=''='f f ，求3)]1[ln()(limxx f x f x +-→。
13．设)1()1(21lim )(--∞→+++=x n x n n ebax e x x f ，求)(x f ，并讨论)(x f 的连续性和可导性。
（三）高阶导数问题1．设x e y xsin =，求)(n y ；2．设)23ln(2+-=x x y ，求)(n y 。
3．设)1ln()(2x x x f +=，求)0()49(f。
第二部分 一元函数微分学的应用 内容复习（略）附：中值定理部分的推广1．设)(x f 在0x x =的邻域内n 阶连续可导，则有))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x o x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=Λ。
2．（导数零点定理）设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，且0)()(<''-+b f a f ，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf 。
3．（导数介值定理）设设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，且)()(b f a f -+'≠'，不妨设)()(b f a f -+'<'，则对任意的)](),([b f a f -+''∈η，存在),(b a ∈ξ，使得ηξ=')(f 。
4．设],[)(b a C x f ∈，且)0(0)(<>''x f ，则有))(()()()(000x x x f x f x f -'+≤≥，等号成立当且仅当0x x =。
重点题型讲解（一）中值定理等式的证明类型一：目标表达式中仅含ξ不含端点字母，且导数之间相差一阶1．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)0(==f f ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得 0)()(2='+ξξξf f 。
2．设)(x f 在]1,0[上可微，且⎰-=3101)(3)1(dx x f e f x ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得0)()(=+'ξξf f 。
汤家凤高等数学讲义15页例4
汤家凤高等数学讲义15页例4
摘要：
一、题目与要求
二、分析
1.函数在x 趋近于1 时，分母趋近于0
2.分子可以写成(x - 1)(x - 2) 的形式
3.判断分子在x 趋近于1 时的极限是否存在
三、解答
1.分子在x 趋近于1 时的极限为-1
2.函数的极限存在
3.极限的值为-1
正文：
汤家凤高等数学讲义15 页例4 中，我们要求函数f(x) = (x^2 - 3x + 2)/(x - 1) 在x 趋近于1 时的极限。
首先，我们分析题目。
函数f(x) 在x 趋近于1 时，分母趋近于0，需要判断极限是否存在。
接着，我们将分子x^2 - 3x + 2 写成(x - 1)(x - 2) 的形式，当x 趋近于1 时，分子趋近于0。
由于分母x - 1 趋近于0，所以我们需要判断分子(x - 1)(x - 2) 在x 趋近于1 时的极限是否存在。
接下来，我们进行解答。
当x 趋近于1 时，分子(x - 1)(x - 2) 的极限为-1。
由于分母x - 1 趋近于0，而分子(x - 1)(x - 2) 的极限为-1，所以当x 趋近于1 时，函数f(x) 的极限存在。
最后，我们求得极限的值为-1。
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董仲蠡
考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤
第一讲 极限与连续主要内容概括〔略〕 重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限： 〔1〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n ； 〔2〕11lim 332+-=∞→k k nk n π；〔3〕∑=∞→+nk nn k k 1])1(1[lim ；2．求以下极限：〔1〕⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241241141lim ； 3．求以下极限： 〔1〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n ； 〔2〕nn nn !lim∞→； 〔3〕∑=∞→++ni n ni n 1211lim。
类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：〔1〕)0(2cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n ；〔2〕nn n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+；2．求以下极限： 〔1〕()xx xcos 1120sin 1lim -→+；〔3〕)21ln(103sin 1tan 1lim x xx x x +→⎪⎭⎫⎝⎛++；〔4〕21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求以下极限：〔1〕)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x xx x -+-+→；〔2〕)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；〔3〕]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x ； 〔4〕)tan 11(lim 220xx x -→； 〔5〕203)3(lim xx xx x -+→； 〔6〕设A a x x f x x =-+→1)sin )(1ln(lim，求20)(lim x x f x →。
2．求以下极限：xx ex x x sin cos lim 3202-→-类型四：极限存在性问题：1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。
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2014考研数学春季基础线性代数辅导讲义-汤家凤
=
⎜ c21
⎜ ⎜⎜⎝
L cm1
c22 L cm2
L L L
c2n L cms
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
，其中
cij
=
n
aik bkj
k =1
（i
= 1,2,L, m;
j
= 1,2,L, s ）。
教 【注解】（1） A ≠ O, B ≠ O 推不出 AB ≠ O 。
频 （2） AB ≠ BA 。 视 （3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。 123 若 AB = BA ，则 A2 − 3AB + 2B2 = (A − B)(A − 2B) ，再如
m 2、数与矩阵的乘法—设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a21 L am1
a22 L am2
L L L
a2n L amn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
，则
kA
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
ka21 L kam1
ka22 L kam2
L L L
ka2n L kamn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
。
.co 3、矩阵与矩阵的乘法：
ipin ⎜⎛ a11 a12 L a1n ⎟⎞
ann
an1 an2 L ann an1 an2 L ann
频 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即
3视 a11 a12 L a1n
a11
12 L L L L
L
a12
L
a1n
LLL
ai1 ai2 L ain ai1 + ka j1 ai2 + ka j2 L ain + ka jn
D = ai1Ai1 + ai2 Ai2 + L + ain Ain (i = 1,2,L, n) ，
考研数学高分导学班讲义汤家凤
考研数学高分导学班讲义汤家凤课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）2、课程内容此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。
此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。
3、主讲师资汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。
汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。
汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。
严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。
4、讲义20页（电子版）文都网校2011年9月15日2013考研数学高分导学班讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，称为矩阵n m ?，记为n m ij a A ?=)(。
特殊矩阵有（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。
（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。
（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。
（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。
2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。
若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：=??????? ??=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,，则±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111。
2021考研数学高数必考的4个定理证明
2021考研数学高数必考的4个定理证明来源：文都图书高数是考研数学考察的重要科目，也是比较难的一门，其中有4个定理是高数的高频考点，我们一起来学习一下该如何运用这几个定理。
一、微分公式的证明2021年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。
几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。
实际上，从授课的角度，这种在2021年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。
如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。
这里给2021考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。
当然，该公式的证明并不难。
先考量f(x)*g(x)在点x0处的导数。
函数在一点的导数自然用导数定义实地考察，可以按照导数定义写下一个音速式子。
该音速为“0分之0”型，但无法用洛必达法则，因为分子的导数不好算是(乘积的导数公式恰好就是要证的，无法用!)。
利用数学上常用的堆砌之法，提一项，减至一项。
这个“无中生有”的项要和前后都存有联系，易于加公因子。
之后分子的四项两两接合，除以分母后考量音速，不难得出结论结果。
再由x0的任意性，便获得了f(x)*g(x)在任一点的导数公式。
类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。
二、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马定理的条件存有两个：1.f'(x0)存有2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。
考量函数在一点的导数，用什么方法?自然想起导数定义。
我们可以按照导数定义写下f'(x0)的音速形式。
往下如何推理小说?关键必须看看第二个条件怎么用。
2023年考研数学三考试科学备考计划
2023年考研数学三考试科学备考方案2023考研数学三复习参考规划数三包括高数，线代以及概率论，个人认为高数复习难度最大，也是最耗时间的，计算与理解并重，线代和概率论重在理解和总结，一通百通。
下面我按照复习时间分几个阶段讲讲，复习进度和用书即可，不必完全遵守，每个人情况不同，合适自己的才是最好的。
4月到7月：1、高数局部：杨超视频课，同济教材两本我本科高数根底并不好，一开场我用的是杨超的视频网课，搭配两本同济教材，买了两个笔记本，没有买习题书，一共60个视频左右，平均一天3个，杨超教师幽默有才华，看他的课一个月就上手了。
这个月就是看视频，做笔记，做课后习题，任务很轻松。
特别指出，很多同学一开场很担忧是不是要买齐各种数学资料，直接上手做全书，不然就不安心，我想说前期大可不必，考研不必一开场就暗示自己是场艰辛的征途，完全可以平衡心态，从简单轻松的入手，全书一开场太难，容易给自己打击，全书里的题目也很典型，太早做甚至是在浪费好题目。
另外有的同学喜欢汤家凤的视频，我也很喜欢，只不过我一开场是回绝他的口音的，我到后期是用了他的强化班中的几章，挑了张宇讲的不太好的几章，视频课选择看个人爱好，不过不管看谁的，我建议这一个月不要做太多练习。
另外不要看张宇的根底班，他的根底班是强化班的删减，并不根底，只是强化班里的一些概念在根底班没讲，不推荐。
另外，觉得自己根底还不错，就不要看杨超的视频了，直接到强化。
2、高数强化局部：张宇高数强化网课，高数十八讲，1800题或者1000题，到了5月份，开场了高数强化，有了根底班的根底，在看强化班就轻松多了，也是按章节看，进度自己把握，看视频做笔记，这时课后题已经满足不了你了，推荐的1800题，先从根底开场做，或者张宇编写的1000题，选择其一，踏踏实实反反复复做一本，不要两本都买，18讲很好，只是题目不多。
指出，这时我建议就多做题找感觉了，1800题题目很多，渐渐练就可以感受到自己在发生质的变化，一股浴火重生的感觉。
[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。
3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。
著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。
凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。
4、讲义：6页（电子版）文都网校2011年5月27日公开课二：定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。
（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini it f S ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f S ∆=∑=→)(lim1ξλ2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。
（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini ix f A ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f A ∆=∑=→)(lim1ξλ。
二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作ini ix f ∆∑=)(1ξ；（3）取}{m a x 1i ni x ∆=≤≤λ，若ini ix f ∆∑=→)(lim 1ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ。
【15考研公共课-讲义】2015考研数学导学班辅导讲义-汤家凤20131028-16页
2015考研数学导学班辅导讲义高等数学部分第一章极限与连续第一部分函数的初等特性1、函数的奇偶性—设函数)(x f 的定义域关于原点对称，若)()(x f x f =−，称)(x f 为偶函数；若)()(x f x f −=−，称)(x f 为奇函数。
【例1】判断函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数。
2、函数的周期性—设)(x f 的定义域为D ，若存在0>T ，使得对任意的D x ∈，有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，称)(x f 为周期函数。
【例2】讨论函数][)(x x x f −=的周期性。
3、函数的单调性—设对任意的D x x ∈21,且21x x <，有)()(21x f x f <，称)(x f 在D 上为单调增函数，反之称为单调减函数。
4、函数的有界性—若存在0>M ，对任意的D x ∈，有M x f ≤|)(|，称)(x f 在D 上有界。
第二部分极限一、定义1、极限的定义（1）数列极限(N −ε)—若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<−||A a n 成立，称数列}{n a 以A 为极限，记为A a n n =∞→lim 。
（2）函数)(x f 当a x →时的极限（δε−）—若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<−<||0a x 时，有ε<−|)(|A x f 成立，称A 为)(x f 当a x →时的极限，记为A x f ax =→)(lim 。
（3）函数)(x f 当∞→x 时的极限（X −ε）—若对任意的0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<−|)(|A x f成立，称A 为)(x f 当∞→x 时的极限，记为A x f x =∞→)(lim 。
【注解】（1）a x →的含义为⎩⎨⎧+→−→≠a x a x ax 和。